2013年高考——数学(江苏卷)word解析版

Y

N 输出n 开始

1a 2

n ←←，1

n n ←+32

a a ←+20

a <结束 （第5题）

2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）

数学Ⅰ 注意事项

绝密★启用前

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.函数)4

2sin(3π

-=x y 的最小正周期为 ▲ .

解析：2=

=2

T π

π 2.设2

)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：()2

2

34,34=5Z i Z =-=+-

3.双曲线

19

162

2=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4

x ±

4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：3

28=（个）

5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲

解析：经过了两次循环，n 值变为3

6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙

89

90

91

88

92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解

析

：

易

知

均

值

都

是

90

，

乙

方

差

较

小

，

()

()()()()()()

2

22222

2

1

118990909091908890929025n i i s x x

n ==-=

-+-+-+-+-=∑

7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析：

m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个

所以总共有7963?=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520?=种可能符合题意 所以符合题意的概率为

20

63

8.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ . 解析：

112211111334224

ADE ABC V S h S h V ==??=

所以121

:24

V V =

A B

C

1A

D

E

F 1B

1C

9.抛物线2

x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点

),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .

解析：

易知切线方程为：21y x =-

所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.5

10.设E D ,分别是ABC ?的边BC AB ,上的点，AB AD 21=

,BC BE 3

2

=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .

解析： 易知()

121212

232363

DE AB BC AB AC AB AB AC =

+=+-=-+ 所以121

2

λλ+=

11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2

-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：

因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2

()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()

()5,05,-+∞

12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122

22>>=+b a b

y a x ，右焦点为F ,右准线

为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ . 解析：

由题意知22

12,bc a b d d c a c c

==-= 所以有26b bc

c a

= 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4

a 得到2416e e -=，解得2

1

3

e =

，即33e =

13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1

>=

x x

y 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析： 由

题

意

设

()0001,,0P x x x ??

> ???

则有

()2

2

2

222200000200000111112++2=+-2+22

PA x a a x a x a x a x a x x x x x ????????

=-+-=+-+- ? ? ? ????????

? 令()00

1

t 2x t x +

=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，

22min 2

(2)242

2428

PA f a a a a ==-+∴-+=

1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，

22min 2

()2

28

PA f a a a ==-∴-=

10a = ， 10a =-（舍去） 综上1a =-或10a =

14.在正项等比数列{}n a 中，2

1

5=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：

22525526

6712312311552

11552

23

(1)

,.22222

20

1152

13129132

36002292212

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n n

q n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴->

-+∴<<

=>∴==

n N +∈

112,n n

N +

∴≤≤∈ 又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分14分）

已知()cos sin a αα=，，()cos sin b ββ=，，0βαπ<<<. (1) 若2a b -=

，求证：a b ⊥；

(2) 设()01c ,=，若a b c +=，求α，β的值.

解：(1)()()cos ,sin ,cos ,sin ,0a b ααβββαπ==<<<

2a b -= 2

2a b ∴-=

2

2

22a b ab ∴+-=

1122a b +-?=

0a b ?= a b ∴⊥ (2)

()()(

)0,1,c o s c o s

,s i n

s i n 0,1

c o s c o s 0s i n s i n 1

c a

b c αβαβαβαβ=+=∴++=∴+=∴+=①②

2

2

+①②得：()2+2cos 1αβ-= ()1

cos 2

αβ-=-

0023βαπ

αβππ

αβ<<<∴<-<∴-=

又cos cos 0

5,66

αβαβπππαβ+=∴+=∴==

16. （本小题满分14分）

如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，

AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点

E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.

求证：(1) 平面EFG //平面ABC ; (2) BC SA ⊥. 解：(1)

,E G 分别是侧棱,SA SC 的中点

EG AC ∴∥

AC 在平面ABC 中，EG 在平面外

EG ∴∥平面ABC

,AS AB AF SB =⊥

F ∴为SB 中点

EF AB ∴∥

AB 在平面ABC 中，EF 在平面外

EF ∴∥平面ABC

EF 与EG 相交于E

,EF EG 在平面EFG 中 ∴ 平面EFG //平面ABC

(2)

平面SAB ⊥平面SBC

SB 为交线

AF 在SAB 中，AF SB ⊥

AF ∴⊥平面SBC AF BC ∴⊥

BC AB ⊥

AF 与AB 相交于A ,AF AB 在平面SAB 中 BC ∴⊥平面SAB BC SA ∴⊥

17. （本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1，圆心在l 上. (1) 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.

