向量的加法与减法(优质课教案)

课题：向量的加法与减法

教学目的：

⑴掌握向量加法的定义

⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量

⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算

教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.

教学难点：向量的加法和减法的定义的理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；

④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

3.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

4.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

5.相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关

．．．．．．．．．．.

6.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.

（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

7.对向量概念的理解

AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.

向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，

起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 二、讲解新课：

1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的

如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作a =，b =，则向量叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+

特殊情况：

(1)

B

B

A

a

b

b

a +A

A

B

C C

)

2()

3(

对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；

（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;

（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-||;若||<||,则+的方向与相同，且|+b|=||-||.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到

n 个向量连加

2．向量加法的交换律：+=+

3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 证：如图：使a AB =, b BC =, c CD = 则(a +b ) +c =AD CD AC =+

a + (

b +

c ) =AD BD AB =+

∴(a +b ) +c =a + (b +c )

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 三、讲解范例：

例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).

解：设AD 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行的

速度.

在ABC Rt ?中，2||=AB ，32|BC |= 所以4|BC ||AB ||AC |2

2

=+= 因为23

tan CAB 3CAB 60∠=

=?∠=? 答：船的实际航行的速度的大小为h /km 4，方向与水流速间的夹角为 60 四、课堂练习：

1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度

2、一艘船距对岸43km ，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速

3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60?，求1v 和2v

4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是

km/h ，最小是

km/h

五、小结 1?向量加法的几何法则；2?交换律和结合律； 3?注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号

六、课后作业：2、已知两个力F1,F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是

60 ，|F|=10N求F1和F2的大小

3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

七、板书设计（略）

八、课后记：

课题：向量的加法与减法（2）

教学目的：

⑴了解相反向量的概念；

⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量

教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.

教学难点：对向量减法定义的理解

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；

④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.

3.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

4.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

8．向量加法的交换律：a+b=b+a

9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

二、讲解新课：向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法：

1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作-a

2?规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 0

3?向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差

即：a-b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法

2．用加法的逆运算定义向量的减法：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b 3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a

减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，

作OA= a, OB= b, 则BA= a-b

即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

注意：1?AB表示a-b强调：差向量“箭头”指向

被减数

2?用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a + (-b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一

a∥b∥c a- b = a+ (-b)

a-b

三、讲解范例：

例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d

解：在平面上取一点O，作OA= a, OB= b, OC= c, OD= d,

作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d

例2平行四边形ABCD中，a

AB=，b

AD=，用a，b表示向量AC、DB

解：由平行四边形法则得：

AC= a + b,DB= AD

AB-= a-b

变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）

变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a, b互相垂直）

变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵对角线方向不同）

四、课堂练习：

1.下列等式:①a+0=a②b+a=a+b ③-(-a)=a ④a+(-a)=0 ⑤a+(-b)=a-b正确的个数是( )

a-b

A

A

B B’

O

a-b

a

a

b

b

O A O B

a-b

a-b

B

A

O -b

A.2

B.3

C.4

D.5

2.下列等式中一定能成立的是( )

A. AB+AC=BC

B. AB-AC=BC

C.AB+AC=CB

D. AB-AC=CB

3.化简OP-QP+PS+SP的结果等于( )

A. QP

B. OQ

C. SP

D. SQ

4.已知OA=a, OB=b,若|OA|=12,|OB|=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .

5.在正六边形ABCDEF中, AE=m, AD=n,则BA= .

6.已知a、b是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件.

参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 13 5.m-n 6.a与b反向

五、小结向量减法的定义、作图法

六、课后作业：

1.在△ABC中, BC=a, CA=b,则AB等于( )

A.a+b

B.-a+(-b)

C.a-b

D.b-a

2.O为平行四边形ABCD平面上的点,设OA=a, OB=b, OC=c, OD =d,则

A.a+b+c+d=0

B.a-b+c-d=0

C.a+b-c-d=0

D.a-b-c+d=0

3.在下列各题中,正确的命题个数为( )

(1)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a+b与a方向相同

(2)若向量a与b方向相反,且|a|＞|b|,则a-b与a+b方向相同

(3)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a方向相反

(4)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a+b方向相反

A.1

B.2

C.3

D.4

4.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:

a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .

5.一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向

行驶,而船实际行驶速度的大小为 4 km/h,则河水的流速的大小为 .

6.若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为 .

7.在五边形ABCDE中,设AB=a, AE=b, BC=c, ED=d,用a、b、c、d表示CD.

8.如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向

量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示）,使a+b=AB,c-d=DC,

并画出b-c和a+d.

9.已知O是□ABCD的对角线AC与BD的交点,若AB=a, BC=b, OD=c,试证

明:c+a-b=OB.

参考答案：1.B 2.B 3.D 4.-f -e f 0

5.2 km/h

6.a与b的方向相反且都不为零向量

7.b+d-a-c

8.

9.(略)

七、板书设计（略）

八、课后记：