第3章 三角函数 第5讲
高考数学一轮复习 第三单元三角函数课件 理 新人教课标A
第16讲 角的概念及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的关系和诱导公式 第18讲 三角函数的图象和性质 第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质 第20讲 两角和与差的三角函数 第21讲 简单的三角恒等变换 第22讲 正弦定理和余弦定理 第23讲 解三角形的应用
第三单元 三角函数
3．课时安排 该部分共8节，其中第20讲设置双课时作业，一个滚动 基础训练卷和一个单元能力训练卷，建议11课时完成复习任 务．
第三单元 │ 使用建议
推导出π±α的正弦、余弦、正切，及π2±α的正弦、余弦的
诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式”等； (4)正弦定理、余弦定理是考试大纲要求掌握的内容，是最高 级别的要求，在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌 握这两个定理的证明，然后通过例题，讲解和变式训练使学 生牢固掌握这两个定理并能利用其解有关三角形的题型． (5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化， 在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思 想，教师在引导学生复习时，要注重引导学生寻求合理的边 角互化的方向．正弦定理、余弦定理本身就是一个方程，在 三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题．
第三单元 │ 考纲要求
3．解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角 形度量问题． (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题．
第三单元 │ 命题趋势
命题趋势
三角函数、简单的三角恒等变换、解三角形是高中数学重要的基 础知识之一，又是高中数学的工具性知识之一，在高考中占有重要位 置．
第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三角形 的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角 度和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理， 把求解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理 和余弦定理加以解决，教师在引导学生思路解三角形的实际 应用问题时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际 应用问题的本质所在．
第3讲 三角函数的图象与性质 讲义
1 / 16 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)． 余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
定义域 R R
{x|x∈R且x≠π2＋kπ，
k∈Z} 值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减
在(－π2＋kπ，π2＋
kπ)(k∈Z)上递增
最值 当x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 2 / 16
时，ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (π2＋kπ，0) (k∈Z) (kπ2，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝π2＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 周期 2π 2π π
【知识拓展】 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是14个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．( × ) (2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × ) (5)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
三角函数秋季班讲义
安徽高考解析1. 安徽高考中的主要考点：三角函数的概念和图像，同角的三角函数关系，诱导公式，三角恒等变换中的和差的正余弦公式，倍角公式，降幂公式和万能公式，正弦定理和余弦定理的证明和运用。
2. 三角函数主要考查形式：选择题和填空题中较多对于三角函数图像和性质的考察，大题目中对于三角函数的恒等变换考察较多。
（对于理科，11年理科没有单独的三角函数大题，但却将三角函数的变换与数列一同考察难度较大，09年和10年考察正余弦定理，08年考察三角恒等变换和图像，07年综合考察了三角函数和向量的性质与运算；06年为三角恒等变换和化简求值，12年考察的也是三角恒等变换，预计下一年有可能考察的是将三角函数与其它章节主要是向量和不等式以及函数综合考察，或者可能是再度回归到解三角形中。
）（对于文科，安徽的三角函数大题中的文科和理科没有必然联系，09年到12年三角函数都是放在大题目的第一题考察，内容也都是解三角形；08年：三角恒等变换和三角函数的性质；07年将三角函数值域与解不等式综合考察。
06为解三角形。
）考试内容：1．任意角、弧度（1）了解任意角的概念和弧度制的概念．（2）能进行弧度与角度的互化．2．三角函数（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出,2a a ππ±± 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出简易的三角函数 的图像，了解三角函数的周期性.（3）理解正弦函数、余弦函数在区间[02]π，的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间()22ππ-，内的单调性. （4）理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=（5）了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图像，了解参数,,A ωϕ对函数图像变化的影响.（6）体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.第一讲 三角函数的图像和性质 考点1：任意角和弧度制任意角的概念将角度扩大到了复数域；弧度制将角度与长度联系了起来，从而角度与数学的其它部分联系了起来。
三角函数讲义
知识总结一、角的概念的推广1.角的定义（1）一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．（2）“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．2.“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.第一象限角：｛α|k360o π＜α＜k360o +90o ,k ∈Z ｝第二象限角：｛α|k360o +90o ＜α＜k360o +180o ,k ∈Z ｝第三象限角：｛α|k360o +180o ＜α＜k360o +270o ,k ∈Z ｝第四象限角：{α|k360o +270o ＜α＜k360o +360o ,k ∈Z ｝角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限。
3．终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注意以下四点：(1)Z k ∈(2) α是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．二、弧度1、定义用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
1弧度的角指的是弧长与半径相等的圆弧所对应的圆心角，记作1rad 。
