经济数学课件
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第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
6.4.2 定积分的分部积分法
设函数u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上有连续导数,则有 (uv)'=u'v+uv',即uv'=(uv)'-u'v,等式两端在[a,b]上的定积分为 ，即:
➢ 这就是定积分的分部积分公式.
06 P A R T
6.5
广义积分
前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理
CHAPTER
06
第6章 定 积分
PART
06
6.1
定积分的概念
6. 1. 2 定积分的定义
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-
1,xi](i=1,2,…,n),其长度为Δxi=xi-xi-1,在每个小区间[xi-1,xi]上
一个有效数为6位数的近似值.
• 注意:对于分段函数不能求其积分的精确值,但可求近似值,即再
用“N”命令.
由定理可知,在运用换元法计算定积分时应注意以下两点:
用变量代换x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t 时,积分限一定要换成相应于新变量t的积分限;
求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数F[φ(t)]后,不需要 再把t变换成原来变量x的函数,而只需把新变量t 的上、下限分别代入F[φ(t)]中,然后求出增量即 可.
பைடு நூலகம்
的值与
被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关,而与积分变量用什么字母表
示无关,即:
➢ (2)定义中假定a<b,如果b<a,我们规定
,特
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向量与线性变换
总结词
向量是具有大小和方向的量，线性变换是向量空间中的一种变换。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示经济变量，如需求量、供给量等。线性变 换是向量空间中的一种变换，它可以用来描述经济变量之间的线性关系，如价格和需求
量之间的比例关系。在经济问题中，线性变换可以用来描述经济增长、消费变化等。
06 案例分析
经济增长模型的数学分析
总结词
经济增长模型是研究一个国家或地区 在一定时期内经济增长的规律和影响 因素的数学模型。
公式和定理
经济增长模型通常使用微分方程、差 分方程等数学工具来描述经济增长的 过程，并运用数学定理和公式来求解 。
详细描述
经济增长模型通过建立数学方程来描 述一个国家或地区经济增长的过程， 并分析影响经济增长的各种因素，如 劳动力、资本、技术等。
详细描述
市场供需模型通常包括供给曲线和需求曲线，通过分析这些曲线的形 状和交点来研究市场均衡和价格形成机制。
公式和定理
市场供需模型通常使用线性方程、不等式等数学工具来描述供给和需 求的关系，并运用数学定理和公式来求解市场均衡点。
应用实例
市场供需模型可以用于分析商品或服务的价格波动、预测市场趋势以 及制定价格策略等。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。在经 济问题中，特征值和特征向量可以用来描述 经济系统的动态性质，如经济增长的稳定性 、市场波动的幅度等。通过分析特征值和特 征向量的性质，可以对经济系统的未来发展
不定积分与定积分
《经济数学基础》课件第6章
《经济数学基础》课件第6章《经济数学基础》课件第6章：微积分在经济分析中的应用一、引言微积分是现代数学的基础，它在经济学中有着广泛的应用。
本章将介绍微积分在经济分析中的基本原理和具体应用，包括导数、微分、积分等概念，以及它们在边际分析、最优化问题、消费者行为、生产者行为等方面的应用。
二、导数在经济分析中的应用1. 导数的概念导数是函数在某一点上的切线斜率，它反映了函数在某一点上的变化率。
在经济分析中，导数可以用来表示边际成本、边际收益、边际效用等边际概念。
2. 边际分析（1）边际成本边际成本（MC）是指生产一个额外单位产品所需的成本。
根据导数的定义，边际成本可以表示为产量对成本的导数。
即：MC = dC/dQ其中，C表示总成本，Q表示产量。
（2）边际收益边际收益（MR）是指销售一个额外单位产品所带来的收入。
同样地，边际收益可以表示为销售量对收入的导数。
即：MR = dR/dQ其中，R表示总收入，Q表示销售量。
（3）边际效用边际效用（MU）是指消费者消费一个额外单位商品所带来的效用。
边际效用可以表示为消费量对效用的导数。
即：MU = dU/dQ其中，U表示效用，Q表示消费量。
3. 边际分析在经济决策中的应用边际分析在经济学中具有重要作用，它可以指导企业进行生产、定价和投资等决策。
以下是一些具体应用：（1）生产决策企业在生产过程中，需要根据边际成本和边际收益来确定最优生产规模。
当边际成本等于边际收益时，企业可以实现最大利润。
（2）定价决策企业在定价时，需要考虑边际成本和边际收益。
一般来说，当边际成本小于边际收益时，企业可以提高价格；当边际成本大于边际收益时，企业需要降低价格。
（3）投资决策企业在进行投资时，需要评估投资项目的边际效益。
当投资项目的边际效益大于边际成本时，企业可以投资该项目。
三、微分在经济分析中的应用1. 微分的概念微分是导数的一种表达形式，它表示函数在某一点上的微小变化。
在经济分析中，微分可以用来表示边际变化。
《经济数学基础》课件第1章
表 1-1
存期 年利率%
三个月 2.60
六个月 2.80
一年 3.0
二年 3.75
三年 4.25
五年 4.75
4. 某城市电话局规定的市话收费标准如下：当月所打电话 次数不超过30次时，只收月租费10元，超过30次时，每次加 收0.20元， 则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可表 示如下：
10,
x 30,
y 10 0.20(x 30), x 30.
