高数(经济数学微积分)第六章习题1PPT课件
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大一高数课件第六章
洛必达法则
当一个函数的导数在某点的极限存在 时，该函数在该点的极限也存在，并 且等于导数在该点的极限。
等价无穷小代换法
在求复杂函数的极限时，可以使用等 价无穷小代换简化函数表达式，从而 更容易地计算极限。
03
知识点二：导数的概念与性质
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具，是微积分中的基本概 念之一。
导数的计算方法
总结词
求函数的导数有多种方法，包括基本初 等函数的导数公式、链式法则、乘积法 则、商的导数公式等。
VS
详细描述
基本初等函数的导数公式是求导的基础， 包括指数函数、对数函数、幂函数、三角 函数和反三角函数的导数公式。链式法则 用于计算复合函数的导数，公式为 (uv)' = u'v + uv'。乘积法则用于计算两个函 数的乘积的导数，公式为 (uv)' = u'v + uv'。商的导数公式用于计算两个函数的 商的导数，公式为 (u/v)' = (u'v - uv') / v^2。此外，还有幂函数的导数公式、参 数方程表示的函数的导数、隐函数的导数 等计算方法。
02
有界性
如果数列或函数的极限存在，那 么这个数列或函数必定是有界的
。
04
局部有界性
如果函数在某点的极限存在，那 么在该点附近，函数必定有界。
极限的计算方法
直接代入法
对于简单的数列或函数，可以直接代 入自变量趋近的值来计算极限。
分解法
将复杂的数列或函数分解为若干个简 单的数列或函数，然后分别计算极限。
04
知识点三：微积分基本定理
微积分基本定理的表述
同济第六版高数上册第六章课件
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
xdx x l x
3 2
棒对质点的引力的铅直分力为
F y 2 k m a
l 2
dx
y M dF a x
d Fa y
(a x ) l x 2 k m a 2 2 2 a a x
2
0
3 2 2
dF
l 2
2k m l 1 a 4a 2 l 2
解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
y M dF a x
d Fy
[ x , x d x ]对质点的引力大小为 m d x dF k 2 a x2
故铅直分力元素为
l 2
dF
2 d Fy dF cos a m dx dx k 2 2 k m a 2 2 2 a x a x (a x 2 )
dW F ( x )dx
W dW F ( x )dx
a a
1
F(x)
O
b
b
a
x x+dx b
x
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
证明存在唯一一点 (a , b), 使S1 3 S 2
t
18
例64 求由r cos 及r 1 cos 所围图形的公共 思考 部分的面积 .
19
0
O
xdx x l x
2
利用对称性
故棒对质点的引力大小为 F 2k m l a
O
xdx x l x
3 2
棒对质点的引力的铅直分力为
F y 2 k m a
l 2
dx
y M dF a x
d Fa y
(a x ) l x 2 k m a 2 2 2 a a x
2
0
3 2 2
dF
l 2
2k m l 1 a 4a 2 l 2
解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
y M dF a x
d Fy
[ x , x d x ]对质点的引力大小为 m d x dF k 2 a x2
故铅直分力元素为
l 2
dF
2 d Fy dF cos a m dx dx k 2 2 k m a 2 2 2 a x a x (a x 2 )
dW F ( x )dx
W dW F ( x )dx
a a
1
F(x)
O
b
b
a
x x+dx b
x
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
证明存在唯一一点 (a , b), 使S1 3 S 2
t
18
例64 求由r cos 及r 1 cos 所围图形的公共 思考 部分的面积 .
