数学高考综合能力题选讲23南海实验学校

数学高考综合能力题选讲23
方案优化型综合问题
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
寻找问题的最优解，是这一类题目的共同特点．解决问题的方法涉及均值不等式、单调性等求最值的方法，有些时候也用穷举法．由于与实际问题联系较紧密，此类问题在高考中往往以应用题的面目出现．
范例选讲
例1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
讲解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为36003000
1250
-=，
所以这时租出了88辆车．
（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：
()()30003000100150505050x x f x x --⎛
⎫=---⨯ ⎪⎝
⎭． 整理得：()()22
11622100040503070505050
x f x x x =-+-=--+．
所以，当4050x =时，()f x 最大，最大值为307050．即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元．
点评：实际问题的最值要注意自变量的取值范围．
例2．某工厂生产容积为π2
3
立方米的圆柱形无盖容器，制造底面的材料每平
方米30元，制造侧面的材料每平方米20元，设计时材料的厚度及损耗可以忽略不计．
(Ⅰ) 把制造容器的成本y （元）表示成容器底面半径x （米）的函数，并指出
当底面半径为多少时，制造容器的成本最低？求出最低成本；
(Ⅱ) 若为某种特殊需要，要求容器的底面半径不小于2（米），此时最低成本为多少元？（精确到1元）
讲解：（Ⅰ）设圆柱形容器的高为h ，则23
2
x h ππ=．
所以，22603020230y x xh x x
π
πππ=⨯+⨯=+．
因为0x >，所以，
()226011303030390283y x x x x x πππππ⎛
⎫=+
=++≥⋅=≈ ⎪⎝
⎭元， 等号当且仅当21
x x
=
，即1x =时取得． (Ⅱ) 当2x ≥时，由（Ⅰ）可知，不能利用均值不等式来求解y 的最小值，所以，我们可以考虑函数26030y x x
π
π=+
的单调性． 任取12,[2,)x x ∈+∞，且设12x x <，则
()221212121212122223030y y x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫
-=+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
由于122x x ≤<，所以，121212
2
0, 0x x x x x x -<+->，所以，12y y <， 所以，函数26030y x x
π
π=+
在区间[2,)+∞上单调递增． 所以，当2x =时，y 取得最小值为：150471π≈（元）． 点评：运用均值不等式要注意等号成立的条件．
例3．小红现在是初一的学生，父母准备为他在银行存20000元，作为5年后上大学的费用，如果银行整存整取的年利率如下：
利息税为
20%，则小红父
母应该选择怎样的存款方式，可使5年后所获收益最大．请说明理由．
讲解：小红父母存款的方式可以有多种选择，但为了确保最大利润，应该遵循如下原则：（1）5年结束时，所存款项应该恰好到期（否则以活期记，损失较大）；（2）如果存两次（或两次以上），则第2次存款时，应该将第1次存款所得本息和全部存入银行．
为叙述方便，用n m P +表示把a 元本金，先存一次n 年期，再存一次m 年期所得本息和．如：112P ++表示先存2个1年期，再存一个2年期所得本息和．
首先，可以考虑下面的问题：n m m n P P ++=是否成立？即把a 元本金，先存一次n 年期，再存一次m 年期与先存一次m 年期，再存一次n 年期，所得本息和是否相同？
因为44155k k k P a a k r a k r ⎛⎫⎛⎫
=+⋅⋅⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以，441155n m n m m n P a n r m r P ++⎛⎫⎛⎫
=+⋅+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
根据以上分析，我们只需考虑下面的几种情况：11111111112,,P P +++++++++1113P +++，1122P +++，
15123,P P +++，222P ++，33P +．方法之一是直接计算，但运算量相对较大．为此，我们可以考虑下面的办法：
（1）比较11P +与2P 的大小关系：
因为22
1114411 1.98% 1.03255P a r a a +⎛⎫⎛⎫
=+=+⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
22441212 2.25% 1.03655P a r a a ⎛⎫⎛⎫
=+⋅=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以，11P +<2P ．所以，只需考虑上述八种情况中的：15123,P P +++，222P ++，33P +． （2）比较21P +和3P 的大小．
12441 1.98%12 2.25% 1.05255P a a +⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯≈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭， 3413 2.52% 1.0605P a a ⎛⎫
=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭
，
所以，21P +<3P ．所以，只需比较15P +，222P ++，33P +．
因为：15441 1.98%15 2.79% 1.12955P a a +⎛⎫⎛⎫
=+⨯+⨯⨯≈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， 3
222
412 2.25% 1.1125P a a ++⎛⎫
=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭
， 2
33413 2.52% 1.1255P a a +⎛⎫
=+⨯⨯≈ ⎪⎝⎭
．
所以，15P +最大，即小红父母应该选择先存一次1年期，再存一次5年期（或先存一次5年期，再存一次1年期）获利最多．这与我们通常的认识是一致的．
点评：本题的目的是通过分析、计算寻找问题的最优解．然而，如果通过穷举得出结论，计算可能就较为复杂了，因此，需要优化的不只是结果，还有运算的过程．
高考真题
1．（2001年上海高考题）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗．．
一次．．的效果作如下假定：用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12
，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次．．．．后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．
（Ⅰ）试规定()0f 的值，并解释其实际意义；
（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；
（Ⅲ）设()2
1
1f x x
=
+，现有()0a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．
2．（2003年上海春季高考）在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出他们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资的基础上递增5％．设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：
（Ⅰ）若某人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？
（Ⅱ）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择那家公司，为什么？
（Ⅲ）在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到1元），并说明理由．
[答案与提示：1．（Ⅰ）()01f =表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量将保持原样；（Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：()()1
01,12
f f ==
且()01f x <≤，()f x 在[)0,+∞上单调递减；
（Ⅲ）a >
两次清洗后残留的农药量较少，a =
时，效果相同，0a << 2． （Ⅰ）在A 公司
和B 公司第n 年的月收入分别为1
211270230,200020n n -⎛⎫
+⨯ ⎪
⎝⎭
；（Ⅱ）应选择A 公司；（Ⅲ）
826元．]。