像这种在自变量的不同取值范围内，函数关系用不同的 式子来表示的函数，通常称为分段函数.分段函数是微积分中 常见的一种函数.例如，符号函数(如图1-4所示)可以表示成
1, x 0
sgn
x
0,
x0
1, x 0
注 (1) 分段函数是用几个不同解析式表示一个函数，而
(2) 图像法: 把函数关系用平面上的点集反映出来，一般 情况下，它是一条平面曲线.如图1-3所示的是气象站的自动 温度记录仪所记录的某地当天的气温变化曲线，该曲线将气 温T与时间x的函数关系清晰直观地表示出来，如x=12时， T=10℃.
图 1-3
(3) 表格法: 把变量间的函数关系通过表格形式反映出来. 如表1-1给出了2014年3月开始执行的中国银行的人民币定期 储蓄存期与年利率的函数关系.
复杂. 例如，企业的产品收入R是产量Q的函数，而产量Q又 是时间t的函数，于是时间t通过产量Q间接影响收入R，则收 入R构成时间t的函数，这种函数就是复合函数.
定义1.11 设函数y=f(u)、u=φ(x)，如果u=φ(x)的值域或 其部分包含在y=f(u)的定义域中，则y通过中间变量u构成x的 函数，称为x的复合函数，记作
例2 设f(x+1)=x2－3x，求f(x).
第五章 不定积分 《经济数学》PPT课件
【例 5-6】求不定积分 3x e xdx
解： 3x exdx (3e)x dx
(3e) x
C
ln(3e)
3x ex
C
1 ln 3
【例 5-7】求不定积分 x 4 dx
1 x2
解： x4 dx x4 1 1 dx
1 x2
1 x2
(x2 1)( x2 1) 1dx
1 x2
解：
sin 2
x 2
dx 1 2
1
cosx dx 2
dx cos
xdx
1 (x sin x) C
2
【例 5-10】求不定积分 cos2x dx sin x cosx
解： cos2x dx cos2 x sin 2 x dx
sin x cosx
sin x cos x
cos(ex )d(ex ) sin(ex ) C
注： cos(3x)dx sin(3x) C
现在我们计算 cos(3x)dx
cos(3x)dx
cos3x
1 3
1 sin u C
d (3x) 3x u
1 sin 3x
1 3
cos
C
u
du
3
3
此法就是第一类换元积分法．
定理 设 f (u)du F(u) C ， u (x) ，且u (x) 有连续导函数，则 f (x)(x)dx F(x) C ．
其中， 1 (x) 是 x (t) 的反函数．
这种方法称为第二类换元法．
注（1）第二类换元法即是：
f (x)dx 令 x (t) f (t) (t)dt
(t) C
[ 1 (x)] C
（2）选择合适的函数 x (t) 是第二类换元法
《经济数学基础》课件第3章
f(x2)－f(x1)=0 即
f(x2)=f(x1) 由于x1、x2是(a，b)内的任意两点，故证得在(a，b)内f(x)是常 函数.
推论2 如果函数f(x)和g(x)在区间(a，b)内的导数处处相 等，即f′(x)=g′(x)，则f(x)和g(x)在区间(a，b)内只相差一个常 数，即
f(x)=g(x)+C 例2 求证：在(－∞，+∞)内，arctanx+arccotx=(π/2)恒 成立. 证明 令f(x)=arctanx+arccotx，则有
而
f ( ) 1 1
1 1
已知x>0，所以ξ>0,ξ/(1+ξ)>0，从而f′(ξ)>0，且f(0)=0，于是
f(x)>0 即
x>ln(1+x)
3.1.3 定理3.3(柯西(Cauchy)定理) 如果函数f(x)与g(x)都在闭区 间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且g′(x)≠0，则在开 区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得
(2) 如果函数f(x)在区间(a，b)内的个别点的导数等于零， 在其余点的导数同号，则不影响函数在该区间内的单调性. 如： y=x3，在x=0处的导数等于零，而在其余点的导数都大于零， 故它在(－∞，+∞)内单调递增.