⑴平角=π rad 、周角=2π rad⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0⑶圆心角α的弧度数的绝对值r l =α（l 为弧长，r 为半径） 2.角度制与弧度制的换算：360︒=2πrad180︒=π rad1︒=rad rad 017453.0180≈π 8.447157)180(1'''︒≈︒=πrad 3.两个公式（1）弧长公式：α⋅=r l 180r n l π= 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积（2）扇形面积公式lR S 21=3602R n S π=扇 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径3、任意角的三角函数有向线段MP 为正弦线 有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线四、三角函数的基本关系1、平方关系：sin2α+cos2α=1;2、商数关系：五、三角函数的诱导公式口诀：奇变偶不变，正负看象限例题题型一角的集合表示及象限角的判定【例1】(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【例2】已知点P(sin 5π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( ) A．一B．二C．三 D．四题型二三角函数的定义【例3】已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.【例4】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝()．A．－45B．－35C.35D.45三、弧度制的应用【例5】4已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1或4 B．1C．4 D．8【例6】已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.四、三角函数线及其应用【例7】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.【例8】求下列函数的定义域：(1)y＝2cos x－1；(2)y＝lg(3－4sin2x)．题型五、利用诱导公式化简、求值【例9】已知tanθ＝2，则sin(π2＋θ)－cos(π－θ)sin(π2－θ)－sin(π－θ)＝()A. 2B. －2C. 0D. 2 3【例10】已知角α终边上一点P(－4,3)，则cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(－π－α)cos⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin⎝⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．题型六、同角三角函数关系的应用【例10】已知tan α＝2.求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.题型七三角形中的诱导公式【例11】在△ABC中，sin A＋cos A＝2，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．若将例11的已知条件“sin A＋cos A＝2”改为“sin(2π－A)＝－2sin(π－B)”其余条件不变，求△ABC的三个内角．课下作业一、选择题1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在()．A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )3．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．A ．－55B.255C ．－255 D ．－124．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A ．±12 B.12C.32 D ．±327．若cos α＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于 ( )A. －24B. 24C. －22D. 2 28．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是( )． A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.22二、填空题9．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________10．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.11．在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为________．三、计算题12、已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．13、已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α＋45tan α.14、若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．15、已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，求tan θ.。
第5节： 三角函数的图像
第4讲：三角函数的图象一、5年考题导向 二、知识要点梳理1. 正弦、余弦、正切函数的图象 ① 图象特征 ② “五点法”：x y sin =的图象在一个周期内有：3个平衡点；1个峰点；1个谷点 .x y cos =的图象在一个周期内有：2个平衡点；2个峰点；1个谷点 .问：B x A y ++=)sin(ϕω的图象在一个周期内有哪5点？B x A y ++=)cos(ϕω的图象在一个周期内有哪5点？③ 基本性质：三、典型例题剖析例1. 已知函数2cos 2sin 3xx y +=（R x ∈）.（1）用“五点法”画出它的图象； （2）求它的振幅、周期及初相；（3）说明该函数图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到？ 例2. 解下列各题： （1）已知函数xxx f 2tan 1tan 2)(-=，画出其图象并求它的最小正周期.（2）求函数x x y 66cos sin +=的定义域、值域、奇偶性、单调区间及最小正周期 .（3） 若方程a x x =+cos sin 3在]2,0[π上有两个不同的实数根，求a 的取值范围.例3. 已知函数 21)4sin()4sin(3)4(sin )(2--⋅+++=x x x x f πππ（1）写出)(x f 的最小正周期 ；（2）求)(x f 的最大值及相应的x 的值的集合 ；（3）函数)(x f 的图象是否存在对称中心，若存在，写出其中的一个（不必证明）；若不存在，请说明理由 .例4. 已知一条正弦函数)sin()(ϕω+=x A x f （0,0>>ωA ）的图象如图所示. （1） 求出函数的解析式)(x f（2） 求与)(x f 的图像关于8=x 对称的函数的解析式)(x g ；（3） 求)()(x g x f y +=的最值 .6. 已知函数)sin()(ϕω+=x x f （0>ω、πϕ≤≤0）是R 上的偶函数，其图像关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值 .例2. 已知函数)sin(ϕω+=x A y ，R x ∈（其中0,0>>ωA ）的图象在y 轴右侧的第一个最高点（函数取极大值的点）为)22,2(M ，与x 轴在原点右侧的第一个交点为)0,6(N ，求这个函数的解析式.由图象求函数)(x f 的解析式的专题训练：1. [06四川6] 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（A ）sin()6y x π=+ （B ）sin(2)6y x π=-（C ）cos(4)3y x π=-（D ）cos(2)6y x π=-2.[07宁夏3] 函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣，的简图是（ ）xＡ．Ｂ．xy3.[08山东3] 函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ） 4.[08江西10] 函数y =tan x +sin x -|tan x -sin x |在区间（3,22ππ）内的图象大致是5.[06安徽9] 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-xxA ．B ．C ．D ．C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-四、高考真题体验：一、三角函数的性质：1.