逆矩阵的几种求法与解析 很全很经典
第三章 矩阵的逆
唯一性： 是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一 是可逆矩阵 的逆矩阵唯一 证明： 证明： 设B、C都是 的逆矩阵，则 都是A的逆矩阵 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二： 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。 的伴随矩阵。 的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例： 设n阶矩阵 及s阶矩阵 都可逆，求 阶矩阵A及 阶矩阵 都可逆， 阶矩阵B都可逆 阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4
逆矩阵的概念矩阵可逆的条件逆矩阵的求法-毕业论文-全文在线阅读-
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例10 设
求矩阵X使满足AXB= C。 分析：
若A-1，B -1存在，则由A-1左乘AXB=C，又
用B-1右乘AXB= C，
有
A-1AXBB-1= A-1CB-1，
即
X = A-1CB-1。
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解
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矩阵的运算小结
一、已定义过的运算：
★ 矩阵与矩阵的加、减法； ★ 矩阵与数的乘积； ★ 矩阵与矩阵的乘积； ★ 方阵的行列式； ★ 逆矩阵； ★ 矩阵的转置。
Ex.4
解
又
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于是
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也可以直接按定义来验证这一结论。
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Ex.5 解
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Ex.6 解
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上页 下页 返回上页Fra bibliotek返回设给定一个线性变换： 它的系数矩阵是一个 n 阶方阵A，
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记
则线性变换(7)可记为 Y =AX.
逆矩阵。
例如
因为AB= BA= E，所以B是A的逆矩阵，同样A也 是B的逆矩阵。
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如果方阵A是可逆的，则 A的逆阵一定是唯一 的。 这是因为：设 B、C都是 A的逆矩阵， 则有
B=BE =B（AC）=（BA）C =EC =C， 所以 A的逆阵是唯一的。
A的逆阵记作A-1。 即若AB=BA=E，则 B=A-1。
§3 逆 阵
★ 逆矩阵的概念 ★ 矩阵可逆的条件 ★ 逆矩阵的求法
矩阵之间没有定义除法，而数的运算有 除法，本节相对于实数中的除法运算，引入 逆矩阵的概念。
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逆阵的概念
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵 算法-概述说明以及解释
逆矩阵算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述逆矩阵是矩阵理论中一个非常重要的概念，它在线性代数、数值计算等领域中都有广泛的应用。
简单来说，对于一个可逆的方阵A，存在另一个方阵B，使得A与B的矩阵乘积等于单位矩阵I，那么我们称B为A的逆矩阵。
逆矩阵在很多实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将主要介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
首先，我们将给出逆矩阵的定义，并讨论什么样的矩阵会存在逆矩阵以及如何判断一个矩阵是否可逆。
然后，我们将深入探讨逆矩阵的性质，比如逆矩阵的唯一性以及逆矩阵与矩阵的乘法规则等。
接下来，我们将介绍一些常见的逆矩阵计算方法，包括伴随矩阵法、初等变换法以及利用矩阵的特征值和特征向量来求逆矩阵等。
逆矩阵算法在数值计算中具有广泛的应用领域。
例如，在线性方程组的求解中，我们可以利用逆矩阵的性质来求解未知数向量。
此外，在图像处理、信号处理、网络优化等领域也都可以看到逆矩阵算法的应用。
逆矩阵算法的发展前景非常广阔，随着计算机计算能力的不断提升，逆矩阵算法将能够承担更加复杂和庞大的计算任务。
总之，逆矩阵算法是一项重要且充满潜力的计算方法，它在线性代数和数值计算领域具有重要的地位。
通过深入研究和应用逆矩阵算法，我们可以更好地理解矩阵的性质和应用，从而为实际问题的求解提供有效的数学工具。
在接下来的正文中，我们将详细介绍逆矩阵的定义、性质以及计算方法，以期帮助读者更好地理解和应用逆矩阵算法。
文章结构部分的内容如下所示：1.2 文章结构本文将按照以下结构组织内容：引言部分将首先概述逆矩阵算法的背景和重要性，介绍本文的目的，并对整篇文章进行总结。
