第二章 平面体系的几何组成分析
第2章 平面体系的几何组成分析
第2章 平面体系的机动分析 2-1 概述 2-2 平面体系的计算自由度 2-3 几何不变体系的基本组成规则 2-4 瞬变体系 2-5 机动分析示例 2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况2-7 几何构造与静定性的关系12-1 概 述一、 几何不变体系和几何可变体系 1.几何不变体系——受到荷载等外因作用后，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
1 2. 几何可变体系——在荷载作用下，即使不考虑材料的弹性变形，也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
1二、 造成几何可变的原因 1. 内部构造不健全（a) 几何不变体系（b) 几何可变体系12. 外部支承不恰当（a) 几何不变体系（b) 几何可变体系1三、机动分析的目的1. 判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。
2. 区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。
3. 搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。
1§2-2 平面体系的计算自由度一、 几个基本概念1. 刚片 体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。
12. 自由度 体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系的自由度。
1.一个结点在平面内有两个自由度，因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数x、y。
13. 约束减少自由度的装置称为约束（或联系）。
可以减少一个自由度的装置是一个约束。
杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称为外部约束；杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。
1约束的种类分为： 1）链杆或支杆★ 一根支杆或一根链杆相当于一个约束1 2）铰★ 1个单铰相当于2个约束,减少2个自由度。
1★连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，相当于2(n-1) 个约束。
1 3）刚结 单刚结—连接两个刚片的刚结★ 1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。
第2章平面体系的几何组成分析小结
第二章平面体系的几何组成分析一、名词解释1．几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，几何形状和位置保持不变的体系称为几何不变体系。
体系的几何不变性应当满足：具有足够的、布置合理的约束(联系)。
2．几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，在任意荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系称为几何可变体系。
几何可变体系包括几何常变体系和几何瞬变体系。
几何常变体系是指缺少约束或约束布置不合理，体系没有确定的几何形状和空间位置，可发生持续的刚体位移。
几何瞬变体系是指具有足够数量的约束，但是约束布置不合理，在发生微小位移后，即成为几何不变体系。
瞬变体系在很小荷载作用下，也会产生很大的内力。
3．刚片在平面体系中，不考虑材料应变的几何不变部分称为刚片。
如一根梁、一根链杆、一个铰结三角形等。
4．自由度自由度是指物体或体系运动时可以独立变化的几何参数的数目。
即确定物体或体系位置所需的独立坐标数。
平面上的一个点有两个自由度，平面上的一个刚片有三个自由度。
5．约束(联系)用于限制体系运动的装置称为约束(或联系)。
(1)等效链杆的概念链杆为两端为铰的刚性直杆或曲杆。
只用两个铰与外界相连的刚片称为等效链杆。
等效链杆的作用与链杆相同。
(2)单约束和复约束连接两个刚片的铰称为单铰，一个单铰相当于两个约束。
连接两个以上刚片的铰称为复铰，连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰；连接两个刚片的刚结点称为单刚结点，一个单刚节点相当于三个约束。
连接两个以上刚片的刚结点称为复刚结点，连接n个刚片的复刚结点相当于n—1个单刚结点。
(3)虚铰(瞬铰)虚铰也称为瞬铰，它是连接两个刚片的两链杆延长线的交点，与单铰具有相同的约束作用。
(4)必要约束和多余约束能够起到影响体系实际自由度数目的约束为必要约束。
必要约束具有布置合理的特点，用以组成几何不变体系的最少约束都是必要约束。
不改变体系实际自由度的约束称为多余约束。
6．体系的计算自由度用计算自由度公式方法求得的体系自由度，称为计算自由度W。
第二章平面体系的几何组成分析
第二章平面体系的几何组成分析学习要求：掌握自由度及约束的概念。
能够利用简单的几何组成规则分析体系的几何组成性质。
学习重点：三个简单几何组成规则的灵活应用。
常见问题解答1、什么是几何不变体系？在任意荷载作用下，若不考虑材料的变形，其几何形状与位置均保持不变，这样的体系称为几何不变体系。
