通信原理与技术第2章-随机信号分析
现代通信原理PPT课件第2章+随机信号分析
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1)数学期望：随机变量的统计平均值（随机变量所 有可能的取值和它对应概率乘积的和）-----物理意义 平均值
记为： E 、 E 、 E () 、 E [] 、 E [ X ] 等 等
离散型： E n x i Pi i 1
式中 x i ——取值
P i ——取值为 x i 的概率
离 散 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数 曲 线
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概率密度函数特点：
A）由于F ( x )是单调不減函数，所以 f (x) 0 B）离散随机变量的概率密度函数为冲激函数，冲激强度 为对应取该值的概率，见前页曲线。
C） f(x)d xF ( )F ( ) 1-------面积为l
E xf(x)d x E yf(y)dy
例2 证明
, 独 立E ( ) E E
E ()
xyf(x,y)d xd y
因 为 ,独 立 f( x y ) f ( x ) f ( y )
E ( ) xy f(x)f(y)d x d y
xf(x)dx yf(y)dy
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2)概率密度：分布函数的导数称为概率密度函数，记为 f ( x ) 则：f (x) dF(x) dx
概率密度函数曲线 (见P16)
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f (x)
P 1 ( x x 1 ) P 2 ( x x 2 ) P 3 ( x x 3 ) P 4 ( x x 4 ) P 5 ( x x 5 ) P n ( x x n ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x n x
二维概率密度：
f
(x1,
x2)
《通信原理》第2章信号分析
2.1.2信号的分类
按照信号的能量是否有限分为能量信号和 功率信号
能量信号：能量为有限正值： 0 E s 功率信号：平均功率P为有限正值：
1 P lim T T
2
(t )dt
T /2
T / 2
s 2 (t )dt
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于。
单位冲激信号δ (t)性质
筛选特性f(t) δ (t)= f(0) δ (t)
∫f(t)δ (t)=f(0)
∫f(t)δ (t-t0)=f(t0)
偶函数δ (t)= δ (-t)
∫δ (t)=u(t) 积分域负无穷到t
附录：常见希腊字母读音
Αα：阿尔法 Alpha Ββ：贝塔 Beta Γγ：伽玛 Gamma Γδ：德尔塔 Delte Δε：艾普西龙 Epsilon δ ：捷塔 Zeta Εε：依塔 Eta Θζ：西塔 Theta Ιη：艾欧塔 Iota Κθ：喀帕 Kappa ∧ι：拉姆达 Lambda Μμ：缪 Mu
2. 2 确知信号分析
2.2.1周期信号及频谱
信号分解为正交函数
参考空间矢量的分解，可将信号分解为若干个 互相正交的信号的线性组合。 正交的含义：两个函数在区间内的乘积积分为0，
那么这两个函数在此区间内正交。
函数集{1，cosπt，cos2πt，cos3πt，…， cosnπt，…，sinπt，sin2πt，sin3πt，…，sin nπt，…}恰好是在区间（t0—T+t0）内两两正交
2.1.2信号的分类
通信原理——随机信号分析new
∂ n Fn ( x1, x2 ,... xn ; t1, t 2 ,...t n ) = f n ( x1, x2 ,..., xn ; t1, t 2 ,..., t n ) ∂x 2,…,xn x t 则称fn(x1,x1∂x2 ...∂; n1,t2,…,tn)为ξ(t)的n维概率密度函数。
随机过程
