第一章：勾股定理复习

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定是以及它的应用．其知识结构如下：

在学习勾股定理时应注重知识的形成过程，即勾股定理的探索过程，有意识地培养自己探索新知识的能力．在运用勾股定理时一定要有直角三角形这个前提条件，因此，通过有关具体问题时，有时需添加适当的辅助线以构造直角三角形来帮助解题．

勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的，但在判定一个三角形是否是直角三角形时应首先确定该三角形的最大边，当其余两边的平方和等于最大边的平方时，该三角形才是直角三角形．勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，这一点同学们也应牢牢掌握．

典例精讲

例1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 长．

方法指导：可设CD 长为xcm ，再寻找等量关系利用方程思想来解，而在直角三角形中，等量关系往往是勾股定理表达式2

22c b a =+．

解：设CD=xcm ，则BD=BC —CD=（8—x ）cm ． 由题知△ACD 与△AED 关于AD 对称，

∴AE=AC=6cm ，DE=CD=xcm ，∠AED=∠C=90°．

在Rr △ACB 中，由勾股定理得：cm BC AC AB 10862222=+=+=，

∴BE=AB —AE=10—6=4cm ．

在Rt △BED 中，由勾股定理得：2

22BE DE BD +=．

∴2

224)8(+=-x x ，解得x=3cm ．

方法总结：折叠问题应把握折叠前后两部分图形关于折痕对称，从而可以利用对称的有关性质来帮助解题目．

例2 已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点D 在BC 上，DA ⊥CA 于A ． 求：BD 的长．

方法指导：可设BD 长为xcm ，然后寻找含x 的等式即可，由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．

解：设BD 长为xcm ．过点A 作AE ⊥BC 于E ， ∵AB=AC=10，∴△ABC 为等腰三角形， ∴

cm x BD BC DC cm x BD BE DE cm BC CE BE )16(,)8(,821

-=-=-=-===

=，

在△AEC 中，由勾股定理得：cm CE AC AE 68102222=-=-=

．

在Rt △AED 中，2

2222)8(6x DE AE AD -+=+=， 在Rt △DAC 中，2222210)16(--=-=x AC DC AD ，

∴2

22210)16()8(6--=-+x x ．解得

cm x 27=

．

方法总结：勾股定理通常与等腰三角形的性质结合起来使用．

举一反三 如图：A 、B 两点与建筑物底部D 在一直线上，从建筑物顶部C 点测得A 、B 两点的俯角分别是30°、60°，且AB=20cm ，求建筑物CD 的高．

解：m CD 310=

例3 甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C 、B 两船相距40海里，问乙船的速度是每小进多少海里？

方法指导：可根据题意画出图形，易知△ABC 是直角三角形，利用勾股定理求出AB 距离，从而求出乙船速度．

解：由题知△ABC 是直角三角形且∠BAC 为直角．

∴24212=?=AC ，BC=40． 由勾股定理得3224402222=-=-=

AC BC AB （海里）．

∴乙船速度为：16232

=（海里/时）．

方法总结：凡是实际问题，应根据题意构造直角三角形来求解．

举一反三 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定，小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h ，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与速速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？

解：因为小汽车的速度为：h km h km s m /70/72/20240

>==，因此小汽车超速了．

例4 如图，海中有一小岛A ，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A 岛南偏西45°的B 处往东航行20海里后达到该岛南偏西30°的C 处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由．

方法指导：要想知道有无触礁危险只需算出点A 到BC 的距离，再比较即知．

解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ． 由题知：∠BAD=45°，∠CAD=30°． 设AD=x （海里），则BD=x （海里），CD=（x —20）（海里）， 我们知道有一内角为30°的直角三角形三边比值为2:3:1．

∴13=CD

AD ，即13

20=-x x ． 解得10

32.47133

20>≈-=

x ．

故无触礁危险．

方法总结：此题若直接用勾股定理也可得关于x 的方程，但是是一元二次的，目前无

法解出来，故应熟记特殊直角三角形的三边比值，如等腰直角三角形三边比值为2:1:1．

举一反三 如图，点A 是一个半径为300m 的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000m 的笔直公路将两村连通．经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明．

解：不会穿过公园．

例5 一架方梯长25m ，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m ，求：（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

方法指导：梯子靠在墙上即构成直角三角形，可利用勾股定理来求解．

解：（1）如图，在Rt △POQ 中，由勾股定理得：

247252222=-=-=OQ PQ PO ．

即梯子的顶端距离地面24m ；

（2）由题知梯子底端移动的距离为OB ， 设QB=x ，则OA=OP —AP=24—4=20m ， 梯子下滑过程中长度不变即AB=QP=25m ， 在Rr △AOB 中，由勾股定理得：

m OA AB OB 1520252222=-=-=．

∴QB=OB —OQ=15—7=8m ． 即梯子底端移动了8m ．

方法总结：这是一类“梯子下滑问题”，解此类题应把握两点：梯子靠在墙上即构成直角三角形；梯子滑动过程中长度不变．

举一反三 如图，一个梯子AB 长2．5m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1．5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0．5m ，求梯子顶端A 下落了多少m ？

