OA第二讲
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线
解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
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归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可 知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
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由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
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[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数 方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
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4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
第二讲：平抛运动
第二讲：平抛运动一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4.基本规律如图，以抛出点O 为坐标原点，以初速度v 0方向(水平方向)为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向．(1)位移关系(2)速度关系(3)轨迹方程：h =g2v 02x 25.基本应用例题、如图所示，x 轴在水平地面上，y 轴在竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正方向水平抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹．不计空气阻力，下列说法正确的是( )A ．a 和b 的初速度大小之比为2∶1B ．a 和b 在空中运动的时间之比为(1)飞行时间由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．(2)水平射程x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关． (3)落地速度v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝v y v x＝2ghv 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关． (4)速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．(5)两个重要推论①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一例题、如图甲所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射网球.假定网球均水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑空气阻力，则( )A.两次发射的初速度大小之比为3∶1定通过此时水平位移的中点，如图所示，即x B ＝x A2.推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v yv 0＝2y Ax A→x B＝x A2①做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α. 推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝v y v 0＝gtv 0tan α＝y x ＝gt 2v 0→tan θ＝2tan α二、与斜面结合的平抛运动1．顺着斜面平抛(如图)方法：分解位移．x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x，可求得t ＝2v 0tan θg.2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图) 方法：分解速度．v x ＝v 0， v y ＝gt ，tan θ＝v x v y ＝v 0gt，可求得t ＝v 0g tan θ.三、斜抛运动1．定义：将物体以初速度v 0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．例题、某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( )4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)(1)水平方向：v 0x ＝v 0cos θ，F 合x ＝0；做匀速直线运动，v 0x ＝v 0cos θ，x ＝v 0tcos θ. (2)竖直方向：v 0y ＝v 0sin θ，F 合y ＝mg .做竖直上抛运动，v 0y ＝v 0sin θ，y ＝v 0tsin θ－12gt2四、类平抛运动1．类平抛运动物体受到与初速度垂直的恒定的合外力作用时，其轨迹与平抛运动相似，称为类平抛运动．类平抛运动的受力特点是物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．2.类平抛运动问题的求解技巧(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a 分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向上列方程求解．针对训练题型1：平抛运动性质例题、如图所示的光滑斜面ABCD 是边长为l 的正方形，倾角为30°，一物块（视为质点）沿斜面左上方顶点A 以平行于AB 边的初速度v 0水平射入，到达底边CD 中点E ，则（ ）A ．初速度2glB ．初速度4glC ．物块由A 点运动到E 点所用的时间2lt g= D ．物块由A 点运动到E 点所用的时间lt g=1．关于平抛运动的性质，以下说法中正确的是（）A．变加速运动B．匀变速运动C．匀速率曲线运动D．不可能是两个直线运动的合运动2．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是（）A．B．C．D．题型2：平抛运动规律3．如图所示，从A、B、C三个不同的位置向右分别以v A、v B、v C的水平初速度抛出三个小球A、B、C，其中A、B在同一竖直线上，B、C在同一水平线上，三个小球均同时落在地面上的D点，不计空气阻力。
第2讲 第2节 第3课时椭圆的参数方程
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
解析：
x＝acosθ 设椭圆方程 y＝bsinθ
(a＞b＞0,0≤θ＜2π)
2 2 2 b a － b c 2 则e ＝a2＝ a2 ＝1－a2得
(3)由重心公式可得G坐标；
(4)消去参数θ，即得G轨迹方程．
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
[解题过程]
由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆
上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设 为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得 x＝6＋0＋6cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ， 3
x＝2＋2cosθ， 即 y＝1＋sinθ.
x－22 消去参数θ得到 4 ＋(y－1)2＝1.