[06天津5] 设ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，，那么“αβ<”是“tan tan αβ<”的（ ）Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2.[06安徽8] 对于函数()sin 1(0)sin x f x x xπ+=<<，下列结论正确的是（ ） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值3.[07天津9] 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间2736ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数B ．在区间2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦，上是减函数C ．在区间84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数D ．在区间536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数4.[08全Ⅰ卷6] 2(sin cos )1y x x =--是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数5.[08广东5] 已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+，R x ∈,则()f x 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6.[06全1卷6] 函数()tan()4f x x π=+的单调增区间为 ；7.[06福建16] 已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值是＿＿。
三角函数教学课件(共6篇)
三角函数教学课件（共6篇）第1篇：三角函数教学课件三角函数教学课件一.教学目标1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。
（2）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。
（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。
二.教学重点与难点教学重点:探求π－a的诱导公式。
π＋a与－a的诱导公式在小结π－a的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。
教学难点:π＋a，－a与角a终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。
三.教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件四.教学过程角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值怎么求呢？先看一个具体的问题。
（一）问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。
【问题1】求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系。
即有：sin(a+k·360°)=sinα，cos(a+k·360°)=cosα，(k∈Z)tan(a+k·360°)=tanα。
这组公式用弧度制可以表示成sin(a+2kπ)=sinα，cos(a+2kπ)=cosα，(k∈Z)(公式一)tan(a+2kπ)=tanα。
第5讲解三角形及三角函数模型应用题
【解析】选 C. 由 余 弦 定 理 知
2 2
a2＋b2－c2 ＝ cosC ＝ 2ab
【解析】选 A. 因为 C＝2B， 所以 sinC＝sin(2B)＝2sinBcosB， c b c sinC 8 根据正弦定理有 ＝ ，所以b＝ ＝ ，所 sinC sinB sinB 5 sinC 1 8 4 以 cosB ＝ ＝ × ＝ . 又 cosC ＝ cos(2B) ＝ 2sinB 2 5 5 16 2 2 2cos B － 1 ，所以 cosC ＝ 2cos B － 1 ＝ 2× － 1 ＝ 25 7 ，选 A. 25 【命题立意】 本小题主要考查正弦定理和二倍角公 式，考查运算求解能力和转化化归思想．
1．解三角形问题 例1(1)在△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，C＝60°，
3 则△ABC 的面积为________ ． 2
AB AC ＝ 得 sinC sinB 3 AC·sinC 1× 2 1 sinB＝ AB ＝ ＝ . 2 3 又 AB＞AC. 则 C＞B 从而 B＝30°，所以 A＝180°－60° －30° ＝90° ， 【解析】由正弦定理 1 3 故 S△ABC＝ AB·AC＝ . 2 2
1 (3)三角形面积公式：S△＝ aha(ha 表示 a 边上 2 1 1 1 abc 的高)，S△＝ absinC＝ bcsinA＝ acsinB＝ ；(R 2 2 2 4R 为外接圆半径)． (4)三角形中的边角关系 ①内角和定理：A＋B＋C＝π ； ②sin(A＋B)＝sinC， cos(A＋B)＝－cosC， tan(A＋B)＝－tanC；
三角函数的详细讲解
三角函数1.求函数f（x）=cos3x的周期．考点：三角函数的周期性及其求法；函数的图象．分析：设出函数的周期为T，根据周期的定义有f（x）=f（x+T）得，3x+2π=3（x+T），同三角函数的f（x）=cos3x=cos（3x+2π）比较，得到T的值．解答：解：设周期为T．f（x）=cos3x=cos（3x+2π），f（x+T）=cos3（x+T）由f（x）=f（x+T）得，3x+2π=3（x+T），解得T= 2π/3∴函数f（x）=cos3x的周期2π/3．点评：本题是一个三角函数的定义问题，是一个利用诱导公式来解的问题，是一个概念问题，解题时紧抓住定义，本题可以作为解答题的一问出现．本题也可以画图象来解．2. 已知函数y=3sin（2x- π/6）．求①函数的周期T；②函数的单调增区间．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：①直接利用求周期的公式，求出函数的周期T；②利用y=sinx的单调性，求出函数的单调增区间．解答：解：①依题意可知：T= 2π/π=2即函数的周期为π②令u=2x- π/6则函数y=3sinu的单调增区间为[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]k∈Z由–π/2+2kπ≤2x-π/6≤π/2+2kπ，得：–π/6+kπ≤x≤π/3+kπk∈Z∴函数y=3sin（2x- π/6）的单调增区间为：[-π/6+kπ，π/3+kπ]k∈Z（8分）点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，是基础题．3.已知函数f(x)=cos2x+2√3sinxcosx-sin2x，（1）求函数f（x）的最大值，最小值及最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）并用“五点法”画出它一个周期的图象．考点：正弦函数的单调性；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象.专题：综合题．分析：先利用二倍角公式对函数化简可得，f(x)=2sin(2x+π/6)（1）利用正弦函数的值域可得函数的最大值为2，最小值-2；利用周期公式T= 2π/ω可求周期（2）利用正弦函数的单调性可得，2kπ-1/2π≤2x+π/6≤2kπ+1/2π，求解即可（3）略解：（1）f（x）= cos2x+√3sin2x= 2sin(2x+π/6)∴周期T= 2π/2=π∴当sin(2x+π/6)=1时，f（x）取得最大值2，当sin(2x+π/6)=-1时f（x）取得最小值-2（2）当2kπ-π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2 k∈Z即kπ-π/3≤x≤kπ+π/6k∈Z函数f（x）单调递增∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-π/3，kπ+π/6]，（k∈Z）（3）列表：点评:本题主要考查了利用二倍角的正弦余弦公式对三角函数式的化简，辅助角公式ainx+bcosx= a2+b2sin(x+θ)的运用，正弦函数的最值及单调性的求解，五点法作三角函数的图象，灵活运用三角函数的性质是解决本题的关键．