2、什么是几何可变体系？即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，也会引起其几何形状的改变，这样的体系称为几何可变体系。
3、什么是自由度？所谓自由度，是指体系运动时可以独立变化的几何参数的数目，即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
一个点在平面内的自由度等于2，一个刚片在平面内的自由度等于3。
4、什么是约束？体系的自由度将因为加入限制运动的装置而减少。
这种减少自由度的装置称为约束。
一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束，一个刚结点相当于三个约束。
5、什么是多余约束？如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此减少，则称此约束为多余约束。
一个平面体系的计算自由度等于零，则该体系一定是几何不变体系？这个说法是错误的。
一个平面体系的计算自由度有以下三种情况：⑴W≥0，表示体系缺少足够的联系，因此体系一定是几何可变的。
⑵W=0，表示体系有成为几何不变体系所需的最少约束数。
如果布置合理，体系将是没有多余约束的几何不变体系。
如果布置不合理，体系是几何可变的。
⑶W≤0，表示体系有多余的约束，而体系是否几何不变还是要看约束布置是否合理。
6、什么是两刚片规则？两个刚片用不全平行也不全交于一点的三根链杆相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
或者：两个刚片用一个铰和一根不通过该铰的链杆相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
什么是三刚片规则？三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，组成的体系是无多余约束的几何不变体系。
7、什么是二元体规则？在一个体系上添加或去掉一个二元体不会改变原体系的几何组成性质。
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四、约束（联系）
1、约束：凡能减少自由度的装置。
2、一根链杆相当于一个约束(图3）。
y
o
x
（图3）
y
o
x
x
y
3、一个简单铰相当于两个约束(图4）。
y
o
x
（图4）
y
o
x
x
y
4、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个简单铰，减少(n-1)×2个约束（图5）。
（图5）
F
A
B
C
实饺：几何可变
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
实饺
虚饺
三饺共线（瞬变）
三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无多余约束的几何不变体系。
三、三个刚片间的联结（规则三）：
第四节 几何组成分析的方法、步骤和举例
一、方法 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行 几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。
三、举例
例题1
结论: 无多余约束几何不变体系
第五节 体系几何组成与静定性的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
二、无多余联系的几何不变体系 静力解答唯一确定。
三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不确定。
四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
二、两个刚片之间的联结（规则二）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
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例2-4-3
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分析图:
(a)
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(b)
(c)
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(d)
(e)
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说明：
1、通过本题中的两例可知，当上 部体系和大地之间的联系符合两刚 片规则时，体系几何组成分析的结 论只与上部体系的几何组成有关。 因此，当符合此条件时，可仅分析 上部体系。
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2、(a)所示体系先去掉与大地的支 座约束后，对上部体系可依次去掉 二元体213、453、563后，体系简化 成一铰接三角形，所以原体系是无 多余约束的几何不变体系。
结构力学
结构力学教研组 青岛理工大学工管系
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第二章 平面体系的几何组成分析