[规律方法]
本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决
相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
[变式训练]
2.已知线段AB＝4，直线l垂直平分AB，垂足
3 1 1 ∴b＝ 7－2＞2与b＜2矛盾． 1 1 若2b≤1即b≥2时， 1 此时sinθ＝－2b，d2有最大值．
数学D 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案 课堂讲义 课后练习
故有( 7)2＝4b2＋3，∴b＝1，a＝2
x＝2cosθ 椭圆方程为 y＝sinθ
1 3 由sinθ＝－2，cosθ＝± 2 ，
第二讲、水平角度测量
180° 600′′ 1 (i − 1) + 10′(i − 1) + R= i − n n 2
方向法观测手簿
水平盘读数 测 站 测 点 °′ 1 2 A 3 60 15 盘左 ″ 4 ″ 5 00 °′ 6 240 15 盘右 ″ 7 ″ 8 12 9 -12 左右 (2c)
三 竖直角测量的方法
竖直度盘的刻划也是在全圆周上刻为 360°。通常在望远镜方向上注以0°及 180°，在视线水平时，指标所指的读数为 90°或270°。竖盘读数也是通过一系列光学 组件传至读数显微镜内读取。
1、竖直角的观测方法 由竖直角的定义已知，它是倾斜视线与在同一 铅垂面内的水平视线所夹的角度。由于水平视线的 读数是固定的，所以只要读出倾斜视线的竖盘读数， 即可求算出竖直角值。但为了消除仪器误差的影响， 同样需要用盘左、盘右观测。其具体观测步骤为： 1. 在测站上安置仪器，对中，整平。 2. 以盘左照准目标，如果是指标带水准器的仪 器，必须用指标微动螺旋使水准器气泡居中，然后 读取竖盘读数L，这称为上半测回。 3. 将望远镜倒转，以盘右用同样方法照准同一 目标，使指标水准器气泡居中后，读取竖盘读数R， 这称为下半测回。
第二讲 水平角测量
Байду номын сангаас
一角度测量原理
水平角是指从空间 水平角 一点出发的两个方向在 水平面上的投影所夹的 角度；而竖直角 竖直角是指某 竖直角 一方向与其在同一铅垂 面内的水平线所夹的角 度，仰角为正，俯角为 负。
二、测回法测水平角 当所测的角度只有两个方向时，通常都 用测回法观测。在角顶O安置仪器，在A、B 处设立观测标志。经过对中、整平以后，即 可按下述步骤观测。
测站 1
测点 2 A B
第2讲 角
第2讲 角〖学习目标〗1．进一步理解角的概念，掌握角的符号表示．2．会比较角的大小，认识度、分、秒，并能进行简单的换算，会计算角的和与差． 3．了解角的平分线、余角、补角的概念，知道角平分线、补角和余角的性质，并会利用这些性质进行相关的角度计算．4．知道什么是方位角，会利用方位角表示方向． ※考情分析角也是几何的基本概念，其中度分秒换算、互余和互补、角平分线、方位角等都是中考的高频考点，但同一份试卷最多出现一题，而且以填空、选择为主，一般不会出现在解答题中，分值一般不会超过3分．〖基础知识·轻松学〗一、角的两种定义1．静态观点的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．动态观点的定义：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形叫做角，如图2-1，其中开始出发位置的射线（射线OA ）叫做这个角的始边，结束位置的射线（射线OB ）叫做这个角的终边．OAB始边终边角的内部角的外部OBAO A (B )O ABC图2-1 图2-2 图2-3 图2-4 2．用旋转的观点理解平角、周角、直角（1）平角：如果角的终边是由始边绕顶点旋转半周得到的（这时角的始边和终边互为反向延长线），如图2-2，这样的角叫做平角，1平角＝180°．（2）周角：如果角的终边是由始边绕顶点旋转一周得到的（这时角的始边和终边重合成一条射线，但它不是一条射线），如图2-3，这样的角叫做周角，1周角＝360°．（3）直角：平角的一半是直角，1直角＝90°，通常在直角顶点加上“┐”或“┌”的标志． 精讲：平角与直线有区别：平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，这是两个不同的概念，不能说“一条直线就是平角”或“平角是一条直线”．同样不能说“一条射线是周角”．二、角的四种表示方法1．用三个大写字母表示．2．用一个大写字母表示．3．用数字表示．4．用希腊字母表示．三、角的度量1．角的度量单位：常用的角的度量单位是度、分、秒．2．角度的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．精讲：度分秒转化的方法：60606060⨯⨯÷÷度分秒四、角的两种比较方法精讲：（1）比较角的大小的两种方法中，度量法是从数量上进行比较；叠合法是从“形”上进行比较．从数量上看，度数大的角大；从形上看，开口大的角大．（2）角的大小只与角两边张开程度有关，与角的边画出部分的长度无关，因为角的边是射线，而不是线段；角的大小与角的顶点的位置也没有关系．五、角平分线1．文字语言：OC是∠AOB的平分线或OC平分∠AOB；2．图形语言（如图2-4）：3．符号语言：∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．精讲：（1）角的平分线是一条射线，这条射线把角分成两个相等的角，此时三个角有公共的顶点．