考研数学三概率论与数理统计历年真题试卷汇编16_真题-无答案
考研数学(三)题库 概率论与数理统计(第一章 随机事件和概率)打印版【圣才出品】
A．P（A）－P（B）
B．P（A）－P（B）＋P（AB）
C．P（A）－P（AB）
＿
＿
D．P（A）＋P（A）－P（AB）
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【答案】C
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【解析】P（A）＝P[A（B∪B）]＝P（AB）＋P（AB）＝P（A－B）＋P（AB），故 P
9．假设事件 A 和 B 满足 P（B|A）＝1，0＜P（A），则（ ）。 A．A 是必然事件 B．P（A|B）＝0 C．A 包含事件 B D．P（A－B）＝0 【答案】D 【解析】因为 P（B|A）＝1 且 P（A）＞0，故 P（AB）＝P（A），P（A－B）＝P（A） －P（AB）＝0。
10．对于任意两事件 A 和 B，P（A－B）＝（ ）。
＿＿
P（A∪B）＝1。
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3．若 A、B 互斥，且 P（A）＞0，P（B）＞0，则下列式子成立的是（ ）。 A．P（A|B）＝P（A） B．P（B|A）＞0 C．P（AB）＝P（A）P（B） D．P（B|A）＝0 【答案】D 【解析】因为 A，B 互斥，故 AB＝∅，P（AB）＝0，P（B|A）＝P（AB）/P（A）＝0。
14．对于事件 A、B、C，如果 A B C ，则（ ）。
＿ ＿＿
A．A∪B⊂C
＿＿ ＿
B．AB⊃C
＿
C．A∪B⊂C
D．AB⊂C
【答案】C
＿
【解析】∵ A B C ∴ A B C ，即 A∪B⊂C。
15．对于事件 A、B，如果 A⊃B，P（B）＞0，则（ ）。
A．P（B|A）＝P（B）
2016年考研数学三真题及解析
2016年考研数学三真题及解析2016年考研数学（三）真题一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）()11lim ______.nn n n-→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f xf x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f xy =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（4）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E=+，则=B .（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xnf x ex X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES=二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y<<∆. (B)0d y y<∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D)d 0y y <∆< .[ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B)()()010f f -'=且存在(C)()()000f f +'=且存在(D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数(A) 1nn a ∞=∑收敛 . （B ）1(1)nnn a ∞=-∑收敛.(C) 11n n n a a ∞+=∑收敛. (D) 112nn n aa ∞+=+∑收敛.[ ]（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-. （Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++[ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0yx y ϕ'≠，已知0(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ>[ ]三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求(Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ)()0lim x g x +→.（16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域. （17）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax（常数>0a ）. (Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值.（19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y XF x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Yf y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ；(Ⅲ)1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为(),01,;1,12,0,x f x x θθθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他,其中θ是未知参数()01θ<<，12n,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,nx x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计； （Ⅱ）求θ的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析二、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1）()11lim 1.nn n n-→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln e NN =求解. 【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0n n n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f xf x '=，()21f =，则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知，()()e f xf x '=，两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==，两边再对x 求导得()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==，又()21f =，故 ()323(2)2e2e f f '''==.（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f xy =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx∂'=-⋅=∂，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z zx y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦.方法二：对()224z f x y =-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d zf x y x y'=-=-.（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E=+，则=B 2 .【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 ()2B A E E -=于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】 利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】 由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰.【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S≤=≤≤==阴.（6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xnf x ex X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX=即可.【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰，22222000()d e d e d e 2e d 2xx xx x EX x f x x x x x x x x+∞+∞+∞+∞---+∞--∞-∞====-+⎰⎰⎰⎰2e 2e d 2e 2xx xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰，所以()22202DX EX EX =-=-=，又因2S 是DX 的无偏估计量，所以22ES DX ==.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y<<∆.(B)0d y y<∆<.(C)d 0y y ∆<<. (D)d 0y y <∆< . [ Ａ ]【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim 1h f h h →=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C)()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在[ C ] 【分析】从()220lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性.【详解】由()22lim 1h f h h→=知，()2lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则()20(0)lim ()lim 0x h f f x f h →→===.令2t h =，则()()220(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）.（9）若级数1n n a ∞=∑收敛，则级数(A) 1nn a ∞=∑收敛 . （B ）1(1)nnn a ∞=-∑收敛.(C) 11n n n a a ∞+=∑收敛. (D) 112nn n aa ∞+=+∑收敛.[ Ｄ ]【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】 由1nn a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112nn n aa ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法： 取1(1)nna n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取(1)nna =-.故（Ｄ）项正确.