2003年第18届江苏省初中数学竞赛试卷(初二第2试)
江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试
江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试一．选择题1．三个质数p ，q ，r 满足p+q=r ，且p<q ，那么p 等于（ ） A 、2 B 、3 C 、7 D 、132．数a ，b ，c ，d 所对应的点A 、B 、C 、D 在数轴上的位置如图所示，那么a+c 与b+d 的大小关系是（ ）A 、a+c<b+dB 、a+c=b+dC 、a+c>b+dD 、不能确定3．如果有2003名学生排成一列，按1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，。
的规律报数，那么第2003名学生所报的数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、44．画两条线段，它们除有一个公共点外不再有重叠的部分，在所得图中，设以所画线段的端点以及它们的公共点为端点的线段条数为n ，那么对于各种可能的图形，不同的n 值有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、多于4个 5．已知2n －1表示“任意正奇数”，那么表示不大于零的偶数的是（ ） A 、－2n B 、2(n －1) C 、－2(n+1) D 、－2(n －1)6．用一根长度为11的铅丝折成三段，再首尾相接围成一个等腰三角形，如果要求所围成的等腰三角形的边长都是整数，那么其底边可取的不同长度有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 7．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ，AC ，那么这两条对角线的夹角等于（ ）A 、600B 、750C 、900D 、13508．由若干个小正方体堆成的大正方体，其表面被涂成红色，在所有小正方体中，三面被涂成红的有a 个，两面被涂成红的有b 个，一面被涂成红的有c 个，那么在a ，b ，c 三个数中（ ）A 、a 最大B 、b 最大C 、c 最大D 、哪一个最大与堆成大正方体的小正方体个数有关 二．填空题9．右边的算式表示四位数abcd 与9的积是四位数dcba ， 那么a 、b 、c 、d 的值分别是____________10．用写有数字的四张卡片可以排出不同的四位数，其中能被22整除的四位数的和是_____________. A . D . B . C . O 1 2 3 4 a b c d c b a d 9 11．把一根绳子对折后再对折，然后在其一个三等分处剪断，这样变成了________根绳子，其中最长的是最短的长度的________倍12．有31个盒子，每个盒子最多能放5只乒乒球，现取若干只乒乒球往盒里放，那么这些盒子中至少有____________个盒子里的球数相同13．如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个长方形，如果S 1＝75cm 2，S 2＝15cm 2，那么大正方形的面积是S ＝_____________cm 214．如果a ，b 是任意两个不等于零的数，定义运算○+如下（其余符号意义如常）：a ○+b=2a b，那么[(1○+2) ○+3]－[1○+(2○+3)]的值是_____________ 15．如图，画线段DE 平行于BC ，端点D ，E 分别在AB ，AC 上，再画线段FG 平行于CA ，HI 平行于AB ，端点也都分别在另两边上，在按上述要求画出的图形中，最少有________个三角形，最多有_______个三角形16．如果()11112003 (261212004)n n +++=+，那么n=______________ 17．A 、B 、C 、D 、四个盒子中分别入有6，4，5，3个球，第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取1个球放入这个盒子中，然后第二个小朋友又找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取1个球放入这个盒子，。
2022学年初二数学第二学期考试卷(含答案)
2022学年初二数学第二学期考试卷（含答案）考生须知：1．全卷共三大题，24小题，满分为120分.2．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式，不允许使用计算器. 3．全卷答案必须做在答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效.4．请用钢笔或黑色墨迹签字笔将学校、姓名、准考证号、座位号分别填在答题卷的相应位置上.一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1．估计5的值在………………………………………………………………………（ ▲ ） A. 0～1之间B. 1～2之间C. 2～3之间D. 3～4之间2．下列方程中，关于x 的一元二次方程是……………………………………………（ ▲ ） A.y x =-23B.x x =-2C.11+=x xD. 322=+x x3．甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数x 与方差s 2如下表：甲 乙 丙 丁 平均数x （环）11.1 11.1 10.9 10.9 方差s 21.11.21.31.4若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择……………………（ ▲ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史. 2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo 进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是………………………………………（ ▲ ）A. B. C. D.5．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到△BC ′D ，C ′D 与AB 交于点E ．若∠1=35°，则∠2的度数为………………（ ▲ ） A. 20°B. 30°C. 35°D. 55°6．关于x 的一元二次方程x 2+4x +k =0有两个实数根，则k 的取值范 围是………………………………………………………（ ▲ ）A. k ≤－4B. k ＜－4C. k ≤4D. k ＜47．已知菱形的周长为56，则菱形的面积为………………（ ▲ ）A. 25C. 3D. 48．如图是边长为10cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪 线长度所标的数据（单位：cm ）不正确的是………………………………………（ ▲ ）A. B. C. D.9．如图，A 、B 两点在双曲线y =上，分别经过A 、B 两点向轴作 垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2的值等于…………（ ▲ ） A. 3 B. 4 C. 5D. 610．如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边的中点，DE 与AC相交于点F ，连接BF ，下列结论：①S △ABF =S △ADF ； ②S △CDF =4S △CEF ； ③S △ADF =2S △CEF ； ④S △ADF =2S △CDF ， 其中正确的是 ………………………………………（ ▲ ） A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．式子2 x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ． 12．正方形对称轴的条数为 ▲ .13．已知一个正n 边形的内角和为1080°，则n = ▲ .DCA EBC ′21108 1510 1013 9116A BS 1S 2y xOFBEC14．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则ab= ▲ ． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是菱形，BC ∥x轴. AD 与y 轴交于点E ，反比例函数 y ＝xk（x ＞0）的图象 经过顶点 C 、D . 已知点 C 的横坐标为5，BE ＝2DE ，则k 的值为 ▲ ．16．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 是AB 的中点，直 线l 平行于直线EC ，且直线l 与直线EC 之间的距离为2， 点F 在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠， 使点A 恰好落在直线l 上，则DF 的长为 ▲ ．三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（本题6分）解方程：x 2－3x =018．（本题6分）已知：x ＝1－2，y ＝1＋2，求x 2＋y 2－2x －2y 的值．y AE DCBOxDCA E B为了解市民对“垃圾分类知识”的了解程度，某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的问卷调查，调查结果分为“A ．非常了解”、“B ．了解”、“C ．基本了解”、“D ．不太了解”四个等级进行统计，并将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、图2），请根据图中的信息解答下列问题．（1）这次调查的市民人数为 ▲ 人，图2中，m ＝ ▲ . （2）补全图1中的条形统计图；（3）据统计，该市有市民140万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾分类知识”的了解程度为“B ．了解”的市民约有多少万人？20．（本题8分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ． （1）求证：四边形DBFE 是平行四边形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形DBEF 是菱形？为什么？AD EB F CAm% B n% C 20%D17% 图2市民对“垃圾分类知识”了解程度的条形统计图和扇形统计图图1已知关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣（k ﹣1）x +41=0有两个相等的实数根，求k 的值．22．（本题10分）如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，以OD ，CD 为邻边作平行四边形 DOEC ，OE 交BC 于点F ，连结BE ． （1）求证：F 为BC 中点；（2）若OB ⊥AC ，OF ＝2，求平行四边形ABCD 的周长．23．（本题10分）平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在函数y =x 4（x ＞0）与y =－x4（x ＜0）的图象上，A 、B 的横坐标分别为a 、b ．（1）若AB ∥x 轴，求△OAB 的面积；（2）若△OAB 是以AB 为底边的等腰三角形，且a +b ≠0，求ab 的值；（3）作边长为3的正方形ACDE ，使AC ∥x 轴，点D 在点A 的左上方，那么，对大于或 等于4的任意实数a ，CD 边与函数y =x4（x ＞0）的图象都有交点，请说明理由．ADOBFCOyx（备用图）Oyx如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PDQ的面积为y，求y关于x的函数表达式，并求自变量的取值范围；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.参考答案及评分意见一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C D A B A C D A DC评分标准 选对一题给3分，不选，多选，错选均不给分二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．x ≥2； 12．4 13．8 ；14．4 ； 15．5 ； 16．22 或22-4三、解答题（本题有8小题，共52分） 17．（本题6分）解：原方程可化为x （x ﹣3）=0，所以原方程的根为01=x ，32=x …………………………………6分18．（本题6分）解：原式=（x －1）2 +（y －1）2 －2 …………………………………4分∵x ＝1－2，y ＝1＋2， ∴原式=2)2-（+2)2+（－2=2＋2－2=2 …………………………………2分 19．（本题6分）（1）1000, 28% …………………………………2分 （2）图略； …………………………………2分 （3）140×35%＝49（万人） …………………………………2分 20．（本题8分）（1）证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形； ……………4分（2）AB =BC 或∠A ＝∠ C ………………………………2分∵D 是AB 的中点，∴BD =AB ，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE =BC ，∵AB =BC ，∴BD =DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形．…………2分21．（本题8分）解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）=0，整理得，k2﹣3k+2=0，即（k﹣1）（k﹣2）=0，…………………………………4分解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．………………2分∴k=2．…………………………………2分22．（本题10分）（1）证明略；…………………………………5分（2）平行四边形ABCD的周长为16．…………………………………5分23．（本题8分）解：（1）如图1，AB交y轴于P，∵AB∥x轴，∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；…………………………………4分（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，∴A、B的纵坐标分别为、﹣，∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，∴OA=OB，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，∴a2﹣b2+（）2﹣（）2=0，∴a2﹣b2+=0，∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，∵a+b≠0，a＞0，b＜0，∴1﹣=0，∴ab=﹣4；…………………4分（3）∵a≥4，而AC=3，∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，如图2，∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，∴C点坐标为（a﹣3，），∴F 点的坐标为（a ﹣3，），∴FC =﹣，∵3﹣FC =3﹣（﹣）=，而a ≥4，∴3﹣FC ≥0，即FC ≤3，∵CD =3，∴点F 在线段DC 上，即对大于或等于4的任意实数a ，CD 边与函数y 1=（x ＞0）的图象都有交点．……2分24．（本题12分）解：（1）5 …………………………………4分 （2）x x y 439432+-=，（0＜x ≤5） …………………………………4分 （3）存在，BM =21…………………………………4分。