（2）角平分线的符号语言描述的是“两角相等”，“一个角是另一角的一半”，当需要证明两个角相等或要求证明角度之间的倍分关系的时候，常常考虑证明角平分线．（3）与角的平分线类似，一个角还有三等分线，四等分线．七、互余、互补1．互余――如果两个角的和等于90°，其中一个角是另一个角的余角．互补――如果两个角的和等于180°，其中一个角是另一个角的补角．2．余角和补角的性质（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．八、方位角1．方位角的基准：上北下南左西右东．2．方位角的基本格式：南（北）偏东（西）××°．图2-5 图2-6如图2-5，射线OA ：北偏东30°；射线OB ：南偏东40°； 如图2-6，西北方向或北偏西45°．〖重难疑点·轻松破〗一、角的统计方法角的个数统计的方法与线段个数的统计方法基本类似，可逐个顶点统计，最后把各个顶点的角的个数相加即可．例1：如图2-7，（1）写出能用一个字母表示的角； （2）写出以点B 为顶点的角； （3）图中有多少个小于平角的角？ABCD图2-7分析：要注意角的不同表示法的使用范围，当同一个顶点处有几个角时，不能用一个大写字母表示．解：（1）能用一个大写字母表示的角有：∠A ，∠C ． （2）以B 为顶点的角有3个：∠ABD ，∠ABC ，∠DBC ． （3）图中小于平角的角共有7个．点评：在统计图中角的个数时，应有明确的分类标准，可以按顶点来分类，如以A 为顶点的角有1个，以B 为顶点的角有3个，以C 为顶点的角有1个，以D 为顶点的角有两个．变式练习1：如图2-8，图中共有_________个小于平角的角．OAEDCB图2-8二、时钟问题解题思路在钟表问题中，时针旋转的速度是0.5度/分钟，分针旋转的速度是6度/分钟．解题的时候，可将钟表一圈360°看作环形跑道长，时针和分针可看作甲乙两人在环形跑道上同向跑步．例2：时针由2点30分到2点55分，时针走了_______度，分针走了__________度． 思路一：时钟一圈共12格，一共360°，所以每一格30°，2点30分到2点55分共经历了25分钟，时针共转了2560格，分针共转了5格，所以时针走了12.5度，分针走了150度．思路二：时针1小时转30°，分针1小时转360°，因此时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，所以时针走了0.5×25＝12.5度，分针走了6×25＝150度．点评：时钟上每格30°，时针的速度是0.5度/分钟，分针的速度是6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题的基本工具．变式练习2：在时刻8：30，时钟上的时针与分针的夹角为_______． 三、度、分、秒之间的互化和运算与度、分、秒有关的运算包括度、分、秒的互化和度、分、秒之间的加减乘除，其转化方式与小学时学过的加减乘除基本相同，所不同的是小学时学过的加减乘除是满10进1，而度、分、秒之间的换算是满60进1．例3：计算：（1）把3.38°化为度、分、秒的形式． （2）把28°18′18″化成度的形式．分析：（1）3.38°先取整数，得到3°，还剩下0.38°＝(0.38×60)′＝22.8′，取整数后是22′，还剩0.8′＝(0.8×60)″＝48″；（2）28°18′18″＝28°(18＋1860)′＝(28＋18186060+)°． 答案：（1）3.38°＝3°22′48″； （2）28°18′18″＝28.305°．点评：（1）将度化为度、分、秒的形式的方法是取整数后乘以60再取整数，再乘以60后取整数，…；（2）将度、分、秒的形式化成度的形式的方法是：a °b ′c ″＝()603600b ca ++°． 变式练习3：36.33º可化为（ ） A ．36º30´3" B ．36º33´ C ．36º30´30" D ．36º19´48"例4：计算（1）24°36′＋58°38′；（2）51°38′－32°5′32″；（3）13°53′×3；（4）158°42′÷5． 分析：角度计算中，满60要进位．角度相加时，先算秒，再算分，最后算度．够60″时化为1′，够60′时化为1°； 角度相减时，不够减可借1作60，并与原数相减；进行乘法运算时，度、分、秒分别与乘数相乘，够60″时化为1′，够60′时化为1°； 对于除法计算，从度开始除，将余数化为分，和原有的分相加后再除，将余数化为秒，和原来的秒相加后再除，除不尽时四舍五入．解：（1）24°36′＋58°38′＝(24°＋58°)＋(36′＋38′)＝82°＋74′＝83°14′． （2）51°38′－32°5′32″＝51°37′60″－32°5′32″＝19°32′28″． （3）13°53′×3＝(13°×3)＋(53′×3)＝39°＋159′＝41°39′． （4）158°42′÷5＝31°＋222′÷5＝31°＋44′＋120″÷5＝31°44′24″． 点评：角度的计算中，要特别注意的是度、分、秒之间是60进制． 变式练习4：计算（1）98°45′36″＋71°22′34″； （2）78°32′56″－51°47′42″； （3）11°23′26″×3；（4）176°52′÷3．四、方位角方位角是角在实际生活中的一种重要的应用，在本章以及九年级的锐角三角函数中都有着重要的应用，本处主要是了解方位角，九年级就需要利用方位角解决问题了．例5：轮船航行到C 处观测小岛A 的方向是北偏西46°，那么从A 同时观测轮船在C 处的方向是（ ）A ．南偏东46°B ．东偏北46°C ．东偏南46°D ．南偏东44°分析：我们可根据题目的意思先画出图形，当从C 处观测小岛A 的方向是北偏西46°时，从A 同时观测轮船在C 处的方向是南偏东46°．