（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ]【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y=+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0yx y ϕ'≠，已知0(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若0(,)0xf x y '=，则0(,)0yf x y '=.(B) 若0(,)0xf x y '=，则0(,)0yf x y '≠.(C) 若0(,)0xf x y '≠，则0(,)0yf x y '=.(D)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.[ Ｄ ]【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应0,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应0,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得(,)(,)(,)(,)0xyyxf x y x y f x y x y ϕϕ''''-=,整理得000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0yx y ϕ'≠），若0(,)0xf x y '≠，则0(,)0yf x y '≠.故选（Ｄ）. （12）设12,,,sααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 (A)若12,,,s ααα线性相关，则12,,,sA A A ααα线性相关.(B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,sA A A ααα线性相关.(D) 若12,,,sααα线性无关，则12,,,sA A A ααα线性无关.[ A ]【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A ABααα=.所以，若向量组12,,,sααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s≤<，向量组12,,,sA A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP-=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC PAP=. （Ｄ）TC PAP =. ［ Ｂ ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C)12μμ< (D) 12μμ>[ A ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求(Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ)()0lim x g x +→.【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限. 【详解】(Ⅰ)()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+ ⎪⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yx y x x x x y ππ→∞⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ （通分）22222000112arctan 2(1)1lim lim lim 22x x x x x x x x x x x x x xππππ+++→→→-+-+-+++====（16）（本题满分7分）计算二重积分d Dx y，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x 后y”积分较容易，所以1220d d d d yDy xy x y y y xy x-=-⎰⎰⎰⎰()311222002122d d 339y y xy y y y y=--==⎰⎰（17）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.又()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,sin 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）. (Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值.【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得yy ax x'-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x axx=-=，代入通解公式得()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰，又(1)0f =，所以C a =-. 故曲线L 的方程为2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以 ()22d D ax ax ax x ⎡⎤=--⎣⎦⎰()220482d 33a x x x a =-==⎰，故2a =.（19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-，则 2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n x x u x n n ++-+→∞→∞-++==--.所以当21,1xx <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----，均收敛，故所给幂级数的收敛域为[]1,1- 在()1,1-内，()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑，而12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑，所以 111201()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t ''''-===+⎰⎰，又1(0)0s '=，于是1()arctan s x x'=.同理1110()(0)()d arctan d xxs x s s t t t t'-==⎰⎰()20201arctan d arctan ln 112xx t t t t x x x t =-=-++⎰，又 1(0)0s =，所以()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-.（20）（本题满分13分） 设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关?当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则312341234(10)12341234a a A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===；当10a =-时，1α 2α 3α 4α9234183412741236A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量； (Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.【分析】 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由TQAQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫-⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数. 又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，令 []123,,Q ηηη=，则1TQQ -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T 300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （Ⅲ）由(Ⅱ)知T 300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以T 31110011101110A Q Q ⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=Λ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.666T T T 333222Q A E Q Q A E Q Q AQ E ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭，则666T 333222A E Q EQ E⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩ 其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(Ⅰ) 求Y 的概率密度()Yf y ；(Ⅱ) Cov(,)X Y ； (Ⅲ)1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算. 【详解】 （I ） 设Y 的分布函数为()YF y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0YF y =；2) 当01y ≤<时，(2()()YF y P X y P X =<=<<001d 4x x =+=⎰3) 当14y ≤<时，(2()()1YF y P X y P X =<=-<<010111d d 242x x -=+=⎰. 4) 当4y ≥，()1YF y =.所以1()()40,Y Y y f y F y y <<⎪'==≤<⎪⎩其他.（II ） 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，而2101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰，2222105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰，33023107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰， 所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=.(Ⅲ)1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22222P X X P X ⎛⎫⎛⎫=≤--≤≤=-≤≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰.2016年考研各科目专用题库复习和考试软件说明：本人已于2015年顺利通过了考研。
考研数三(2008-2017年)历年真题