2001第十八届全国初中数学联赛
2001第十八届全国初中数学联赛一、选择题（每小题7分，共42分）1．a ，b ，c为有理数，且等式a +=29991001a b c ++的值是（ ） A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．不能确定2．若1ab ≠，且有25200190a a ++=及29200150b b ++=，则ab的值是（ ）A ．95B ．59C ．20015-D ．20019-3．已知在ABC △中，90ACB ∠=︒，15ABC ∠=︒，1BC =，则AC 的长为（ ）A．2 B．2 C ．0.3 D4．如图，在ABC △中，D 是边AC 上的一点，下面四种情况中，ABD ACB △∽△不一定成产的情况是（ ）A ．AD BC AB BD ⋅=⋅ B ．2AB AD AC =⋅ C ．ABD ACB ∠=∠ D ．AB BC AC BD ⋅=⋅ 5．①在实数范围内，一元二次方程20ax bx c ++=的根为x =；②在ABC △中，若222AC BC AB +>，则ABC △是锐角三角形；③在ABC △和111A B C △中，a ，b ，c 分别为ABC △的三边，1a ，1b ，1c 分别为111A B C △的三边，若1a a >，1b b >，1c c >，则ABC △的面积S 大于111A B C △的面积1S ．以上三个命题中，假命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）A ．522.8元B ．510.4元C ．560.4元D ．472.8元 二、填空题（每小题7分，共28分）1．已知点P 在直角坐标系中的坐标为(01)，．O 为坐标原点，150QPO ∠=︒，且P 到Q 的距离为2，则Q 的标为__________．2．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为________． 3．已知x ，y 是正整数，并且23xy x y ++=，22120x y xy +=，则22x y +=_________．4．一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为________．第二试（A ）一、在直角坐标系中有三点(01)A ，，(13)B ，，(26)C ，；已知直线y ax b =+上横坐标为0，1，2的点分别为D ，E ，F ．试求a ，b 的值使得222AD BE CF ++达到最大值．二、⑴证明：若x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值，那么2a ，a b -，c 都是整数；⑵写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论（25分）三、如图，D ，E 是ABC △边BC 上的两点，F 是BC 延长线上的一点，DAE CAF ∠=∠．⑴判断ABD △的外接圆与AEC △的外接圆的位置关系，并证明你的结论．⑵若ABD △的外接圆的半径是AEC △的2倍，6BC =，4AB =，求BE 的长．第二试（B ）一、求实数x ，y 的值，使得222(1)(3)(26)y x y x y -++-++-达到最小值． 二、与（A ）卷2⑴题相同． 三、与（A ）卷3题相同．FE D C BA第二试（C ）一、与（B ）1题相同．二、与（A ）卷2⑴题相同． 三、与（A ）卷3⑶题相同．2001第十八届全国初中数学联赛试题答案第一试一、选择题1．B【解析】 本题需要比较等式两边的各项，利用有理数部分等于有理数部分，无理数部分等于无理数部分来求a 、b 、c 的值，由于： 25+．所以：a +则0a =，1b =，1c =．∴299910012000a b c ++=． 故选B【点评】 本数，于方程左边一一对应即可得出结果．2．A【解析】 显然可以看出方程系数相同，可以利用根与系数关系来求解：22200190a a ++=，29200150b b ++=（显然0b =不是方程的解）∴2115200190b b ++=，故a 与1b 都是方程25200190x x ++=的根，但1a b ≠，由0∆=，即a 与1b 是此方程的相异实根．从而195a b ⋅=．故选A ．【点评】 这道题的关键是利用好两个方程系数相同的条件，再利用根的定义和韦达定理求解，这其中方程将29200150b b ++=变形为2115200190b b++=的方法很巧．3．B【解析】 如图，作15BAD ∠=，交BC 于D ．则AD BD =，30ADC ∠=．设AC x =，则CD =，2AD x =，于是(21x =，解得2x =， 故选B ．【点评】 我们熟知的是30度的三角函数值，题中实际上求的是15度角的正切值，对于15度角的三角函数值在高中我们可以用三角公式来计算，而现在我们只能想办法将它转化到30度角的直角三角形中．4．D【解析】 由两三角形相似可知B 、C 一定成立，对于A ，作BE AC ⊥于E ，作BE AC ⊥于F ，于是，sin DF AD A =，sin BE AB A =，由AD BC AB BD ⋅=⋅，得DF BC BE BD ⋅=⋅． 所以，Rt BDF CBE △∽△，从而，ABD ACB ∠=∠，得ABD ACB △∽△， 注：也可以利用正弦定理． 故选D ．【点评】 本题中B ，C 我们是可以利用相似立即得到的，剩下的两个选项需要费一点时间，但是具体的证明也并不麻烦．5．D【解析】 ① 若0∆<，命题不成立．② AB 未必是最大边．③ 反例：如图，取ABC △，在BC 上取0.9BK BC =，过K 作l AB ∥，在AB 延长线上取B '，使 1.1AB AB '=．当点C '在l 上远离时，AC '与1B C ''=均变长，故可有AC AC '>，AB AB '>，B C BC ''>．但AB C ''△的面积ABC <△的面积． 故选D ．【点评】 本题是对基本概念的考察，前两个命题的错误比较明显，第三个判断起来有点难度，需要画图进行分析．6．C【解析】 显然，168小于2000.9180⨯=，没有经过打折；423小于5000.9450⨯=，且大于200，所以这是经过9折后的价格；合在一起是1684230.9638500+÷=>，按照③，可是应付款为：5000.91380.8560.4⨯+⨯=元．故选C ．【点评】 这是生活中很常遇到的问题，解题时我们首先要明确题意，再根据条件分情况计算，题目并不难，要注意计算的准确性．二、DC BAC'B'l K CBA1．(11Q ±，【解析】 若Q 点在第一象限，则：由于150QPO ∠=，故30QPR ∠=，同时，2PQ =， 故1QR =，PR故1OR =Q点坐标为：(11，， 同理，Q点在第二象限时坐标为：(11Q -，， 因此，Q点坐标为：(11Q ±，【点评】 这是一道简单的关于直角坐标的题目，题中没有给出图形，根据分析我们发现两种情况，对两种情况分别求解就可以得出结果．2．43【解析】 如图，111O M O P ==，222O N O P ==，取2O P 中点Q ，作OK MN ⊥．于是，21PH QK =+，22QK PH =+．解得43PH =．【点评】 两个相切圆的图形是大家经常遇到的，我们应该对其中的等量关系很清楚，这样的题目往往会涉及比例线段，常用的辅助线就是做垂直于公切线的线段．3．34【解析】 令x y s +=，xy t =．则23s t +=，120st =．故可得s ，t 为方程2231200x x -+=的两根， 故可得：8s =，15t =或15s =，8t =（舍去）． 则：()22222234x y x y xy s t +=+-=-=．【点评】 本题的关键是把x y +，xy 看成新的未知数，再反用韦达定理求出x y +，xy 的值，这种方法在求值尤其是求未知量的取值范围是很常用．4．156【解析】 设此数为n ，且2168n a +=，2100n b +=．则22268217a b -==⨯． 即()()2217a b a b +-=⨯． 但a b +与a b -的奇偶性相同， 故34a b +=，2a b -=． 于是18a =，从而156n =．【点评】 这道题的考点是完全平方数的性质，对于这种问题我们往往会引进一个新的未知数来表示这O 2QP O 1NKHM个完全平方数，再利用已知条件和整数的性质进行求解，这其中平方差公式和配方法是常用的手段．第二试（A ）一、【解析】 D ，E ，F 的坐标为()0D b ，，()1E a b +，，()22F a b +，， 由图象可知：()()()2222221326AD BE CF b a b a b ++=-++-++-22563302046a ab b a b =++---()2563032046a b a b b 2=+-+-+ 2236532155a b b b ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3305506a b b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52a =，56b =，最小值为16．【点评】 在近几年的联赛当中这种函数图像与几何相结合的题目很多，这种问题的关键是将给出的几何条件转化为代数条件，并结合函数的解析式进行求解．二、【解析】 以m y 表示x m =时的函数值，即2m y am bm c =++．⑴ 若x 取整数值时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值．则当0x =时，2000y a b c =⋅+⋅+为整数，故c 为整数值．当1x =-时，()()2111y a b c -=⋅-+⋅-+为整数，于是10a b y y --=-为整数．当2x =-时，()()2222y a b c -=⋅-+⋅-+为整数，于是21022a y y y --=-+为整数．于是2a ，a b -，c 都是整数．⑵ 所求逆命题为：若2a ，a b -，c 都是整数，那么x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值． 这是一个真命题．下面来证明，若c ，a b -，2a 都是整数．由()()221y ax bx c ax ax ax bx c ax x a a b x c =++=+-++=+--+，当x 取整数时，()1x x +一定是偶数，故()112x x +必是整数，由2a 是整数得()1212a x x ⋅+是整数，又由ab -，c 是整数得()a b x c --+是整数，因此当x 取任意整数时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值．另证：若c ，a b -，2a 都是整数，则当x 为偶数时，设2x k =，()()()222222222k y a k b k c a k a a b k c =++=⋅+--⋅+⎡⎤⎣⎦，由于2a ，a b -，c 及k 都是整数，故2k y 是整数． 当x 是奇数时，设21x k =-，()()()2222121442k y a k b k c k k a a kb b c =-+-+=-++-+()()()222222a k k a a b k a b c =⋅-+--⋅+-+⎡⎤⎣⎦（由()222b a a b =--可得）由于2a ，a b -，c 及x 都是整数，故21k y -为整数．【点评】 这是一道二次函数与整数性质相结合的题目，在第一问中取特殊值而得到函数系数关系的方法是我们反复用的，应该掌握好，而第二问中关键是写对反命题，至于说明并不难．三、【解析】 ⑴ 两圆外切．作ABD 的切线l ，则1B ∠=∠，∵3B C ∠=∠+∠，∴31C ∠=∠+∠． ∵1231C ∠+∠=∠=∠+∠，∴2C ∠=∠． 过A 作AP l ⊥，交AEC 于点P ，连PE ．∵P ACE ∠=∠，于是2P ∠=∠． ∴90PAE P ∠+∠=． 于是90AEP ∠=，从而AP 是AEC 的切线，即二圆相切于点A ． ⑵ 延长DA 交AEC 于G ，（不妨设F 在AEC 上）连GF ．由43DAE AED AFC ∠=∠+∠=∠+∠， ∴45180∠+∠=，于是4AGF ∠=∠， ∴ADB AGF △∽△，∴:2AB AF =（即等于两圆半径比），但4AB =， ∴2AF =（这里可用正弦定理做）．∵BA BF BE BC ⋅=⋅，∴4BE =．【点评】 证明两个圆相切并不难，而在求BE 长度的时候要充分利用第一问的结论，第一问中两个三角形的外接圆实际上是解第二问的重要辅助线．第二试（B ）一、【解析】 ()()()2221326y x y x y -++-++- 22563302046x xy y x y =++--+()2563032046x y x y y 2=+-+-+2223353533204655x y y y y ⎛⎫⎛⎫=+---+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2236532155x y y y ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566x y y ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3305506x y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52x =，56y =，最小值为16．