磁悬浮转子系统耦合动力学分析

表 1 特征值对比(转子转速为 60000r/min)
Tab.1 Eigenvalue contrast (the speed of rotor is 60000r/min)
简化的转子动力学 模型计算的特征值
考虑磁力轴承转子系统机电耦 合的动力学模型计算的特征值
-1.5 ± 47.5i
-1.509 ± 78.060i
+
⎡kxl +kilkp +kylx
kxr +kirkp +kyrx
0
0
⎤⎜⎜⎛xl
⎟⎞ ⎟
⎢ ⎢
0
⎢⎢−La(kilkp +kxl +kylx)
0
kxl +kilkp +kxly
Lb(kirkp +kxr +kyrx) 0
kxr +kirkp +kxry 0
⎥⎥⎜⎜xr ⎥⎥⎜⎜yl
⎟ ⎟⎟=0 ⎟
= ky y + kiiy
(3)
其中 kx , ky 分别为 x,y 方向的位移-力系数；ki 为电流-力系数。 考虑 PD 控制策略[7]，则电流应当遵循以下原则
i = kd y& + k p y
(4)
式中 kp 为比例系数,kd 为微分系数。 将式(2)(3)(4)代入式(1)简化并写成矩阵形式得:
2.2 磁悬浮刚性转子数学模型
由于目前实际系统多采用各自由度分散控制方式。不考虑径向和轴向之间的耦合，推力
方向的特性可单独用单自由度的方法控制。因此，建立图 1 所示的四自由度磁悬浮转子的运
动微分方程为[4~6]
⎧m&x&c = Fxl + Fxr + Fx′ ⎪
⎪⎪m&y&c = Fyl + Fyr + Fy′
⎢⎣ 0
0
−La(kilkp +kxl +kxly)
Lb(kirkp
+kxr
+kxry)⎥⎦⎜⎜⎝yr
⎟ ⎟⎠
(10)
4. 磁悬浮刚性转子的动力学分析
Hale Waihona Puke 为了分析耦合系统对转子动力学的影响，以五自由度的磁悬浮转子系统的径向四自由
度为例进行分析。轴承-转子系统的基本参数为:m=1.5kg,La=0.109m,Lb=0.11m,L=0.219m, µ0=4π×10-7,N=180,i0=2A,R=0.025m,r=0.02455m,kp=2.5，kd=0.01.表 1 为通过简化的非耦合 转子动力学模型与耦合力作用的转子系统动力学模型分别计算得到的特征值。
k xy
=
Fxy ex
， k yx
=
Fyx ey
(8)
-3-

式中 kxy 为 x 方向的电磁铁对 y 方向的耦合系数，kyx 为 y 方向的电磁铁对 x 方向的耦合系数，
ex、ey 分别是偏心在坐标上的投影。
3.3 耦合力作用的磁悬浮转子的的运动微分方程
− arcsin⎜⎛ b ⎟⎞ ⎝ 2R ⎠
,
θ2
=
[ ] Fyy
=
kc
(R − r)2
6 θ2 n=1 θ1
sinθdθ
1− Ce cos(α −θ )
2
(1+ 2n)π + arcsin⎜⎛ b ⎟⎞
8
⎝ 2R ⎠
n = 1,2,5,6
(7)
式中，kc=µ0N2i02Rl/8, Ce=e/(R-r),µ0 为空气磁导率；N 为线圈绕组的匝数；i0 为平衡电流；l 为磁力轴承的宽度；b 为磁极的宽度；α为偏心 e 所在的角度；n 表示磁极序号，以直角坐标 系逆时针方向排列。F 的第一个下标表示电磁铁的布置方向，第二个下标表示电磁力的投影 方向，如 Fxy 表示 x 方向的电磁铁产生的电磁力在 y 方向的分力。 3.2 交叉耦合系数的计算 定义交叉耦合系数为[10]：
很小则:
⎧ ⎪⎪
xc
⎨
⎪ ⎪⎩
yc
= =
bxl byl
+ axr L + ayr L
⎪⎪⎧α ⎨ ⎪⎪⎩β
= =
xr yr
− L − L
xl yl
(2)
另外在转子位移和控制电流都很小的情况下，磁悬浮轴承电磁力的线性方程
⎧Fx (x, ix ) = k x x + kiix
( ) ⎨
⎩
Fy
y, i y
-2-