(I)求1Z的概率密度；(II)利用一阶矩求σ的矩估计量；(III)求σ的最大似然估计量.选择题:18设是数列,下列命题中不正确的是：（若,则若,则若,则若,则设函数在内连续,其二阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(B)(C)(D),函数在上连续,则（(B)(C)(C)(D)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(B)(C)设二次型在正交变换为下的标准形为，若，则在正交变换下的标准形为：（(C)(D)若为任意两个随机事件,则:（(A)(B)(C)(D)设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则(B)(C)(D)二、填空题：914(9)设函数连续，若则若函数由方程确定，则设函数是微分方程的解，且在处3，则设阶矩阵的特征值为，其中为阶单位矩阵，则行列式设二维随机变量服从正态分布，则设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.计算二重积分，其中为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，成本，为需求弹性.证明定价模型为；若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(I)设函数可导，利用导数定义证明(II)设函数可导，，写出的求导公式.(20)(本题满分11分)设矩阵，且.(I)求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21)(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I)求的概率分布；(II)求EY.(23)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.选择题:18设，且，则当充分大时有：（(B)(C)(D)(B)(C)设,当时,若是比高阶的无穷小,则下列试题中错误的是：(A)(B)(C)(D)设函数具有二阶导数，，则在区间上：（(A)当时，(B)当时，(C)当时，(D)当时，行列式（(C)(D)设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关设随机事件与相互独立，且，，则（(A)(B)(C)(D)设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为（(A)(B)(C)(D)二、填空题：914设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为________.设是由曲线与直线及围成的有界区域，则的面积为________.设，则__________.二次积分__________.1，则的取值范围_________.设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_________.求极限.设平面区域计算.设函数具有连续导数，满足.若，求的表达式.求幂级数的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：(I)；(II).(20)(本题满分11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.证明阶矩阵与相似.(22)(本题满分11分)设随机变量的概率分布为在给定的条件下，随机变量服从均匀分布.(I)求的分布函数；(II)求.(23)(本题满分11分)设随机变量,的概率分布相同，的概率分布为且与的相关系数(I)求的概率分布；(II)求一、选择题:18当时，用“”表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（(B)(C)(2)函数的可去间断点的个数为：（）(A)(B)(C)(D)(3)设是圆域位于第象限的部分，记，则：（）(A)(B)(C)(D)．(4)设为正项数列，下列选项正确的是：（）(A)若，则收敛(B)若收敛，则(C)若收敛,则存在常数,使存在(D)若存在常数,使存在,则收敛(5)设均为阶矩阵，若,且可逆.则：（）(A)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(B)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(C)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(D)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(6)矩阵与相似的充分必要条件为：（）（A）（B）为任意常数（C）（D）为任意常数(7)设是随机变量，且，，，，则：（）(B)(C)(D)设随机变量和相互独立，则和的概率分布分别为则：（(B)(C)二、填空题：914设曲线与在点处有公共切线，则_________.设函数由方程确定，则_________._________.的通解为_________.设是阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若，则_________.设随机变量服从标准正态分布，则_________.三、解答题：1523当时，与为等价无穷小，求与的值．设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.(17)(本题满分10分)设平面区域由直线及围成，计算．(18)(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为元，可变成本为元/件，价格函数为，（是单价，单位：元，是销量，单位：件），已知产销平衡，求：(I)该商品的边际利润；(II)当时的边际利润，并解释其经济意义；(III)使得利润最大的定价．(19)(本题满分10分)设函数在上可导，，且.证明：(I)存在，使得；(II)对(I)中的，存在，使得．(20)(本题满分11分)设，当为何值时，存在矩阵使得,并求所有矩阵．(21)(本题满分11分)设二次型，记，(I)证明二次型对应的矩阵为；(II)若正交且均为单位变量，证明在正交变换下的标准形为．(22)(本题满分11分)设是二维随机变量，的边缘概率密度为在给定的条件下的条件概率密度为(I)求的概率密度；(II)求的边缘概率密度；(III)求．(23)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量；(II)求的最大似然估计量．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题曲线渐近线的条数为：（.(B).(C).(D).设函数，其中为正整数，则：（.(B).(C)..设函数连续，则二次积分：（..(C)..(A)..(C)..设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为：..(C)..设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且.若，，则：（..(C)..设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则：（.(B).(C).(D).设为来自总体（）则统计量的分布为：(A).(B).(C).(D).(9)_________.设函数，，则_________.设连续函数满足，则_________.由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为_________.设为阶矩阵，，为的伴随矩阵.若交换的第行与第行得矩阵，则_______设是随机事件，与互不相容，则_________.求极限.计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域.某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为(件)和(件)，且这两种产品的边际成本分别为(万元/件)与(万元/件).(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数(万元)；(II)当总产量为50件时，甲、乙两种产品产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.(18)(本题满分10分)证明：.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程x e x f x f x f x f x f 2)()(0)(2)()(=+''=-'+''及.(I)求的表达式；(II)求曲线dt t f x f y x⎰-=022)()(的拐点.(20)(本题满分11分)设．(I)计算行列式；(II)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解．(21)(本题满分11分)已知，二次型的秩为．(I)求实数的值；(II)求正交变换将化为标准形.(22)(本题满分11分)设二维离散型随机变量的概率分布为(I)求；(II)求.(23)(本题满分11分)设随机变量与相互独立，且服从参数为的指数分布.记，.(I)求的概率密度；(II)求.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(三).doc
考研数学三-线性代数、概率论与数理统计(三)(总分：108.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：54，分数：108.00)1.已知随机变量X服从参数为λPX+Y=0=______；PY2.00）填空项1:__________________2.已知(X，Y)的联合密度函数f(x，PX+Y≤1=______；PX-Y≤-1=______ 2.00）填空项1:__________________3.如果用X，Y分别表示将一个硬币接连掷8次正反面出现的次数，则t的一元二次方程t2+Xt+Y=0有重根的概率是______．（分数：2.00）填空项1:__________________4. 2.00）填空项1:__________________5.已知随机变量X的概率分布为(k=1，2，3)，当X=k时随机变量Y在(0，k)上服从均匀分布，即2.00）填空项1:__________________6.设随机变量X1和X2相互独立，它们的分布函数分别F1(x)和F2(x)，已知2.00）填空项1:__________________7.Y的联合分布函数F(x，y) 2.00）填空项1:__________________8.假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，Y=|X|，则(X，Y)的联合分布函数F(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________9.已知(X，Y) 2.00）填空项1:__________________10.设随机变量X与Y均服从正态分布N(μ，σ2)，则Pmax(X，Y)＞μ-Pmin(X，Y)＜μ=______．（分数：2.00）填空项1:__________________11.设相互独立两个随机变量X和Y均服从标准正态分布，则随机变量X-Y的概率密度函数的最大值等于______．（分数：2.00）填空项1:__________________12.设(X，Y)～N(μ1，μ20)，其分布函数为F(x，y)，已知F(μ， 2.00）填空项1:__________________13.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为Φ(2x+1)Φ(2y-1)，其中Φ(x)为标准正态分布函数，则(X，Y)服从正态分布N______．（分数：2.00）填空项1:__________________14.设随机变量X和Y相互独立，且X服从标准正态分布，其分布函数为Φ(x)，Y的概率分布为2.00）填空项1:__________________15.设随机变量X的密度函数＜a＜b)，且EX2=2，则P|X| 2.00）填空项1:__________________16.已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，已知PX1+X2＞0=1-e-1，则E(X1+X2)2=______．（分数：2.00）填空项1:__________________17.将10双不同的鞋随意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则EX=______．