19
0
O
xdx x l x
2
利用对称性
故棒对质点的引力大小为 F 2k m l a
高等数学上册第六章课件.ppt
(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
《高等数学》 课件 高等数学第六章
x 1
y
Ce P(x)d x
Ce
2d x 1
x
C(x
1)2．
设所给微分方程的通解为y C(x) (x 1)2，则y C (x) (x 1)2 2C(x) (x 1， )
把y和y代入原方程得C (x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 (x 1)3， x 1
y
e
P(x)d
x
Q(x)
e
P(x)d
x
d
x
Ce
P(x)d x
（6 17）
上式中右端第二项恰好是方程式（6 11）所对应的齐次方程式（6 12）的通解，
而第一项可看做是通解公式（6 17）中令C 0得到的一个特解．
2 一阶微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 22 页
因此可知，一阶线性非齐次微分方程（6 11）的通解等 于它的一个特解与对应的齐次微分方程（6 12）的通解之和， 即解y y Y，其中y是方程式（6 11）的一个特解，Y 是方 程式（6 12）的通解．
1 微分方程的基本概念
高等数学 第六章
第 11 页
第二节：一阶微分方程
• 可别离变量的微分方程 • 一阶线性微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 12 页
一、可分离变量的微分方程
定义1 形如
d y f (x) g( y)（? 或y f (x) g( y)） dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
y C e P(x)d x C e 3x2 d x C e ， x3
即为所求方程的通解．
注：以后为了运算方便起见，可把 ln | y | 写成 ln y．
2 一阶微分方程
y
Ce P(x)d x
Ce
2d x 1
x
C(x
1)2．
设所给微分方程的通解为y C(x) (x 1)2，则y C (x) (x 1)2 2C(x) (x 1， )
把y和y代入原方程得C (x)(x 1)2 2C(x)(x 1) 2 C(x)(x 1)2 (x 1)3， x 1
y
e
P(x)d
x
Q(x)
e
P(x)d
x
d
x
Ce
P(x)d x
（6 17）
上式中右端第二项恰好是方程式（6 11）所对应的齐次方程式（6 12）的通解，
而第一项可看做是通解公式（6 17）中令C 0得到的一个特解．
2 一阶微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 22 页
因此可知，一阶线性非齐次微分方程（6 11）的通解等 于它的一个特解与对应的齐次微分方程（6 12）的通解之和， 即解y y Y，其中y是方程式（6 11）的一个特解，Y 是方 程式（6 12）的通解．
1 微分方程的基本概念
高等数学 第六章
第 11 页
第二节：一阶微分方程
• 可别离变量的微分方程 • 一阶线性微分方程
高等数学 第六章. 第二节
第 12 页
一、可分离变量的微分方程
定义1 形如
d y f (x) g( y)（? 或y f (x) g( y)） dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
y C e P(x)d x C e 3x2 d x C e ， x3
即为所求方程的通解．
注：以后为了运算方便起见，可把 ln | y | 写成 ln y．
2 一阶微分方程
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
高数(一)微积分第6章
第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
微积分课件第六章
dx
0
0
d b 5. a f ( x )dx 0 dx
10
2、定理（微积分基本公式）
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间 [a , b]上 的一个原函数，则 注意
b
a
f ( x )dx F ( x ) a F (b) F (a ) .
b
当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立.
21
Hale Waihona Puke （2）以y轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转
V [ ( y )] dy
d 2 c
y
c
x ( y)
x dy
d 2 c
d
o
x
（3）以x轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转
V y 2 xf ( x ) dx
b a
22
四、广义积分
1、无穷区间上的广义积分
a
f ( x )dx lim a f ( x )dx
性质2 性质3
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
c b
b
b
(k 为常数).
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
f ( x )dx .
说明：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立. （定积分对于积分区间具有可加性）
6
性质4
性质5
1dx b a .
解： 原式 l i m
x 0
cos x
1
e
2
dt
x
lim
x 0
[e
(cos x ) 2
大学数学高数微积分第六章线性空间第一节课堂讲义 ppt课件
14
例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，
定义
1 (A) = | A | ，A M .
这是 M 到 P 的一个映射.
例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，
定义
2 (a) = aE ，a P .
E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射.
2020/10/28
15
第 一 节 集合 • 映射
主要内容
集合 映射
2020/10/28
1
一、集合
1. 集合的定义
集合
集合是数学中最基本的概念之一，
它不能用更简单的概念来定义，而只能对它作些解
释. 所谓集合是指由一些确定的对象(或事物)汇集 成的整体，其中每个对象叫集合的元素.
通常用大写字母 A，B，X，Y 等表示集合，用
M = { d(x) | d(x) | f (x) , d(x) | g (x) } .
3. 空集合 不包含任何元素的集合称为空集合,记为 .
例如， 一个无解的线性方程组的解集合是空集合.
把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不
很一致，但是在数学上有好处，同时也不是完全没
有道理的，正如把 0 也看作是数一样.
描述法: 即用集合中全部元素所具有的特征
性质来表述集合.
其格式是
M = { a | a 具有的性质 } .
例如，适合方程 集合 M 可写成
1 x2
y2
a2 b2
的全部点的
M(x,y)|
x2 a2
y2 b2
1.
