805.恒等式的证明-奥数精讲与测试8年级

例1.已知x + y + z=xyz，证明:x(1- y )(1 - z ) + y(1- x )(1- z ) + z(1- x )(1 - y ) =4xyz.

1 1 1

例4.设x、y、z为互不相等的非零实数，且x+—= y +—=z+—，求证:

y z x

2 2 2 ,

x y z =1.

分数的运算-1姓名分数

111 例2.已知1989x2=1991y2=1993z2, x>0, y> 0, z>0,且

1

,

x y z

求证：，1989x—1991y—1993z 二.,1989 一1991 ,1993 例5.已知实数a、b、c、d 满足等式(a+ b)(b + c)(c + d)(d + a)=(a+ b + c+ d)(bcd +

cda+ dab+ abc). 求证：ac = bd.

例3.求证: a2-bc b2-ca

a b a c b c b a

ab -c2

A卷

解答题

亠、十a b 2a+c 2c+a 1 1 01.求证：-2 2 2 2

b+ab a+ab a+ac c+ac b c

v+z z+x x+v

06 .已知k，求证：k=2或k=- 1

x y z

03 .已知

V―2f = V f，且uv工0,求证:

2f -u f

2 4 -2 2丄』2

a c a +

b

c +d

08.已知，求证：

b d ab cd

1 1 1 10•已知x 1 , y 1，证明：z 1

y z x

02.求证: 4 2 a -(a -1) a2

1 $ -a2

2 2

2

a

一

a

一

1

2 2 a2 a 1 -1

2 2

a a-1 -1

a - a 1

07.已知a:x=b:y= c:z,求证:

a3 b3 c3 a b c 3

------- ~T~------ r -------- = ------------------------------

2 2 2 2

x y z

x v z

04.已知mi =U, m2

v s vs ut

, m3,，求证：m1 +m2+ m3= m1m2m3

t us - vt

x

09.已知 a ,

宀

c ,求证:

x y

1 1 1

05.已知0 ,求证:

a b c

2 2 2 2 a + b + c =(a + c+ b)

1

u v

解答题

01 •求证：—5 1 2 . 3 5 - 1 2.3 —, 2 二...5 .. 3 -1 06.求证

1 1

+ 2

x_y y_z

1

+ ---------

z-x

1 1 1

——+ ----- +-------

y _ z z _ x

、

2

_ a b ,、 a 、；

02.已知，求证：

c d 一ab ,c d07.

已和a+ b+ c=0,求证:

b2

2

a

2a2 bc 2b2 ca

2 2 1 1

03.1897X =1997y，且 1 (x > 0, y> 0)，求证:

x y

.1897x—1997y =£1897 -1997 08.已知abcd=1，且abc+ ab+ a+ 1工0,求证:

a

abc ab a 1 bcd bc b 1 cda cd c 1 dab da d 1

=1

2 2 2

04.求证：(x- y) + (y- z) + (z- x) =2 (x- y)(x- z) + 2(y- z)(y- x) +

2(z- x)(z- y) •

09.已知

y z z x

ay bz az bx

x y

ax by

05.求证

b—c + c—a + a—b

a-b a-c b-c b-a c-a c-b a —

b

亠丄

b-c c-a

c都不等于0 ,求证：10.已知a + b + c=0 ,且a、b、

解答题

01 •已知 ad -b 2 b ,1 -a 2 =1，求证：a 2+ b 2

= 1.

个数中一定有两个数的和等于第三数。

04.已知a + b + c=

1 1

1，求证：a 、b 、c 中至少有一个等于 1。

a b c

09.若a 、b 、c 是不全相等实数，且a 」=b 1 =c 丄二k ，求证：abc+k=0. b c a

111 1

05.已知

，求证：a=- b 或b=- c 或c=- a 。

a b c a +b +c

10•已知a 、b 、c 都是非零且互不相等的实数， x 、y 中至少有一个不为零,

bx cy cx ay ax by

且

，求证： a + b + c=0。

a b c

06•已知

02•设 a 4 + 4Pa 3- 4qa-仁0,a 3+ 3Pa 2- q=0，求证: -x y z

a b c ,、

2 2 2

x y z

07.已知一 +丄 1 ,

+— 0。求证：

2 2 2 =

1。

a b c x y z a b c

08.已知

2 2 2 y z _x

2yz

2 2 2 2 2 2

.z x - y x y - z 2zx

2xy

求证:

1

1 1

+ ----------- + -----------

1999

.1999

1999

a b c

，求证:

1

1999

. 1999

1999

a b c