（分数：2.00）填空项1:__________________18.假设随机变量X在[-1，1]上服从均匀分布，a是区间[-1，1]上的一个定点，Y为点X到a的距离，当a=______时，随机变量X与Y不相关．（分数：2.00）填空项1:__________________19.已知编号为1，2，3，4的4个袋中各有3个白球，2个黑球．现从1，2，3袋中各取一球放入第4号袋中，则4号袋中白球数X的期望EX=______；方差DX=______．（分数：2.00）填空项1:__________________20.已知随机变量X1，X2，X3相互独立且都服从正态分布N(0，σ2)，如果随机变量Y=X1X2X3的方差（分数：2.00）填空项1:__________________21.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1的出现次数为Z，则E(Z2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________22.已知随机变量X1，X2…，X n相互独立，且有相同的方差σ2(≠0)，；X1（分数：2.00）填空项1:__________________23.已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为x的指数分布则E(XY)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________24.设随机变量X和Y 2.00）填空项1:__________________25.设随机变量X服从分布E(1)，记Y=min|X|，1，则Y的数学期望E(Y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________26.设连续型随机变量X 2.00）填空项1:__________________27.相互独立的随机变量X1和X2 2.00）填空项1:__________________28.E(X，Y)～N(μ1，μ2ρ)，(σ1＞0，σ2＞0) 2.00）填空项1:__________________29.设随机变量X和Y 2.00）填空项1:__________________30.设随机变量X1，X2…，X n(n＞1)独立同分布，且方差为σ2＞0，记Y1Y n 2.00）填空项1:__________________31.设随机变量X在[-1，b]上服从均匀分布，若由切比雪夫不等式有P|X-1|＜ε 2.00）填空项1:__________________32.将一个骰子重复掷n次，各次掷出的点数依次为X1，…，X n则当n 2.00）填空项1:__________________33.设随机变量列X1，X2…，X n，…相互独立且同分布，则X1，X2…，X n，…服从辛钦大数定律，只要随机变量X1 1．（分数：2.00）填空项1:__________________34.假设随机变量X1，X2…，X2n独立同分布，且EX i=DX i=1(1≤i≤2n)，如果Y n 2.00）填空项1:__________________35.已知随机变量X1，…，X n相互独立且都服从标准正态分布，Y1=X1，Y2=X2 2.00）填空项1:__________________填空项1:__________________36.已知X1，X2…，X n为取自分布为F(x)的总体X的简单随机样本．记X=min(X1，…，X n-1)和Y=X n则X的分布函数F X(x)=______，Y的分布函数F Y(y)=______和(X，Y)的联合分布G(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________37.已知总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，X1，…，X n与Y1，…，Y n为分别来自总体X与Y的两个相互2.00）填空项1:__________________38.已知(X，Y)的概率密度为f(X， 2.00）填空项1:__________________39.设X1，X2…，X n为来自总体X．(0≤k≤n)2.00）填空项1:__________________40.设总体X的概率密度为 2.00）填空项1:__________________41.设X1，X2…，X2n是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本(n≥2)(X i+X n+i 2.00）填空项1:__________________42.设X1，X2…，X n来自总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，记样本方差S2，则D(S2)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________43.设X1，X2…，X6是来自正态分布N(0，σ2) 2.00）填空项1:__________________44.设X1，X2…，X6是来自正态总体N(0，σ2) 2.00）填空项1:__________________45.假设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2…，X2n是来自总体X容量为2n的一组简单随机样本，统计2.00）填空项1:__________________46.设总体X 2.00）填空项1:__________________47.设总体X是在原点为中心，长度为a的闭区间上均匀分布，X1，X2…，X n是来自总体X的简单随机样本，则未知参数a 2.00）填空项1:__________________48.设X1，X2…，X n是来自X～P(λ)S2分别为样本均值和方差，则统计量2.00）填空项1:__________________49.设X1，X2…，X n来自正态分布N(0，σ2)总体X S2，2.00）填空项1:__________________50.设X1，X2…，X n是来自总体X的简单随机样本，X则未知参数λ（分数：2.00）填空项1:__________________51.设X1，X2…，X n是来自区间[-a，a]上均匀分布的总体X的简单随机样本，则参数a的矩估计量为______．（分数：2.00）填空项1:__________________52.设X1，X2…，X n是来自总体为区间[θ，θ+2]上均匀分布的X未知参数θ 2.00）填空项1:__________________53.设X1，X2…，X n是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为-∞＜x＜+∞，λ＞0则λ 2.00）填空项1:__________________54.设X1，X2…，X n为来自正态总体N(μμ未知，则参数μ的2.00）填空项1:__________________。
2016年考研数学(三)真题
2016年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） (1)若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2)设函数f (u ,v )由关系式f [xg (y ),y ]=x +g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠0，则2fu v ∂=∂∂.(3)设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4)二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .(5)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则=>}{DX X P _______.(6)设总体X 服从正态分布),(21σμN ,总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本,则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7)函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).[](8)设f (x )在(-∞,+∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A)x =0必是g (x )的第一类间断点. (B)x =0必是g (x )的第二类间断点.(C)x =0必是g (x )的连续点.(D)g (x )在点x =0处的连续性与a 的取值有关. [] (9)设f (x )=|x (1-x )|，则(A)x =0是f (x )的极值点，但(0,0)不是曲线y =f (x )的拐点. (B)x =0不是f (x )的极值点，但(0,0)是曲线y =f (x )的拐点. (C)x =0是f (x )的极值点，且(0,0)是曲线y =f (x )的拐点.(D)x =0不是f (x )的极值点，(0,0)也不是曲线y =f (x )的拐点. [] (10)设有下列命题：(1)若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2)若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3)若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4)若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A)(1)(2). (B)(2)(3).(C)(3)(4). (D)(1)(4). [](11)设)(x f '在[a,b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >f (a ). (B)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >f (b ). (C)至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f =0.[D](12)设n 阶矩阵A 与B 等价,则必有(A)当)0(||≠=a a A 时,a B =||.(B)当)0(||≠=a a A 时,a B -=||. (C)当0||≠A 时,0||=B .(D)当0||=A 时,0||=B .[](13)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.[](14)设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ,对给定的)1,0(∈α,数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|,则x 等于 (A)2αu .(B)21αu-.(C)21αu -.(D)αu -1.[]三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→.(16)(本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D22122=所围成的 平面区域(如图).(17)(本题满分8分) 设f (x ),g (x )在[a ,b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈[a ,b )，证明：⎰⎰≤baba dx x xg dx x xf )()(.(18)(本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q=100-5P ，其中价格P ∈(0,20)，Q 为需求量. (I)求需求量对价格的弹性d E (d E >0)；(II)推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19)(本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ).求：(I)S (x )所满足的一阶微分方程； (II)S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=,T ααα)3,2,1(2-+=,T b αb α)2,2,1(3+---=,Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ)β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ)β可由321,,ααα唯一地线性表示,并求出表示式;(Ⅲ)β可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式. (21)(本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111b b b b b b A .(Ⅰ)求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵. (22)(本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P ,31)|(=AB P ,21)|(=B A P ,令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ)二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ)X 与Y 的相关系数XY ρ; (Ⅲ)22Y X Z +=的概率分布. (23)(本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα.设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ)当1=α时,求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ)当1=α时,求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ)当2=β时,求未知参数α的最大似然估计量.2016年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上） (1)若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a =1.极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b =-4.因此，a =1，b =-4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝A ， (1)若g (x )→0，则f (x )→0；(2)若f (x )→0，且A ≠0，则g (x )→0.(2)设函数f (u ,v )由关系式f [xg (y ),y ]=x +g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u =xg (y )，v =y ，可得到f (u ,v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u =xg (y )，v =y ，则f (u ,v )=)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3)设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x -1=t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x -1=t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而2)(=A r ,即二次型的秩为2.【详解二】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中,21213211x x x y ++=322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则=>}{DX X P e1. 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】由于21λDX =,X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.(6)设总体X 服从正态分布),(21σμN ,总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本,则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=,2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7)函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).[A]【分析】如f (x )在(a ,b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a ,b )内有界.【详解】当x ≠0,1,2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ， 所以，函数f (x )在(-1,0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，则f (x )在闭区间[a ,b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a ,b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a ,b )内有界.(8)设f (x )在(-∞,+∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A)x =0必是g (x )的第一类间断点. (B)x =0必是g (x )的第二类间断点.(C)x =0必是g (x )的连续点.(D)g (x )在点x =0处的连续性与a 的取值有关. [D] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→===a (令xu 1=)，又g (0)=0，所以，当a =0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x =0处连续，当a ≠0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x =0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x =0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9)设f (x )=|x (1-x )|，则(A)x =0是f (x )的极值点，但(0,0)不是曲线y =f (x )的拐点. (B)x =0不是f (x )的极值点，但(0,0)是曲线y =f (x )的拐点. (C)x =0是f (x )的极值点，且(0,0)是曲线y =f (x )的拐点.(D)x =0不是f (x )的极值点，(0,0)也不是曲线y =f (x )的拐点. [C] 【分析】由于f (x )在x =0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x =0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0<δ<1，当x ∈(-δ,0)⋃(0,δ)时，f (x )>0，而f (0)=0，所以x =0是f (x )的极小值点. 显然，x =0是f (x )的不可导点.当x ∈(-δ,0)时，f (x )=-x (1-x )，02)(>=''x f ，当x ∈(0,δ)时，f (x )=x (1-x )，02)(<-=''x f ，所以(0,0)是曲线y =f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x =0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10)设有下列命题：(1)若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2)若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3)若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4)若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A)(1)(2). (B)(2)(3). (C)(3)(4). (D)(1)(4). [B] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n →∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛.故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (11)设)(x f '在[a,b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >f (a ). (B)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f >f (b ). (C)至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D)至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f =0.[D]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a,b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >.同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >.所以，(A)(B)(C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12)设n 阶矩阵A 与B 等价,则必有(A)当)0(||≠=a a A 时,a B =||.(B)当)0(||≠=a a A 时,a B -=||. (C)当0||≠A 时,0||=B .(D)当0||=A 时,0||=B .[D] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件:)()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时,n A r <)(,又A 与B 等价,故n B r <)(,即0||=B ,故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查,属基本题型.(13)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量. [B]【分析】要确定基础解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -,而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n .又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一,故1)(-=n A r .