河北省石家庄市2020届高三数学二模试题理(含解析)

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河北省石家庄二中2020届高三上学期12月月考试题数学(理)【含解析】

河北省石家庄二中2020届高三上学期12月月考试题数学（理）一.选择题（每题5分，共60分） 1.已知复数1i iz （i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A. 1B. -1C. iD. i -【答案】A 【解析】【分析】先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论．【详解】21i i (1)1z i i i i ，1z i =+，其虚部为1．故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题． 2.已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B =（） A. (,1)[2,)-∞-+∞B. (,1)[1,)-∞-+∞C. []1,2-D. (]1,2-【答案】D 【解析】【分析】解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算．【详解】由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-，11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]AB =-．故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0．3.函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（）种 A. 12 B. 24C. 36D. 72【答案】C 【解析】【分析】4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得．【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为234336C A =．故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法．5.若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>3C 的渐近线方程为（）A. 12y x =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. 22y x =±【答案】D 【解析】【分析】由离心率得3ca=,a b 的关系即得．【详解】由题意3c a =222223c a b a a +==，222b a =，2a b =， ∴渐近线方程为：22y x =±．故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题方法就是由离心率得,a b 的关系，但要注意双曲线的标准方程，渐近线的形式．6.若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx x ⎛⎝的展开式中的常数项为（） A. 6 B. 12 C. 60 D. 120【答案】C 【解析】【分析】先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项．【详解】03sin m xdx π=⎰03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，622mx x x x =⎛⎛+ ⎝⎝，其展开式通项公式36662166(2)2r rrr r rr T C x C x x---+==，令3602r -=，4r =，∴常数项为2456260T C ==．故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础．7.如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A. e 1<e 2<e 3<e 4B. e 2<e 1<e 3<e 4C. e 1<e 2<e 4<e 3D. e 2<e 1<e 4<e 3【答案】C 【解析】【详解】根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜e 1＜e 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜e 4＜e 3 ∴可得到e 1＜e 2＜e 4＜e 34, 故选C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（） A.45B. 459-C. 19-D.19【答案】A 【解析】【分析】以正方体的棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,1)M ，(2,2,1)N ，所以(2,2,1)CM =-，1(2,2,1)D N =-，1111cos ,999CM D N CM D N CM D N⋅<>===-⨯．21145sin ,1()99CM D N <>=--=， ∴异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为45．故选：A ．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，由于在正方体中，因此建立空间直角坐标系，用向量法求解．9.函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（）A. 向右平移3π个长度单位 B. 向左平移3π个长度单位 C. 向右平移23π个长度单位D. 向左平移23π个长度单位【答案】A 【解析】【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后结合图象变换得结论．【详解】由题意74()123T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，而2πϕ<，∴3πϕ=，∴()sin(2)3f x x π=+，sin(2)sin[2()]333y x x πππ=-=-+，因此只要向右平移3π个单位就满足题意．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查由函数图象求解析式．解题关键是掌握“五点法”．掌握三角函数的图象变换的概念．10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31xf x =-，则使不等式()839x x f e e--<成立的x 的取值范围是（） A. (ln3,)+∞ B. (0,ln 3)C. (),ln3-∞D. ()1,3-【答案】C 【解析】【分析】由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．【详解】当0x <时，()31xf x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()31x f x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，8(2)9f -=-，∴8(2)(2)9f f =--=()83(2)9x x f e e f --<=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3<x e ，ln3x <，即原不等式的解集为(,ln3)-∞．故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >．11.己知函数1()2x f x e x -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（）A. 7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,)+∞D. [2,3]【答案】D 【解析】【分析】首先确定11x =，根据题意问题转化为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．再用分离参数法转化为求函数值域．【详解】易知1()2x f x e x -=+-是R 上的增函数，且(1)0f =，∴()f x 只有一个零点1，即11x =， ∴问题变为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．由2()30g x x mx m =--+=得231x m x +=+，令1t x =+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]t x =+∈，2(1)342t m t t t-+==+-，由双勾函数的单调性可知，当[1,2]t ∈时，42m t t =+-递减，当[2,3]t ∈时，42m t t=+-递增， ∴42m t t=+-的最小值是2，最大值是3．即[2,3]m ∈．故选：D.【点睛】本题考查函数零点分布问题，考查转化与化归能力．题中两个函数的零点问题，通过一个函数的零点确定，转化为另一个函数的零点范围．然后再转化为求函数值域．12.