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§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
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其目的在于:
❖ 了解和掌握结构的基本组成规律和
合理组成形式。正确区分各类体系， 判定结构；选择合理的结构形式。 ❖ 根据各类结构的几何组成，选择 正确的计算方法和简捷的解题途径。
几何不变体系
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(2)内部几何不变体系
若作为几何组成分析的结论， 内部几何不变体系指仅除大地 外的体系的整体。
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(a)
(b)
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(c)
(3)刚片
在平面问题中，刚性体化为平面 内的一个不会有变形的面，则称 这个面为刚片.刚片在其平面内， 任意两点间的距离都保持不变。
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(4)几何瞬变体系
对体系加载时，体系在瞬时内发 生微小位移，然后便成为几何不 变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）
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(a)
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结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
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三、几何瞬变体系 其平衡方程或者没有有限值解答，或在特殊情况下，解答不
确定。 四、具有多余联系的几何不变体系 静力解答有无穷多组解。
31
几何组成分析
(1) ((11))
体系几何组成分析复习及练习 ((11))(1)试对图示体系进(2行) 几(2) 何(2()2组) 成分析：
几何不变体系必须满足的条件即必要条件是W<=0
10
复习
•常见结构形式 • 结构计算简图的概念
结构体系的简化 荷载的简化 杆件的简化 支座的形式与分类 结点的形式与分类 •材料性质的简化
11
复习
•结构的形式和分类 按照几何特征，结构可分为： 1.杆件结构 2.薄壁结构 3.实体结构 按计算特点划分，杆件结构分为 1.静定结构 2.超静定结构
1
I
II
2
4
3
III
28
几何组成分析
三、举例
例题1
例题2
结论: 无多余约束几何不变体系
结论:无多余约束几何不变体系
29
几何组成分析
例题3
例题4
结论:有2个多余约束的几何可变体系
结论:有3个多余约束的几何不变体系
30
几何组成分析
2.5 体系的几何特性与静力特性之间的关系
一、几何可变体系 一般无静力解答。
G G CC
D
(8) (8) 2m 22mm 22mm 2m 2m
(8()8) (8)
2(m28m) 2m2m 2m22mm 22m2mm 2m
(8)2mB 22mm
BB
22mm C 22mm
C
C
BB B
B CC
B
AA
C
A
2m3m 2m3m 33mm Ch h C
变动等长杆AB、AC的长度，
3使点m使点使点3h铰不答（（m使点变铰不铰不A动变变3在动铰不案25A动A动，m使点动在） ）动在等直A动使点3，，则在：m等直铰不等直长线，铰不36H则则变直变杆上不长线长线A动则次 次使点A动HH线动在动在A移能其杆上不杆上不H铰不，，B超 超上不使点变等直、动等等直A移能A移能A动余则则移能BBA，于铰不动在长线长线静 静、动等C、动等变，HH动等的而何静等直杆上不A动杆上不A，于A，于则动在定 定，于长其值CCA移能长线，A移能定的而何B的而何H度余？而何等直B、动等（ （杆上不则、动等长其值长其值，结其值。长线A，于A移能H度余？A，于C38度余？余？B杆上不的而何C、动等） ），结的而何结，结长其值A移能A，于B几 h长其值C度余？、动等的而何=度余？，结何3A，于长其值Cm，结的而何度余？瞬，结长其值变度余？，结
D
D D
D
D
C C CC
2m C
D D FFF D
C
EEE
C
2m C 2m
F
F
E
E
F E
(((666))) (6) (6)
F E
(6) FB
B BB A
EAAA
(6) BF
FABFFE
E
A EE A
B FB H JEAFJJJ FG EE
D
HD
HHFG
HDD C
JC
EGG
GH CJC
JJG
D
D HD HC
17
几何组成分析
2.3 几何不变体系的组成分析
几何不变体系的组成规则
1、三个刚片之间的联结（三刚片规则）： 三个刚片上用不在同一直线上的三个铰两两相联结，形成无
多余约束的几何不变体系。
实饺
虚饺
三饺共线 （瞬变）
18
几何组成分析
2、两个刚片之间的联结（两刚片规则）：