2020/10/28
5
又例如，两个多项式 f (x) , g (x) 的公因式的集合可 写成
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性质3 假 设 d x cf(x)dx
经济数学
性质4
b
b
a1d x ad x ba
性质5 如 果 在 区 间 [ a ,b ] 上 f ( x ) 0 ，
则 a bf(x )d x 0 (ab )
推论：（1） 如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
x
(x)a
f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导数
是 (x)ddxax f(t)dt f(x) (axb)
定理2（原函数存在定理）如果f(x) 在 [a,b] 上
连续，则积分上限的函数(x)ax f(t)dt就是
f(x)在[a,b]上的一个原函数.
经济数学
定理 3（微积分基本公式） 如 果 F(x)是 连 续 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 的 一 个 原 函 数 ， 则
记为
b
n
af(x )d x I l i0i m 1f(i) x i.
经济数学
3、存在定理 可积的两个充分条件：
定理1 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 时 ，
称 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 .
定理2 设 函 数 f(x ) 在 区 间 [ a ,b ]上 有 界 ，
i1
记maxx{1,x2,,xn}，如 果 不 论 对 [a,b ]
怎样的分法， 也 不 论 在 小 区 间 [ x i 1 ,x i] 上 点 i怎 样
的取法，只 要 当 0 时 ， 和 S总 趋 于 确 定 的 极 限 I，
我 们 称 这 个 极 限 I 为 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 ，
则 a b f ( x ) d x a b g ( x ) dx ( a b )
（2） a bf(x)d xa bf(x)dx(ab)
经济数学
性质6 设 M 及 m 分 别 是 函 数 f(x )在 区 间 [a ,b ]
上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
则 m (b a ) a b f(x ) d x M (b a ).
b
af(x)dxF(b)F(a)
也可写成 abf(x)dx [F(x)b a].
牛顿—莱布尼茨公式
表明 :一个连续函[a数 ,b]上 在的 区定 间积分 它的任一原函 [a,b]数 上在 的区 增 . 间 量
经济数学
6、定积分的计算法
（1）换元法
abf(x)dx f[(t)](t)dt
换元公式
（2）分部积分法
a a
b 0
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在
时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
经济数学
(2)无界函数的广义积分
b
b
a
f
(x)dxlim 0 a
f(x)dx
b
b
a f( x ) d l x 0 ia m f( x ) dx
b
c
b
a f ( x ) d a x f ( x ) d c x f ( x ) dx
第六章 定积分及其应用 习 题 课（一）
主要内容 典型例题
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一、主要内容
问题1:
曲边梯形的面积
经济数学
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理 定积分
广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
af(x)d xF (b)F (a)
计 算 法
定 积 分 的
经济数学
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
l i0a c m f(x )d x l i0c b m f(x )dx
当 极 限 存 在 时 ， 称 广 义 积 分 收 敛 ； 当 极 限 不 存 在
时 ， 称 广 义 积 分 发 散 .
经济数学
二、典型例题
1、利用定积分求极限
例1 求 lim1 1 1 .
且 只 有 有 限 个 间 断 点 ， 则 f(x )在 区 间 [a ,b ]上 可 积 .
经济数学
4、定积分的性质
性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx k a f ( x)dx
( k 为常数)
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线yf(x )(f(x )0 )、
x轴 与 两 条 直 线 xa、 x b 所 围 成 .
n
Alim 0i1
f(i)xi
经济数学
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是时 间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0，
性质7 (定积分中值定理)
如 果 函 数 f(x )在 闭 区 间 [a ,b ]上 连 续 ，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使 a b f(x ) d x f()b ( a ) (a b )
积分中值公式
经济数学
5、牛顿—莱布尼茨公式
定理1 如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数
[ x 0 ,x 1 ][ x , 1 ,x 2 ] , [ x n 1 ,x n ],
各 小 区 间 的 长 度 依 次 为 x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ，
在 各 小 区 间 上 任 取 一 点 i （ i x i） ，
经济数学
n
作 乘 积 f ( i ) x i ( i 1 , 2 , ) 并 作 和 Sf(i)xi，
求物体在这段时间内所经过的路程 s.
n
slim 0i1v(i)ti
方法: 分割、近似、求和、取极限.
经济数学
2、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a,b]中 任 意
插入若干个分点
a x x x x x b
012
n 1 n
把 区 间 [ a , b ] 分 成 n 个 小 区 间 ，
abudv[u]vb aabvdu
分部积分公式
经济数学
７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
f(x)dxlimbf(x)dx
a
ba
b f(x)dxlimbf(x)dx
aa
f x d x 0 fx d x 0 f x dx
0
b
lim f(x)dx lim f (x)dx