北南西东C 北南西东A 46°46°AO20°北南西东北偏东20°图2-9 图2-10模型提炼：通过本题，我们不难总结出这样一条规律，从A 看B 是北偏西46°，那么从B 看A 就是南偏东46°，这里只是将北换成南，西换成东，度数没有变化．变式练习5：平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角，在测绘、航海中经常用到．如图2-10，OA 表示北偏东20°方向的一条射线．仿照这条射线画出表示下列方向的射线：（1）北偏西50°；（2）南偏东10°；（3）西南方向（即南偏西45°）． 五、角平分线定义的应用角平分线是几何里面应用特别多的一个概念，它既可以由角平分线得到两个角相等，也可以由两个角相等来判定一条射线是角平分线．格式1：∵OC 平分∠AOB （已知），∴∠AOC ＝∠BOC （角平分线的定义） 作用：可用来证明两个角相等，或者证明一个角是另一个角一半． 格式2：∵∠AOC ＝∠BOC （已知），∴OC 平分∠AOB （角平分线的定义） 作用：可用来判断一条射线是不是角平分线．例6：如图2-11，∠AOD ＝80°，OB 是∠AOC 的平分线，∠AOB ＝30°，求∠COD 的度数．O CABD图2-11分析：由于∠AOD ＝80°，根据∠COD ＝∠AOD －∠AOC 可知，要求出∠COD ，首先要求出∠AOC ，求∠AOC 可由角平分线的定义求得．解：∵OB 是∠AOC 的平分线，∠AOB ＝30°， ∴∠AOC ＝2∠AOB ＝60°（角平分线的定义） ∵∠AOD ＝80°，∠COD ＝∠AOD －∠AOC ， ∴∠COD ＝20°．点评： 如果OC 是∠AOB 的角平分线，那么：①∠BOC ＝∠AOC ；②∠AOB ＝2∠AOC ，∠AOB ＝2∠BOC ；③∠BOC ＝12∠AOB ，∠AOC ＝12∠AOB ．反之，如果上面3个式子中任一等式成立，则均可说明射线OC 是∠AOB 的角平分线．变式练习6：如图2-12，OC 平分∠AOB ，OD 平分∠AOC ，∠AOD ＝35°，求∠AOB 的度数．OADCB图2-12例7：如图2-13，∠AOB ＝90°，OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数．OBMA CN图2-13思路一：虽然∠AOB ＝90°，但∠AOC 的度数却不知道．又因为ON 平分∠AOC ，所以不妨设∠CON ＝x °，则∠AON ＝x °，∠BOC ＝90°＋2x °．又OM 平分∠BOC ，所以∠MOC ＝45°＋x °．因此根据两角的差可以求出∠MON 的度数．解：∵ON 平分∠AOC （已知），∴∠AON ＝∠CON （角平分线的定义）． 设∠CON ＝x °，所以∠AON ＝∠CON ＝12∠AOC ＝x °（角平分线的定义）． 又∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝∠AOB ＋∠AOC ＝90°＋2x °． 又∵OM 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝12∠BOC ＝45°＋x °（角平分线的定义）． ∵∠MOC ＝∠MON ＋∠NOC ，∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝45°＋x °－x °＝45°． 思路二：要求出∠MON 的度数，由于∠MON ＝∠MOC －∠NOC ，因此我们可转而求∠MOC 和∠NOC 的度数．根据“OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ”则可求出∠MOC 和∠NOC的度数．OBMA CN解：∵ON 平分∠AOC ，OM 平分∠BOC （已知）， ∴∠MOC ＝12∠BOC ，∠NOC ＝12∠AOC （角平分线的定义） ∵∠AOB ＝90°，∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12∠BOC －12∠AOC ＝12∠AOB ＝45°． 点评：和求线段长一样，求一个角的度数时，我们通常将这个角拆成另外几个易求角度的角的和或者差的形式，通过求出另外几个角达到求这个角度数的目的．模型提炼：在本题中，OA ，OB ，OC 三条射线共组成了∠AOB ，∠AOC ，∠BOC 三个角度，OM 、ON 是其中两个角的平分线，则OM 、ON 的夹角（∠MON ）等于第三个角的一半．变式练习7：（1）如图2-14，ON 是∠BOC 的平分线，OM 是∠AOC 的平分线，如果∠AOC ＝28°，∠BOC ＝42°，那么∠MON 是多少度?（2）如果∠AOB 的大小保持与上图相同，而射线OC 在∠AOB 的内部绕点O 转动，那么射线OM ，ON 的位置是否发生变化?（3）∠MON 的大小是否发生变化?如果不变，请说出其度数，如果变化，请说出变化范围．图2-14五、设未知数解决几何问题例8：如图2-15，∠DOE ∶∠BOE ＝1∶2，∠DOC ∶∠COA ＝1∶2，如果∠AOB ＝120°，那么∠COE 是多少度？AOBEDC图15思路一：由于∠DOE ∶∠BOE ＝1∶2，∠DOC ∶∠COA ＝1∶2，所以∠BOD ＝∠BOE ＋∠DOE ＝3∠DOE ，∠AOD ＝∠DOC ＋∠COA ＝3∠DOC ．然后根据∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝3∠DOE ＋3∠DOC ＝3（∠DOE ＋∠DOC ）＝120°，即可求解．