4.求函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x的最小正周期．考点:三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用平方关系以及二倍角公式，化简函数y=（sinx+cosx）2+2cos2x为一个角的一个三角函数的形式，求出周期即可．解答：解：y=（sinx+cosx）2+2cos2x=1+sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+2= 2sin(2x+π4)+2；∴最小正周期T= 2π/2=π．点评：本题考查三角函数的最小正周期的求法，是基础题．5.求函数y=sin4x+2√3sinxcosx-cos4x的最小正周期、最小值和单调递增区间．考点:三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：综合题．分析：把函数解析式中的第一与第三项结合，利用平方差公式分解因式，根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后提取2后，利用两角差的正弦函数公式化为一个角2x-π/6的正弦函数，找出λ的值，利用周期公式T= 2π/λ即可求出最小正周期，根据正弦函数的值域得到正弦函数的最小值为-1，即可求出函数y的最小值，根据正弦函数的单调递增区间得到2x- π/6的范围，求出x的范围即为函数y的递增区间．解答：解：y=sin4x+2√3sinxcosx-cos4x=sin4x-cos4x+2√3sinxcosx=（sin2x+cos2x）（sin2x-cos2x）+2√3sinxcosx=-cos2x+√3sin2x=2（sin2xcosπ/6-cos2xsinπ/6）=2sin（2x-π/6）∴T= 2π/2=π，y min=-2，又∵- π/2+2kπ≤2x-π/6≤π/2+2kπ，∴- π/3+2kπ≤2x≤2π/3+2kπ，即- π/6+kπ≤x≤π/3+kπ，∴y=2sin（2x-π/6）的单调增区间是[-π/6+kπ，π/3+kπ]点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的恒等变形及三角函数的最值．把函数y的解析式利用三角函数的恒等变形化为一个角的正弦函数是解本题的关键．同时本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握三角函数的恒等变形公式及法则．6.求下列函数的周期（1）y=1-3cos2(x/3+π/6)；（2）y=4sin(3x+π/4)+3cos(3x+π/4).考点:三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：（1）利用二倍角公式降次把函数化为一个角的三角函数的形式，然后求出周期．（1）利用两角和的正弦公式，把函数化为一个角的三角函数的形式，然后求出周期．解答：解：（1）y=1-3cos2(x/3+π/6)= -3/2cos(2x/3+π/3)-1/2T= 2π/2/3=3π函数的最小正周期是3π．（2）y=4sin(3x+π/4)+3cos(3x+π/4).= 5sin(3x+π/4+θ)其中tanθ= 3/4它的周期是T= 2π/3．函数的最小正周期是2π/3．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，考查运算能力，是基础题．。
新高考数学复习基础知识专题讲义05 三角函数定义及同角三角函数(解析版)
新高考数学复习基础知识专题讲义 知识点05 三角函数定义及同角三角函数知识理解 一．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度． 二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．2.三角函数在每个象限的正负如下表：三．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 四．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.考向一 角度制与弧度制的转换【例1-1】（2020·全国课时练习）填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.【答案】填表见解析，作图见解析 【解析】如表，如图：考向分析对应的角的终边分别为图中的射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，OI. 【例1-2】（2020·全国课时练习）把下列各弧度化为角度. （1）12π；（2）53π；（3）310π；（4）8π；（5）32π-；（6）56π-. 【答案】（1）15︒；（2）300︒；（3）54︒；（4）22.5︒；（5）270︒-；（6）150︒-.【解析】（1）1801512ππ︒︒⨯=；（2）51803003ππ︒︒⨯=；（3）18054310ππ︒︒⨯=；（4）28180 2.5ππ︒︒⨯=；（5）31802702ππ︒︒-⨯=-；（6）51801506ππ︒︒-⨯=-.【例1-3】（2019·全国高三专题练习）将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－8π＋4πB ．－10π－4πC ．－8π＋74πD ．－10π＋74π 【答案】D【解析】﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π+74π．故选D【举一反三】1．（2020·全国课时练习）把下列角度化成弧度：（1）36︒； （2）150︒-； （3）1095︒； （4）1440︒. 【答案】（1）5π（2）56π-（3）7312π（4）8π 【解析】（1）361805ππ︒⨯=； （2）51501806ππ-︒⨯=-； （3）73109518012ππ︒⨯=； （4）14408180ππ︒⨯=． 2．（2020·全国课时练习）将下列角度与弧度进行互化. （1）20°；（2）－15°；（3）712π（4）－115π. 【答案】（1）20°＝9π；（2）－15°＝－12π；（3）712π＝105°；（4）－115π＝－396°.【解析】（1）20°＝20180π＝9π. （2）－15°＝－15180π＝－12π.（3）712π＝712×180°＝105°. (4)－115π＝－115×180°＝－396°.3．（2020·全国高三专题练习）把−1125°化成α+2k π(0≤α<2π,k ∈Z)的形式是（ ） A ．−π4−6πB ．7π4−6πC ．−π4−8πD ．7π4−8π【答案】D【解析】−1125°=−1440°+315°=−8π+7π4，故选D.4．（2019·全国高三专题练习）将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－4π－8πB ．74π－8πC ．4π－10πD ．74π－10π【答案】D【解析】由题意，可知－1485°＝－5×360°＋315°，又π＝180°，则315°＝74π， 故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是74π－10π． 考向二 三角函数定义【例2】（1）（2020·云南）已知角α的终边经过点34(,)55P -，则sin α等于（ ） A ．45B ．35C ．43-D ．34- （2）（2020·广东）已知角θ的终边上一点(4,3)(0)P a a a ≠，则sin θ=（ ） A ．45B ．35C ．45±D ．35± 【答案】（1）A （2）D【解析】（1）因为角α的终边经过点34(,)55P -，所以x 34,,155y r =-==，所以4sin 5y r α==，故选：A（2）5OP a == 由三角函数的定义可得333sin 55a a OP a θ===±故选：D 【举一反三】1．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin α的值是（ ） A ．35B ．34C ．45D ．43 【答案】C【解析】由已知5OP ==，所以4sin 5α．故选：C ． 15．（2020·商南县高级中学）角α的终边过点()3,4P a ，若3cos 5α=-，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．±1D ．5± 【答案】B【解析】由条件可知r OP ==， 由三角函数的定义可知3cos 5x r α===-，0a <，解得：1a =-.故选：B 3．（2019·吉林高三月考（文））若点cos ,sin36ππ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan α的值是（ ）A ．