本章主要内容 随机过程的基本概念 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程通过线性系统 窄带随机过程 正弦波加窄带高斯噪声 高斯白噪声和带限白噪声
华北水利水电学院信息工程系 王玲
随机过程
信号分为确知信号和随机信号，在《信号与系统》 中，详细讨论了确知信号的分析问题。 实际的通信系统中传输的信号都是随机的，如话 音信号、图像信号等；系统中的噪声也是随机的。 因而，通信原理课程所涉及的信号一般为随机信 号。 下面，我们将在回顾概率论有关概念的基础上， 详细讨论随机信号分析问题。
华北水利水电学院信息工程系 王玲
随机过程的基本概念和统计特性
例：设ξ(t)是一随机过程，ξ(t)可表示成： ξ(t)＝2cos(2πt+θ) 式中，θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2， P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。 注：若X为一离散随机变量，则
华北水利水电学院信息工程系 王玲
随机变量的基本概念和统计特性
随机变量 对于某随机试验，有许多种可能的结果，我们可以 规定一些数值来对应表示各个可能的结果。如果引 入一个变量X表示试验结果，则X将随机地取某些值， 而对应每一个可能的值，有一个概率，这一变量 就 而对应每一个可能的值，有一个概率，这一变量X就 称为随机变量。 例如：抛硬币试验，可能有两种结果：一种是正面 向上，另一种是反面向上。我们规定数值1表示正面 向上，数值0表示反面向上。引入变量X表示试验结 果，则X将随机地取1或0，而对应于1和0，有一个概 率，则X就是随机变量。
随机信号分析课件第2章
2.4 平稳过程的各态历经性
集合平均
mX E[ X (t )]
mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计 平均。
1 X (t ) l.i. m T 2T
T
时间平均
T
X (t )dt
<X(t)> 是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，
它随样本不同而不同，是个随机变量。
时间平均
h 0
则称 X(t) 在 t 点均方连续，记作 l.i.m X (t h) X (t )
若T中一切点都均方连续，则称 X(t) 在T上均方连续。
均方导数 定义6.7
设 {X(t),t∈T} 为二阶矩过程，若存在另一个随机过
程X’(t)，满足
X (t h ) X (t ) lim E[ X (t )]2 0 h 0 h
E|
X (t )dt | R
a a a
b b
X
(t1 , t 2 )dt1dt2
结论：数学期望和积分运算可以交换顺序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续， 则
Y (t ) X ( )d
a
t
在均方意义下存在，且随机过程 {Y(t), t∈T} 在区间[a,b] 上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
称为随机分析。
处处收敛
对于概率空间 (Ω,F,P) 上的随机序列 {Xn} 每个试验
结果 e 都对应一序列，如果该序列对每个 e 都收敛，则称 随机序列 {Xn} 处处收敛，即满足：
n
lim X n X
其中，x为随机变量。
以概率1收敛
二阶矩随机序列 { Xn(e) }，二阶矩随机变量X(e)，若
随机信号分析 通信原理
试求Eξ(1)及Rξ(0,1) 。
通信原理
通信教研室
解：
随机信号分析 习题
在t=1时，ξ(t)的数学期望
E (1) E[2 cos(2 t ] |t1
P( 0) 2cos(2 ) | 0
P(
1
2
2 cos
)
0
2
cos(2
1 2cos
)
|
2
2
2
2
1
通信原理
随机信号分析 习题
频域： f fc 时域：包络和相位缓慢变化
通信原理
随机信号分析 要点
通信教研室
f
S( f )
f
fc s(t)
O
缓慢变化的包络 [a(t)]
fc f (a)
O
t
频率近似为 fc
(b)
