求数列通项公式的八种方法

求数列通项公式的八种方法

一、公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法

1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2

(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n

---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n

n n a a +-=?+则

11232211

1

221

1

2

2

1

1

()()()()(231)(23

1)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13

)

2

(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n

a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n n a n =+-

解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以13n +，得

11

1

213

3

3

3

n n n n

n a a +++=

+

+

，

则

11

1

213

3

3

3

n n n n

n a a +++-

=

+

，故

112232112

2

3

2

1

11

1

2

2

1

2

2

()()()()3

33

33

3

3

3

21

2121

213()()()()3

3

333

333

3

2(1)1111

1(

)1

3

3

3

3

3

3

n n n n n n n n

n

n n n n n n

n n n

n

n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-

+-

+-

++-

+=+

++++++++-=

++

+

+

++

+

因此

1

1

(13)2(1)2113

13

3

13

3

2

23

n n

n n

n

a n n ---=

++=

+

-

-?，

则21133.3

2

2

n

n

n a n =

??+

?-

2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=

若1()n n

a f n a +=，则

312

12(1)(2)()n n

a a

a f f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，

111

1

()n

n k a a f k a +==?∏

例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

12(1)5n

n n

a n a +=+，故

1

32

112

21

1

2

21

1

(1)(2)21

(1)

1

2

[2(11)5][2(21)5

][2(21)5][2(11)5]32

[(1)32]5

3

325

!

n

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

?

??

??=-+-+??+?+??=-?????=???

所以数列{}n a 的通项公式为(1)

1

2

32

5

!.n n n n a n --=???

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+

分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+; 解题基本步骤： 1、确定()f n

2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ

3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+

4、比较系数求1λ，2λ

5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式

6、解得数列{}n a 的通项公式

例4 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：121(2),n n a a n -=+≥

112(1)

n n a a -∴+=+ 又{}112,1n a a +=∴+ 是首项为2，公比为2的等比数列

12n n a ∴+=，即21n

n a =-

解法二：121(2),n n a a n -=+≥

121n n a a +∴=+

两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等

比数列，再用累加法的……

例5 已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：设11123(3n n n n a a λλλ-++=+?)，比较系数得124,2λλ=-=，

则数列{}143n n a --?是首项为111435a --?=-，公比为2的等比数列， 所以114352n n n a ---?=-?，即114352n n n a --=?-?

解法二： 两边同时除以13n +得：

11

224

3

333

n n n n a a ++=

?+，下面解法略 注意：例6 已知数列{}n a 满足2

1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设22

1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++

比较系数得3,10,18x y z ===，

所以22

13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++

由213110118131320a +?+?+=+=≠，得2

310180n a n n +++≠

则

2

12

3(1)10(1)18

231018

n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2

{31018}n a n n +++为以

2

1311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2

1

31018322

n n a n n -+++=?，则42

2

31018n n a n n +=---。 注意：形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解

分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列

{}1n n a a λ++为等比数列。

例7 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。 解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++

比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，

则21123(2)n n n n a a a a +++-=-，则{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列

1

1243

n n n a a -+∴-=?，所以114352n n n a --=?-?

四、迭代法

例8 已知数列{}n a 满足3(1)2

115n

n n n

a a

a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)2

1n

n n n a a ++=，所以

1

2

1

2(2)(1)

3

2

(2)(1)

3

(3)(2)(1)

112(3)(32

3(1)2

32

3(1)2

1

2

2

3(2)2

3(1)2

33(2)(1)2

3323(2)(1)2

1[]

[]

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a

----+---+--+-+--+++-+?-??-??----?-??---?-??-?-??======= 2)(1)

(1)

1

2

3

!2

1

n n n n n a -+---??=

又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)

1

2

3

!2

5

n n n n n a --??=。

注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

五、变性转化法

1、对数变换法 适用于指数关系的递推公式

例9 已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为5

11237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。

两边取常用对数得1lg 5lg lg 3lg 2n n a a n +=++

设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++

（同类型四）

比较系数得， lg 3lg 3lg 2,416

4

x y =

=+

由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 1lg 7104

16

4

4

16

4a +

?++=+?++

≠，得lg 3lg 3lg 2lg 04

16

4

n a n +

++≠，

所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164

n a n +++是以lg 3lg 3lg 2lg 74164

++

+为首项，以5为公比的等比数列，

则1

lg 3lg 3lg 2

lg 3lg 3lg 2

lg (lg 7)5

416

4

416

4

n n a n -+

+

+

=+

++

，因此

1

1

1

1

1

1

1

1

1

161644441

1

1

1

1

5

16164444541

51

51

16

4

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54

16

4

4

6

4

[lg(7332)]5

lg(332)

lg(7332)

lg(332)

lg(7

3

2

)

n n n n n

n n

n n n a n --------=+

+

+

-

-

-

=???-??=???-??=??