解：因为∠DOE ∶∠BOE ＝1∶2，∠DOC ∶∠COA ＝1∶2，所以∠BOE ＝2∠DOE ，∠COA ＝2∠DOC ，所以∠BOD ＝3∠DOE ，∠AOD ＝3∠DOC ． 又∠AOB ＝∠AOD ＋∠BOD ＝3∠DOC ＋3∠DOE ＝3（∠DOC ＋∠DOE ）＝3∠EOC ． 所以∠EOC ＝13∠AOB ＝40°． 思路二：本题也可利用方程思想，可设∠DOE ＝x °，∠COD ＝y °，即求x ＋y ，易推得3(x ＋y )°＝120°，故x ＋y ＝40．解：设∠DOE ＝x °，∠COD ＝y °，则∠BOE ＝2x °，∠COA ＝2y °．因为∠AOB ＝∠DOE ＋∠COD ＋∠BOE ＋∠COA ，所以∠AOB ＝3x °＋3y °． 因为∠AOB ＝120°，所以x ＋y ＝40，所以∠EOC ＝40°．点评：第二种方法体现了方程思想，比第一种方法来得更直观，弄清各个角之间的关系，尤其是∠EOC 和∠AOB 的倍分关系很重要．注意体会这种思想在解决角度计算中的便利之处，并能熟练应用．变式练习8：如图2-16，已知：∠1∶∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶3∶4，求∠1，∠2，∠3，∠4的度数．1234图2-16六、互余、互补的列式技巧例9：若一个角的余角比这个角的补角的13还小10°，求这个角的余角及这个角的补角． 分析：要求这个角的余角和这个角的补角，可先求出这个角的度数，若设这个角为x °，则这个角的余角为(90－x )°，这个角的补角为(180－x )°，根据这个角的余角比这个角的补角的13还小10°，可列出方程求得x的值．解：设这个角为x°，则这个角的余角为(90－x)°，这个角的补角为(180－x)°．根据题意，得90－x＝13(180－x)－10，解得x＝60．90－x＝30，180－x＝120．答：这个角的余角是30°，补角是120°．点评：此类问题一般有三个未知量，一个角、这个角的余角和这个角的补角，求解的关键是设出合适的未知数，列方程求解，由于余角和补角都可以很容易用这个角表示，因此此类题常常考虑设一个角为x．变式练习9：一个角的补角的一半比这个角的余角的2倍小3°，求这个角的度数．〖课时作业·轻松练〗A．基础题组1．若∠A＝30°28′，∠B＝30°28′30″，∠C＝30.4°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＞∠C＞∠BC．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠B＞∠A2．关于互补，下列说法中：①∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A，∠B，∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角. 其中，正确的有_______个．3．计算：（1）48°39′＋67°45′；（2）180°－87°19′42″；（3）32°17′×5；（4）27°56′24″÷3．B．提升题组4．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°－∠β；②∠α－90°；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．一个角的余角比它的补角的12少20°．求这个角的度数．6．如图2-17，∠AOB＝110°，∠COD＝70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF 的大小．FOECDA B 图2-177．在同一平面内，∠AOB ＝100°，∠BOC ＝60°，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．8．（1）已知∠BOC ＝120°，∠AOB ＝70°，求∠AOC 的度数；（2）已知∠AOB ＝80°，过O 作射线OC （不同于OA ，OB ），满足∠AOC ＝53∠BOC ，求∠AOC 的度数〖中考试题初体验〗1．（2013辽宁大连，5，3分）如图2-18，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB ．若∠COB ＝35°，则∠AOD 等于（ ）．A ．35°B ．70°C ．110°D ．145°图2-182．（2013玉林防城港，2，3分）若∠α＝30°，则∠α的补角是（ ）． A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°〖我的错题本〗OABCD。
中考数学复习第二讲《开放探究型问题》经典题型含答案
中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。
第二讲全等三角形证明-初一周心仪
第二讲 全等三角形证明题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ，BC 、DE 交于点O 。
求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE 。
2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C 。
求证：OA ＝OD 。