已知数列{}n a 满足112a =，*11,2n n a n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：①*0N n ∃∈，使得01n a >；②*n ∀∈N ，都有121n a a a n<； ③使得210.999nii a i=≤∑成立一个充分不必要条件为99n ≤；④设函数2()ln 2xf x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<≥∈⋅有无穷多个解.其中所有正确结论编号为（）A. ②④B. ②③C. ②③④D. ①③④【答案】B 【解析】【分析】由递推公式求出通项公式，然后验证各个选项．【详解】∵*11,2n na n a +=∈-N ，∴121111111112n n n n n a a a a a +-===+-----，1121a =-， ∴数列1{}1na -是首项为2，公差为1的等差数列，∴1111n a =+-， 1n na n =+，显然对任意*n N ∈，1n a <，①错；*n ∀∈N ，1212123111n a a a n nn n =⨯⨯⨯=++<，②正确； 21111111()10.999(1)111nn ni i i i a n i i i i i n n =====-=-=≤++++∑∑∑，999≤n ，③正确； 2()ln 2x f x =，则()2xf x '=，不等式21(1)()1n n n f n a a --'-<⋅为2211n n -<-，即22n n <，由数学归纳法可证当5n ≥时，22n n >恒成立，证明如下： (i)5n =时，52232255=>=，命题成立， (ii)假设n k =(5k ≥)时，命题成立，即22k k >，则1n k =+时，122222222(1)(1)1(1)k k k k k k +=⨯>=++-->+，命题也成立，综上，对任意的正整数n ，5n ≥时，22n n >恒成立．所以22n n <有无穷多个解，是错误的．④错误．只有②③正确．故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查数列的通项公式．解题关键是求出数列通项公式．本题中第4个命题有一些难度．题中证明是用数学归纳法给出的．当然对我们学生来讲这样的结论可能都记得，反而不显得有难度．二.填空题（每题5分，共20分） 13.抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在)33+∞，上是单调递增，在(033，上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==，所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．15.若实数x，y满足约束条件2x yxy->⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11xy-+的取值范围为______________.【答案】(]1,1-【解析】【分析】作出可行域，利用11yx+-的几何意义求解．【详解】作出可行域，如图OAB∆内部（不含虚线边界，含实线边界），令11xzy-=+，1x=时，0z=，1x≠时，111yz x+=-表示可行域内点(,)Q x y与点(1,1)P-连线的斜率，111POk-==-，1112PAk-==-，由图可知11z<-或11z≥，所以10z-<<或01z<≤，综上11z-<≤．故答案为：(]1,1-．【点睛】本题考查简单线性规划中的非线性目标函数的取值范围问题．解题关键是理解目标函数的意义．由几何意义求解是解题的基本方法．16.在平行四边形ABCD中，0AB BD⋅=，沿BD将四边形折起成直二面角A BD C--，且2|2BD+=，则三棱锥A BCD-的外接球的表面积为________________.【答案】4π【分析】由0AB BD ⋅=得AB BD ⊥，结合直二面角A BD C --，可证AB ⊥平面BCD ，从而有AB BC ⊥，因此AC 中点O 就是外接球球心．由此可求得表面积．【详解】由0AB BD ⋅=得AB BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，∴AB ⊥平面BDC ，∴AB BC ⊥，同理CD AD ⊥，取AC 中点O ，则O 到四顶点的距离相等，即为三棱锥A BCD -的外接球的球心．222222222AC CD AD CD BD AB AB BD =+=++=+，∵|2|2AB BD +=，∴222|2|222AB BD AB AB BD BD +=+⋅+2224AB BD =+=， ∴24AC =，2AC =， ∴224()42S ππ=⨯=．故答案为：4π．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线．三.解答题（共70分）（一）必考题（共60分）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥. （1）求角B 的大小；（2）若13b =，4a c +=，求ABC 的面积. 【答案】(1) 23B π=(2) 334【分析】（1）由m n ⊥，得0m n ⋅=，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角．（2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】（1）∵m n ⊥，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，即2cos cos cos 0a B c B b C ++= 由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+= ∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+ ∵13b =4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac = 则ABC 的面积133sin 2S ac B ==【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题． 18.已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2nn nb c a =，12n n S c c c =+++，求证：101nS <<. 【答案】(1) 2,N*32n a n n =∈+，1*2,N n n b n -=∈ (2) 证明见解析【解析】【分析】（1）变形已知等式得数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立．【详解】（1）∵113220n n n n a a a a ++-+=，∴*1223,nnn N a a +-=∈ ∴2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为125a =，公差为3∴253(1)32n n n a =+-=+，2,N*32n a n n =∈+ ∵{}n b 为正项等比数列，设公比为()0q q >，则121(1)3b b b q +=+=，2314b b q ==整理得23440q q --=，解得2q ，11b =，∴1*2,N n n b n -=∈（2）12(32)2n nn nb c n a -==+⋅ 21582112(32)2n n S n -=+⨯+⨯+++⋅①2125282(31)2(32)2n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅++⋅②①-②得215323232(32)2n n n S n --=+⨯+⨯++⨯-+⋅53(22)(32)2n n n =+--+⋅,∴(31)21nn S n =-⋅+∵*N n ∈，∴1n S >，∴101nS <<，得证. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．基本量法是求等差数列和等比数列的通项公式的常用方法．19.如图，已知四棱锥 P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.（1）求证：AE PD ⊥；（2）若直线PB 与平面PAD 10E AF C --的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 155【解析】【分析】（1）在底面菱形中可得AE BC ⊥，AE AD ⊥.由PA ⊥平面ABCD ，得PA AE ⊥.从而有线面垂直，因此线线垂直；（2）由于图中有AE ，AD ，AP 两两垂直，因此以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，AP a =，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a ，再求解二面角．【详解】（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥. 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD .所以AE PD ⊥.