l PG F EDC BA【点评】 本题实际上和A 卷的第一题很类似，对于这种求最值的问题我们通常都会采用配方的方法，本题的题设是一个陷阱，他虽说写成了三个平方项的和但是三项不能同时为0，所以在配方时，我们要注意看各项能否同时为0．二、【解析】 以m y 表示x m =时的函数值，即2m y am bm c =++．⑴ 若x 取整数值时，二次函数2y ax bx c =++总取整数值． 则当0x =时，2000y a b c =⋅+⋅+为整数，故c 为整数值．当1x =-时，()()2111y a b c -=⋅-+⋅-+为整数，于是10a b y y --=-为整数．当2x =-时，()()2222y a b c -=⋅-+⋅-+为整数，于是21022a y y y --=-+为整数．于是2a ，a b -，c 都是整数．【点评】 这是一道二次函数与整数性质相结合的题目，在第一问中取特殊值而得到函数系数关系的方法是我们反复用的，应该掌握好，而第二问中关键是写对反命题，至于说明并不难．三、【解析】 ⑴ 两圆外切．作ABD 的切线l ，则1B ∠=∠，3B C ∠=∠+∠，∴31C ∠=∠+∠．1231C ∠+∠=∠=∠+∠，∴2C ∠=∠．过A 作AP l ⊥，交AEC 于点P ，连PE ．P ACE ∠=∠，于是2P ∠=∠．∴90PAE P ∠+∠=．于是90AEP ∠=，从而AP 是AEC 的切线，即二圆相切于点A ．⑵ 延长DA 交AEC 于G ，（不妨设F 在AEC 上）连GF ．由43DAE AED AFC ∠=∠+∠=∠+∠， ∴45180∠+∠=，于是4AGF ∠=∠， ∴ADB AGF △∽△，∴:2AB AF =（即等于两圆半径比），但4AB =， ∴2AF =（这里可用正弦定理做）．BA BF BE BC ⋅=⋅，∴4BE =．【点评】 证明两个圆相切并不难，而在求BE 长度的时候要充分利用第一问的结论，第一问中两个三角形的外接圆实际上是解第二问的重要辅助线．。
2003年镇江市初中毕业升学考试数学试卷
镇江市2003年初中毕业升学考试数学试卷第一部分（50分）一．填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 1．—6—2=___________；（—6）÷2=_________ 2．12-的绝对值是_________；32-的倒数是___________ 3．—2的立方根是_________；4的算术平方根是_________4．x 的相反数与3的和，用代数式表示为____________；当x=2时，这个代数式的值为 ___________5．计算：()21x +=_______________；分解因式：x 2—9x=________________6．若∠α的余角为380，则∠α=__________度，sin α=____________（结果保留四个有效数字）7．已知，如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=10，∠ACB=300，则∠AOB=__________度，CD=_________8．已知，如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，则DE=_________,△ADE 与△ABC 的周长比是___________ 9．已知，如图，圆内接四边形ABCD 中，BAD 的度数娄1400，则∠BOD=_________度，∠BAD=_________度。
10．在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，请补充条件__________________（写一个即可），使得四边形ABCD 为平行四边形；若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件________________________（写一个即可），使得四边形ABCD 为菱形。
二．解答下列各题（本题共7小题，第11—15小题每题4分，第16、17小题每题5分，共30分）ADCBEDCBAO第7题图第9题图第8题图11．计算：(100122cos 452-⎛⎫+- ⎪⎝⎭12．先化简，再求值(x+3) (x —4)—x(x —2)，其中1122x =13．解不等式：12123x x ++≥14．化简：222a a b a b a b a b ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭15．如图，已知△ABC（1）作BC 边的垂直平分线交BC 于D ，连结AD （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，若△ABC 的面积为6，则△ABD的面积为________16．已知反比例函数ky x=的图像与一次函数y=kx+m 的图像相交于点（2，1） （1）分别求出这两个函数的解析式（2）试判断点P （—1，5）关于x 轴的对称点P ‘是否在一次函数y=kx+m 的图像上A C B17．已知，如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE=CF ， （1）求证：△BCE ≌△DCF （2）若∠FDC=300，求∠BEF 的度数第二部分（80分）三．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）18．下列实数022,,3.14159,tan 60,7π ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 19．下列运算正确的是（ ） A 、2a 3·3ab=5a 4b B 、10－3÷102=10－1C= D 、11b a a b=--- 20．如果直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则有（ ）A 、k>0,b>0B 、k>0,b<0C 、k<0,b<0D 、k<0,b>021．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，D 为垂足，若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为（ ）A 、43 B 、C 、D 、A F E DC B CDA22．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图像大致是（ ）23．一个圆锥的底面半径为，母线长为6，则此圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数是（ ）A 、1800B 、1500C 、1200D 、900 24．给出下列命题（1）等边三角形的中心角是600；（2）如果两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定全等；（3）到已知角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；（4）正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形。
第十八届华杯赛初赛试卷_初二B
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷B(初二组)总分第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷 B（初二组）装（时间 : 2013 年 3 月 23 日 10:00 ~ 11:00 ）一、选择题( 每题 10 分 , 满分 60 分. 以下每题的四个选项中 , 仅有一个是正确的 , 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内 . )1.以下三个命题中,正确的命题有（）个:① 两个不一样的无理数的和能够是有理数；② 两个不一样的无理数的积能够是整数；③有理数除以无理数的商必定是无理数.订（A）0 （B）1 （C）2 （D）32.以O( 0,0),B(40,20),C ( 60,0)为极点的三角形的三边上,整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）的个数是（）.（A）81（B）90（C）100（D）1033x 4 y 2m n 4y 0 , 那么m n 的值3.假如对于x, y的方程组的解知足 xx 2y m 2n 3等于（） .（A）- 1 （B）1 （C）3 （D）5线4.圣诞老人有44个礼品,分别装在8个袋子中,袋子中礼品的个数各不同样, 最多的有9 个. 现要从中选出一些袋子 , 将此中的全部礼品恰巧均匀分给 8 个同学（每个同学起码分得一个礼品） , 那么共有（）种不一样的选择 .（A）20（B）25（C）27（D）31第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷B(初二组)5.已知实数a, b, c知足2a b 5c 5 , 2a b 3c 1, 那么a2 b2 2c2的最小值等于（）.（A）1 （B）45（C）20（D）9 7 36.方程xyz xy xz yz x y z 2012的非负整数解有（）组.（A）6（B）12（C）24（D）27二、填空题 ( 每题 10 分, 满分 40 分)227 1 =_______.7.计算： 3 23 32 18.右图中,半圆弧ACB直径AB为4.5厘米.以A点为圆心,将半圆弧 ACB 逆时针转动 100 度 , 获得右图所示的图形 , 那么这个图形的周长等于 ______厘米（取 3.14 ）.9.已知正实数a, b知足a b ab ,则a4 2 b2 4 _______.a b10.如右图, 已知 AB AC, DF 4AF , EG4AG ,1 5 5AB BE, AC CD, BAC . 则△BDF 与FAG2△GEC 的面积之和与△ AFG 面积的比值是 _________.。
2003年江苏省无锡市中考数学试卷
2003年江苏省无锡市中考数学试卷一、填空题（共15小题，满分46分）1.（6分）-2的绝对值是_______；-的相反数是______；22=________.42.（4分）16的平方根是,36的算术平方根是.3.（2分）59000用科学记数法可表示为.4.（2分）计算：（很+1）（V2-1）=.5.（4分）函数:y=中，自变量x的取值范围是；函数y=Jx-3中，自变量x的取值范围是.6.（2分）己知是关于x、y的方程2x-y+3k=0的解，则k=.7.（4分）如图，四边形ABCD内接于O。
，ZAOC=100°,则ZB=度，ZD=度.D8.（2分）命题"如果a=b,那么决=力2”的逆命题是.9.（2分）如图，在ABC和中，AD=FC,AB=EF,当添加条件时，就可得到SBCWFED.（只需填写一个正确条件即可）10.（4分）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查结果如下表，则最接近标准质量的是号篮球，这次测试结果的极差是g-篮球编号12345与标准质量+4+7-3-8+911. （2分）已知圆柱的母线长是10cm 侧面积是40ncm2,则这个圆柱的底面半径是 cm的差（克）12. （2 分）分解因式：nr'+2m 2n+mn 2=.13. （4分）某校初三（1）班全体同学在“支援灾区献爱心”活动中都捐了款，具体捐款情况如下表，则该班学生捐款的平均数是 元，中位数是 元.捐款数（元）1234捐款人数22421314. （3分）如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水粘合而成的，它们的棱长分别为1分米和2分米，为了美观，现要在其表面喷涂油漆，已知喷涂1平方分米需用油漆5克，那么喷涂这个玩具共需油漆 克.15. （3分）观察下列等式，你会发现什么规律：1X3+1 = 22； 2X4+1 = 32； 3X5+1=42； 4X6+l=52；-请将你发现的规律用仅含字母为正整数）的等式表示出来：.二、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）16. （3分）已知2x=3y （x^O ）,则下列比例式成立的是（）x y x y x 2A. - = -B. - = -C.-=-2 3 3 2 y 317. （3分）已知OOi 的半径为5cm,。
2003年江苏省镇江市中考数学试卷