⎢⎡m ⎢
Lb L
⎢⎢0
⎢ ⎢−
Jd
⎢L
⎢
⎢0 ⎣
m La L
0
Jd L 0
0 m Lb
L 0 − Jd
m 0 Jd
0⎥⎤
La ⎥⎥⎜⎛
L
⎥⎜ ⎥⎜
⎥⎥⎥⎜⎜⎝
⎥
&x&l &x&r &y&l &y&r
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
+
⎡kilkd
⎢ ⎢
0
⎢
⎢− Lakilkd ⎢
参考文献
[1] 王 晓 光 , 胡 业 发 , 江 征 风 等 . 小 轴 向 尺 寸 磁 悬 浮 转 子 系 统 机 械 耦 合 的 研 究 [J]. 中 国 机 械 工 程.2003,14(10):814～817. [2] 刘 晓 军 , 刘 小 英 ， 胡 业 发 . 人 工 心 脏 泵 磁 悬 浮 转 子 质 量 不 平 衡 及 磁 耦 合 研 究 [J]. 中 国 机 械 工 程.2006,17(16):1651～1655. [3] 王凤翔.高速电机的设计特点及相关技术研究[J].沈阳工业大学学报.2006，28（3）：258～264. [4] 刘明尧，胡业发，周祖德. 磁悬浮硬盘转子机电耦合动力学分析[J].机电工程，2005，22（6）：56～59. [5] Y am amoto T, Ishida Y. Linear and Nonlinear Rotor dynamics-A Modem Treatment with Applications [M]. New York John Wiley﹠Sons Inc,2001. [6] Maslen E H. Magnetic Bearing Synthesis for Rotating Machinery [D]. Ph.D Dissertation University of Virginia, 1991. [7] 陈立群,张艳鸣,张钢.电磁轴承的力学特性[J]. 西北轻工业学院学报.1997,25(1) : 9～16. [8] 王晓光，胡业发，江征风.磁悬浮主轴轴承间的耦合研究[J]. 武汉理工大学学报.2003,25（1）：65～68. [9] 张钢.推力磁轴承的力学特性及其对径向磁轴承的影响[J].机械工程学报.2000, 36( 12) : 5～8. [10] 胡业发.基于结构动态特性的磁悬浮主轴系统研究[D].武汉：武汉理工大学.2001.
⎢⎣ 0
kxr + kirkp 0
Lb (kirkp + kxr ) 0
0 kxl
0 − La
+ kilk (kil k p
p
+
kxl
0 kxr + kirkp
0 ) Lb (kirkp
+
kxr
⎥⎤⎜⎛ ⎥⎜ ⎥⎜ )⎥⎥⎦⎜⎜⎝
xl xr yl yr
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
0
(5)
3. 磁悬浮径向轴承内的悬浮力计算及耦合动力学模型的建立
⎢ ⎢⎣−
ωJ p L
L L⎦
kirkd 0
Lbkirkd ωJ p
L
0
0⎤
kilkd kirkd
⎥⎥⎜⎛x&l ⎟⎞
ωJ p L
− Lakilkd
− ωJ p L
Lbkirkd
⎥⎜ ⎥⎜ ⎥⎥⎥⎦⎜⎜⎝
x&r y&l y&r
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
+
⎡kxl + kilkp
⎢ ⎢
0
⎢⎢− La (kilkp + kxl )
7 θ2 n=0 θ1
sinθdθ
1− Ce cos(α −θ )
2
(1+ 2n)π + arcsin⎜⎛ b ⎟⎞
8
⎝ 2R ⎠
n = 0,3,4,7
(6)
∑ ∫ ∑ ∫ ⎧
⎪⎪Fyx
=
kc
(R − r)2
⎨ ⎪⎪⎩θ1
=
(1 +
2n)π
8
6 θ2
cosθdθ
n=1 θ1 [1− Ce cos(α −θ )]2
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
+
⎡kil kd
⎢ ⎢
0
⎢
⎢− Lakil ⎢
⎢ ⎢⎣−
ωJ p L
kd
L L⎦
kirkd 0
Lbkirkd ωJ p
L
0
0⎤
kilkd kirkd
⎥⎥⎜⎛ x&l ⎟⎞
ωJ p L
− Lakilkd
− ωJ p L
Lbkirkd
⎥⎜ ⎥⎜ ⎥⎥⎥⎦⎜⎜⎝
x&r y&l y&r
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
5. 结论
通过对简化的非耦合转子动力学模型和考虑耦合力的转子动力学模型的对比分析可见, 磁悬浮转子的动力学特性不仅取决于磁力轴承的支承特性和转子的结构特性，而且于磁力轴 承与转子之间的相互耦合密切相关。因此, 在研究磁悬浮转子动力学时,应当综合考虑转子、 磁力轴承及其控制系统，建立统一的动力学模型，对系统进行耦合动力学分析。