（2）由（1）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图，设2AB =，AP a =，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)A B C -，(0,2,0),(0,0,),(3,0,0)D P a E ，31,,222a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以(3,1,)PB a =--，且()3,0,0AE =为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由10cos θ=，则有2||6sin |cos ,|4||||43PB AE PB AE PB AE a θ⋅=<>===⋅+⋅解得2a =所以(3,0,0)AE =，31,12⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，因此1111303102x x y z ⎧=⎪⎨++=⎪取11z =-，则(0,2,1)m =-因为,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量又(3,3,0)BD =- 所以c |os 1,5512|m BD m BDm BD <⋅==>=⨯⋅因为二面角E AF C --15【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求线面角和二面角．本题对学生的空间想象能力，运算求解能力有一定的要求．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △的面积为32. （1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN 的面积为定值.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】【分析】（1）离心率提供一个等式32c a =，PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式212322b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440kxkmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入 12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意>0∆，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN 的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则3c a =过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以212322b c a ⨯⨯=② 把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a = 所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-，即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k-+=++=+++=+所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=> ()()2222212121614||141k m MN k x x x x k +-=++-=+O 到直线MN 的距离21d k=+，所以()22222OMN2161411214||1||221k m k m SMN d k m k∆+-+-=⋅=+=+ 22222||||||1m m m m m m-==⋅=，即OMN 的面积为定值1 （ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12y x =，代入椭圆方程，解得22,2M ⎫⎪⎪⎭，此时OMN 的面积为1222122⎛⨯= ⎝⎭. 综上可知，OMN 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形． 21.已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0a >，讨论()f x 的零点个数；【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【解析】【分析】（1）先判断()f x 为偶函数，再利用导数研究[0,]x π∈上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先求出导函数，然后对a 按照1a ≥，01a <<，进行分类讨论，当1a ≥，得到()f x 在[0,]x π∈单调递增，结合()01f =，判断出此时无零点，当01a <<，得到()f x 单调性，结合()0f ，()f π的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.【详解】解：∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数，只需先研究[0,]x π∈()sin cos f x x x x =+()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤，所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减所以根据偶函数图像关于y 轴对称，得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， .故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增又(0)1f =，所以()f x [,]x ππ∈-上无零点②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点（ii ）21102a π-≤，即220a π<≤ ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线3:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点42,4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.【答案】（1）曲线22:13x C y +=，直线:80l x y +-=；（2）最小值是32N 31(,)22．【解析】【分析】（1）由22cos sin 1αα+=消元后可得曲线Ｃ的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线的直角坐标方程；（2）(3,sin )N αα，由点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角函数知识可求得最小值及相应点的坐标．【详解】（1）由由22cos sin 1αα+=得2213x y +=，此为C 的普通方程，直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点42,4M π⎛⎫⎪⎝⎭，则42(cossin )844m ππ+==， ∴直线l 的直角坐标方程为8x y +=，即80x y +-=．（2）设3,sin )N αα，[0,2)απ∈，则3cos sin 82d αα+-=2sin()832πα+-=，当sin()13πα+=，即6πα=时，min 32d =N 点坐标为31(,)22．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩是解题基础． 23.已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b+=++，求a b +的最小值. 【答案】（1）[1,)+∞；（2）49．【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值．【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++，∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b ++=++++ 122(22)922a b a b a b a b++≥+⋅++49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

石家庄市2020届高三数学综合训练试题二文含解析

【分析】
由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列,分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案．
【详解】解:由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为：
10，10，12,24，25，30，43，45，45，46；
其中位数是，且数据分布比较分散；
乙组数据从小到大排列为：
17，20，21,23，24，26，31，31,32,35；
【详解】解： ,
，
的一个可能值为 .