题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
求证：BF=CF 。
FDCB A2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分。
E A B E OF D C3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG题型3：直角三角形全等（余角性质）1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G 。
求证：BD ＝CG 。
2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。
3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE 。
AFC BDEGAO D C B 4、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。
求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。
题型4：连接法（构造全等三角形）1、已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证：AE ＝AF 。
OA基本概念及操作指引
OA基本概念及操作指引百科名片OA系统流程图OA ,办公自动化，OA是OffiCeAUtOnIation的简写，是现代利用电脑进行全自动的办公，目的是提高效率。
OA也是OffiCeACtiOn（审定通知程序，审定通知行为）的缩写，是国家知识产权的审查意见书的英文翻译。
目录展开一、OA概念1、OA基本概念OA的核心问题是如何提高日常的办公效率问题。
因此我们日常工作的所有内容都能够归入OA处理的范畴，如文字处理、文件誉写、传真、申请审批、办公用品、公文管理、会议管理、资料管理、档案管理、客户管理、订货销售，库存管理，生产计划，器材需求，技术管理，质量管理，成本、财务计算、劳资、人事管理……等等，那么这些都是日常办公工作的处理范围。
大连泛东软件-助推企业精细化管理之路但是我们发现OA承载过多，那到底办公自动化应该包含那些内容：广义讲，关于提高我们日常工作效率的软硬件系统，包含打印机、复印机与办公软件都是能够成为OA系统。
狭义上讲，OA系统是处理公司内部的事务性工作，辅助管理，提高办公效率与管理手段的系统。
2、协同OA定义协同办公（OA）软件就是使用Internet/Intranet技术，以“工作流”为引擎、以“知识文档”为容器、以“信息门户”为窗口,使企事业单位内部人员方便快捷地共享信息，高效地协同工作；改变过去复杂、低效的手工办公方式，实现迅速、全方位的信息采集、信息处理，为企业的管理与决策提供科学的根据。
在基础OA的应用上，可供企事业机构自行灵活定义符合自身需求的管理工作流程、知识目录架构、信息门户框架，以更便利、更简单、更灵活、更开放的满足日常OA办公需求。
3、协同管理定义在协同OA的应用基础之上，以增强型的工作流为引擎、融合知识管理套件、并加入更广泛的日常业务工作管理包含客户资源的管理等，最要紧的三个方面就是要实现信息的协同、业务的协同与资源的协同，企业的各类资源，包含人、财、物、信息与流程构成了企业运作的基本要素，协同管理将这些资源整合在统一的平台上。
第二讲圆与扇形试题及答案
第二讲圆与扇形基础班练习二1．如右图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。
求扇形所在的圆面积。
解答：等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。
而扇形面积为等腰三角形面积：S＝1/2×10×10＝50，则圆的面积为400。
2．求下列各图中阴影部分的面积：解答：如上右图，易得图形面积，（1）25 ；（2）ab 。
【例1】3．以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见右图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
（π取3）解答：如右下图所示，所求面积等于圆面积减去正方形面积，阴影部分面积=（4÷2）2π-4×4÷2= 4（厘米2）。
4．如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。
（取π＝3）解答：阴影部分面积=梯形BCEF-三角形BFD-扇形=2-1-3/8=5/8 。
【例2】5．右图中的圆是以O为圆心、半径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。
（π取3）解答：100平方厘米。
提高班练习二1．如右图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。
求扇形所在的圆面积。
解答：等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。
而扇形面积为等腰三角形面积：S＝1/2×10×10＝50，则圆的面积为400。
2．求下列各图中阴影部分的面积：解答：如上右图，易得图形面积，（1）25 ；（2）ab 。
3．以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见右图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
