矩阵可逆的若干判别方法

矩阵可逆的若干判别方法
可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。

如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。

一、 矩阵可逆的基本概念
（1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得
AB=BA=I
则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的
逆矩阵，记作B= A -1。

注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。

（2）矩阵A 的行秩等于列秩。

（3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。

（4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）T
n ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。

二、矩阵可逆的性质
（1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1
=A 。

（2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1。

（3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T。

（4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)=
λ
1A -1。

（5）若矩阵A 可逆，则|A -1
|=
|
|1A 。

（6）矩阵A 的逆矩阵A -1
=
|
|*A A 。

（7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。

三、矩阵可逆的若干判别方法 （一）定义判别法
对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆，
记为B=A -1。

例1. 判断矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛010100001 是否可逆？
证 存在矩阵B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，使得AB=BA=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛100010001
所以矩阵A 可逆。

注：此方法大多适用于简单的矩阵。

（二）行列式判别法
矩阵A 可逆的充要条件是A 为方阵且|A|≠0。

例2. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛311283501与矩阵B=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛2-04131120是否可逆？
证 因为|A|=-3≠0，|B|=0，所以矩阵A 可逆，而B 不可逆。

（三）秩判别法
n 阶矩阵A 可逆，则r （A ）=n 。

证 因为矩阵A 可逆，则|A|≠0，可得到r （A ）=n ，反之也成立。

例3. 判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛711012531与矩阵B=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛1-22011121是否可逆？
证 A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛711012521→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2101030521⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--→2101600901
所以r （A ）=3，A 可逆。

B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛122001121⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000120001120001120
所以r （B ）=23≠，B 不可逆。

（四）伴随矩阵判别法 若A 可逆，则存在矩阵B=
|
|*
A A ,使得AB=BA=E 。

例4．矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛341253621，判断它是否可逆，若可逆，求出它的逆。

证 因为|A|=35≠0，则A 可逆， A*=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----127163726187,所以
A -1
=||*A A =
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛351-352-5135163
1-51-3526-351851 注：求伴随矩阵时，要注意元素的位置与符号。

(五)初等变换判别法
对矩阵A 施行行（列）初等变换，得到矩阵B ，若B 可逆，则A 也可逆。

证 因为A 与B 等价，则有r(A)=r(B)，所以当矩阵B 可逆时，矩阵A 也可逆。

注：也可用初等行（列）变换求A 的逆。

用初等行变换：)()(B E E
A
→ B 为A 的逆，B=A -1。

列初等变换：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B E E A B 为A 的逆。

例5.求矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛410113201的逆。

解
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-354-122-25-10001000111-3013-0011005-10201100013-0014105-10201100010001410113201 所以A -1=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----1135412225 （六）初等矩阵判别法
若矩阵A 可逆，则A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积， 即A=P 1P 2 ……P S
证 因为|A|=| P 1P 2 ……P S |0≠，所以矩阵A 可逆，反之也成立。

同时，若矩阵A 可逆，则A 可经过一系列初等变换化为单位矩阵。

例6.判断矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛01-2411210是否可逆？
证 A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01-2411210⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→1000100012-002102018-3-021
041101-2210411 所以矩阵A 可逆。

（七）矩阵的向量组的秩判别法
若矩阵A 可逆，则A 的各行或各列所形成的向量组线性无关。

若矩阵A 可逆，则有r(A)=n,且行秩等于列秩等于n. （八）线性方程组判别法
有方程组⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
22112222212111212111 ① 当b 1=b 2=……=b n =0时，方程组为齐次线方程组，
所以有⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n x x x a a a a a a a a a
21212222111211= 0,AX=0,当且仅当此方程组有零解时，即
x 1=x 2=……=x n =0时，设矩阵A 各列形成的向量组为1α、2α、……、n α，
所以02211=+++n n x x x ααα ，而x 1=x 2=……=x n =0，则1α、2α、……、n α线性无关，因此矩阵A 可逆。

② 当≠i b 0时，即方程组为非齐次线性方程组时，方程组有唯一解时，矩阵A 可逆。

证 (1b =β、2b 、……、)n b ∴βααα=+++n n x x x 2211 因为|A|≠0，则x 1、x 2、……、x n 由β唯一确定。

（九）标准型判别法
任一s ×n 阶方阵A 都与形为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---r s r s r n E 000r 的矩阵等价，此矩阵称为矩阵A 的标
准型，且r=r(A),E 为单位矩阵，0为零矩阵。

即若n 阶方阵A 可逆，则可化为标准型E 。

（十）多项式判别法
n 矩阵A 可逆，则有多项式，满足=0，常数项不为零。

证
）=
λn -(a 11+a 22+……+a nn )λn-1+……+(-1)|A|
|A|0≠,则（-1）|A|0≠，常数项不为零。

反之也成立。

（十一）特征值判别法
n 阶矩阵A 可逆，则矩阵A 的特征值不全为零。

证
）=
λn -(a 11+a 22+……
+a nn )λn-1
+……+(-1)|A|
则 |A|=r λλλ 21 （r ≤n ），所以矩阵A 可逆。

四、常见矩阵的可逆性
（一）单位矩阵可逆，EE=E 。

（二）数量矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛a a a
000000可逆。

A=aE,A -1
=(aE)-1
=
E a
1
（三）对角阵A=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛n a a a
00000021
可逆，主对角线上元素全不为零。

证 主对角线上元素全不为零，则|A|0≠，所以A 可逆。

（四）分块矩阵可逆。

（五）上三角与下三角矩阵可逆。

（六）正交矩阵可逆，且A -1=A T。

（七）过度矩阵与度量矩阵均可逆。

小结：
学会了如何判断一个矩阵是否可逆，了解这十一种判别方法，会让我们更快的解决此类问题，同时也让我们领略到了高等代数的魅力，解决方法是多样化的，探索解决问题的过程是美妙的。

矩阵的运用极其广泛，可逆矩阵就是其中的关键部分，不伦结果是怎样的，毫无疑问的是数学真的是一门很神奇的学科。