-1B ．1C ．【答案】B【解析】据题意，得1sin62tan 11cos32παπ===.故选：B.考向三 三角函数正负判断【例3】（1）（2020·山东高三专题练习）已知cos tan 0θθ⋅>，那么θ是（ ） A ．第一、二象限角B ．第二、三象限角C ．第三、四象限角D ．第一、四象限角（2）（2020·山东高三专题练习）若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】（1）A （2）D【解析】（1）由cos tan 0θθ⋅>可知cos ,tan θθ同号，即cos tan =sin 0θθθ⋅>，从而θ为第一、二象限角，故选：A（2）因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以点()sin ,cos P αα在第四象限，故选D【举一反三】1．（2019·浙江高三专题练习）已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限，故选B.2．（2020·全国高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】 C【解析】2sin sin tan 0cos αααα=<，cos 0α∴<，又2cos cos 0tan sin αααα=<，则sin 0α<. 因此，角α为第三象限角.故选：C.3．（2020·全国高三专题练习）已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】D【解析】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角，故选:D4．（多选）（2020·全国高三专题练习）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为（ ） A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤ 【答案】BC【解析】若θ为第二象限角，则sin 0θ>，cos 0θ<，tan 0θ<.所以，θ为第二象限角sin 0cos 0θθ>⎧⇔⎨<⎩或sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩或cos 0tan 0θθ<⎧⎨<⎩.故选：BC.考向四 同角三角公式【例4】（1）（2019·全国高三专题练习）已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（ ） A ．513B ．－513 C ．512D ．－512（2）（2020·江西景德镇一中）已知2tan 3α=，且2απ<<π，则cos α=（ ）A ．13-B ．13．13-D ．13【答案】（1）B （2）A【解析】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-. 故选：B ． （2）2tan 03α=>且2απ<<π，32ππα∴<<，cos 0α∴<， 由22sin 2tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：cos 13α=-故选：A .【举一反三】1．（2020·海拉尔市蒙古族中学高三学业考试）已知α为第四象限的角，且3cos 5α=，则tan α的值为（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【解析】α为第四象限的角，且3cos 5α=，4sin 5α∴===-.4sin 45tan 3cos 35ααα-∴===-.故选：D .2．（2019·北京海淀·101中学高三月考）已知3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=那么sin α=（ ）A ．-．D【答案】B【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan 0cos ααα==>，故3(,)2παπ∈， sin αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=故选：B 3.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【答案】见解析【解析】由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α①又sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.考向五 弦的齐次【例5】（1）已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．（2）（2020·固原市五原中学高三）已知tan 2θ=，则2sin sin cos 2θθθ+-= 【答案】（1）3（2）45-（1）原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. （2）因为22sin +cos 1θθ=，sin tan cos θθθ=所以222sin sin cos 2sin sin cos 2cos θθθθθθθ+-=-+-222222sin sin cos 2cos tan tan 2sin +cos tan +1θθθθθθθθθ-+--+-==42244+15-+-==-故选：D.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知1tan 3α=-，则2cos sin cos ααα-+的值为（ ） A ．3-B ．34-C ．43-D ．34【答案】A【解析】由1tan 3α=-，得2cos 2232sin cos 1tan 3αααα---===-++.故选：A.2．（2020·福建省武平县第一中学高三月考）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-等于（ ） A ．43-B ．54C ．34-D ．45【答案】D【解析】222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθθθθθ+-+-=+22tan tan 24224tan 1415θθθ+-+-===++. 故选：D3．（2020·西藏拉萨中学高三）1tan 2α=，则sin 2α=（ ） A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】C【解析】1tan 2α=，2222122sin cos 2tan 42sin 21151()2sin cos tan ααααααα⨯∴====+++．故选：C 4．（2020·江苏南京田家炳高级中学）已知tan 2α=，求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-； （2）221sin sin cos 2cos αααα+-.【答案】（1） 4 （2）54【解析】（1）sin 2cos tan 2224sin cos tan 121αααααα+++===--- （2）2222221sin cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos αααααααααα+=+-+-2222tan 1215tan tan 22224ααα++===+-+- 考向六 sin cos sin cos α±ααα与【例6】（1）（2020·永寿县中学高三开学考试）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）． A ．79-B ．29-C ．29D ．79（2）（2020·广东华南师大附中高三月考）已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A ．247B ．43-或34-C ．34-D ．43- 【答案】（1）A （2）D【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.（2）由1sin cos 5αα+=，平方可得112sin cos 25αα+=，解得242sin cos 25αα=-， 又由2249(sin cos )sin cos 2sin cos 25αααααα-=+-=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得sin cos 0αα->，所以7sin cos 5αα-=，联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得43sin ,cos 55αα==-，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：D.