2003年江苏省镇江市中考数学试卷一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．（2分）（1）﹣6﹣2＝；（2）（﹣6）÷2＝．2．（2分）的绝对值是；的倒数是．3．（2分）﹣2的立方根是；4的算术平方根是．4．（2分）x的相反数与3的和，用代数式表示为；当x＝2时，这个代数式的值为．5．（2分）（1）计算：（x+1）2＝；（2）分解因式：x2﹣9＝．6．（2分）若∠α的余角为38°，则∠α＝度，sinα＝．（结果保留四个有效数字）．7．（2分）已知，如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，∠ACB＝30°，则∠AOB＝度，CD＝．8．（2分）已知，如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，则DE＝，△ADE与△ABC的周长比是．9．（2分）已知，如图，圆内接四边形ABCD中，的度数为140°，则∠BOD＝度，∠BAD＝度．10．（2分）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充条件（写一个即可），使得四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件（写一个即可），使得四边形ABCD为菱形．二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）18．（3分）下列实数：，π，3.14159，tan60°，（）0，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个19．（3分）下列运算正确的是（）A．2a3•3ab＝5a4b B．10﹣3÷102＝10﹣1C．D．20．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0 21．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．22．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图所示的（）A．B．C．D．23．（3分）一个圆锥的底面半径为，母线长为6，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．180°B．150°C．120°D．90°24．（3分）给出下列命题：（1）等边三角形的中心角是60°；（2）如果两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定全等；（3）在角的内部，到已知角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；（4）正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个25．（3分）已知α、β是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为：24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（）A．86°B．76°C．48°D．24°26．（3分）张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）；回来后，根据市场行情，他将这两种小商品都以每件元的价格出售，在这次买卖中，张师傅是（）A．赚钱B．赔钱C．不赚不赔D．无法确定赚和赔27．（3分）如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD 的面积为（）A．2B．C．D．三、解答题（共14小题，满分80分）11．（4分）计算：．12．（4分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣4）﹣x（x﹣2），其中．13．（4分）解不等式：14．（4分）化简：15．（4分）如图，已知△ABC．（1）作BC边的垂直平分线交BC于D，连接AD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，若△ABC的面积为6，则△ABD的面积为．16．（5分）已知反比例函数y的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于（2，1）．（1）分别求这两个函数的解析式；（2）试判断点P（﹣1，5）关于x轴的对称点Q是否在一次函数的图象上．17．（5分）如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．28．（4分）已知关于x、y的方程组有两组相同的实数解，求m的值．29．（4分）已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图（1），请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（图（2），图（3）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由，要求标出所分得的每个等腰三角形的三个内角的度数）30．（6分）县教育局为了了解我县中小学校实施素质教育的情况，抽查了某校七年级甲、乙两个班的部分学生，了解他们在一周内（周一到周五）参加课外活动的次数情况，抽查结果如图所示，请根据有关信息回答下列问题：（1）在这次抽查中，甲班被抽查了多少人？乙班被抽查了多少人？（2）在被抽查的学生中，甲班学生参加课外活动的平均次数是多少？乙班学生参加课外活动的平均次数是多少？（3）根据以上信息，用你学过的知识，估计甲、乙两班在开展课外活动方面，哪个班更好一些？（4）从图中你还能得到哪些信息？31．（6分）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程x2﹣（m+5）x+6m＝0的两个实数根．（1）求m的值及AC、BC的长（BC＞AC）；（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由．32．（10分）已知，如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G交BC的延长线于F．（1）求证：AE＝BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若BC＝6，FE＝4，求FC和AG的长．33．（10分）保健医药器械厂要生产一批高质量医用口罩，要求在8天之内（含8天）生产甲型和乙型两种型号口罩共5万只，其中甲型口罩不得少于1.8万只．该厂生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果生产甲型口罩，每天能生产0.6万只；如果生产乙型口罩，每天能生产0.8万只，已知生产一只甲型口罩可获利0.5元，生产一只乙型口罩可获利0.3元．设该厂在这次任务中生产了甲型口罩x万只，问：①该厂生产甲型口罩可获利润多少万元？生产乙型口罩可获利多少万元？②该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试求y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围；③如果你是该厂厂长，在完成任务的前提下，你怎样安排生产甲型和乙型口罩的只数，使获得的总利润最大，最大利润是多少？如果要求在最短时间内完成任务，你又怎样安排生产甲型和乙型口罩的只数？最短时间是多少？34．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+（k+1）+3，当x＜1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小．（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在下面的直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴的一个动点．①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线并求出此时直线BG的解析式；②若直线BG与⊙O‘相交，且另一交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方．2003年江苏省镇江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．（2分）（1）﹣6﹣2＝﹣8；（2）（﹣6）÷2＝﹣3．【解答】解：﹣6﹣2＝﹣8；（﹣6）÷2＝﹣3．2．（2分）的绝对值是；的倒数是．【解答】解：的绝对值是；的倒数是．3．（2分）﹣2的立方根是；4的算术平方根是2．【解答】解：﹣2的立方根是，4的算术平方根是2．4．（2分）x的相反数与3的和，用代数式表示为﹣x+3；当x＝2时，这个代数式的值为1．【解答】解：依题意得：（1）﹣x+3；（2）当x＝2时，﹣x+3＝1．5．（2分）（1）计算：（x+1）2＝x2+2x+1；（2）分解因式：x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）．【解答】解：①（x+1）2＝x2+2x+1；②x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）．6．（2分）若∠α的余角为38°，则∠α＝52度，sinα＝0.7880．（结果保留四个有效数字）．【解答】解：∠α的余角为38°，则∠α＝90°﹣38°＝52°；借助计算器可得sinα＝0.7880．7．（2分）已知，如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，∠ACB＝30°，则∠AOB＝60度，CD＝5．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC＝90°，OA＝OB，CD＝AB．∵∠ACB＝30°，∴∠BAO＝60°，AB AC＝5，∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°，CD＝AB＝5．故答案为：60，5．8．（2分）已知，如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，则DE＝3，△ADE与△ABC的周长比是1：2．【解答】解：∵AD＝BD，AE＝EC∴DE是△ABC的中位线∴DE∥BC，且DE BC＝3∴△ADE∽△ABC∵DE：BC＝1：2∴△ADE与△ABC的周长比为1：2．9．（2分）已知，如图，圆内接四边形ABCD中，的度数为140°，则∠BOD＝140度，∠BAD＝110度．【解答】解：∵圆内接四边形ABCD中，的度数为140°，∴∠BOD＝140°，∠BCD∠BOD140°＝70°，∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣70°＝110°，∴∠BOD＝140°，∠BAD＝110°．10．（2分）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充条件AB＝CD（写一个即可），使得四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件AB＝AD （写一个即可），使得四边形ABCD为菱形．【解答】解：根据平行四边形的判定，可补充AB＝CD，使得四边形ABCD为平行四边形；根据菱形的判定，可补充AB＝AD，使得四边形ABCD为菱形．二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）18．（3分）下列实数：，π，3.14159，tan60°，（）0，中，无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：显然，π＝3.1415926…是无限不循环小数，是无理数，2，tan60°不能化成分数的形式，是无理数．，3.14159，（）0＝1，是分数和整数，为有理数；故选：B．19．（3分）下列运算正确的是（）A．2a3•3ab＝5a4b B．10﹣3÷102＝10﹣1C．D．【解答】解：A、错误，2a3•3ab＝6a4b；B、错误，10﹣3÷102＝10﹣5；C、错误，；D、正确．故选：D．20．（3分）一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，又由k＞0时，直线必经过一、三象限，故知k＞0．再由图象过三、四象限，即直线与y轴负半轴相交，所以b＜0．故选：B．21．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，则sin∠ACD的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC．∴∠ACD＝∠B．∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．∴sin∠ACD＝sin∠B．故选：C．22．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图所示的（）A．B．C．D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；B、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误；C、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，过点（0，c），由直线可知，a＜0，过点（0，c），正确．故选：D．23．（3分）一个圆锥的底面半径为，母线长为6，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．180°B．150°C．120°D．90°【解答】解：2π ，解得n＝150°．故选：B．24．（3分）给出下列命题：（1）等边三角形的中心角是60°；（2）如果两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定全等；（3）在角的内部，到已知角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；（4）正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）假命题，等边三角形的中心角是120°；（2）真命题，符合对称的性质；（3）真命题，到已知角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；（4）假命题，正五边形既是轴对称图形不是中心对称图形．（2）（3）是真命题．故选：B．25．（3分）已知α、β是两个钝角，计算（α+β）的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为：24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（）A．86°B．76°C．48°D．24°【解答】解：因为α、β是两个钝角（钝角都大于90°且小于180°），所以α+β一定大于180°且小于360°；则（α+β）一定大于30°且小于60°，故48°正确．故选：C．26．（3分）张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件a元的价格购进了20件甲种小商品，每件b元的价格购进了30件乙种小商品（a＞b）；回来后，根据市场行情，他将这两种小商品都以每件元的价格出售，在这次买卖中，张师傅是（）A．赚钱B．赔钱C．不赚不赔D．无法确定赚和赔【解答】解：根据题意可知：总进价为20a+30b，总售价为（20+30）＝25a+25b∴25a+25b﹣（20a+30b）＝5a﹣5b，∵a＞b，∴5a﹣5b＞0，那么售价＞进价，∴他赚了．故选：A．27．（3分）如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD 的面积为（）A．2B．C．D．【解答】解：设小正方形的边长a，那么矩形的面积＝（S△AEF+S△BFG）×2+S四边形EFGH，即：3a×5a＝（2a×a÷2+a×4a÷2）×2+1，9a2＝1，a（a＞0），∴矩形的面积＝3a×5a．