则1

1

5415

1

5

16

4

73

2

n n n n n a -----=??。

2、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例10 已知数列{}n a 满足112,12

n n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。

解：求倒数得

1

1

1

111111

11,,2

2n n

n n

n n a a a a a a +++??=

+

∴

-

=

∴-??

??为等差数列，首项111a =，公差为12，112

(1),2

1

n n

n a a n ∴

=

+∴=

+

3、换元法 适用于含根式的递推关系 例11 已知数列{}n a

满足111(14116n n a a a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2

1

(1)24

n n a b =-

代入11(1416

n n a a +=

++得

2

2

1111(1)[14

(1)]24

16

24

n n n b b b +-=

+-+

即22

14(3)n n b b +=+

因为0n b =≥， 则123n n b b +=+，即11322

n n b b +=+

，

可化为113(3)2

n n b b +-=

-，

所以{3}n b -

是以13332b -===为首项，以

2

1为公比的等比数列，因此

121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+

2

1()32n -=+，得

2111()()3423

n n n a =

++。 六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳

法加以证明。

例12 已知数列{}n a 满足112

2

8(1)8(21)(23)

9

n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由12

2

8(1)(21)(23)

n n n a a n n ++=+

++及189

a =

，得

2122

322

2

432

2

8(11)

88224(211)(213)

9

925258(21)

248348(221)(223)

25

2549498(31)

488480(231)(233)

49

4981

81

a a a a a a +?=+=

+=

?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+

=

+

=?+?+?

由此可猜测2

2

(21)1(21)

n n a n +-=

+，下面用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，2

12

(211)18(211)

9

a ?+-=

=

?+，所以等式成立。

（2）假设当n k =时等式成立，即2

2

(21)1(21)

k k a k +-=

+，则当1n k =+时，

12

22

2

22

2

22

2

22

2

2

2

8(1)(21)(23)

[(21)1](23)8(1)

(21)(23)

(21)(23)(21)

(21)(23)(23)1 (23)

[2(1)1]1 [2(1)1]

k k k a a k k k k k k k k k k k k k k k k ++=++++-+++=

++++-+=

+++-=

+++-=

++

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*n N ∈都成立。 七、阶差法

1、递推公式中既有n S ，又有n a

分析：把已知关系通过11,1,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的

方法求解。

例13 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1(1)(2)6

n n n S a a =++，且249,,a a a 成

等比数列，求数列{}n a 的通项公式。

解：∵对任意n N +

∈有1(1)(2)6

n n n S a a =

++ ⑴

∴当n=1时，11111(1)(2)6

S a a a ==++，解得11a =或12a =

当n ≥2时，1111(1)(2)6

n n n S a a ---=

++ ⑵

⑴-⑵整理得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数，∴13n n a a --=

当11a =时，32n a n =-，此时2

429a a a =成立

当12a =时，31n a n =-，此时2

429a a a =不成立，故12a =舍去

所以32n a n =- 2、对无穷递推数列

例14 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ②

用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥

故11(2)n n

a n n a +=+≥

所以1

322212

2

![(1)43].

2

n

n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

?

??

?=-???=

③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452

n n a n =?????= 。

所以，{}n a 的通项公式为!.2n n a =

八、不动点法

不动点的定义：函数()f x 的定义域为D ，若存在0()f x x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为

()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点。

分析：由()f x x =求出不动点0x ，在递推公式两边同时减去0x ，在变形求解。 类型一：形如1 n n a qa d +=+

例 15 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+，由()f x x =得，不动点为-1

∴112(1)n n a a ++=+，…… 类型二：形如1n n n a a b a c a d

+?+=

?+

分析：递归函数为()a x b f x c x d

?+=

?+

（1）若有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ，再将两式相除得

11n n n n a p a p k a q

a q

++--=?

--，其中a pc k a qc

-=

-，∴1111

11()()()()

n n n a q pq k a p pq a a p k

a q -----=

---

（2）若有两个相同的不动点p ，则将递归关系式两边减去不动点p ，然后用1除，得

111n n k a p

a p

+=

+--，其中2c k a d

=

+。

例16 已知数列{}n a 满足112124441

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令212441

x x x -=

+，得2420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41

x f x x -=

+的两个不

动点。因为

112124

2

24121242(41)13262

1321243

21243(41)

927

933

41

n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--=

==

=

----+---+。所以数列23n n a a ??

-??-??

是

以

1124223

43

a a --=

=--为首项，以

9

13为公比的等比数列，故

1

2132(

)

3

9

n n n a a --=-，则

1

13132(

)

1

9n n a -=

+-。