【举一反三】1．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知7sin cos17αα+=，()0,απ∈，则tanα=________.【答案】158-【解析】依题意7sin cos17αα+=，两边平方得4924012sin cos,2sin cos0289289αααα+==-<，而()0,απ∈，所以sin0,cos0αα><，所以23sin cos17αα-====.由7sin cos1723sin cos17αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得158sin,cos1717αα==-，所以sin15tancos8ααα==-.故答案为：158-2．（2020·四川省南充高级中学高三月考（理））已知1sin cos5θθ+=，(0,)θπ∈，则tanθ=________. 【答案】43-【解析】已知1sin cos5θθ+=，平方得()2221sin cos sin cos2sin cos25θθθθθθ+=++=，得12sin cos25θθ=-，∴()222sin cos sin cos2sin cos125252449θθθθθθ-=+-=+=，(0,)θπ∈，sin0,cos0θθ><，7sin cos 5θθ∴-=，7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+，解得4tan 3θ=-. 故答案为：43-考向七 三角函数线运用【例7】（2020·全国高三专题练习）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2]π内α的取值范围是（ ）．A ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当0k =时，42ππα<<或54ππα<<． 02απ，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知点()cos ,tan P αα在第二象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】点()cos ,tan P αα在第二象限，则cos 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以角α在第三象限.故选：C2．（2020·海伦市第一中学高三期中（文））已知点()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，则α的取值范围是（ ）． A ．()ππ2π,2π42k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．()3π2π,2ππ4k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z C ．()3π5π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D ．()5π7π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z【答案】D 【解析】()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，cos sin 0sin cos 0αααα+<⎧∴⎨-<⎩，2222sin cos sin 1sin sin 0sin 0αααααα⎧⎧>>-∴⇒⎨⎨<<⎩⎩，21sin 2sin 0αα⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，sin α∴<，()5π7π2π,2π44k k k α⎛⎫∴∈++∈ ⎪⎝⎭Z．故选：D. 3．（2020·贵州高三其他模拟）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内的α的取值范围是（ ）A ．35(,)(,)244ππππB ．5(,)(,)424ππππC ．353(,)(,)2442ππππD ．33(,)(,)244ππππ 【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当0k =时，42ππα<<或54ππα<<．02απ≤≤，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．1．（2020·重庆西南大学附中高三月考）下列转化结果正确的是（ ） A ．60化成弧度是rad 6πB ．rad 12π化成角度是30 C ．1化成弧度是180rad πD ．1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由180π=得，对于A 选项：60化成弧度是rad 3π，故A 不正确；对于B 选项：rad 12π化成角度是11801512⨯=，故B 不正确；对于C 选项：1化成弧度是180rad π，故C 错误；对于D 选项：1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确，故选：D.2．（2020·天津市静海区大邱庄中学高三月考）下列转化结果错误的是（ ） A ．30化成弧度是6πB ．103π-化成度是600-︒ C ．6730'︒化成弧度是27πD ．85π化成度是288︒ 【答案】C【解析】30化成弧度是6π，A 正确；103π-化成度是600-︒，B 正确； 6730'︒是367.567.51808ππ︒=⨯=，C 错误；85π化成度是288︒，D 正确.故选：C. 3．（2020·江苏高三专题练习）225-化为弧度为()强化练习A ．34πB ．74π-C ．54π-D ．34π- 【答案】C【解析】225225356024ππ=-⋅-=-.故选C 4．（2019·全国高三专题练习）下列结论不正确的是( )A ．3πrad ＝60°B ．10°＝18πrad C ．36°＝5πradD ．58πrad ＝115°【答案】D 【解析】 ∵π＝180°，∴3πrad ＝60°正确，10°＝18πrad 正确，36°＝5πrad 正确，58πrad ＝＝112.5°≠115°，D 不正确．故选D ．5．（2020·浙江温州·高二期中）已知角α的终边上有一点()1,2P -，则tan α的值为（ ） A ．-2B ．12-C D ．【答案】A 【解析】角α的终边上有一点()1,2P -，2tan 21α-∴==-.故选：A. 6．（2020·江苏镇江·高三期中）已知点51,3tan6P π⎛⎫- ⎪⎝⎭是角θ终边上一点，则cosθ的值为（ ） A ．12B．12-D． 【答案】C【解析】因为53tan 36π⎛=⨯= ⎝⎭(1,P -，所以1cos 2θ==-，故选：C.7．（2020·河南高三月考（文））已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，终边与单位圆交于12P ⎛-⎝⎭，则sin α=（ ） A．B ．12-C．．2【答案】D【解析】由三角函数的定义，sin y α==.故选：D. 8．（2020·北京人大附中高三月考）已知点5π2cos,16P ⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ） A ．12B．2C ．12-D．2- 【答案】A【解析】由5πcos62=-，可得点()P ， 根据三角函数的定义，可得1sin 2α==.故选：A.9．（2020·浙江高二开学考试）已知角α的终边经过点(2,1)P -，则（ ）A ．sin αB ．sin α=C ．cos α=D ．tan 2α【答案】A【解析】角α的终边经过点(2,1)P -,所以P根据三角函数定义得到：sin 55a α====-，1tan 2α=-；故选A. 10．（2020·开鲁县第一中学高三月考（文））已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin cos αα+的值等于( ) A ．25-B ．45C ．35D ．25【答案】A【解析】因为角α的终边过点()4,3,5P r OP -==，所以利用三角函数的定义， 求得34,cos 55sin αα=-=，3422cos 2555sin αα∴+=-⨯+=-，故选A. 11．（2020·宁夏银川二中高三其他模拟）如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C．D．-【答案】C【解析】由题意()(2sin30,2cos301,︒-︒= ，点(1,到原点的距离2r ==，由定义知sin 2y r α==-故选：C ． 12．