（π取3）解答：如右下图所示，所求面积等于圆面积减去正方形面积，阴影部分面积=（4÷2）2π-4×4÷2= 4（厘米2）。
4．如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。
第二讲滑轮
第二讲 滑轮一、知识点1.滑轮定义：周边有槽，中心有一转动的轮子叫滑轮。
如图（1）所示。
因为滑轮可以连续旋转，因此可看作是能够连续旋转的杠杆，仍可以用杠杆的平衡条件来分析。
根据使用情况不同，滑轮可分为定滑轮和动滑轮。
图（1）滑轮 图（2）定滑轮 图（3）等臂杠杆 图（4）h=S 2.定滑轮（1）定义：工作时，中间的轴固定不动的滑轮叫定滑轮。
如图（2）所示。
（2）实质：是个等臂杠杆。
（如图（3）所示）。
轴心O 点固定不动为支点，其动力臂和阻力臂都等于圆的半径r ，根据杠杆的平衡条件可知，因为重物匀速上升时不省力。
（3）特点：不省力，但可改变力的方向。
所谓“改变力的方向”是指我们施加某一方向的力（图中（3）中F 1方向向下）能得到一个与该力方向不同的力（图中得到使重物G 上升的力）。
（4）动力移动的距离与重物移动的距离相等。
（如图（4）所示）对于定滑轮来说，无论朝哪个方向用力，定滑轮都是一个等臂杠杆，所用拉力都等于物体的重力G 。
（不计绳重和摩擦）3.动滑轮（1）定义：工作时，轴随重物一起移动的滑轮叫动滑轮。
（如图（5）所示）图（5）动滑轮 图（6）动力臂是阻力臂2倍 图（7） （2）实质：是一个动力臂为阻力臂二倍的杠杆。
如图（6）所示，图中O 可看作是一个能运动的支点，其动力臂l 1=2r ，阻力臂l 2=r ，根据杠杆平衡条件：F 1l 1=F 2l 2，即F 1·2r=F 2·r ，得出2121F F =，当重物竖直匀速向上时，F 2=G ，则G F 211=。
（3）特点：省一半力，但不能改变力的方向。
（4）动力移动的距离是重物移动距离的2倍，如图（7）所示。
对于动滑轮来说：1）动滑轮在移动的过程中，支点也在不停地移动；2）动滑轮省一半力的条件是：动滑轮与重物一起匀速移动，动力F 1的方向与并排绳子平行，不计动滑轮重、绳重和摩擦。
4.滑轮组（1）定义：由若干个定滑轮和动滑轮匹配而成。
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Windows的发展 Windows的发展
Windows是 视窗” Windows是“视窗”操作系统
采用了图形用户界面 把操作对象以形象化的图标显示在屏幕上，通过鼠标操作 采用了 图形用户界面， 把操作对象以形象化的 图标 显示在屏幕上 ，通过鼠标操作 图形用户界面， 图标显示在屏幕上 可以实现各种复杂的处理任务。 可以实现各种复杂的处理任务。
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4. Windows 98/ME 98/ Windows 98/Me是全32位的多任务操作 98/Me是全32位的多任务操作 系统，同时兼容FAT32与FAT16文件格式 系统，同时兼容FAT32与FAT16文件格式
5. Windows 2000 Windows 2000是基于Windows NT内核的，它 2000是基于Windows NT内核的，它 有四个版本： （1）windows 2000 Professional （2）Windows 2000 Server （3）Windows 2000 Advanced Server （4）Windows 2000 Datacenter Server
进入DOS系统的方法 进入DOS系统的方法
（1）在Windows 9X环境下，单击“开始”按钮， ）在Windows 9X环境下，单击“开始”按钮， 在弹出的菜单中选择“关闭系统”，然后选中 “重新启动计算机系统并切换到MS-DOS方式” “重新启动计算机系统并切换到MS-DOS方式” 单选框，就可以进入DOS界面。 单选框，就可以进入DOS界面。 （2）在Windows 9X/Me环境下，可以通过单击 ）在Windows 9X/Me环境下，可以通过单击 “开始”按钮，在弹出的菜单中选择“程序”， 然后选中“附件”里的“MS-DOS”方式。 然后选中“附件”里的“MS-DOS”方式。 （3）在Windows 9X、Me、2000、XP的“开始” ）在Windows 9X、Me、2000、XP的“开始” 菜单中的运行程序中键入“command”命令，也 菜单中的运行程序中键入“command”命令，也 都可进入命令行界面。
(6)快捷方式 (6)快捷方式
快捷图标是一个连接对象的图标。它与某个对象（如程序、 快捷图标是一个连接对象的图标。它与某个对象（如程序、 文档）相连接， 文档）相连接，使之能快速地访问到指定的对象
Windows XP的文件系统 XP的文件系统
文件名：〈主文件名〉[.〈扩展名〉］ 文件名： 主文件名〉[.〈扩展名〉 文件命名规则: 文件命名规则:
(1) 多窗口技术
用户的主工作区： 用户的主工作区：桌面 应用程序运行形式： 应用程序运行形式：窗口 窗口系统：信息共享与多任务 窗口系统：
(2) 菜单技术
选择”菜单项” 选择”菜单项”就可以执行命令 不必熟记命令词；不必键入命令。 不必熟记命令词；不必键入命令。 提供多种形式的菜单：菜单栏、工具栏、 提供多种形式的菜单：菜单栏、工具栏、快捷菜单
(3) 联机帮助
代替了书面的用户手册
图形用户界面技术
多窗口技术 菜单技术 联机帮助
通过鼠标操作（ 双击 拖动等） 双击、 通过鼠标操作 （ 单 /双击 、 拖动等 ） 可以实现各种复杂的处理任务 桌面— 桌面 Windows工作区 工作区