窄带过程的频谱和波形示意通信原理
随机信号分析 要点
通信教研室
（2）表示方法
其中
(t) a (t)cos ct (t), a (t ) 0 －－－包络函数；
通信教研室
频移 调制 卷积 对偶 微分
积分
e jw0t f (t )
f (t )cos w0t
F (w w0 )
1
1
2 F(w w0 ) 2 F (w w0 )
f1(t ) f2 (t )
F1(w) F2(w)
F(t) d n f (t) dt n
t
f (z)dz
2 f (w)
( jw)n F (w)
1 F (w) F (0) (w)
jw
通信原理
通信教研室
随机信号分析 要点
常用信号的傅氏变换
2. 随机信号分析_随机信号的时域分析
随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1) ,X(t2) ,…,X(tn)构 成n维随机变量[ X(t1),X(t2),…,X(tn) ]，当t0,n ∞时的 n维随 机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研 究来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。 一、随机过程的一维分布
E[ X (t )] x 2 f X ( x, t )dx
2
将t视为变量时，即为过程X (t)的均方值。 同理，过程X(t)的方差：
D[ X (t )] E{[ X (t ) mX (t )] } [ x mX (t )]2 f X ( x, t )dx X 2 (t )
t
确定信号——幅度、相位均随时间做 有规律的、已知的变化。可以用确定 的时间函数来描述。可以准确的与测 其未来的变化。 随机信号——幅度、相位均随时间做 无规律的、未知的、随机的变化。无 法用确定的时间函数来描述。无法准 确的与测其未来的变化。 t 但，随机信号的统计规律则是确定的。
因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型→随机过程。
整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。
所以定义随机过程X(t) 二维分布函数：
FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x1 ; X (t 2 ) x2 }......... .........1 , t 2 T t
随机过程X(t) 二维概率密度：
§2.1
随机过程的基本概念
下面由一个试验实例来建立随机过程的概念。 举例： 在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电 流）经过大量的重复测试后，设观测 到的所有的可能结果有n种， 记录下n个不相同的波形。
通信原理——随机信号分析
x(fx)dxE(X)
称为随机变量X的数学期望，又称均值。用E(X)表 示。 ▪ 方差 设X为一随机变量，则：
E{[X-E(X)]2}＝D(X) 称为随机变量X的方差，用D(X)表示。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ 协方差 设X，Y为两随机变量，则： E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=cov(X,Y) 称为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X,Y)
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 二维概率分布函数及概率密度函数 任给两个时刻t1, t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成 一个二维随机变量{ξ(t1), ξ(t2)}，则 F2(x1,x2; t1,t2)=P[ξ(t1)≤x1, ξ(t2)≤x2] 称为随机过程ξ(t)的二维概率分布函数。
f(x) dF(x) dx
( 导数关系 )
则函数f(x)称为随机变量X的概率密度函数。