（2020·扶风县法门高中高三月考（文））已知α的值是（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．12- 【答案】Ccos 2sin cos sin cos ααααα+=+， 因为α为第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以cos 2sin 2sin cos 211sin cos sin cos αααααααα-+=+=-=.故选：C. 13．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边位置在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】由于点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<， 所以α在第二象限.故选：B14．（2020·全国高三专题练习（文））已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<< 所以角α在第二象限故选：B15．（2020·江苏高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是第（ ）象限角. A ．一B ．二C ．三D ．四 【答案】C【解析】由条件知sin α与tan α异号，则α为第二或第三象限角；又cos α与tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.故选：C16．（2020·北京市第十三中学高三期中）已知()0,απ∈，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．43 【答案】A【解析】由3cos 5α=-得4sin 5α===±，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以4sin 5α， 所以4sin 45tan 3cos 35ααα===--，故选：A17．（2020·陕西省定边中学高三月考（文））已知tan 4α=，则21cos 28sin sin 2ααα++的值为（ ）A ．．654C ．4D ．3【答案】B【解析】因为tan 4α=，所以21cos 28sin sin 2ααα++，222cos 8sin 2sin cos αααα+=，228tan 2tan αα+=，228424+⨯=⨯， 654=故选：B 18．（2020·重庆南开中学高三月考）已知tan 2α=，则2221sin 2cos sin 2cos αααα++=-（ ）A ．32B ．52C ．4D ．5 【答案】D 【解析】22222221sin 2cos sin 2sin cos 2cos sin 2cos sin 2cos αααααααααα++++=--22tan 2tan 25tan 2ααα++==-故选:D 19．（2020·全国高三专题练习（文））已知02πα-<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα-的值为( )A ．75B ．257C ．725D ．2425【答案】B【解析】由题意，因为1sin cos 5αα+=，所以112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-， 所以()249cos sin 12sin cos 25αααα-=-=，又因为02πα-<<，所以sin 0,cos 0αα<>，所以7cos sin 5αα-=，所以221125cos sin (cos sin )(cos sin )7αααααα==-+-，故选B.20．（2020·全国高三专题练习）（多选）下列转化结果正确的是（ ）A ．6730'化成弧度是38πB ．103π-化成角度是600-C ．150-化成弧度是76π-D ．12π化成角度是5 【答案】ABD【解析】对于A,3673067.51808ππ'=⨯=,正确;对于B,101018060033πππ-=-⨯=-,正确; 对于C,51501501806ππ⨯-=-=-,错误;对于D,180151212πππ=⨯=,正确.故选ABD 21．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 【答案】1-【解析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-， 1x ∴=-.故答案为：1-.22．（2020·湖南高二学业考试）已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.【答案】35【解析】因为角α的终边经过点(3，4)，所以3cos 5x r α===，故答案：35 23（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________. 【答案】35【解析】由2sin cos 0αα-=，得1tan 2α=，则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 故答案为：35. 24．（2020·万载县第二中学高三月考（理））已知角α的终边经过点(,6)P x --，且3cos 5α=-，则11sin tan αα+=________． 【答案】12- 【解析】点P 的纵坐标为6-，且3cos 05α=-<．∴角α的终边落在第三象限，4sin 5α∴=-，4tan 3α= 115321sin tan 4442αα∴+=-+=-=-.故答案为：12-. 25．（2020·山东高三专题练习）已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________. 【答案】－2316易知cos α≠0，由sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，得tan 23tan 5αα-+＝－5，解得tan α＝－2316.故答案为：－2316。
高考数学第3章三角函数、解三角形第3讲三角函数的图象与性质创高三全册数学
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2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义 域 值域
xx∈R，且 x≠
R
R
kπ＋π2，k∈Z
01 _[－___1_,1__] 02 _[－___1_,1_]_ 03 _R_
12/12/2021
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续表
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
最值
当 x＝π2＋2kπ
当 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax
x∈
(k∈Z)时，ymax＝1；
＝1；
－π2＋kπ， π2＋kπ
当 x＝32π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
当 x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
，k∈Z，无最大值， 也无最小值
12/12/2021
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解析
2．已知π3为函数 f(x)＝sin(2x＋φ)0<φ<π2的零点，则函数 f(x)的单调递 增区间是( )
A.2kπ－152π，2kπ＋1π2(k∈Z) B.2kπ＋1π2，2kπ＋71π2(k∈Z) C.kπ－51π2，kπ＋1π2(k∈Z) D.kπ＋1π2，kπ＋71π2(k∈Z)
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1．函数 y＝ tanx＋ －cosx的定义域为｛__x_2_k_π_＋__π_≤__x_＜__2_kπ_＋__3_2π_，__k_∈__Z_．
解析
tanx≥0， 由
－cosx≥0，
得
tanx≥0，
cosx≤0.
所以 2kπ＋π≤x<2kπ＋32π，k∈
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第三章 第五讲 A组 基础巩固 一、选择题
1．(2015·河南洛南联考)已知f(x)＝sinx－cosx，则f(π12)的值是 ( )
A．－62 B.12 C．－22 D．22 [答案] C [解析] 因为f(x)＝sinx－cosx＝2sin(x－π4)，所以f(π12)＝2sin(π12－π4)＝2sin(－π6)＝－22.