故选：C．
【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和诱导公式,以及辅助角公式和二倍角正弦公式进行化简，考查计算能力，属于基础题．
7.已知的三个角A，B,C成等差数列,三条边a，b,c成等差数列，且，则的面积的为（）
A. B。2C。 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，可知当时满足条件，当时,由不等式的解集为 ,根据一元二次不等式的性质求出的取值范围,进而得出集合，最后结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：当时，不等式等价为，
此时不等式的解集为，满足条件,
当时，要使不等式的解集为，
则，得，得：，
(Ⅱ）求到平面的距离．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；(Ⅱ) 。
【解析】
【分析】
（Ⅰ）推导出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得平面；
(Ⅱ）根据题意得出，进而可计算出，由（I）知平面，设点到平面的距离为，利用等体积法可得出有关的等式，解出即可。
【详解】（Ⅰ)在三棱柱中，平面 ,
两边同时除以得：，
由，得，

2019-2020年河北省石家庄二模：石家庄2019届高三第二次模拟考试理科数学试题-附答案精品

青霄有路终须到，金榜无名誓不还！2019-2019年高考备考河北省石家庄市2019届第二次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（）A ． 0B ． -4C ． -4或1D ．-4或02. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A ．6种B ． 12种C ．18种D ．24种3. 已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<4.在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设,AB a AD b ==，则向量BF = （）A ．1233a b +B ．1233a b -- C. 1233a b -+ D ．1233a b - 5.已知抛物线2:C y x =，过点(),0P a 的直线与C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB <，则a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1 C. ()1,+∞ D ．{}16.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，15,3,4AA AC AB BC ====，则阳马。

河北省衡水二中2020届高考数学二模试卷2（含答案解析）

河北省衡⽔⼆中2020届⾼考数学⼆模试卷2（含答案解析）河北省衡⽔⼆中2020届⾼考数学⼆模试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）1.已知集合A={x|x2<4}，B={0,1，2，4}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1，2}C. {1,2}D. {0,1，2，4}|=√2(i为虚数单位)，则a=()2.若实数a满⾜|1+iaiA. 1B. ±1C. ?2D. ±23.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若⼲个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f(n)．由f(1)=1，f(2)=7，f(3)=19，…，可推出f(10)=()A. 271B. 272C. 273D. 2744.对于平⾯α和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是()A. 如果m?α，n//α，m、n共⾯，那么m//nB. 如果m?α，n与α相交，那么m、n是异⾯直线C. 如果m?α，n?α，m、n是异⾯直线，那么n//αD. 如果m⊥α，n⊥m，那么n//α5.下图可能是下列哪个函数的图像()A. y=x2(x?2)x?1B. y=x(x?2)ln|x?1|C. y=x2ln|x?1|D. y=tanx?ln(x+1)6.设a?，b? ，c?为单位向量，且a??b? =0，则c??(a?+b? )的最⼤值为()A. 2B. √2C. 1D. 07.5名同学中有且只有3名同学会说外语，从中任意选取2⼈，则这2⼈都会说外语的概率为()A. 110B. 310C. 710D. 9108.⽤a1、a2、…，a10表⽰某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85，68，95，75，88，92，90，80，78，87.执⾏如图所⽰的程序框图，若分别输⼊a的10个值，则输出的ni?1的值为()A. 35B. 13C. 710D. 799.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收⼊占⽐和净利润占⽐统计表：空调类冰箱类⼩家电类其他类营业收⼊占⽐90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占⽐95.80%?0.48% 3.82%0.86%则下列判断中不正确的是()A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度⼩家电类电器营业收⼊和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占⽐将会降低10.