解：梯子顶端A 下落了0．5m ． 例6 若△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足c b a c b a 1086502

2

2

++=+++，那么△ABC 是何种形状？

解：由c b a c b a 1086502

22++=+++得

0)2510()168()96(222=+-++-++-c c b b a a ，

即0)5()4()3(2

22=-+-+-c b a ， ∴a=3，b=4，c=5．

∵2

2225c b a ==+，由勾股定理逆定理知△ABC 是直角三角形．

方法总结：要判断三角形形状，应寻找三边关系或三角之间的关系再作出判断． 举一反三 若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足02

2

2

=---++ca bc ab c b a ．探索△ABC 的形状，并说明理由．

解：等边三角形． 例7 如图，CD 是△ABC 的AB 边上的高，且有DB AD CD ?=2．求证：△ABC 是直角三角形．

方法指导：先依题意画图，再利用勾股定理的逆定理来证． 解：在Rt △ACD 中，由勾股定理得：

DB AD AD AC CD ?=-=222．

∴AB AD AC ?=2

，同理，AB BD BC ?=2

，

222)(AB AB BD AD AB BD AB AD BC AC =?+=?+?=+．

由勾股定理逆定理知：△ABC 是直角三角形．

方法总结：证明直角三角形或两直线的垂直关系通常用勾股定理逆定理来解决．

举一反三 如图，已知在△ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，2

2BD AB -与

22DC AC -有怎样的关系？试证明你的结论．

解：相等（提示：可证明2

2

2

2

2

BC CD BD AC AB =-=-，再作移项变形．）

综合练习

（时间90分钟，满分120分） 一、填空题（3分×10=30分）

1．在△ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边． （1）c=25，b=24，那么a=_________． （2）a=30，b=16，那么c=_________．

2．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边．

（1）3,222==b a ，那么当c=___________时，∠B=90°． （2）15,62

2==c a ，那么当b=____________时，∠C=90°．

3．在△ABC 中，∠C=90°，AB=40，AC=24．则斜边AB 上的高是__________．

4．在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 满足2

))((b c a c a =-+，

那么△ABC 是以____________为斜边的直角三角形．

5．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出： （1）一个面积为2的直角三角形． （2）一个面积为2的正方形．

6．如图，△ABC 中，BC=12，AB=10，△ABC 的面积是48．那么BD=__________．

7．一个三角形的一个外角等于和它相邻的内角，如果此三角形的两条边长分别是5，2，那么以第三条边为半径的圆的面积是___________（保留π）．

8．边长为2的正三角形的面积为__________，边长为a 的正三角形面积为___________． 9．如果梯子的底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可以到达建筑物的高度是_________． 10．为得到湖两岸A 点和B 点间的距离，一个观测者在C 点设桩，使∠ABC 为直角（如图），并测得AC 长20m 、BC 长16m ，A ，B 两点间的距离是_________．

二、选择题（7分×3=21分） 11．有下列命题：

（1）如果a ，b ，c 为一组勾股数，那么4a ，4b ，4c 仍是勾股数； （2）如果直角三角形的两边长是3，4，那么斜边必是5；

（3）如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形； （4）一个等腰直角三角形的三边长为a ，b ，c （a>b>c ），那么1:1:2::2

2

2

=c b a ．其中正确的是（ ）

A ．（1）（2）

B ．（1）（3）

C ．（1）（4）

D ．（2）（4）

12．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AB=13，BD=5，则△ABC 的面积是（ ） A ．65 B ．120 C ．60 D ．36

13．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，如果△ABC 的面积是8，那么腰长是（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．16

14．如图，B 在A 的北偏西α方向的6m 处，C 在A 的北偏东β方向的8m 处，并且

?=β+α90，那么B 、C 两点相距（ ）

A ．6m

B ．8m

C ．10m

D ．12m

15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上的一点，且有DA=DB=5，又△DAB 的面积是10，那么DC 的长是（ ）

A ．4

B ．3

C ．5

D ．4．5

16．在△ABC 中，AB=AC ，如果AB=17，BC=16，则BC 边上的中线长是（ ） A ．8 B ．15 C ．10 D ．6

17．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°．以AC 为直径的圆恰好过点B ．AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（ ）