2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝ ( ) A．－32 B.－12 C.12 D．32 [答案] C [解析] sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝
sin30°＝12. 3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝ ( ) A.18 B.－18
C.47 D．－47 [答案] D [解析] tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋β·tanα－β＝3＋51－3×5＝－47. 4．若cos2α－cos2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于 ( )
A．－a2 B.a2 C．－a D．a [答案] C [解析] sin(α＋β)sin(α－β) ＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ) ＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
＝cos2β－cos2α＝－a.
5．已知过点(0,1)的直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝ ( )
A．－73 B.73
C.57 D．1 [答案] D [解析] 由题意知tanα＝2，tanβ＝－13.
∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2－131－2×－13＝1. 6．(2015·成都一诊)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是 ( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D．5π4或9π4 [答案] A [解析] 因为α∈[π4，π]，故2α∈[π2，2π]，又sin2α＝55，故2α∈[π2，π]，α∈[π4，π2]，∴cos2α＝－255，β∈[π，3π2]，故β－α∈[π2，5π4]，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×(－31010)－55×1010＝22，且α＋β∈[5π4，2π]，故α＋β＝7π4. 二、填空题 7.sin250°1＋sin10°＝________.
[答案] 12 [解析] sin250°1＋sin10°＝1－cos100°21＋sin10° ＝1－cos90°＋10°21＋sin10°＝1＋sin10°21＋sin10°＝12. 8．已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.则sin(α－β)＝________，cosβ＝________. [答案] －1010 95010 [解析] ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，sinα＝35，∴cosα＝45. ∴cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. 9．已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是________. [答案] －45 [解析] ∵cos(α－π6)＋sinα＝453， ∴32cosα＋32sinα＝453， 3(12cosα＋32sinα)＝453，3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 10．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________. [答案] 1 [解析] 根据已知条件： cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ， cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0， 即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0. 又α、β为锐角，则sinβ＋cosβ＞0， ∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1. 三、解答题
11．(2015·山东腾州二中月考)已知α，β都是锐角，sinα＝45，cos(α＋β)＝513. (1)求tan2α的值； (2)求sinβ的值．
[答案] (1)－247 (2)1665
[解析] (1)∵α∈(0，π2)，sinα＝45， ∴cosα＝1－sin2α＝35. ∴tanα＝sinαcosα＝43，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247. (2)∵α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos(α＋β)＝513，∴sin(α＋β)＝1213， ∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝1213×35－513×45＝1665. 12．(2015·广东广州执信中学月考)已知函数f(x)＝tan(3x＋π4). (1)求f(π9)的值； (2)设α∈(π，3π2)，若f(α3＋π4)＝2，求cos(α－π4)的值． [答案] (1)2－3 (2)－31010
[解析] (1)f(π9)＝tan(π3＋π4)＝tanπ3＋tanπ41－tanπ3tanπ4＝3＋11－3＝－2－3. (2)因为f(α3＋π4)＝tan(α＋3π4＋π4)＝tan(α＋π)＝tanα＝2.所以sinαcosα＝2，即sinα＝2cosα.① 因为sin2α＋cos2α＝1，②
由①②解得cos2α＝15.
因为α∈(π，3π2)，所以cosα＝－55，sinα＝－255. 所以cos(α－π4)＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝－55×22＋(－255)×22＝－31010. B组 能力提升 1．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则cosAcosB＝ ( ) A.14 B.34 C.12 D．－14 [答案] B [解析] tanA＋tanB＝sinAcosA＋sinBcosB＝sinAcosB＋cosAsinBcosAcosB＝sinA＋BcosAcosB＝sin60°cosAcosB＝32cosAcosB＝233，
∴cosAcosB＝34. 2．如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝ ( )
A.31010 B.1010 C.510 D．515 [答案] B [解析] 因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝π4. 在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1， 所以sin∠BEC＝55，cos∠BEC＝255. sin∠CED＝sin(π4－∠BEC) ＝22cos∠BEC－22sin∠BEC＝22(255－55)＝1010.
3．(2015·重庆)若tanα＝2tanπ5，则cosα－3π10sinα－π5＝ ( ) A．1 B.2 C．3 D．4 [答案] C [解析] cosα－3π10sinα－π5＝sinα－3π10＋π2sinα－π5 ＝sinα＋π5sinα－π5＝sinαcosπ5＋cosαsinπ5sinαcosπ5－cosαsinπ5
＝sinαcosαcosπ5＋sinπ5sinαcosαcosπ5－sinπ5＝2·sinπ5cosπ5cosπ5＋sinπ52·sinπ5cosπ5cosπ5－sinπ5 ＝3sinπ5sinπ5＝3，故选C. 4．(2015·广东南澳中学月考)已知方程x2＋4x＋3＝0的两个根分别为tan(α－β)，tanβ. (1)求tanα的值；
(2)求3cosα＋sinαcosα－sinα的值． [答案] (1)2 (2)－5 [解析] (1) tanα－β＋tanβ＝－4，tanα－β·tanβ＝3，
∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－β·tanβ＝－41－3＝2. (2)3cosα＋sinαcosα－sinα＝3＋tanα1－tanα＝3＋21－2＝－5. 5．(2015·上海虹口区上学期期末)已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝105. (1)求cos(α－β)的值； (2)若tanα2＝12，求cosα及cosβ的值．
[答案] (1)45 (2)35；2425 [解析] (1)由|AB|＝105， 得cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2＝105，