窗口— 窗口 代表运行的程序
多窗口系统
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WinXP基本知识 WinXP基本知识
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WinXP操作系统 WinXP操作系统
安装系统时已将WinXP系统存储在硬盘中 系统存储在硬盘中 安装系统时已将 启动时从硬盘中调入WinXP的核心程序，并由 的核心程序， 启动时从硬盘中调入 的核心程序 并由WinXP控 控 制整个系统 任何计算机程序只有调入内存后才能被执行
内存 硬
WinXP
系统光盘
1、长度：255个字符（包括扩展名在内,扩展名为 、长度：255个字符（包括扩展名在内, 三个字符; 三个字符; 2、可以使用空格，句号。不能使用/ \ < > * ? “ ： ； 、可以使用空格，句号。不能使用/ 3、字符相同大小写不同的文件名，视为同一文件。 4、在同一个文件夹中的两个文件或子文件来不能 同名。
代表操作的对象
选择 “ 菜单项 ” 就 可以执行命令 不必键入命令； 不必键入命令； 不必熟记命令词。 不必熟记命令词。 提供多种形式的菜 菜单栏、 单 ： 菜单栏 、 工具 栏、快捷菜单
Windows的发展 Windows的发展
从1981年微软公司开发的MS-DOS到现在的Windows XP， 1981年微软公司开发的MS-DOS到现在的Windows XP， Windows系统经历了几个重要的阶段。 Windows系统经历了几个重要的阶段。 1. Windows 3.X Windows 3.X并不是一个真正的独立的多任务操作系统。 3.X并不是一个真正的独立的多任务操作系统。 它是在DOS上运行的结构化操作环境，需先安装DOS，再安 它是在DOS上运行的结构化操作环境，需先安装DOS，再安 装Windows 3.X。 3.X。 2. Windows 95 Windows 95是准32位的操作系统，它的主要部分是使用 95是准32位的操作系统，它的主要部分是使用 32位代码编写的，但某些部分仍然是使用16位代码编写的， 32位代码编写的，但某些部分仍然是使用16位代码编写的， 以确保与原有的16位应用程序兼容。Windows 95是不依赖于 以确保与原有的16位应用程序兼容。Windows 95是不依赖于 DOS而完全独立的操作系统。 DOS而完全独立的操作系统。 3. Windows NT（用于工作站或服务器） NT（用于工作站或服务器） Windows NT是32位的基于微核心化技术的网络操作系统， NT是32位的基于微核心化技术的网络操作系统， 包容了Windows 98的大多数特征，更安全，更稳定，易于管 包容了Windows 98的大多数特征，更安全，更稳定，易于管 理。
Windows XP的文件属性 XP的文件属性
在电脑任意文件夹下找到一个文件， 右击，打 开属性。 只读（具有只读属性的文件不能被修改或删除） 只读（具有只读属性的文件不能被修改或删除） 隐藏（不让其他人看到） 隐藏（不让其他人看到）
隐藏的文件从颜色上分辨是半透明的。要让该文件 显示出来的方法是：查看 文件夹选项… 查看选项卡 文件夹选项… 显示所有文件。
Windows的一个显著特点是 Windows 的一个显著特点是 采用了图形用户界面 图形用户界面， 采用了图形用户界面 ， 把操作对 象以形象化的图标显示在屏幕上 ， 通过鼠标操作可以实现各种复 杂的处理任务。 杂的处理任务。
Windows的发展 Windows的发展
操作系统是系统软件的核心。控制和管理计算机的硬、 操作系统是系统软件的核心。控制和管理计算机的硬、软 件资源，为用户提供操作界面。 件资源，为用户提供操作界面。 通常操作系统具有五大功能：处理器管理 、 作业管理、 通常操作系统具有五大功能： 处理器管理、 作业管理 、 存 储管理、设备管理和文件管理。 储管理、设备管理和文件管理。
COPY为复制文件命令 为复制文件命令 DOS命令在字符界面下键入 命令在字符界面下键入 CD命令用于设置当前文件夹 命令用于设置当前文件夹
DOS → Win3.x → Win9x → Win2000 → WinXP Win3 Win9 Win2000
DOS操作系统 DOS操作系统
DOS（ DOS（Disk Operating System）磁盘操作 System） 系统，自从DOS在1981年问世以来，版本 系统，自从DOS在1981年问世以来，版本 就不断地更新，从最初的DOS 1.0升级到了 就不断地更新，从最初的DOS 1.0升级到了 最新的DOS 8.0（ 最新的DOS 8.0（Windows ME系统），纯 ME系统），纯 DOS的最高版本为DOS 6.22。 DOS的最高版本为DOS 6.22。
WinXP基本知识 WinXP基本知识
(3)文件 (3)文件
文件是Windows中最基本的存储单位 文件是Windows中最基本的存储单位 各种文档和应用程序都是以文件的方式存放在磁 盘中
(4)文件夹 (4)文件夹
磁盘中可存放很多的文件，为了便于管理，我们 磁盘中可存放很多的文件，为了便于管理， 一般把文件分类存放在不同的“文件夹” 一般把文件分类存放在不同的“文件夹”里 一个文件夹中可以存放文件及其他的文件夹
操 作 系 统
用 户
规定一些操作
翻译成计算机 能执行的代码
目前在微机上使用的操作系统有MS-DOS、 目前在微机上使用的操作系统有MS-DOS、 Windows、UNIX、Linux等。. Windows、UNIX、Linux等。.