正文部分将着重介绍逆矩阵的定义，包括数学上对逆矩阵的准确描述。
随后，我们将详细探讨逆矩阵的性质，包括逆矩阵与原矩阵之间的关系，以及逆矩阵的特点和作用。
最后，我们将介绍逆矩阵的计算方法，包括传统的高斯消元法和基于分解的LU分解法等。
结论部分将重点探讨逆矩阵算法的重要性，阐述逆矩阵算法在实际问题中的应用领域，如线性方程组的求解、图像处理和机器学习等。
高二 数学 选修 矩阵 第三讲 逆矩阵与逆变换的解题技巧
在二元一次方程组
ax cx
by dy
m n
中
Dx
m b n d
，
Dy
a m c n
，D
a b c d
，
x
y
Dx D Dy D
．
AX=B X= A-1B AXC=B X= A-1BC -1
对于二元一次方程组
A
x
y
m
n
，
A＝ac db
，
A1＝mn db
，
A2＝
a m c n
几何解释 映行射列代观式数点 解释
行列式 映射观点
逆矩阵的求法
d
b
a 矩阵 c
b
d
的逆矩阵为
ad
bc
c
ad
bc
a
ad bc ad bc
几何变换方法
逆矩阵的求解
待定系数方法 公式法
行列式方法
课本在本节中就通过证明命题“已知A，B，C 为二阶矩阵，(AB)－1=B－1A－1．且AB=AC，若矩阵 A存在逆矩阵，则B=C．”
逆矩阵与逆变换解题技巧
知识要点
变换的复 合和矩阵
的乘法
二阶矩阵 与向量的
关系
2
几种常见 的平面变
换
矩阵
特征值 特征向量
逆矩阵 逆变换
矩阵的应 用
逆矩阵存在条件
矩阵
a c
b d
的行列式为
a c
b d
ad
bc ，则如果
a c
b d
0
则矩阵
a c
b d
存在逆矩阵.
矩阵是否可逆的判断
几何解释 代数解释
，
矩阵求逆矩阵的方法
矩阵求逆矩阵的方法矩阵求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，对于矩阵的逆的求解方法有多种，下面我们将介绍几种常见的方法。
1. 初等变换法。
对于一个可逆矩阵A，我们可以通过初等变换将其变为单位矩阵I，这时候A经过一系列的初等变换得到I，而I经过同样的一系列初等变换得到A的逆矩阵。
这种方法的优点是简单直观，容易理解，但对于大型矩阵来说计算量较大。
2. 克拉默法则。
对于n阶方阵A，如果A是可逆的，那么它的逆矩阵可以通过克拉默法则来求解。
克拉默法则利用矩阵的行列式和代数余子式的概念，将矩阵A的逆矩阵表示为A的伴随矩阵的转置除以A的行列式。
这种方法的优点是不需要对矩阵进行初等变换，但计算量也比较大。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是通过对矩阵进行一系列的初等行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，然后将I变为A的逆矩阵。
这种方法与初等变换法类似，但是更加注重矩阵的行变换，适合于对行变换较为熟悉的人来说。
4. 矩阵的分块法。
对于特定结构的矩阵，我们可以通过矩阵的分块来求解逆矩阵。
例如对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等，通过分块的方法可以简化逆矩阵的求解过程。
5. LU分解法。
LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过LU分解可以求解矩阵的逆。
这种方法适用于对矩阵分解比较熟悉的人来说，可以简化逆矩阵的求解过程。
总结：矩阵求逆矩阵的方法有多种，每种方法都有其适用的场景和计算复杂度。
在实际应用中，我们可以根据矩阵的特点和问题的需求来选择合适的方法。
希望本文介绍的方法可以帮助读者更好地理解矩阵求逆矩阵的过程，提高解决实际问题的能力。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨
关于几种特殊矩阵的逆矩阵求法探讨逆矩阵是矩阵论中非常重要的概念，它在线性代数及应用数学中都有广泛的应用。
通常情况下，我们可以使用伴随矩阵或者高斯消元法来求解逆矩阵。
但是对于一些特殊矩阵，我们可以利用它们的特殊性质来求解逆矩阵，从而简化计算过程。
一、对角矩阵的逆矩阵求法对角矩阵是指所有非主对角线元素都为零的方阵。
对于对角矩阵，逆矩阵的求解非常简单。
设A为n阶对角矩阵，其中对角线上的元素为a1,a2,...,an。
由于对角矩阵非常特殊，可以直接取每个元素的倒数作为逆矩阵的对角线元素，即A^(-1)的对角线上的元素为1/a1,1/a2,...,1/an。
其余元素仍然为零。
这是因为矩阵乘法满足交换律，任何数与零相乘都为零。
二、上三角矩阵的逆矩阵求法上三角矩阵是指所有主对角线上方的元素都为零的方阵。
对于上三角矩阵，逆矩阵的求解也相对简单。
设A为n阶上三角矩阵，其中主对角线上的元素为a1,a2,...,an。
逆矩阵A^(-1)也是一个上三角矩阵，其主对角线上的元素为1/a1,1/a2,...,1/an。
通过数学归纳法可以证明这个结论。
因为对角线以下的元素都是零，而矩阵乘法中对角线以下的元素与对应位置的元素相乘后都为零，因此A×A^(-1)的对角线以下的元素也都是零。
三、单位矩阵的逆矩阵求法单位矩阵是指主对角线上的元素全为1，其余元素全为零的方阵。
单位矩阵非常特殊，其逆矩阵就是它本身。
也就是说，单位矩阵的逆矩阵就是单位矩阵本身。
这是因为单位矩阵对于矩阵乘法是一个单位元，与任何矩阵相乘得到的结果仍然是原矩阵。
综上所述，对于一些特殊的矩阵，我们可以利用它们的特殊性质来求解逆矩阵，从而简化计算。