随机变量的基本概念和统计特性
▪ ▪ 设E是一个随机试验，它的样本空间S={e}，设X和 Y是定义在S上的两个随机变量，则由X和Y构成的 向量(X, Y)，叫做二维随机变量/向量。 ▪ 设 (X, Y) 是二维随机变量，对于任意实数x, y，二 元函数： F(x,y)= P{X≤x ,Y≤y} 称为二维随机变量(X, Y) 的概率分布函数。
▪ 相关系数 设X，Y为两随机变量，则： covX(,Y) XY D(X) D(Y) 称为随机变量X与Y的相关系数。
随机过程的基本概念和统计特性
▪ 随机过程： 设Sk(k=1, 2, …)是随机试验。每一次试验都有一条时间 波形(称为样本函数或实现)，记作xi(t)，所有可能出现 的结果的总体 {x1(t), x2(t)， …, xn(t)， …}就构成一随机 过程，记作ξ(t)。 简言之，无穷多 个样本函数的总 体叫做随机过程， 如图所示。
随机信号的分析
第2章 信号分析基础
任意给定两个固定时刻 t 1、t 2 ，则由 (t1)和 (t2 ) 构成一个二维随机变量 (t1),(t2)，若
F 2 x 1 ,x 2 ; t 1 , t 2 P 2 t 1 x 1 , t 2 x 2 （2-48）
成立，则称之为随机过程 (t ) 的二维分布函数。
对N个随机变量 x t1 ,x t2,.x .tN .,，若有
（2-51）
f N ( x 1 , x 2 , , x N ; t 1 , t 2 , , t N ) f 1 ( x 1 , t 1 ) f 2 ( x 2 , t 2 ) f N ( x N , t N ) （2-52）
则称这些随机变量是统计独立的或不相关的。
清华大学出版社
刻的随机变量的集合则为随机过程；随机变量是 一个实数值的集合，而随机过程是时间函数的集 合。
研究随机变量或随机过程的关键是研究其统
计特征，这不仅简单明了，而且直接反映信号的
变化规律。
概率分布
概率密度函数(pdf)
统计特征
数字特征
分布函数 数学期望(均值) 方差
相关函数
第2章 信号分析基础
清华大学出版社
第2章 信号分析基础
解：（1）由 pdf函数知，这是一个 a、0 的2标1准
正态分布，故其直流电平为 a。0
（2）由于方差 2就是信号的交流功率，故信号的平均 功率为1(W)。
随机过程的一维分布函数或一维概率密度函 数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特 性或概率分布，并未说明在不同时刻取值之间的 内在联系，为充分描述随机过程，需进一步引入 二维分布函数和二维概率密度函数。
D E 2 E 2 （2-60）
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第2章 随机信号分析本章教学要求：1、掌握平稳随机过程的概念和性质、高斯白噪声的性质。
2、理解高斯过程和窄带随机过程的基本内容，随机过程通过线性系统的基本描述。
3、了解随机变量和随机过程的概念及数学描述。
4、了解噪声的分类和特点。
§2.1 随机变量及其数学描述一、概率论的基本概念1．随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性 的现象。
现象——投掷硬币、分子原子热运动、噪声概念——样本：随机现象的某次出现（观测、实验）。
事件：样本的结果。
样本空间：无穷多（大量）样本的全体（可能的试验结果）。
事件空间：结果的集合，可能无穷多，也可能只有少数几种。
2．概率（1）随机现象的规律性表现在样本的大量统计特性上。
大量样本的集体行为有规律：设N 次观测中事件A 出现了m A 次，A 发生的频率为A m N,当N 很大时，A m N有确定的比值。
（2）概率的定义：（1）任何随机事件的概率P(A)，其值介于 0≤P(A)≤1 之间。
（2）条件概率： P(A|B) 为事件B 已出现的条件下，事件A 出现的概率。
一般 P(A|B)≠P(A) ，但若B 与A 无关，则P(A|B)＝P(A) 。
（3）两事件之积的概率P(AB) 叫联合概率，它代表A 和B 同时出现的概率，故P(AB)＝P(BA)。