故选：D．三、解答题（共14小题，满分80分）11．（4分）计算：．【解答】解：原式1﹣2×12+11＝2．12．（4分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣4）﹣x（x﹣2），其中．【解答】解：（x+3）（x﹣4）﹣x（x﹣2），＝x2﹣4x+3x﹣12﹣x2+2x，＝x﹣12，当x＝12时，原式＝1212．故答案为：．13．（4分）解不等式：【解答】解：去分母，得3（1+x）≥2（2x+1），去括号、移项、合并同类项，得﹣x≥﹣1，系数化为1，得x≤1．14．（4分）化简：【解答】解：原式＝（）•＝a．故答案为a．15．（4分）如图，已知△ABC．（1）作BC边的垂直平分线交BC于D，连接AD（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，若△ABC的面积为6，则△ABD的面积为3．【解答】解：（1）如图；（2）∵BD＝CD，∴S△ABD＝6÷2＝3．16．（5分）已知反比例函数y的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于（2，1）．（1）分别求这两个函数的解析式；（2）试判断点P（﹣1，5）关于x轴的对称点Q是否在一次函数的图象上．【解答】解：（1）把（2，1）分别代入两函数关系式得：1，k＝2；1＝2k+b，即1＝4+b，b＝﹣3；故这两个函数的解析式分别为y；y＝2x﹣3；（2）点P（﹣1，5）关于x轴的对称点Q（﹣1，﹣5），把此点代入得：﹣5＝﹣2﹣3，成立，故在图象上．17．（5分）如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若∠BEC＝60°，求∠EFD的度数．【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠DCB＝∠FCE，∵CE＝CF，∴△DCF≌△BCE；（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠DFC＝∠BEC＝60°，∵CE＝CF，∴∠CFE＝45°，∴∠EFD＝15°．28．（4分）已知关于x、y的方程组有两组相同的实数解，求m的值．【解答】解： ① ②由y＝x﹣m，得x＝y+m，把它代入方程②，得y2+y+m＝1，y2+y+m﹣1＝0，根据题意，有△＝1﹣4（m﹣1）＝0，∴m．29．（4分）已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，仿照图（1），请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（图（2），图（3）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求说明理由，要求标出所分得的每个等腰三角形的三个内角的度数）【解答】解：本题答案有多种，这里提供了3种参考答案，如图．30．（6分）县教育局为了了解我县中小学校实施素质教育的情况，抽查了某校七年级甲、乙两个班的部分学生，了解他们在一周内（周一到周五）参加课外活动的次数情况，抽查结果如图所示，请根据有关信息回答下列问题：（1）在这次抽查中，甲班被抽查了多少人？乙班被抽查了多少人？（2）在被抽查的学生中，甲班学生参加课外活动的平均次数是多少？乙班学生参加课外活动的平均次数是多少？（3）根据以上信息，用你学过的知识，估计甲、乙两班在开展课外活动方面，哪个班更好一些？（4）从图中你还能得到哪些信息？【解答】解：（1）甲班人数：1+1+2+3+2+1＝10（人），乙班人数：2+1+3+2+1+1＝10（人）；答：甲班被抽查10人，乙班被抽查10人．（2）甲班学生参加课外活动的平均次数是： 2.7（次）；乙班学生参加课外活动的平均次数是： 2.2（次）；答：甲班学生参加课外活动的平均次数是2.7次；乙班学生参加课外活动的平均次数是2.2次．（3）甲的方差为2.01，乙的方差为2.36．并且甲班学生参加课外活动的平均次数比乙班多．所以甲班在开展课外活动方面更好一些．（4）本题答案不唯一，只要答出一条就可以．例如：一周内活动3次的人数最多；竟然还有一周内不活动的人在．31．（6分）已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，两直角边AC、BC的长是关于x的方程x2﹣（m+5）x+6m＝0的两个实数根．（1）求m的值及AC、BC的长（BC＞AC）；（2）在线段BC的延长线上是否存在点D，使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出CD的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设方程x2﹣（m+5）x+6m＝0的两个根分别是x1、x2∴x1+x2＝m+5，x1•x2＝6m∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（m+5）2﹣2×6m∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5∴x12+x22＝AB2∴（m+5）2﹣2×6m＝52∴m2﹣2m＝0∴m＝0或m＝2当m＝0时，原方程的解分别为x1＝0，x2＝5，但三角形的边长不能为0，所以m＝0舍去．当m＝2时，原方程为x2﹣7x+12＝0，其解为x1＝3，x2＝4，所以两直角边AC＝3，BC ＝4∴m＝2，AC＝3，BC＝4（2）存在；已知AC＝3，BC＝4，AB＝5欲使以△AD1C为顶点的三角形与△ABC相似，则，∴，则CD欲使以△AD2C为顶点的三角形与△ABC相似，则，∴BC＝CD2＝432．（10分）已知，如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G交BC的延长线于F．（1）求证：AE＝BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若BC＝6，FE＝4，求FC和AG的长．【解答】（1）证明：连接CE和OE；∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴CE⊥AB；又∵AC＝BC，∴BE＝AE．（2）证明：∵BE＝AE，OB＝OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC＝2OE＝6．∴∠OEC＝∠ACE．又∵EG⊥AC，∴∠CEG+∠ACE＝90°，∴∠CEG+∠OEC＝90°，∴∠OEF＝90°．∴EF是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴EF2＝CF•BF．设CF＝x，则有x（x+6）＝16，解得，x1＝2，x2＝﹣8（不合题意，舍去）那么CF＝2；∵OE∥AC，∴，∴，∴CG．∴AG＝AC﹣CG＝6．33．（10分）保健医药器械厂要生产一批高质量医用口罩，要求在8天之内（含8天）生产甲型和乙型两种型号口罩共5万只，其中甲型口罩不得少于1.8万只．该厂生产能力是：每天只能生产一种口罩，如果生产甲型口罩，每天能生产0.6万只；如果生产乙型口罩，每天能生产0.8万只，已知生产一只甲型口罩可获利0.5元，生产一只乙型口罩可获利0.3元．设该厂在这次任务中生产了甲型口罩x万只，问：①该厂生产甲型口罩可获利润多少万元？生产乙型口罩可获利多少万元？②该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试求y关于x的函数关系式并给出自变量x的取值范围；③如果你是该厂厂长，在完成任务的前提下，你怎样安排生产甲型和乙型口罩的只数，使获得的总利润最大，最大利润是多少？如果要求在最短时间内完成任务，你又怎样安排生产甲型和乙型口罩的只数？最短时间是多少？【解答】解：①0.5x，0.3×（5﹣x）；②y＝0.5x+0.3×（5﹣x）＝0.2x+1.5，首先，1.8≤x≤5，但由于生产能力限制，不可能在8天之内全部生产A型口罩，假设最多用t天生产甲型，则（8﹣t）天生产乙型，依题意得：0.6t+0.8×（8﹣t）＝5，解得t＝7，故x的最大值只能是0.6×7＝4.2，所以x的取值范围是1.8≤x≤4.2；③要使y取得最大值，由于y＝0.2x+1.5是一次函数，且y随x增大而增大，故当x取最大值4.2时，y取最大值0.2×4.2+1.5＝2.34（万元），即安排生产甲型4.2万只，乙型0.8万只，使获得的总利润最大，最大利润为2.34万元，如果要在最短时间内完成任务，全部生产乙型所用时间最短，但要生产甲型1.8万只，因此，除了生产甲型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产乙型，所需最短时间为1.8÷0.6+3.2÷0.8＝7（天）．34．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+（k+1）+3，当x＜1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小．（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在下面的直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴的一个动点．①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线并求出此时直线BG的解析式；②若直线BG与⊙O‘相交，且另一交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方．【解答】解：（1）由题意可知：1，k＝1．因此抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3（2）A（﹣1，0），B（3，0），P（1，4）（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心O′在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有：PM•MN＝MA•MB，∴4•MN＝2×2，即MN＝1，因此PN＝5，圆O′的半径为2.5．因此O′在x轴的上方，坐标为（1，）．（4）①过B作⊙O′的切线交y轴于G，设直线BO′交y轴于E，可求得直线BO′的解析式为y x．因此E点的坐标为（0，）．∵BG是⊙O′的切线，因此BO′⊥BG，∴BO2＝EO•OG，即9•OG，因此OG＝4，即G点的坐标为（0，﹣4）设直线BG的解析式为y＝kx﹣4．由于直线过B点（3，0），可得：3k﹣4＝0，k．因此直线BG的解析式为y x﹣4②﹣4＜m＜0．。
人教版初中数学八年级下册《第18章 平行四边形》单元测试卷(2)
人教新版八年级下学期《第18章平行四边形》单元测试卷一．解答题（共50小题）1．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．2．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE ＝P A，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝度．3．如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？（2）如图2，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？为什么？（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）．4．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若AB＝4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG＝1，求AE的长．6．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F．（1）若∠F＝20°，求∠A的度数；（2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD的面积．7．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF．（1）求证：AE＝CF；（2）连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连接EG、FG，判断四边形DEGF是怎样的四边形，并说明理由．9．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，作EG ∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．（1）求证：△BFH≌△DEG；（2）连接DF，若BF＝DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．11．【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED＝FC，求得∠DMC＝．【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．（1）求证：ED＝FC．（2）若∠ADE＝20°，求∠DMC的度数．12．已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B＝°和∠AEB＝°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．14．如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由（2）在（1）的条件下，当∠A＝时四边形BECD是正方形．15．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，AN为△ABC的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN于点E，线段DE交AC于点F．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）线段DF与AB有怎样的关系？证明你的结论．16．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD于点E．（1）求证：OE＝OD；（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．