两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成 无多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也 不全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束O 的几何不变体系）。
3、三个虚铰在无穷远的情况 几何瞬变体系。因为无穷远处的所有点都在一条广义直线上25。
几何组成分析
•对体系进行几何组成分析时，如何给出结论： 若体系为几何可变或几何瞬变，则“该体系为
几何可变体系”或“该体系为几何瞬变体系”即为最后结 论。
若体系为几何不变体系，则除指出“该体系为 几何不变体系”外，还必须指出该体系有无多余约束及多 余约束的个数。
C 刚片2 E
A
B
D
刚片1
刚片2
B
D
F
A
C
E
刚片1
19
几何组成分析
特殊情况： （1）三根链杆交于一点
实铰：几何可变
（2）三根链杆相互
平行
虚铰：几何瞬变
20
几何组成分析
3、一个刚片与一个结点之间的联结（二元片规则）：
在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形 成无多余约束的几何不变体系（或：在一个刚片上增加二元体）。
动力荷载。
14
复 习(第二章）
几何不变体系： 几何可变体系：
刚片、自由度、约束
计算自由度公式
平面刚片系统：
W＝3m－3g－2h－s
式中： W——自由度数
m ——刚片数
g ——刚性联结数
h ——简单铰数
s ——链杆数
15
复 习(第二章）
平面铰结系统： W＝2j－b－s
式中： W——自由度数 j ——结点数数 b ——内部链杆数 s ——外部链杆数
hh hh
32
AA
h
几何组成分析
课后考查(1)：试对图示体系进行几何组成分析
答案： （1）几何不变体系，有4个多余约束。 （2）几何不变体系，有6个多余约束。
多余约束。
（3）几何不变体系，有3个多余约束。 （5）几何不变体系，有6个多余约束。
（4）几何不变体系，有2个
33
（6）几何不变体系，无多余
26
几何组成分析
2.4 几何组成分析示例
一、简化方法
1.拆除一元片
物体A
物体A
刚片
2.拆除二元片
3.合成新刚片
4.等效变换
体系中内部无多余约束的几何不变部分可等效替换
CB
D
D
C
B
AD
A
B
A
A
27
几何组成分析
二、分析步骤 1. 一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不 必进行几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。 2、对体系进行简化，尝试找出第一个几何不变部分。 3、寻找所选刚片之间的联系 4、根据规则判断体系的组成
16
复 习(第二章）
1、W>0或V>0 体系缺少足够的约束，体系是集合可变的（常变） 2 、W=0或V=0 体系具有组成几何不变体系所需的最少约束数。如
无多余约束，则为几何不变，如有多余约束，则 为几何可变。 3 、W<0或V<0 体系具有多余约束。可能为几何不变，也可能为几 何可变。
几何不变体系必须满足的条件即必要条件是W<=0
22
几何组成分析
三、注意点 1、复铰的概念：联结n个刚片的复铰相当于(n-1)
个简单铰，减少(n-1)×2个约束。。
O 简单铰
O 复铰
2、封闭框格不能视为一个刚片，其内部有三个多余约束。
23
几何组成分析
四、几何不变体系的简单组成规则（三个规则）
五、虚铰在无穷远的情况 1、一个虚铰在无穷远的情况
（1）构成虚铰的两链杆与 第三杆平行且等长——几何 可变体系。
几何组成分析
课后考查(2)：试对图示体系进行几何组成分析
答案： （1）几何不变体系，有2个多余约束。 （2）几何不变体系，有10个多余约束。 （3）几何不变体系，有2个多余约束。 （4）几何瞬变体系。
34
（5）几何可变体系。
几何组成分析
课后考查(3)：试对图示体系进行几何组成分析
答案： （1）几何瞬变体系。
y
y
x
y
o
o
x
x
6
（图6）
几何组成分析
•必要约束和多余约束
必要约束是能够限制体系沿约束方向运动，使体系的自由度 减少为零所需要的最少约束
多余约束是指对于限制体系运动不发生作用的约束，不会改 变体系自由度的约束
A
A
Bo
C
Bo
C
7
几何组成分析
2.2 平面体系的计算自由度
一、计算自由度的概念
平面中的运动物体需要一定数量的参数来确定它的位置，参 数的数量就是物体的自由度。
3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。
二、自由度的计算方法
1、平面刚片系统： W＝3m－3g－2h－s
式中： Ｗ——自由度数 m ——刚片数 g ——刚性联结数 h ——简单铰数 s ——链杆数
2、平面铰结系统： W＝2j－b－s
式中： Ｗ——自由度数 j ——结点数数 b ——内部链杆数 s ——外部链杆数
P
P
（图2）
（图1）
常变 体系 2
几何组成分析
常变体系和瞬变体系
三、几何组成分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而
决定它能否作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选
定相应计算方法。 3、搞清结构各部分间的相互关系，以决
定合理的计算顺序。
3
几何组成分析
四、刚片、自由度、约束
1、自由度
12
复习
按结构形式划分，杆件结构可分为 1、梁 2、拱 3、桁架 4、刚架 5、组合结构 6、悬吊结构
薄壁结构？ 实体结构？