(3) 有的函数在整个定义域上并不具有单调性，但在其各 个子区间上却具有单调性. 如：y=x2+1，在区间(－∞，0)内单 调递减，在区间(0，+∞)内单调递增，并且分界点 x=0 处有 f′(0)=0(通常把导数为零的点称为驻点).
注 (1) 极值是一个局部概念，是相对于极值点附近的某 一邻域而言的; 最值是一个整体概念，是针对整个区间而言 的.
f(x2)=f(x1) 由于x1、x2是(a，b)内的任意两点，故证得在(a，b)内f(x)是常 函数.
推论2 如果函数f(x)和g(x)在区间(a，b)内的导数处处相 等，即f′(x)=g′(x)，则f(x)和g(x)在区间(a，b)内只相差一个常 数，即
f(x)=g(x)+C 例2 求证：在(－∞，+∞)内，arctanx+arccotx=(π/2)恒 成立. 证明 令f(x)=arctanx+arccotx，则有
而
f ( ) 1 1
1 1
已知x>0，所以ξ>0,ξ/(1+ξ)>0，从而f′(ξ)>0，且f(0)=0，于是
f(x)>0 即
x>ln(1+x)
3.1.3 定理3.3(柯西(Cauchy)定理) 如果函数f(x)与g(x)都在闭区 间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且g′(x)≠0，则在开 区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得
(2) 如果函数f(x)在区间(a，b)内的个别点的导数等于零， 在其余点的导数同号，则不影响函数在该区间内的单调性. 如： y=x3，在x=0处的导数等于零，而在其余点的导数都大于零， 故它在(－∞，+∞)内单调递增.
(3) 有的函数在整个定义域上并不具有单调性，但在其各 个子区间上却具有单调性. 如：y=x2+1，在区间(－∞，0)内单 调递减，在区间(0，+∞)内单调递增，并且分界点 x=0 处有 f′(0)=0(通常把导数为零的点称为驻点).
注 (1) 极值是一个局部概念，是相对于极值点附近的某 一邻域而言的; 最值是一个整体概念，是针对整个区间而言 的.
经济数学课件完整版
0.2.6
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
《经济数学基础》课件第6章
下面举例说明这两种方法在解题中的使用.
1201
例2 计算四阶行列式 1 3 5 0 .
0156 1234
解 利用行列式的性质，将四阶行列式化为上三角行列式，
再求值.
例3 计算四阶行列式:
解 利用行列式的性质，将此四阶行列式化为上三角行列 式，再求值.
例4 计算五阶行列式:
5 3 1 2 0 1 7 2 52 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
0 a43 0
a12a24
(1)13
a31 0
0 a43
a12a24a31a43
6.2
6.2.1 由前面的学习，大家发现按照行列式的定义，可以计算
一些特殊的行列式，但对阶数较高的行列式，其计算量很大， 为简化行列式的计算，下面先介绍行列式的性质.
定义6.5 如果把n阶行列式
a11 a12
a1n
a11 0 0 a22
00
0 0
a11a22 ann
ann
a11 0 a21 a22
an1 an2
0 0
a11a22 ann
ann
5 7 1 2
例5 写出四阶行列式
0 2
3 1
5 2
6 4
的元素a23的余子式和
代数余子式.
10 7 11 15
解 元素a23的余子式为删除第二行和第三列后，剩下的 元素按原来顺序组成的三阶行列式，而元素a23的代数余子式 为其余子式前面加一个符号因子，所以有
列式的值为零.