17．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为．18．探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．求证：∠ANC＝∠ABE．应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ＝．19．以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．20．如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．（1）求证：①∠1＝∠2；②EC⊥MC．（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．21．如图，已知△ABC为等边三角形，CF∥AB，点P为线段AB上任意一点（点P不与A、B重合），过点P作PE∥BC，分别交AC、CF于G、E．（1）四边形PBCE是平行四边形吗？为什么？（2）求证：CP＝AE；（3）试探索：当P为AB的中点时，四边形APCE是什么样的特殊四边形？并说明理由．22．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．（1）求证：AF＝CE；（2）如果AC＝EF，且∠ACB＝135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．23．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF＝CE；（2）当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．25．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．26．如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．27．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．28．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE 交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE＝3，AD＝5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值．29．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．30．如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：DE＝DF；（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF＝∠CDE，AE＝CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？32．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形，并说明理由．（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形，不要说明理由．33．如图，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且BE＝3cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？34．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝24cm，DC＝10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？35．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s 的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝；DP＝；BQ＝；CQ＝．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？36．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．37．如图，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t 为何值时，四边形QPBC为矩形？38．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b 满足b＝++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．39．在正方形ABCD中，P是CD上的一动点，连接P A，分别过点B、D作BE⊥P A、DF ⊥P A，垂足为E、F．（1）求证：BE＝EF+DF；（2）如图（2），若点P是DC的延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系？并说明理由；（3）如图（3），若点P是CD的延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线之间的数量关系？（直接写出结论，不需说明理由）．40．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：△EAB≌△GAD；（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长．41．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF＝EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．42．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．43．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC 所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）44．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG、DE上，连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．45．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD＝CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．46．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由；（3）△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）．47．如图1，在平面直接坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．（友情提示：•图2、图3备用，‚不要漏解）48．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s 的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？49．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE＝DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．50．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE＝∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC＝58°，则∠DPE ＝度．人教新版八年级下学期《第18章平行四边形》2019年单元测试卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．（3）分两种情形考虑问题即可；【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD，∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°，②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°综上所述，∠EFC＝120°或30°．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．2．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE ＝P A，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝115度．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得P A＝PC，由于P A＝PE，得PC＝PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，进而得∠DAP＝∠DCP，由P A＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPF＝∠EDF＝90°得到结论；（3）由△DP A≌△DPC，推出∠DAP＝∠DCP，P A＝PC，推出P A＝PE，推出∠DAP＝∠E，推出∠E＝∠PCD，由∠DFE＝∠CFP，推出∠CPF＝∠EDF，由此即可解决问题；【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A＝PC，∵P A＝PE，∴PC＝PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP＝∠BCP，∴∠DAP＝∠DCP，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF＝∠EDF＝90°；（3）在菱形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP，DP＝DP，∴△DP A≌△DPC，∴∠DAP＝∠DCP，P A＝PC，∵P A＝PE，∴∠DAP＝∠E，∴∠E＝∠PCD，∵∠DFE＝∠CFP，∴∠CPF＝∠EDF，∵∠ABC＝∠ADC＝65°，∴∠CPE＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝115°故答案为115．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形的条件是解题的关键．3．如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？（2）如图2，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？为什么？（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）．【分析】（1）根据四条边都相等的四边形ABCD是菱形证明即可；（2）四边形ABC1D1是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；（3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形，此时此时，∠D1BC1＝30°，∠D1C1B＝90°，C1D1＝1，利用在直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半即可求出点B移动的距离．【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形；理由如下：∵△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．∴AB＝AD＝CD＝BC＝DB，∴AB＝AD＝CD＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）四边形ABC1D1是平行四边形．理由：∵∠ABD1＝∠C1D1B＝60°∴AB∥C1D1，又∵AB＝C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（3）四边形ABC1D1有可能是矩形．此时，∠D1BC1＝30°，∠D1C1B＝90°，C1D1＝1∴BD1＝2，又∵B1D1＝1，∴BB1＝1，即点B移动的距离是1．【点评】本题考查了等边三角形的性质、菱形的判定和性质矩形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握特殊平行四边形的判定定理是解此题的关键．4．△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1＝∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1＝∠3，等量代换有∠2＝∠3，于OE＝OC，同理OC＝OF，于是OE＝OF；（2）OA＝OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明•：如图所示：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2，又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，同理，FO＝CO，∴EO＝FO；（2）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4＝∠5，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠5＝∠2+∠4，又∵∠1+∠5+∠2+∠4＝180°，∴∠2+∠4＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形判定，平行四边形判定，平行线性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．5．