求积分的几种常规方法

合肥学院论文

求积分的若干方法

姓名：陈涛

学号：1506011005

学院：合肥学院

专业：机械设计制造及其自动化

老师：左功武

完成时间：2015年12月29日

求积分的几种常规方法

陈涛

摘要:数学分析中，不定积分是求导问题的逆运算，而且是联系微分学和积分学的一条纽带。为灵活运用积分方法求不定积分，本文介绍了求积分的几种重要方法和常用技巧，讨论和分析了求积分的几种方法：直接积分法，换元积分法，分部积分法以及有理函数积分的待定系数法，对于快速求不定积分有重要意义，适当的运用积分方法求不定积分，才可以简捷，准确。

关键词：定积分、不定积分、换元积分法、分部积分法、待定系数法

引言

数学分析是师范大学数学专业必修专业课，微分和积分都是数学分析的重点，而不定积分是积分学的基础，更是关键，直接关系到学习数学的重点。其任务是掌握逻辑思维方法和提高使用数学手段解决问题的能力。一般地，求不定积分要比求导数难很多，运用积分法则

和积分公式只能解决一些简单的积分，更多的不定积分要因函数的不同形式和不同类型选用不同的方法，巧妙运用恰当的方法，可以化难为易，从而简单、快捷、准确的求出不定积分。本文为解决求积分的困难问题给出了相应的解决方法，帮助理解不定积分。

1 积分的概念

设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。

记作∫f(x)dx。其中∫叫做积分号(integral sign)，f(x)叫做被积函数(integrand)，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

1.1 不定积分

积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f(x)，C是任意的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。

用公式表示是:f'(x)=g(x)->∫g(x)dx=f(x)+c

不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如：已知定义在区间I上的函数f（x)，求一条曲线y=F（x），x∈I，使得它在每一点的切线斜率为F′（x）= f（x）。函数f（x）的不定积分是f（x）的全体原函数（见原函数），记作。如果F(x)是f(x)的一个原函数，则，其中C为任意常数。

1.2 定积分

相对于不定积分，还有定积分。所谓定积分，其形式为∫[a:b]f(x)dx 。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

微积分的最初发展中,定积分即黎曼积分。用自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线和x轴把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形的面积累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a、b。而实变函数中,可以利用测度论将黎曼积分推广到更加一般的情况,如勒贝格积分.

用公式表示是：∫[a,b]f(x)dx=lim(n->∞)∑(0-n)a+f(ti)*(b-a)/n

定积分是以平面图形的面积问题引出的。y=f（x）为定义在[a，b]上的函数，为求由x=a，x=b ，y=0和y=f（x）所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将[a，b]分成n等分：a=x0

1.3 定积分与不定积分的联系

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分写成积分的形式呢？

定积分与积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们

有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：

若F'(x)=f(x)

那么∫[a:b]f(x)dx =F(a)-F(b)

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

Φ(x)=∫[a:b]f(t)dt

牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。

正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

1.4相关公式

f(x)

∫f(x)dx

k

kx

x^n

[1/(n+1)]x^（n+1）

a^x

a^x/lna

sinx

-cosx

cosx

sinx

tanx

-lncosx

cotx

lnsinx

secx

ln(secx+tanx)

cscx

ln(cscx-cotx)

(ax+b)^n

[(ax+b)^(n+1)]/[a(n+1)]

1/(ax+b)

1/a*ln(ax+b)

2求积分的常见方法

2.1求不定积分的方法

2.1.1直接积分法

直接积分法就是利用积分公式和积分的基础性质求不定积分的方法。该方法是求不定积分的