完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

解：由 $cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，可得 $\alpha -\beta = \frac{\pi}{3}$ 或 $-\frac{\pi}{3}$。

但由 $sin\alpha =\frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，可知 $\alpha$ 和$\beta$ 都是第一象限角，因此$\alpha - \beta = \frac{\pi}{3}$。

由 $sin(\beta + \theta) = \frac{3}{5}$，可得 $\theta =arcsin\frac{3}{5} - \beta$。

因此，$sin(\alpha + \beta) = sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} +\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} \cdot \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} =\frac{24}{25} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{56}{25}$。

又因为 $tan(\alpha - 2\beta) = \frac{tan\alpha - tan2\beta}{1+ tan\alpha tan2\beta}$，而 $tan2\beta = \frac{2tan\beta}{1 -tan^2\beta} = -\frac{24}{7}$，$tan\alpha = \frac{4}{3}$，因此$tan(\alpha - 2\beta) = \frac{\frac{4}{3} + \frac{48}{7}}{1 -\frac{4}{3} \cdot (-\frac{24}{7})} = -\frac{3}{5}$。

2.求三角函数的值求 $sin7 + cos15sin8$ 和 $cos7 - sin15sin8$ 的值。

解：$sin7 + cos15sin8 = sin7 + \frac{1}{2} (sin23 - sin7) = \frac{1}{2} sin7 + \frac{1}{2} sin23 = \frac{1}{2} (sin7 + sin23) = \frac{1}{2} sin15 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$。

cos7 - sin15sin8 = cos7 - \frac{1}{2} (cos23 - cos7) =\frac{1}{2} cos7 + \frac{1}{2} cos23 = \frac{1}{2} (cos7 + cos23) = \frac{1}{2} cos15 = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$。

3.求三角函数的值若 $sin(\frac{2\pi}{3} + 2\alpha) = -\frac{1}{2}$，则$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) =$？解：$sin(\frac{2\pi}{3} + 2\alpha) = -\frac{1}{2}$，可得$2\alpha = -\frac{\pi}{6} + k\pi$，其中 $k$ 为整数。

因此，$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{2} +\alpha) = sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + k\pi) =sin(\frac{5\pi}{6} + k\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$（当 $k$ 为偶数时），$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + k\pi) = sin(-\frac{\pi}{6} + k\pi) = -\frac{1}{2}$（当 $k$ 为奇数时）。

因此，$cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\frac{1}{2}$ 或$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

1.给出简谐运动的最小正周期和相位的四组取值，分别为T=2π。

θ=0；T=6.θ=π/2；T=6π。

θ=π；T=6π。

θ=3π/2.2.给出函数y=2cos(xπ/4)的图像沿向量a=(-3,-2)平移后的解析式，即y=2cos[(xπ/4)-2]。

3.在区间[0,2π]上，函数f(x)=sin(x+π/4)有两个不等实根x1和x2，则x1+x2=5π/2.4.函数y=sin[(π/2)(2x-3)]在区间[-π/2.π/2]的简图是一条上下振荡的曲线，无法用文字简洁表达。

5.图像的一部分如右图所示的函数是y=sin(x+π/6)。

6.函数y=sin[(π/2)x-3]在区间[-π/2.π/2]的简图是一条上下振荡的曲线，无法用文字简洁表达。

7.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是函数y=sin[(π/6)x+π/4]。

8.函数y=-4sin[(π/8)x+π/4]的部分图象如图所示，则函数表达式为y=-4sin[(π/8)x-π/4]。

9.从图中可以看出，函数y=Asin(ωx+φ)+b在6时至14时的温度变化曲线，其中A、ω、φ、b的具体值无法从图中推断出来，因此无法给出函数的解析式。

10.函数y=|sin(2x)|的最小正周期是π。

11.函数y=sin(Ax+π)/(x+π)的最小正周期为3π，因此A=2.12.函数f(x)=cos(2x)-2/3sin(x)cos(x)的最小正周期是π。

13.函数f(x)=sin(2x)-(1/2)的最小正周期是π。

由于f(-x)=-f(x)，因此f(x)是一个奇函数。

D。

无单调增区间练：1.函数f(x) = sinx - 3cosx在区间[-π。

π]的单调递增区间是[-π/2.-π/6]。

2.函数y = 2cos2x的一个单调增区间是[-π/4.π/4]。

3.函数y = sinx的一个单调增区间是[0.π/2]。

四、三角函数综合问题：例1、已知函数$f(x)=\sin4x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\cos4x$1）求函数$f(x)$的最小正周期；（2）求函数$f(x)$的最大值和最小值及对应的$x$值；（3）求函数$f(x)$在区间$\left[\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3\pi}{4}\right]$上的最大值和最小值及对应的$x$值；4）求函数$f(x)$的单调递增区间；（5）求函数$f(x)$在$\left[0,\pi\right]$的单调递增区间；（6）函数$f(x)$的图象可以由函数$y=\sin2x(x\in R)$的图象经过怎样的变换得到？7)求使不等式$f(x)\geq3$成立的$x$的取值集；8）若不等式$f(x)-m<2$在$x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]$上恒成立，求实数$m$的取值范围；9）画出函数$y=f(x)$在区间$\left[0,\pi\right]$上的图像。

练1、设函数$f(x)=3\cos\omega x+\sin\omega x\cos\omega x+a$（其中$\omega>0,a\in R$），且$f(x)$的图像在$y$轴右侧的第一个最高点的横坐标是$\dfrac{\pi}{2}$。

Ⅰ）求$\omega$的值；Ⅱ）如果$f(x)$在区间$\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right]$上的最小值为3，求$a$的值。

练2、已知函数$f(x)=A\sin^2(\omegax+\phi)$（$A>0,\omega>0$，且$y=f(x)$的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点$(1,2)$）Ⅰ）求$\phi$；Ⅱ）计算$f(1)+f(2)+\cdots+f(2008)$。