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若AB＝4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG＝1，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线证出∠BAE＝∠E．得出AB＝BE，即可得出结论；（2）同（1）证出DA＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．【解答】（1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DF A．∴∠DAF＝∠DF A．∴DA＝DF．∵F为DC的中点，AB＝4，∴DF＝CF＝DA＝2．∵DG⊥AE，DG＝1，∴AG＝GF．∴AG＝．∴AF＝2AG＝2．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4．【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．6．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F．（1）若∠F＝20°，求∠A的度数；（2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求▱ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件得出∠AEB＝∠CBF，∠ABE＝∠F＝20°，证出∠AEB＝∠ABE＝20°，由三角形内角和定理求出结果即可；（2）求出DE，由勾股定理求出CE，即可得出结果．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5，AB∥CD，∴∠AEB＝∠CBF，∠ABE＝∠F＝20°，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠AEB＝∠ABE＝20°，∴AE＝AB，∠A＝（180°﹣20°﹣20°）÷2＝140°；（2）∵AE＝AB＝5，AD＝BC＝8，CD＝AB＝5，∴DE＝AD﹣AE＝3，∵CE⊥AD，∴CE＝＝＝4，∴▱ABCD的面积＝AD•CE＝8×4＝32．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠AEB＝∠ABE是解决问题的关键．7．如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得，AB＝AF，∠BAE＝∠F AE，根据平行四边形的性质可得∠F AE＝∠AEB，然后证明AF＝BE，进而可得四边形ABEF为平行四边形，再由AB＝AF可得四边形ABEF为菱形；（2）根据菱形的性质可得AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，利用勾股定理计算出AO 的长，进而可得AE的长．【解答】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠F AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠F AE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝F A，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF为菱形；（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，在Rt△AOB中，AO＝＝4，∴AE＝2AO＝8．【点评】此题主要考查了菱形的性质和判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF．（1）求证：AE＝CF；（2）连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连接EG、FG，判断四边形DEGF是怎样的四边形，并说明理由．【分析】（1）证明△DAE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明；（2）根据全等三角形的性质得到DE＝DF，证明DG是EF的垂直平分线，得到DE＝EG＝GF＝GF，证明结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF，∴AE＝CF；（2）四边形DEGF是菱形，∵△DAE≌△DCF，∴DE＝DF，∵AE＝CF，∴BE＝BF，∴DG是EF的垂直平分线，∴GE＝GF，∵OG＝OD，DG⊥EF，∴ED＝EG，∴DE＝EG＝GF＝FD，∴四边形DEGF是菱形．【点评】本题考查的是正方形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．9．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，作EG ∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．（1）求证：△BFH≌△DEG；（2）连接DF，若BF＝DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，由平行线的性质得出∠FBH＝∠EDG，∠OHF＝∠OGE，得出∠BHF＝∠DGE，求出BF＝DE，由AAS 即可得出结论；（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠FBH＝∠EDG，∵AE＝CF，∴BF＝DE，∵EG∥FH，∴∠OHF＝∠OGE，∴∠BHF＝∠DGE，在△BFH和△DEG中，，∴BFH≌△DEG（AAS）；（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：连接DF，设EF交BD于O．如图所示：由（1）得：BFH≌△DEG，∴FH＝EG，又∵EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∵DE＝BF，∠EOD＝∠BOF，∠EDO＝∠FBO，∴△EDO≌△FBO，∴OB＝OD，∵BF＝DF，OB＝OD，∴EF⊥BD，∴EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF＝BD，又由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD＝BD＝CD＝BC，即可证得：AD＝AF；（2）由AF＝BD＝DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD＝DC，继而可得四边形ADCF是正方形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC＝BC，∴AD＝AF；（2）解：四边形ADCF是正方形．∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED＝FC，求得∠DMC＝90°．【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．（1）求证：ED＝FC．（2）若∠ADE＝20°，求∠DMC的度数．【分析】阅读发现：只要证明∠DFC＝∠DCF＝∠ADE＝∠AED＝15°，即可证明．拓展应用：（1）欲证明ED＝FC，只要证明△ADE≌△DFC即可．（2）根据∠DMC＝∠FDM+∠DFC＝∠FDA+∠ADE+∠DFC即可计算．【解答】解：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD，∠ADC＝90°，∵△ADE≌△DFC，∴DF＝CD＝AE＝AD，∵∠FDC＝60°+90°＝150°，∴∠DFC＝∠DCF＝∠ADE＝∠AED＝15°，∴∠FDE＝60°+15°＝75°，∴∠MFD+∠FDM＝90°，∴∠FMD＝90°，故答案为90°（1）∵△ABE为等边三角形，∴∠EAB＝60°，EA＝AB．∵△ADF为等边三角形，∴∠FDA＝60°，AD＝FD．∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，DC＝AB．∴EA＝DC．∵∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝150°，∠CDF＝∠FDA+∠ADC＝150°，∴∠EAD＝∠CDF．在△EAD和△CDF中，，∴△EAD≌△CDF．∴ED＝FC；（2）∵△EAD≌△CDF，∴∠ADE＝∠DFC＝20°，∴∠DMC＝∠FDM+∠DFC＝∠FDA+∠ADE+∠DFC＝60°+20°+20°＝100°．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．12．已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B＝45°和∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．【分析】（1）首先根据O是CD的中点，可得DO＝CO，再证明∠D＝∠OCE，然后可利用ASA定理证明△AOD≌△EOC；（2）当∠B＝45°和∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形；首先证明∠BAE＝90°，然后证明AC是BE边上的中线，根据直角三角形的性质可得AC＝CE，然后利用等腰三角形的性质证明AC⊥BE，可得结论．【解答】（1）证明：∵O是CD的中点，∴DO＝CO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，在△ADO和△ECO中，∴△AOD≌△EOC（ASA）；（2）解：当∠B＝45°和∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形，∵∠B＝45°和∠AEB＝45°，∴∠BAE＝90°，∵△AOD≌△EOC，∴AO＝EO，∵DO＝CO，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD＝CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴BC＝CE，∵∠BAE＝90°，∴AC＝CE，∴平行四边形ACED是菱形，∵∠B＝∠AEB，BC＝CE，∴AC⊥BE，∴四边形ACED是正方形．故答案为：45，45．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形；（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD＝BC，由已知可得，DC＝BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，。
2003年江苏省无锡市数学中考试题及答案
2003年无锡市中考数学试题一、填空题：（本大题共15小题；1～13小题中，每空2分，14～15小题中，每空3分，共46分）1. －2的绝对值是 ；41的相反数是 ；22＝ .2. 16的平方根是 ；36的算数平方根是 .3. 59000用科学记数法可表示为 .4. 计算：（2＋1）（2－1）＝ .5. 函数y ＝51-x 中，自变量x 的取值范围是 ； 函数y ＝3-x 中，自变量x 的取值范围是 .6. 若⎩⎨⎧==12y x 是关于x 、y 的方程2x －y ＋3k ＝0的解，则k ＝ .7. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠AOC ＝100°，则∠B ＝ °，∠D ＝ °.8. 命题：“如果a ＝b ，那么a 2＝b 2”的逆命题是 . 9. 如图，在△ABC 和△FED 中，AD ＝FC ，AB ＝FE ，当添加条件： 时，就可得到△ABC ≌△FED （只需填写一个你认为正确的条件）.10. 检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： ⑴最接近标准质量的是 号篮球； ⑵质量最大的篮球比质量最小的篮球重 克.11.已知圆柱的母线长是10cm ，侧面积是40πcm 2，则这个圆柱的底面半径是 cm.12.分解因式：m 3＋2m 2n ＋mn 2＝ .13.某校初三（1）班全体同学在“支援灾区献爱心”活动中都捐了款，具体捐款情况如右表，则该班学生捐款的平均数是 元，中位数是 元.14.如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水粘合而成的，它们的棱长 分别为1分米和2分米.为了美观，现要在其表面喷涂油漆，已知喷涂 1平分分米需用油漆5克，那么喷涂这个玩具共需油漆 克. 15.观察下列等式，你会发现什么规律：1³3＋1＝22；2³4＋1＝32；3³5＋1＝42；4³6＋1＝52；…….请将你发现的规律用仅含字母n （n 为正整数）的等式表示出来： . 二、选择题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 16.已知2x ＝3y （x ≠0），则下列比例式成立的是 （ ）A.32y x =B.23y x =C.32=y xD.y x 32= 17.已知⊙O 1的半径为5cm ，⊙O 2的半径为3cm ，且圆心距O 1O 2＝7cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 （ ） A.外离 B.外切 C.相交 D.内含18.已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，DE ＝2，那么BC 的长是 （ ）B A BCDEFA. 1B. 2C. 4D. 619.化简231-的结果是 （ ） A.23+ B. 23- C. 32- D. 32--20.下列式子中，总能成立的是 （ ）A.(a-1)2=a 2-1B.(a+1)2=a 2+a+1C.(a+1)(a-1)=a 2-a+1D.(a+1)(1-a)=1-a 221.为了节约用水，某市规定：每户居民用水不超过20立方米，按每立方米2元收费；超过20立方米，则超出部分按每立方米4元收费.某户居民五月份交水费72元，则该户居民五月份实际用水为 （ ） A.8立方米 B.18立方米 C.28立方米 D.36立方米22.三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 三、解答题：（本大题共有7小题，共63分）23.