从而基础解系仅含一个解向量,即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查. (14)设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ,对给定的)1,0(∈α,数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|,则x 等于 (A)2αu .(B)21αu-.(C)21αu -.(D)αu -1.[C]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>.故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→=346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x .【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16)(本题满分8分) 求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17)(本题满分8分) 设f (x ),g (x )在[a ,b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈[a ,b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤baba dx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x )=f (x )-g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x )=f (x )-g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，由题设G (x )≥0，x ∈[a ,b ]，G (a )=G (b )=0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab ababa b a dx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于G (x )≥0，x ∈[a ,b ]，故有0)(≤-⎰badx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18)(本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q=100-5P ，其中价格P ∈(0,20)，Q 为需求量. (I)求需求量对价格的弹性d E (d E >0)；(II)推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于d E >0，所以dP dQ Q P E d =；由Q=PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I)PPdP dQ Q P E d -==20. (II)由R=PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P=10.当10<P<20时，d E >1，于是0<dPdR，故当10<P<20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E >0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19)(本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ).求：(I)S (x )所满足的一阶微分方程； (II)S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ， 易见S (0)=0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II)方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰- 22212x Ce x +--=，由初始条件y(0)=0，得C=1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=,T ααα)3,2,1(2-+=,T b αb α)2,2,1(3+---=,Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ)β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ)β可由321,,ααα唯一地线性表示,并求出表示式;(Ⅲ)β可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211.(*)记),,(321αααA =.对矩阵),(βA 施以初等行变换,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ)当0=a 时,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA .可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解,β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ)当0≠a ,且b a ≠时,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111-=,a k 12=,03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示,其表示式为211)11(αaαa β+-=．(Ⅲ)当0≠=b a 时,对矩阵),(βA 施以初等行变换,有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解， 其全部解为a k 111-=,c ak +=12,c k =3，其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示,但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型,曾考过两次(1991,2000).(21)(本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ)求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ)求可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题,通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ)1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ． 对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b b n A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得Tξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)． 对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ)1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P ,均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算,齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题,属于有一点综合性的试题.另外,本题的解题思路是容易的,只要注意矩阵中含有一个未知参数,从而一般要讨论其不同取值情况. (22)(本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P ,31)|(=AB P ,21)|(=B A P ,令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ)二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ)X 与Y 的相关系数XY ρ; (Ⅲ)22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】(Ⅰ)因为121)|()()(==A B P A P AB P ， 于是 61)|()()(==B A P AB P B P ， 则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ，32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， (或 32121611211}0,0{=---===Y X P )， 即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 4)(==A P EX ，6)(==B P EY ，12)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ． 方法二：X,Y 的概率分布分别为X01Y01P4341P 6561则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365,E(XY)=121,故241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ)Z 的可能取值为：0，1，2．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ， 即Z 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23)(本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα.设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ)当1=α时,求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ)当1=α时,求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ)当2=β时,求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型,只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】当1=α时,X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ)由于 ⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1,解得1-=X X β, 所以,参数β的矩估计量为1-=X Xβ. (Ⅱ)对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 ,似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他 当),,2,1(1n i x i =>时,0)(>βL ,取对数得∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ， 解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．(Ⅲ)当2=β时,X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 ,似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他 当),,2,1(n i αx i =>时,α越大，)(αL 越大,即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X α=． 