计算方法（公式）是： P(AB)= P(A) P(B|A) 或者＝P(B) P(A|B) P(A 1A 2……An)= P(A 1) P(A 2|A 1) P(A 3|A 1A 2)……P(A n |A 1A 2……A n-1) 于是便得到计算后验概率的公式：()()()()P A P B A P A B P B（4）两事件之和的概率P(A+B)代表A 或B 出现的概率（二者之一或共同），显然P(A+B)= P(A)+ P(B) - P(AB) 原因如图所示：（5）可能的事件全体A i （i=1,……n ），若为互斥、完备集合，则有归一化公式:1()1n ii P A ==∑同样，对条件概率有：1()1nii P AB ==∑对联合概率有：11()1n n iji j P A B===∑∑和1()()n i j j i P A B P B ==∑，1()()mi j i j P A B P A ==∑（6）全概率公式：若事件B 1，B 2，……，B n 两两互斥（B 1，……，B n 为S 的一个划分）P （B i ）> 0。
对任一事件A 有1()()()nii i P A P B P AB ==∑（7）贝叶斯（Bayes ）公式若事件B 1，B 2，……，B n 两两互斥，且，（样本空间）。
（B 1，……，B n 为S 的一个划分）则有二、随机变量设样本空间中的某样本S（某次观测）得到事件A i，我们将A i 影射为数轴上的一点X i；当取遍样本空间，得到全体事件A i∈A，这些事件与数轴上不同点一一对应起来，X i ∈X，就得到一个实变量X。
去掉中间的影射过程，每个样本S 相应在数轴上都有一个实数X 与之对应。
（不排除多个S 对应一个X 的情况），X 就是描述该随机事件的随机变量。
好处：第一．引入随机变量，定量描述随机事件。
第二．事件与数轴上的点是一一对应的，所以事件的概率就是随机变量的概率。
第三．可统一处理离散和连续的随机变量。
三、概率分布函数2．定义：F( x ) = P {X≤x } 代表随机变量X 取值小于等于某指定值x 的概率。
3．性质：（1）0≤F( x ) ≤1，且F（－∞）=P {X ≤－∞}＝0，F（＋∞）=P {X ≤＋∞}＝1（2）F( x )是一个不减函数，对任意实数x 1，x 2 ( x 1＜x 2），有F（x 2）－F（x 1）= P（x 1≤X≤x 2）≥0四、概率密度函数1．定义：随机变量X 的分布函数X 的概率密度函数2．性质：五、统计平均我们说随机现象遵循统计规律，不仅表现在大量样本呈现出一定的概率分布和概率密度函数，而且更直观的表现在每个不确定的样本却具有确定的统计平均值。
1、随机变量的平均值2、随机变量的平方平均值3、方差§2.2 随机过程及其数学描述一、随机过程：随时间变化的随机变量的全体。
1、设对N台性能完全相同、工作条件完全一致的接收机输出端记录其噪声电压x(t)的波形，可发现，即使N 足够大，也无法找到完全相同的噪声电压。
即接收机输出的噪声电压随时间变化的波形完全是随机的，是一个随机过程。
2、测到的一个噪声电压波形就是随机过程的一次实现（测试、出现）——样本函数。
随机过程中指定时刻的全体样本所取的值，构成随机变量。
3、随机过程是样本和时间的双重随机函数。
二、一维概率分布函数和概率密度函数1、定义：一维概率分布函数一维概率密度函数2、统计平均值数学期望方差3、一维平稳随机过程（1）定义：一维概率密度函数与时间无关（2）特点：数学期望、方差是常数，与时间无关。
三、二维概率分布函数和概率密度函数1、定义：二维概率分布函数二维概率密度函数2、两变量的统计平均（1）自相关函数相关函数与时间起点t1 和时间间隔τ都有关。
（2）自协方差函数注：①相关函数和协方差函数体现了随机过程的二维统计特性。
②两者关系3、二维平稳随机过程（1）定义：（2）特点：与时间起点无关，只与时间间隔有关。
四、狭义平稳（严平稳）和广义平稳（宽平稳）1、狭义平稳要求严格，要求n 维概率密度函数平稳。
即2、实际中，一般只要求一阶平稳和二阶平稳，称为广义平稳要证明随机过程是否广义平稳只须证明(1) 随机变量的数学期望与时间无关。
(2) 随机变量的相关函数只与时间间隔有关，与绝对时间无关。
不说明，均指宽平稳随机过程。