⑴（5分）解不等式：35123->--x x ⑵（3分）做一做：用四块如图1的瓷砖拼成一个正方形，使拼成的图案成轴对称图形，请你在图2、图3、图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.⑶（2分）读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-501)12(n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：∑=-512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）.图1图2 图3 图424.（6分）已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，E 是AD延长线上一点，连BE 、CE. 求证：BE ＝CE.25.（9分）已知：如图，△ABC 内接于⊙O 1，以AC 为直径的⊙O 2交BC 于点D ，AE 切⊙O 1于点A ，交⊙O 2于点E.连AD 、CE ，若AC ＝7，AD ＝35，tanB ＝25.求：⑴BC 的长；⑵CE 的长.26.（9分）已知：如图，四边形ABCD 为菱形，AF ⊥AD 交BD 于点E ，交BC 于点F.⑴求证：AD 2＝21DE ²DB ；⑵过点E 作EG ⊥AF 交AB 于点G ，若线段BE 、DE （BE<DE ）的长是方程x 2－3mx ＋2m 2＝0（m>0）的两个根，且菱形ABCD 的面积为63，求EG 的长.27.（10分）已知：如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为直径的半圆O 1和以O 1C 为直径的⊙O 2交于点F ，连CF 并延长交AD 于点H ，FE ⊥AB 于点E ，BG ⊥CH 于点G.⑴求证：BC ＝AE ＋BG ；⑵连AF ，当正方形ABCD 的边长为6时，求四边形ABGF 的面积.A B CDE A B CD E F28.（9分）某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案.方案规定：每位销售人员的工资总额＝基本工资＋奖励工资.每位销售人员的月销售定额为10000元，在销售定额内，得基本工资200元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资.奖励工资发放比例如表1所示.⑴已知销售员甲本月领到的工资总额为800元，请问销售员甲本月的为多少元？⑵依法纳税是每个公民应尽的义务.根据我国税法规定，每月工资总额不超过800元不要缴纳个人所得税；超过800元的部分为“全月应纳税所得额”，表2是缴纳个人所得税税率表.若销售员乙本月共销售A 、B 两种型号的彩电21台，缴纳个人所得税后实际得到的工资为1275元，又知A 型彩电的销售价为每台1000元，B 型彩电的销售价为每台1500元，请问销售员乙本月销售A 型彩电多少台？29.（10分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a<0）与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在x 轴的正半轴上，又此抛物线交y 轴于点C ，连AC 、BC ，且满足△OAC 的面积与△OBC 的面积之差等于两线段OA 与OB 的积（即S △OAC －S △OBC ＝OA ²OB ）. ⑴求b 的值；⑵若tan ∠CAB ＝21，抛物线的顶点为点P ，是否存在这样的抛物线，使得△PAB 的外接圆半径为413？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，说明理由.表1 表2参考答案23、---------------------------------------------------------24、25、26、27、28、解：（1）当销售额为15000元时，工资总额=200+5000×5%=450元；当销售额为20000元时，工资总额=200+5000×5%+5000×8%=850元．因此450＜800＜850，设销售员甲该月的销售额为x元，则200+5000×5%+（x-15000）×8%=800，解得：x=19375元，故销售员甲该月的销售额为19375元．（2）设销售员乙未交个人所得税前的工资总额为a元，由题意得：a-（a-800）×5%=1275，解得：a=1300．所以超过20000元部分的销售额为（1300-850）÷10%=4500，∴销售员乙的销售总额=20000+4500=24500．设A型彩电销售x台，则B型彩电销售了（21-x）台，由题意得：1000x+1500（21-x）=24500，解得：x=14．故销售员乙本月销售A型彩电14台29、。
第二十届希望杯全国数学邀请赛初二第2试参考答案及评分标准(WORD版)
第二十届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二 第2试（每小题4分）（每小题4分，含两个空的小题，每空2分）三、解答题21.设所求的最简分数是n m ，()1,=n m ，n m <<0，15<n ， 则 nn m n m 52552-=-， 因为52≠n m ，且m ，n 是正整数， 所以 125≥-n m .（1）当125=-n m 时，有125=-n m （当52>n m 时），或125-=-n m （当52<n m 时）， 所以 512+=n m 或512-=n m . 由m 是整数，知2n +1或2n -1（n <15）是5的倍数.（5分） 要使nn m 5152=-最小，则n 应最大. 由2n +1或2n -1（n <15）是5的倍数，知n 最大取13，对应的m=5，此时65152=-n m .（8分） （2）当125>-n m 时，因为n <15，m ，n 是正整数，所以nnm n m 52552-=-≥6513511452>=⨯. 综上可知，52-n m 的最小值是651，此时对应的m =5，n =13， 故135是最接近52，但分母小于15的最简分数. （10分）22.（1）依题意，函数y =3-x +3的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当y =0时，x =1；当x =0时，y =3，所以点A 的坐标是（1，0），点B 的坐标是（0，3） 于是 AB =22OB OA +=2. 在Rt △ABC 中，∠ABC =30º，AB =2.设AC =x ，则BC =2x ，由勾股定理，得222)2(2x x =+，得342=x ，332=x .所以 AC =332， S △ABC =21AB ·AC =332. （5分）（2）点P 在第二象限内，且P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,m ， 则m<0，S 四边形AOPB = S △AOB +S △BOP =21×1×3+21×3×（-m ）=()m -123. 又S △APB = S 四边形AOPB - S △AOP =()23121123⨯⨯--m =()m 2143-， 由△APB 与△ABC 的面积相等，得()3322143=-m ，解得 65-=m . （10分） （3）这样的点存在，一共有6个，分别是：以AB 为底边的等腰三角形有两个，这时，Q 点的坐标是（-1，0）或（0，33）； 以AB 为一条腰的等腰三角形有四个，这时，Q 点的坐标是（0，23+），（0，23-），（0，3-），（3，0）. （15分）23.点A 和点B 之间的距离是5，所以它们之间的连线是直角三角形的斜边，设点C 的坐标是（a ，b ），则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.163942222b a b a ， ① 或者()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-.931642222b a b a ，② （5分） 对于①，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+.169691682222b b a a b a ，两式相减，得 01468=--b a ，因此 )74(31-=a b ， 将它代入①的第二个式子，得0)2825)(4(91=--a a ，解得 4=a ，或2528=a ，对应的b 的值是3或2521-，所以点C 的坐标是（4，3）或⎪⎭⎫ ⎝⎛-25212528，. 对应的k 的值是12或625588-. （10分） 对于②，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+.996161682222b b a a b a ，两式相减，得 068=-b a ，因此 a b 34=，将它代入②的第一个式子，得0)7225(91=-a a ， 解得 =a 0，或2572=a ，对应的b 的值是0或2596.因为原点不可能在反比例函数的图象上，所以点C 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛25962572，， 对应的k 的值是6256912. 综上所述，k 的值是12或625588-或6256912. （15分）。
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2003年第18届江苏省初中数学竞赛试卷（初二第2试）
一、选择题（共8小题，每小题7分，满分56分）
1．(★★★★)已知 =O，a 2+b 2+c 2=1，则a+b+c的值等于（ ）
A．1B．-1C．1或-1D．O
2．(★★★)已知整数a、b、c、d满足abcd=25，且a＞b＞c＞d，那么|a+b|+|c+d|等于
（ ）
A．OB．10C．2D．12
3．(★★★★)如图，∠ABC=31o，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE
相交于E点，则∠AEC为（ ）
A．14.5oB．15.5oC．16.5oD．20o
4．(★★★)计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的
存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，
a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数
据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同
顺序的取法的种数有（ ）
A．5种B．6种C．10种D．12种
5．(★★)如图，△ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，PD⊥AB，
PE⊥AC，连接DE．记△ADE的周长为L 1，四边形BDEC的周长为L 2，则L 1与L 2的大小关系
是（ ）
A．Ll=L2B．L1＞L2C．L2＞L1D．无法确定
6．(★★★★)直角三角形的三条边长分别为x-y，x，x+y，这里x＞y＞0，则x：y为（ ）
A．4：1B．4：3C．3：2D．2：1
7．(★★)如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部
分的面积是（ ）
A．B．C．D．
8．(★★)在冬季篮球赛中，选手王霞在第六、第七、第八、第九场比赛中分别得了23分、
14分、11分和20分．她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，如果她的前十场的平均
成绩高于18分，那么她的第十场的成绩至少为（ ）
A．27分B．29分C．31分D．33分
二、填空题（共8小题，每小题7分，满分56分）
9．(★★★★)已知4x 2-3x+1=a（x-1） 2+b（x-1）+c对任意数x成立，则4a+2b+c=
28 ．
10．(★★★)直线上有2010个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3
次这样的操作后，直线上共有 16073 个点．
11．(★★★)如图，四边形ABCD中，∠C=90o，∠D=150o，BC=CD=DA，则
∠
A= 45 度，∠B= 75 度．
12．(★★★)已知三个不同的质数a，b，c满足ab bc+a=2000，那么a+b+c= 42 ．
13．(★★)在图（1）中取阴影等边三角形各边的中点，连成一个等边三角形，将其挖去，得
到图（2）；对图（2）中的每个阴影等边三角形仿照先前的作法，得到图（3），如此继续．如果
图（1）的等边三角形面积为1，则第n个图形中所有阴影三角形面积的和为 ．
14．(★★★★)如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转
40o所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2= 110o 度．
15．(★★★)超市送货员将9袋桔子送往甲、乙、丙3家客户．这9袋桔子的重量（千克数）
分别为22，25，28，31，34，36，38，40，45．客户丙家只送了1袋．回来后，送货员记不清
送往客户丙家的是多重的l袋，但是他记得送往客户甲家的重量是送往客户乙家的重量的2倍，
则送往客户丙家的1袋桔子重量（千克数）为 38 ．
16．(★★)将奇数依顺序排列成如图所示的三角形数阵，从上到下称为
行．图中数11为第3行、从左向右数的第2个数；数29为第4行、第6个数．那么，2003为
第 32 行、第 41 个数．
三、解答题（共4小题，满分48分）
17．(★★★)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为
P．已知AB=5，BP=2，AC=9．试说明∠ABC=3∠ACB．
18．(★★★)宁工养殖场从1999年到2003年五年中，年产值逐年增加；头三年平均年产值
180万元；后三年平均年产值260万元；头两年产值之差为70万元；后两年产值之差为50万
元；最高年产值和最低年产值的平均值为220万元．
根据上述数据，请你确定1999年到2003年各年的产值．
19．(★★★)将1，2，3，…，37排列成一行a 1，a 2，…，a 37，其中a l=37，a 2=l，并使
a 1+a 2+…+a k能被a k+l整除（k=1，2，3，…，36）．
（1）求a 37 （2）求a 3．
20．(★★★)设m=1 2+2 2+3 2+…+2003 2．今天是星期一，若算第一天，则第m天是星期几？