解：（1）

241y x y x =-=-①②

①与②联立得到圆心坐标()3,2C ∴圆方程为()()2

2

321x y -+-= 切线斜率不存在时，不合题意 ∴设切线方程为3y kx =+

2

32311k k

-+∴

=+

解得0k =或34

k =-

∴切线方程为3y =或3

34

y x =-

+ （2）设(),24C a a -

则圆方程为()()22

241x a y a -+-+= 设00(,)M x y

由题意()()2

2

00241x a y a -+-+=

2M A M O

= ()

22

22

0000344x y x y ∴+-=+ 即()2

2

0014x y ++=

M 存在

∴圆()()2

2

241x a y a -+-+=与圆()2

2

14x y ++=有交点 即两圆相交或相切 ()()2

2

2

2121d ∴-≤≤+

即()()22

1024(1)9a a ≤-+---≤ 1205

a ∴≤≤

18. （本小题满分16分）

如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C 处有两种路径. 一种是从沿A 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .

现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3

cos 5

C =. (1) 求索道AB 的长；

(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解：(1)

123cos ,cos 135

0,0,054sin ,sin 135

A C A

B

C A C πππ==<<<<<<∴=

=

+=A B C π+

()5312463

s i n =s i n +=s i n c o s

+c o s s i n =+

=

13513565

B A

C A C A C ∴?? ==

sin sin sin AC AB BC

B C A

∴

s i n 465

==1260=1040m

s i n 563

C A B A C B ∴??? (2) s i n =

=500s i n A

B C A C B

? 设乙出发()t 8t ≤分钟后，甲到了D 处，乙到了E 处 则有=50t+100AD 130AE t =

根据余弦定理2

2

2

2cos DE AE AD AE AD A =+-?? 即2

2

74001400010000DE t t =-+ ∴当14000352740037t =

=?时，2

DE 有最小值

2507437DE =

(3)设甲所用时间为t 甲，乙所用时间为t 乙，乙步行速度为V 乙 由题意1260126

=

=min 505

t 甲 1040500500

t =2+

+1+=11+min 130V V 乙乙乙

12650031135V ??

∴-≤

-+≤ ???

乙 解不等式得12506254314

V ≤≤乙

19. （本小题满分16分）

设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2n

n nS b n c

=+，N n *∈，

其中c 为实数.

(1) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈； (2) 若{}n b 是等差数列，证明：0c =. 解：

（1）()()10n a a n d d =+-≠

22

n n n

S na d -=+ 0c =时，n

n S b n

=

1

12244122342

S b a S d

b a S d b a =

===+==+

124,,b b b 成等比

2

142b b b ∴=

2

2222222232220

2n nk k nk k

d d a a a d ad d d a

S n a S n k a n S n k a S n S ?

???∴?+=+ ? ?

?

???∴=≠∴=∴===∴=

（2）

由已知23222

222n n nS n a n d n d

b n

c n c

+-==++

n b 是等差数列

∴设n b kn b =+（k,b 为常数）

∴有()()32222220k d n b d a n ckn bc -++-++=对任意n N +

∈恒成立

202202020

k d b d a ck bc -=??+-=?∴?=??=?

0d ≠

00

k c ∴≠∴=

此时 2

22

d

k a d b =

-=

命题得证

20. （本小题满分16分）

设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数.

(1) 若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的范围； (2) 若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论. 解：（1）

'1

()f x x a -=- '()x

g x e a =-

由题意：'

()0f x ≤对()1,x ∈+∞恒成立

即1

a x -≥对()1,x ∈+∞恒成立

1a ∴≥

()g x 在()1,+∞上有最小值

0a ≤时，'

()0g x >恒成立，()g x 在()1,+∞无最值 0a >时，由题意ln 1a > a e > 综上：a 的范围是：a e >

（2）

()g x 在()1,-+∞上是单调增函数

∴'

()0g x ≥对()1,x ∈-+∞恒成立 即x

a e ≤对()1,x ∈-+∞恒成立

1

a e -∴≤

令()0f x =，则ln x

a x

=

则有()f x 的零点个数即为y a =与ln x

y x

=

图像交点的个数 令()ln ()0x

h x x x =

> 则'

2

1ln ()x h x x -=

易知()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减 在x e =时取到最大值1()0h e e

=

> 当0x →时，ln ()x

h x x =→-∞ 当x →+∞时，ln ()0x

h x x

=→

∴()h x 图像如下

所以由图可知：0a ≤时，()f x 有1个零点 1

0a e

<<时，()f x 有2个零点 1

a e =

时，()f x 有1个零点 综上所述：0a ≤或1

a e =时，()f x 有1个零点

1

0a e

<<时，()f x 有2个零点