例如， 三阶行列式
a1 a2 a3 b1 b2 b3 a1b2a3 a2b3a1 a3b1a2 a1b3a2 a2b1a3 a3b2a1 0 a1 a2 a3
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1、供给函数Q Q D
Q Q( p)
2、需求函数 D 3、成本函数C
D D( p) p
p0 平衡价格
C C0 C( p)
4、收益（收入）函数（GDP)R R pD
5、利润函数L R C
常见的经济概念： 1）边际 2）弹性 如：有一个工厂生产某种原件， 每10个一组加工成商品，在生产 第100个商品时，成本500元，问： 在生产第101个商品时，成本将 增加多少？
f (b) M
f (a) f (x0 )m
a x0
b
怎么求最值？
1、求全部的驻点的函数值、端点值；
2、比较大小。
如何求：定义在开区间内的函数的 最大值与最小值？ 极大值=最大值
无极值
a
b
极小值=最小值
a
b
有极值，无最值
有极值，有最值
a
ba
b
例4 求函数y x3 3x2 9x 5在区间(0,4)
ED Ep
p0
D( p0 ) D0
当价格增加原来的1%时， 需求量将增加原来的几%？
切线
1、导数公式的由来f ( f (x0 )
x0
x)f
割线
(x)
x0
x x0 x
x
斜率：直线倾角的正切。 k tan
k y2 y1 x2 x1
k割
f (x0 x) x
f (x0 )
k切
lim
x0
f
( x0
x
y f (x)单调减少~倾角为钝角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
例1 判断函数y ln x在定义域内的单调性。 分析： y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
函数y ln x的定义域：x 0 y (ln x) 1 0 x y ln x单调增加
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f
(
x0
)
f (x0 )
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 )
二、导数的基本公式
x) x
f
(x0 )
即时速度
S(t0 ) S(t0 t)
O
t0 t t0 +t
v S(t0 t) S(t0 ) t
v(t0
)
lim
t 0
S
(t0
t) t
S (t0
)
k切
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
I lim Q t0 t
Q
t0 +t t0 沉淀方法，得到一种运算：
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
f (x0 )
在x0的基础上，再多生产一个单位产品 y f (x)将增加多少？
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
y f (x0 )
2）弹性 p p0
D
D0 p p0
D
D0
ED 叫做：弹性。 Ep
D
ED Ep
D0 p
D p0 D0 p
p0 ( D ) D0 p
p0
p0 D( p) D0
解： y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3)
令：y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 0
驻点：x1 1, x2 3
1
3
当：x 当：1 当：x
1时，y 0; x 3时，y 3时，y 0;
0;
f
(1)
10为极大值。
f
(3)
22为极小值。
（3）如何求最值？ 什么是最值？
导数的应用
1、函数单调性的导数判别 2、函数的极值与最值 3、导数的经济应用 4、边际与弹性
1、函数单调性的导数判别
1)什么是函数的单调性？
k切 =tan
y2 x2
y1 x1
f (x)
x
y f (x)单调增加~倾角为锐角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
2)如何求函数的极值？
（1）极值的定义 f (x1) f (x)
f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
极大值一定比极小值大吗？
极大值与极小值是相对而言的，是局部的。
（2）如何求极值？
函数的极值具有什么特征？
f (x1) f (x) f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
叫：驻点。
如果f (x0 )是极值，有结论：f (x0) 0
内的最值。
解： y 3x2 6x 9
3(x2 2x 3)
3
3(x 1)(x 3) 令：y 0 x1 （1 舍）, x2 3 f (3)
在（0, 4）内只有一个驻点，x2 3
1
x 3时，y 0; x 3时，y 0;
f
(3)为最小值。
3)经济问题的应用
常见的经济函数：
例2 求函数y x3 3x2 9x 5的单调区间
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
分析：定义域：x (, ) y 3(x 1)(x 3)
若y 0,有：(x 1)(x 3) 0，x 1或x (, 1) (3, )为单调增加区间 若y 0,有：(x 1)(x 3) 0 1 x 3 （1，3)为单调减少区间
有一工厂生产某种商品，成本函数为 C 1000 2x2 4x
求在生产100个商品的基础上，再多生产 一个单位商品，成本将增加多少？
C101 C(101) C(100) C(101) C(100) 101100
(2 201 4) 402 4 398 1
y f (x) 在x0的基础上，在多算x个产品，
1、(c) =0 2、(x) 1 3、(x2 ) 2x 4、(x3) 3x2
5、
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
如果x0点是驻点，f (x0 )可能是极致；
如果x0点不是驻点，f (x0 )不可能是极值。
f (x0 )极大
y 0
y 0
x
1）f (x0 ) 0 2）x x0时，f (x) 0
x0