五、随机过程的时间平均与遍历性（各态经历性）1、时间平均值：设随机过程ξ(t)的某一次试验样本函数为x(t)，对其观察长时间后取时间平均值。
2、遍历性（各态经历性）：经大量观察发现，平稳随机过程的统计平均特性可用时间平均特性代替。
即称之为各态经历性。
遍历性（各态经历性）可理解为，平稳随机过程的任一样本函数都同样经历了随机过程的所有可能状态，故从随机过程的任一样本函数都能得到随机过程的统计特性，即任一试验样本函数的长时间平均等价于大量样本的统计平均。
六、平稳、遍历的随机信号的相关函数的性质：1. 偶函数性R(τ)=R(－τ)2. 极值性R(τ)≤R(0)3. 平均功率R(0)=E[ξ2(t)]4. 直流功率R(∞)=E2[ξ(t)]5. 交流功率D[ξ(t)]= E[ξ2(t)]－E2[ξ(t)]＝R(0)－R(∞)七、随机信号的功率谱密度1、能量信号与功率信号（1）能量信号：能量为有限值，平均功率为0。
（2）功率信号：能量E 无限，平均功率有限。
式中，f T(t)是f (t) 的截短函数周期信号及常用随机信号均为功率信号。
2、能量谱和功率谱（1）能量谱：§2.3 高斯随机过程（正态随机过程）一、高斯分布：高斯分布是常见的分布形式之一，也是通信中最常用的分布。
它的一维概率密度函数服从高斯分布(即正态分布)，可用数学表达式表示成1、最大值位于x = a 处，且左右对称。
2、最大值为3、曲线呈钟形，峰的宽窄取决于σ：可见，σ越大，曲线下降越慢，峰越宽。
σ越小，曲线下降越快，峰越窄。
4、正态分布函数无解析解。
5、误差函数e r f ( x )是与高斯分布函数有关的另一个数学手册上有表可查的数值积分函数。
它与通信的联系更多。
二、高斯白噪声噪声指可用随机过程描述的除发信者的有用信号之外的一切干扰和杂波。
第三章将对噪声做专题讨论。
这里仅对起伏噪声采用一种数学模型——高斯白噪声加以讨论。
它有以下特性：1、高斯白噪声是一种广义平稳、遍历的随机过程。
（1）随样本不可预测，随时间无序变化。
（2）平均值＝常数与时间无关，相关函数只取决于时间间隔。
（3）长时间的平均＝大量样本的统计平均。
2、概率密度函数是均值为零的高斯型函数。
均值a＝0，概率密度函数3、功率谱密度呈均匀分布（在很宽的范围内不变）功率谱密度通常被定义为( / )2（双边谱）(−∞<ω< +∞)通常，若采用单边频谱，即频率在0 到无穷大范围内时，白噪声的功率谱密度函数又常写成（单边谱）(0 <ω< +∞)所谓白噪声是指它的功率谱密度函数在整个频率域(－∞＜ω＜＋∞＝内是常数，即服从均匀分布。
我们称它为白噪声，因为它类似于光学中包括全部可见光频率在内且均匀分布的白光。
但是，实际上完全理想的白噪声是不存在的，通常只要噪声功率谱密度函数均匀分布的频率范围超过通信系统工作频率范围很多很多时，就可近似认为是白噪声。
例如，热噪声的频率可以高到1013Hz，且功率谱密度函数在0~1013Hz 内基本均匀分布，可当作常数对待，因此可以将热噪声看作白噪声。
5、在信号分析中，我们知道功率信号的功率谱密度与其自相关函数R(τ)互为傅氏变换对，即自相关函数为冲击函数，表明高斯白噪声是完全随机的，毫无记忆可言。
三、高斯限带噪声混入信号的噪声，随信号一同经历着通信系统。
实际通信系统的频带有限，只占理想白噪声频带的一小部分，故在通信系统内常遇到频带受限的高斯白噪声。
1、低通高斯噪声（带限白噪声）高斯白噪声通过理想LPF。
高斯白噪声通过理想LPF 后功率谱密度2、窄带高斯噪声（带通白噪声）所谓窄带系统是指系统的频带宽度比起中心频率来小得很多的通信系统，即△ωm <<ωc 且fc 远离零频率的系统。
做近似处理，认为频带内频率均为ωc 。
窄带高斯噪声可表示为§2.5 噪声一、加性噪声的来源a) 人为噪声b) 自然噪声c) 内部噪声i. 热噪声ii. 散弹噪声二、噪声分类1. 按噪声特性分（1）单频噪声（2）脉冲噪声（3）起伏噪声2. 按噪声混入信号的方式分（1）加性噪声（2）乘性噪声三、起伏噪声的数学模型起伏噪声是通信过程中最基本的加性噪声，它的特点是：1. 在很宽的频率范围内，存在着大体不变的平均功率谱密度2. 由大量互相独立的任意分布的随机杂波叠加而成。
3. 平均直流分量为零。