声明：此资源由本人收集整理于网络，只用于交流学习，请勿用作它途。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(87年)若二事件A和B同时出现的概率P(AB)＝0，则【】A．A和B不相容(互斥)．B．AB是不可能事件．C．AB未必是不可能事件．D．P(A)＝0或P(B)＝0．正确答案：C解析：由P(AB)＝0不能推出AB＝的结论，故A、B均排除．而D明显不对，应选C．知识模块：概率论与数理统计2．(89年)以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：【】A．“甲种产品滞销，乙种产品畅销”．B．“甲、乙两种产品均畅销”．C．“甲种产品滞销”．D．“甲种产品滞销或乙种产品畅销”．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．(90年)议A、B为随机事件，且BA，则下列式子正确的是【】A．P(A＋B)＝P(A)．B．P(AB)＝P(A)．C．P(B｜A)＝P(B)．D．P(B－A)＝P(B)－P(A)．正确答案：A解析：∵AB，∴A＋B＝A，故选A．知识模块：概率论与数理统计4．(91年)设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：【】A．不相容．B．相容．C．P(AB)＝P(A)P(B)．D．P(A－B)＝P(A)．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计5．(92年)设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则【】A．P(C)≤P(A)＋P(B)－1．B．P(C)≥P(A)＋P(B)－1．C．P(C)＝P(AB)．D．P(C)＝P(A∪B)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计6．(93年)设两事件A与B满足P(B｜A)＝1，则【】A．A是必然事件．B．P(B｜)＝0C．AB．D．AB．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计7．(94年)设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)＋P()＝1，则事件A和B 【】A．互不相容．B．互相对立．C．不独立．D．独立．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．(96年)已知0＜P(B)＜1，且P[(A1＋A2)｜B]＝P(A1｜B)＋P(A2｜B)，则下列选项成立的是【】A．P[(A1＋A2)｜]＝P(A1｜)＋P(A2｜)B．P(A1B＋A2B)＝P(A1B)＋P(A2B)C．P(A1＋A2)＝P(A1｜B)＋P(A2｜B)D．P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)正确答案：B解析：由已知得，化简得B项正确．知识模块：概率论与数理统计9．(00年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电．以E 表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于【】A．{T(1)≥t0}B．{T(2)≥t0}C．{T(3)≥t0}D．{T(4)≥t0}正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(88年)设P(A)＝0．4，P(A∪B)＝0．7，那么(1)若A与B互不相容，则P(B)＝_______；(2)若A与B相互独立，则P(B)＝_______．正确答案：0．3；0．5．解析：由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) (1)若A、B互不相容，则AB ＝，∴P(AB)＝0，代入上式得0．7＝0．4＋P(B)－0，故P(B)＝0．3 (2)若A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，代入得0．7＝0．4＋P(B)－0．4×P(B)，故P(B)＝0．5．知识模块：概率论与数理统计11．(88年)若事件A，B，C满足等式A∪C＝B∪C，则A＝B．该命题是否正确_______．(填正确或不正确)正确答案：不正确涉及知识点：概率论与数理统计12．(90年)一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_______．正确答案：解析：设该射手的命中率为p，则4次射击(独立重复)中命中k次的概率为C4kpk(1－p)4-k．由题意＝P(他至少命中一次)＝1－P(他命中0次)＝1－C40p0(1－p)4-0＝1－(1－p)4 解得p＝知识模块：概率论与数理统计13．(92年)将C，C，E，E，I，N，S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率为_______．正确答案：解析：这7个字母排一行共有71种排法(第1位置有7种放法，第2位置有6种放法，余类推，用乘法原则)，这是总样本点个数．而在有利场合下，第1位置有1种放法(1个S)，第2位置有2种放法(2个C中选1个)，同理，第3位置有1种放法(1个D，第4位置有2种放法(2个E中选1个)，后边都是1种选法(即使是C或E，只剩1个了)，故有1×2×1×2×1×1×1＝4种放法，这是有利样本点个数．故所求概率为知识模块：概率论与数理统计14．(07年)在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为_______．正确答案：解析：设这两个数分别为χ，y，则二维点(χ，y)可能取的点为图4．3中的正方形内部(面积为1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值＜”)的点集合{(χ，y)：0＜χ＜1，0＜y＜1，｜χ－y｜＜}为图中阴影部分G，而G的面积为1－2×．故所求概率为知识模块：概率论与数理统计15．(12年)设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)＝，P(C)＝，则P(AB｜)＝_______．正确答案：解析：∵AC＝，∴A，得P(AB)＝P(AB)＝，又P()＝1－P(C)＝，故知识模块：概率论与数理统计16．(16年)设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为_______．正确答案：解析：用古典概型，4次取球共有34种取法；而“第1次取红球，第2、3次至少取得1白球且未取得黑球，第4次取黑球”共有3种取法：(按顺序)“红红白黑，红白红黑，红白白黑”，故上述事件(引号内的事件)的概率为．而红、白、黑3种颜色排列有31种，故本题所求概率为．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)＝E(X).E(Y)，则A．D(XY)＝D(X).D(Y)．B．D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)．C．X与Y独立．D．X与Y不独立．正确答案：B解析：∵D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2[E(XY)－E(X)E(Y)]，可见选项B与E(XY)＝E(X)E(Y)是等价的．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U与V必然A．不独立．B．独立．C．相关系数不为零．D．相关系数为零．正确答案：D解析：∵X与Y同分布，∴DX＝DY 得cov(U，V)＝cov(X－Y，X＋Y)＝cov(X，X)＋cov(X，Y)～cov(Y．X)－cov(Y，Y) ＝DX－DY=＝0 ∴相关系数ρ＝0 知识模块：概率论与数理统计3．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．－1B．0C．D．1正确答案：A解析：∵X＋Y＝n，∴Y＝n－X 故DY＝D(n－X)＝DX，cov(X，Y)＝cov(X，n－X)＝－cov(X．X)＝－DX．∴X和Y的相关系数ρ(X，Y)＝＝－1．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(χ)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(χ｜y)为A．fX(χ)．B．fY(y)．C．fX(χ)fY(y)．D．正确答案：A解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关．故X与Y独立，∴(X，Y)的概率密度f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)，(χ，y)∈R2．得fX｜Y(X｜Y)＝＝fX(χ) 故选A．知识模块：概率论与数理统计填空题5．设随机变量Xij(i，j＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，EXij＝2，则行列式的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，p1，…，pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差DY＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率密度为：则P(X＞0)＝∫0＋∞f(χ)dχ＝P(X ＜0)＝∫－∞0＝，而P(X＝0)＝0 故EY＝1.P(X＞0)＋0.P(X＝0)＋(－1)P(x ＜0)＝E(Y2)＝12.P(X＞0)＋02.P(X＝0)＋(－1)2P(X＜0)＝＝1 ∴DY＝E(Y)2－(EY)21－知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．正确答案：－0．02解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28 而关于X的边缘分布律为：关于Y的边缘分布律为：∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6，EY2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5 故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．正确答案：0．9解析：因为D(Z)＝D(X－0．4)＝DX，且cov(Y，Z)＝cov(Y，X－0．4)＝cov(Y，X)＝cov(X，Y) 故ρ(Y，Z)＝＝ρ(X，Y)＝0．9．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．正确答案：解析：由题意，DX＝，而X的概率密度为故＝e-1．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．正确答案：解析：由EX2＝DX＋(EX)2＝1＋12＝2，故P{X＝EX2}＝P{X＝2}＝知识模块：概率论与数理统计11．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．正确答案：μ3＋μσ2解析：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，解：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，故EX＝μ，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝σ2＋μ2 ∴E(XY2)＝EX.E(Y2)＝μ(σ2＋μ2)＝μ3＋μσ2 知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．