x x0时，f (x) 0
f (x0 )极小 3) f (x0 )极大值。
y 0
y 0
x
x0
例3 求函数y x3 3x2 9x 5的极值。
Q Q( p)
2、需求函数 D 3、成本函数C
D D( p) p
p0 平衡价格
C C0 C( p)
4、收益（收入）函数（GDP)R R pD
5、利润函数L R C
常见的经济概念： 1）边际 2）弹性 如：有一个工厂生产某种原件， 每10个一组加工成商品，在生产 第100个商品时，成本500元，问： 在生产第101个商品时，成本将 增加多少？
f (b) M
f (a) f (x0 )m
a x0
b
怎么求最值？
1、求全部的驻点的函数值、端点值；
2、比较大小。
如何求：定义在开区间内的函数的 最大值与最小值？ 极大值=最大值
无极值
a
b
极小值=最小值
a
b
有极值，无最值
有极值，有最值
a
ba
b
例4 求函数y x3 3x2 9x 5在区间(0,4)
ED Ep
p0
D( p0 ) D0
当价格增加原来的1%时， 需求量将增加原来的几%？
切线
1、导数公式的由来f ( f (x0 )
x0
x)f
割线
(x)
x0
x x0 x
x
斜率：直线倾角的正切。 k tan
k y2 y1 x2 x1
k割
f (x0 x) x
f (x0 )
k切
lim
x0
f
( x0
x
y f (x)单调减少~倾角为钝角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
例1 判断函数y ln x在定义域内的单调性。 分析： y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
函数y ln x的定义域：x 0 y (ln x) 1 0 x y ln x单调增加
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f
(
x0
)
f (x0 )
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0 )
二、导数的基本公式
x) x
f
(x0 )
即时速度
S(t0 ) S(t0 t)
O
t0 t t0 +t
v S(t0 t) S(t0 ) t
v(t0
)
lim
t 0
S
(t0
t) t
S (t0
)
k切
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
I lim Q t0 t
Q
t0 +t t0 沉淀方法，得到一种运算：
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
f (x0 )
在x0的基础上，再多生产一个单位产品 y f (x)将增加多少？
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
y f (x0 )
2）弹性 p p0
D
D0 p p0
D
D0
ED 叫做：弹性。 Ep
D
ED Ep
D0 p
D p0 D0 p
p0 ( D ) D0 p
p0
p0 D( p) D0
解： y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3)
令：y 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3) 0
驻点：x1 1, x2 3
1
3
当：x 当：1 当：x
1时，y 0; x 3时，y 3时，y 0;
0;
f
(1)
10为极大值。
f
(3)
22为极小值。
（3）如何求最值？ 什么是最值？
导数的应用
1、函数单调性的导数判别 2、函数的极值与最值 3、导数的经济应用 4、边际与弹性
1、函数单调性的导数判别
1)什么是函数的单调性？
k切 =tan
y2 x2
y1 x1
f (x)
x
y f (x)单调增加~倾角为锐角~ tan 0
~ k切 0 ~ f (x) 0
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
2)如何求函数的极值？
（1）极值的定义 f (x1) f (x)
f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
极大值一定比极小值大吗？
极大值与极小值是相对而言的，是局部的。
（2）如何求极值？
函数的极值具有什么特征？
f (x1) f (x) f (x0 ) f (x)
x
x0
x1
叫：驻点。
如果f (x0 )是极值，有结论：f (x0) 0
内的最值。
解： y 3x2 6x 9
3(x2 2x 3)
3
3(x 1)(x 3) 令：y 0 x1 （1 舍）, x2 3 f (3)
在（0, 4）内只有一个驻点，x2 3
1
x 3时，y 0; x 3时，y 0;
f
(3)为最小值。
3)经济问题的应用
常见的经济函数：
例2 求函数y x3 3x2 9x 5的单调区间
y f (x)单调增加~f (x) 0 y f (x)单调减少~f (x) 0
分析：定义域：x (, ) y 3(x 1)(x 3)
若y 0,有：(x 1)(x 3) 0，x 1或x (, 1) (3, )为单调增加区间 若y 0,有：(x 1)(x 3) 0 1 x 3 （1，3)为单调减少区间
有一工厂生产某种商品，成本函数为 C 1000 2x2 4x
求在生产100个商品的基础上，再多生产 一个单位商品，成本将增加多少？
C101 C(101) C(100) C(101) C(100) 101100
(2 201 4) 402 4 398 1
y f (x) 在x0的基础上，在多算x个产品，
1、(c) =0 2、(x) 1 3、(x2 ) 2x 4、(x3) 3x2
5、
1、求增量： f (x0 x) f (x0 )
2、算比值：
f (x0 x) f (x0 )
x
3、取极限：lim x0
f (x0
x) x
如果x0点是驻点，f (x0 )可能是极致；
如果x0点不是驻点，f (x0 )不可能是极值。
f (x0 )极大
y 0
y 0
x
1）f (x0 ) 0 2）x x0时，f (x) 0
x0
x x0时，f (x) 0
f (x0 )极小 3) f (x0 )极大值。
y 0
y 0
x
x0
例3 求函数y x3 3x2 9x 5的极值。