对角矩阵、上三角矩阵和单位矩阵都是常见的特殊矩阵，它们的逆矩阵都可以通过简单的规则来求解。
这些特殊矩阵的逆矩阵求解方法也为我们在解决实际问题中的数学建模提供了便利，可以节约计算时间，提高求解效率。
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0 ù é 1 0 ... 0 ù ú 0 ú ê 0 1 ... 0 ú ú =I =ê ... ú ê... ... 1 ...ú ú ê ú A û ë 0 0 ... 1 û
同理可证BA=I. 由此可知，若A可逆，则A -1 =
1 A3. A
用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有 规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对 角线的元素变号即可. 若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以 上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA -1 =I来检验.一 旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.
T -1 2
解
令
( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) =D
D= ( A + 4 E ) T (4 E - A) -1 (16 E - A 2 ) = (4 E + A) T (4 E - A) -1 (4 E - A)(4 E + A) = (4 E + A)(4 E + A) T = (4 E + A) . 虽然题目中出现了（4E-A） -1 .但是经过化简之后不再出现此式，因此得 D= 4 E - A =22500. 例2 证明 已知 n阶矩阵A满足A 2 +2A-3E=0.求证：A+4E可逆并求出A+4E的逆.
解
1
故
é- 1 / 6 - 13 / 6 4 / 3ù A = ê 1/ 2 3/ 2 -1 ú . ê ú ê 1 / 6 1 / 6 1 / 3 ú ë û
-1
在事先不知道n阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变 换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0， 则意味着A不可逆， 因为此时表明 A =0， 则A -1 不存在.
必要性：设A可逆，由A A -1 =I，有 AA -1 = I ，则 A A -1 = I ，所以 A ¹ 0，
即A为非奇异. 充分性： 设A为非奇异，存在矩阵
2
é A11 ê 1 ê A12 B= A ê ... ê ë A1n
其中
A21 A22 ... A2 n
... An1 ù ú ... An 2 ú ， ... ... ú ú ... Ann û A21 A22 ... A2 n ... An1 ù ú ... An 2 ú ... ... ú ú ... Ann û
逆矩阵的几种求法与解析
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆 矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主 要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.
1.利用定义求逆矩阵
定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A为 可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A） -1 = E + A + A 2 +…+A K -1 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2 +…+ A K -1 )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2 +…+A K -1 ）=E， 同理可得（E + A + A 2 +…+A K -1 ）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A) -1 = E + A + A 2 +…+A K -1 . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A) -1 = E -A + A 2 +…+（-1） K -1 A K -1 . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ± A的逆矩阵.
-1
-1 -1 - A11 A12 A22 ù ú A22 -1 û
同理可证
é A11 êA ë 21
-1 0 ù é A11 = ê -1 -1 A22 ú û ë- A11 A21 A22 -1
0 ù ú A22 -1 û
此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的 一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.
é0 ê0 A =ê ê0 ê ë0 1 0 0ù 2 0 0ú ú ,求 0 0 3ú ú 0 0 0û
例2
设
E-A的逆矩阵.