正确答案：2e2解析：E(Xe2X)＝而－χ2＋2χ＝－(χ2－4χ＋4－4)＝－(χ－2)2＋2 ∴E(Xe2X)＝＝2e2 知识模块：概率论与数理统计13．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0}＝_______．正确答案：解析：由题意可知X～N(1，1)，Y～N(0，1)，且X与Y独立．可得X－1～N(0，1)，于是P(Y＞0)＝P(Y＜0)＝，P(X－1＞0)＝P(X－1＜0)＝，可得P(XY －Y＜0)＝P{Y(X－1)＜0}＝P{Y＞0，X－1＜0}＋P{Y＜0，X－1＞0} ＝P(Y ＞0)P(X－1＜0)＋P(Y＜0)P(X－1＞0) ＝知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(16年)设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝【】A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与Y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－[E(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计2．(94年)设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n－1的t分布的随机变量是【】A．B．C．D．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计3．(02年)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则【】A．X＋Y服从正态分布．B．X2＋Y2服从Z2分布．C．X2和Y2都服从χ2分布．D．X2／Y2服从F分布．正确答案：C解析：∵X～N(0，1)，Y～N(0，1)∴X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计4．(11年)设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n ≥2)为来自该总体的简单随机样本．则对于统计量T1＝和T2＝，有【】A．ET1＞ET2，DT1＞DT2．B．ET1＞ET2，DT1＜DT2．C．ET1＜ET2，DT1＞DT2．D．ET1＜ET2，DT1＜DT2．正确答案：D解析：由题意知X1，X2，…，Xn独立同分布，EXi＝DXi＝λ，i＝1，2，…，n．故：可见ET1＜ET2，DT1＜DT2，故选D．知识模块：概率论与数理统计5．(12年)设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为【】A．N(0，1)B．t(1)C．χ2(1)D．F(1，1)正确答案：B解析：由题意得：E(X1－X2)＝EX1－EX2＝1－1＝0，D(X1－X2)＝DX1＋DX2＝σ2＋σ2＝2σ2，∴X1－X2～N(0，2σ2) 同理，E(X3＋E4)＝EX3＋EX4＝1＋1＝2，D(X3＋X4)＝DX3＋DX4＝2σ2，∴X3＋X4～N(2，2σ2) 又∵X1－X2与X3＋X4独立，故知识模块：概率论与数理统计6．(14年)设X1，X2，X3为来自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，则统计量S＝服从的分布为【】A．F(1，1)B．F(2，1)C．t(1)D．t(2)正确答案：C解析：由题意可知：X1－X2～N(0，2σ)，∴～N(0，1) 又：～N(0，1)，∴～χ2(1)且X3与X1－X2独立，故～t(1) 即S～t(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计7．(15年)设总体X～B(m，θ)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本，一为样本均值，则【】A．(m－1)nθ(1－θ)．B．m(n－1)θ(1－θ)．C．(m－1)(n－1)θ(1－θ)．D．mmθ(1－θ)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计8．(92年)设n个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则【】A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(05年)设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是【】A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(10年)设X1，X2，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本．记统计量T＝，则ET＝_______．正确答案：σ2＋μ2解析：由题意知EXi＝μ，DXi＝σ2，∴EXi2＝DXi十(EXi)2＝σ2＋μ2，i＝1，2，…，n．故ET＝＝σ2＋μ2．知识模块：概率论与数理统计11．(14年)设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．若＝θ2，则c＝_______．正确答案：解析：由题意得：故c＝知识模块：概率论与数理统计12．(93年)设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为_______．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计13．(96年)设由来自正态总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588)解析：由题意知X～N(μ，) ∴～N(0，1) 故0．95＝＝P{－0．3×u0．975＜μ＜＋0．3×u0．975 而u0．975＝1．96，＝5，故得μ的置信度为0．95的置信区间为(5－0．3×1．96，5＋0．3×1．96)＝(4．412，5．588) 知识模块：概率论与数理统计14．(02年)设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计15．(06年)设总体X的概率密度为f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2＝_______．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计16．(95年)设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(89年)设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编16
(总分150,考试时间180分钟)
选择题
1. 1.[2007年] 设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下X的条件密度fX|Y(x|y)为( )．
A. fX(x)
B. fY(y)
C. fX(x)fY(y)
D. fX(x)／fY(y)
2. 2.[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 3.[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)内的均匀分布，则P{X2+Y2≤1}=( )．
A. 1／4
B. 1／2
C. π／8
D. π／4
4. 4.[2016年] 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=( )．
A. 6
B. 8
C. 14
D. 15
5. 5.[2008年] 设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则( )．
A. P(Y=－2X－1)=1
B. P(Y=2X－1)=1
C. P(Y=－2X+1)=1
D. P(Y=2X+1)=1
6. 6.[2002年] 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则( )．
A. X+Y服从正态分布
B. X2+Y2服从χ2分布
C. X2和Y2都服从χ2分布
D. X2／Y2服从F分布
填空题
7. 7.[2015年]设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0)=___________．
8. 8.[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则a=__________，b=___________．
9. 9.[2013年] 设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2x)=_________．
10. 10.[2011年] 设二维随机变量(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=_____________．
11. 11.[2002年] 设随机变量X和y的联合概率分布为
则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)=___________．
12. 12.[2003年] 设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=X－0．4，则Y和Z的相关系数为_________．
13. 13.[2001年] 设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式P(|X+Y|≥6)≤_________．
解答题
14. 14.[2003年] 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)．
[2008年] 设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=1／3(i=－1，0，1)，Y的概率密度为
记Z=X+Y.
15. 15.求P(Z≤1／2|X=0)；
16. 16.求Z的概率密度fZ(z)．
[2016年] 设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0＜x＜1，}上服从均匀分布，令
17. 17.写出(X，Y)的概率密度；
18. 18.问U与X是否相互独立?并说明理由．
19. 19.求Z=U+X的分布函数FZ(z)．
[2017年] 设随机变量X，Y相互独立，Y的概率密度为
20. 20.求P{Y≤E(y)}；
21. 21.求Z=X+Y的概率密度．
[2013年] 设(X，Y)是二维随机变量，X的边缘概率密度为
在给定X=x(0＜x＜1)的条件下，Y的条件概率密度为
22. 22.求(X，Y)的概率密度f(x，y)；
23. 23.求Y的边缘概率密度fY(y)；
24. 24.求P(X＞2y)．
[2009年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
25. 25.求条件概率密度fY|X(y|x)；
26. 26.求条件概率P(X≤1 |Y≤1)．
[2006年] 设随机变量X的概率密度为令Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数．求：
27. 27.Y的概率密度函数fY(y)；
28. 28.cov(X，Y)；
29. 29.F(－1／2，4)．
[2015年] 设总体X的概率密度为：其中θ为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本．
30. 30.求θ的矩估计量；
31. 31.求θ的最大似然估计量．。