A ．24100-π

B ．48100-π

C ．2425-π

D ．4825-π

三、阅读理解题（5分）

18．阅读下列解题过程，并回答问题．

已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足4

4

2

22

2b a c b c a -=-，试判定△ABC 的形状．

解：∵4

42222b a c b c a -=-， ①

∴

))(()(2222222b a b a b a c -+=-． ② ∴2

22b a c +=， ③ ∴△ABC 是直角三角形．

（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出代号___________． （2）错误的原因为__________． （3）本题正确结论为____________．

四、解答题（64分） 19．（8分）下面同学对各题的解答是否正确？为什么？ （1）在Rt △ABC 中，∠B=90°，a=3，b=4，求c ；

（2）已知直角三角形两条直角边为40和9，求第三边的长；

（3）已知△ABC 中，AB=10，AC=17，BC 边上的高AD=8，求BC 的长． 解：（1）由勾股定理得：

222c b a =+，

∴

5,25432

22==+=c c ． （2）由勾股定理得：

222c b a =+，

∴16819402

2

2

=+=c ， ∴c=41，

答：第三边的长为41． （3）根据勾股定理：

6481022222=-=-=AD AB DB ，∴DB=8；

22581722222=-=-=AD AC DC ，∴DC=15．

故BC=15+8=24． 20．（8分）有一个三角形两边长分别为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边为多少？

21．（8分）给出一组式子：

222222222222261024,17815,1068,543=+=+=+=+．

（1）你能发现关于上式中的一些规律吗？

（2）请你运用所发现的规律，给出第5个式子． （3）请你证明你所发现的规律． 22．（8分）在△ABC 中，已知a=15，b=17，c=8，求△ABC 的面积． 23．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，DE ⊥BC ，E 为垂足，已知AC=6，AB=10．

求（1）CD 的长；（2）DE 的长．

24．（8分）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AE 为BC 边上的中线，已知AB=5，BC=12，△ABC 的面积是24．

求（1）AD 的长；

（2）判断△ABE 的形状，并说明理由．

25．（8分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高．试说明

22222AB CD BD AD =++．

26．（8分）如图，在△ABC 中，AM 是BC 边的中线，AE 为BC 边上的高．试判断2

2AC

AB +与2

2BM AM +的关系，并说明理由．

参考答案

1．（1）7 （2）34 2．（1）1 （2）3 3．19．2 4．a 5．略 6．6 先由面积公式

4821

=?=

?AD BC S ABC ，求出AD=8． 7．π21或π29 先说明此三角形为直角三角形，但因为谁是斜边没有确定，故有两种情况．

8．

243;

3a 9．12cm 10．12cm 11．C 12．C 13．A 821

=??=?BC AC S ABC ，

则

4,162

2====BC AC BC AC ． 14．C ?=β+α90，得∠BAC=90°，由勾股定理可求得BC=10． 15．B ∵△ADB 的AD 边上的高为BC ，∴BC

AD S ADB ?=?21

．即

BC ??=521

10，∴BC=4．在Rt △BCD 中求得CD=3． 16．B 17．C 18．（1）③ （2）2

2b

a -可能为0． （3）△ABC 为直角三角形或等腰三角形 19．几个题的解法均有问题．（1）错误的原因是没有弄清哪个角是直角，盲目地运用勾股定理，当∠B=90°，应该有

222b c a =+． （2）没有确定所求得的边是直角边，还是斜边．（3）考虑不完整，忽视

了高

AD

在△ABC

外部的情况． 20．3

或

41 21．（1）

22222]1)1[()]1(2[]1)1[(++=++-+n n n （2）222371235=+ （3）按完全平方公

式展形，进行证明即可． 22．∵2

2

2

17815=+，∴2

2

2

c a b +=，∴△ABC 为直角三角形，∴

608121

=??=

?ABC S ． 23．（1）4．8．先求出BC=8．则由面积公式可求出CD ． （2）

3．84 在△ACD 中求得AD=3．6，所以BD=6．4，在△BCD 中运用面积公式求DE ，即

DB CD BC DE ??=??2121．则484

.68.4=?=DE ． 24．（1）4 由面积公式

2421=??AD BC ，得4

122124

=?=AD ． （2）等腰三角形．在Rt △ABD 中，AB=5，AD=4，

则BD=3，因为E 为BC 的中点，∴BE=6，DE=3，AE=5=AB ．△ABE 为等腰三角形．

25．左边

2222222222)()(BC AC CD BD CD AD CD CD BD AD +=+++=+++==

=2AB 右边

26

．

)

(22222BM AM AC AB +=+．

222222222)()(2MC EM EM BM AE EC AE BE AE AC AB ++-+=+++=+

22222222MC MC EM EM EM EM BM BM AE +?+++?-+=． ∵MC BM =， ∴2

222222222222)(2222BM AM BM EM AE BM EM AE AC AB +=++=++=+