分析
由于A中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以
采用例2 的方法求E-A的逆矩阵. 解 容易验证
é0 ê0 A2 =ê ê0 ê ë0
0 2 0ù 0 0 6ú ú， 0 0 0ú ú 0 0 0û
®
解
3 1 0 0ù é1 2 ê0 - 3 - 6 - 4 1 0ú . ê ú ê 0 0 0 1 2 1 ú ë û
由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A不可逆.
3.伴随阵法
定理 n阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A非奇异.且
é A11 ê 1 ê A12 A -1 = A ê ... ê ë A1n
4．分块矩阵求逆法
4.1.准对角形矩阵的求逆 命题 设A 11 、A 22 都是非奇异矩阵，且A 11 为n阶方阵，A 22 为m阶方阵
é A11 ê0 ë
证明 因为 A =
0 ù é A11-1 ê A22 ú û ë 0
0 ù ú A22 -1 û
A11 0
0 = A11 A22 ¹ 0, 所以A可逆. A22 Y ù é A11 ê Wú ûë0 0 ù éIn =ê A22 ú û ë0 0ù , Im ú û
初等行变换 用矩阵表示（A I） ¾¾ ¾¾® 为（I A -1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法，
它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是， 在作初等变换时只允许作行初 等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1
é2 3 1ù 求矩阵A的逆矩阵.已知A= ê0 1 3ú . ê ú ê 1 2 5 ú ë û é2 3 1 1 0 0ù é1 2 5 0 0 1 ù ê ú [A I] ® 0 1 3 0 1 0 ® ê0 1 3 0 1 0ú ê ú ê ú ê 1 2 5 0 0 1 ú ê 2 3 1 1 0 0 ú ë û ë û 0 0 1 ù é1 2 5 é1 0 0 - 1 / 6 - 13 / 6 4 / 3ù ® ê0 1 3 0 1 0 ú ® ê0 1 0 1 / 2 3/ 2 -1 ú ê ú ê ú ê 0 0 1 1 / 6 1 / 6 1 / 3 ú ê 0 0 1 1 / 6 1 / 6 1 / 3 ú ë û ë û
é0 ê0 A3=ê ê0 ê ë0
0 0 6ù 0 0 0ú ú ， A 4 =0 0 0 0ú ú 0 0 0û
而
(E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E,所以
é1 ê0 -1 2 3 ê (E-A) = E+A+ A + A = ê0 ê ë0 1 2 6ù 1 2 6ú ú. 0 1 3ú ú 0 0 1û
4.2.准三角形矩阵求逆 命题 设A 11 、A 22 都是非奇异矩阵，则有
é A11 ê0 ë A12 ù é A11 -1 =ê A22 ú û ë 0
-1 -1 -1 - A11 A12 A22 ù ú A22 -1 û
证明
éA 因为 ê 11 ë0
A12 ù A22 ú û
é I - A11-1 A12 ù é A11 ê ú=ê I ë0 û ë0
2 2
把A 2 +2A-3E=0变形为A 2 +2A-8E=5E，即 （A+4E）（A-2E）=-5E，可得（A+4E）（-A/5+2E/5）=E，
所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使（A+4E）B=E，由定义得A+4E可逆，且 （A+4E） -1 =B=-A/5+2E/5. 另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而不 必急于求出逆矩阵.
5.恒等变形法
4
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论 推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用 AA -1 =E，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1
é 1 0 0ù ú 计算（A+4E） （4E-A） （16E-A ）的行列式，其中 A= ê ê- 1 2 0ú ê ë 1 4 1ú û
3
éX 设A -1 = ê ëZ
Y ù éX ，于是有 ê ú Wû ëZ
其中 X A 11 =I n ， Y A 22 =0，Z A 11 =0，W A 22 =I m .又因为A 11 、A 22 都可逆，用A 11 、 A 22 分别右乘上面左右两组等式得： X= A 11 ，Y=0，Z=0，W= A 22 故
例2
é1 2 3ù 求A= ê4 5 6ú . ê ú ê 7 8 9 ú ë û 3 1 0 0ù é1 2 3 1 0 0ù é1 2 [A E]= ê4 5 6 0 1 0ú ® ê0 - 3 - 6 - 4 1 0ú ê ú ê ú ê 7 8 9 0 0 1 ú ê 0 6 12 7 0 1 ú ë û ë û
-1
-1
0 ù A22 ú û