设抛物线x2=4y的焦点为F，过点F作斜率为k(k>0)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点M，若|MF|=3，则直线l的⽅程为()A. y=2√2x+1B. y=√3x+1C. y=√2x+1D. y=2√3x+211.如图，在三棱锥O?ABC中，OA=OB=OC=1，∠AOB=90°，OC⊥平⾯AOB，D为AB中点，则OD与平⾯OBC所成的⾓为()A. π4B. π3C. π2D. 3π412. 若函数f(x)=e x (e x ?4ax)存在两个极值点，则实数a 的取值范围为( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共12.0分）13. 双曲线y 29?x 2b 2=1的离⼼率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是______ ． 14. 已知等⽐数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 2+a 3=7，S 6=63，b n =log 2a n+1，则数列{1b n b n+1}的前2019项的和为______．15. 已知定义在R 上的函数f (x )满⾜：f (x )={x 2+2,x ∈[0,1),2?x 2,x ∈[?1,0),且f (x +2)=f (x ),g (x )=2x+5x+2，则⽅程f (x )=g (x )在区间[?5,1]上的所有实根之和为________．16. 已知在三棱锥S ?ABC 中，SA ⊥平⾯SBC ，∠BSC =90°，SC =1，⼆⾯A ?BC ?S 为45°，⼆⾯⾓B ?AC ?S 为60°，则三棱锥S ?ABC 外接球的表⾯积为______ ．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =π3，AB ：BC =2：3，AC =√7．(1)求sin∠ACB 的值； (2)若∠BCD =3π4，CD =1，求△ACD 的⾯积．18. 如图，在四棱锥S ?ABCD 中，SA ⊥底⾯ABCD ，ABCD 是边长为1的正⽅形，且SA =1，点M是SD 的中点．(1)求证：SC⊥AM；(2)求平⾯SAB与平⾯SCD所成锐⼆⾯⾓的⼤⼩．19.已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C的⽅程；(2)过F的直线l交C于A,B两点，交直线x=8于点M.判定直线PA,PM,PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20.已知函数f(x)=12x2+bx+alnx的极⼤值点是1．(1)求实数a的取值范围；(2)若f(x0)=f(1)(x0≠1)，证明：a21. 某⼯⼚新研发的⼀种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进⾏合理定价，将该产品按事先拟定的价格进⾏试销，得到如下6组数据：单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件)908483807568(Ⅰ)若90≤x +y <100，就说产品“定价合理”，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中“定价合理”的个数记为X ，求X 的数学期望；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归⽅程，并⽤回归⽅程预测在今后的销售中，为使⼯⼚获得最⼤利润，该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收⼊?成本)附：线性回归⽅程y ?=b ?x +a ?中系数计算公式：b ?=i ?x?)(?y i ?y?)ni=1∑(?x ?x?)2n ，a ?=y ?b ??x ，其中x 、y 表⽰样本均值．∑(x i ?x )2n i=1=0.7,∑(x i ?x )n i=1(y i ?y )=?14.22. 在直⾓坐标系xOy 中，直线l 1的参数⽅程为{x =?4t +2y =kt?(t 为参数)，直线l 2的参数⽅程为{x =m ?2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的⾮负半轴为极轴建⽴极坐标系，求曲线C 的极坐标⽅程；(II)设曲线C 上的点A 的极⾓为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)?2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23.已知函数f(x)=|x+1|?|4?2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x?1)的解集；(2)若函数f(x)的最⼤值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最⼩值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：考查描交集的运算．可求出集合A，然后进⾏交集的运算即可．解：A={x|?2∴A∩B={0,1}．故选：A．2.答案：B解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．解：∵1+iai =?i(1+i)ai2=1?ia=1a1ai，∴|1+iai |=|1a1ai|=√(1a)2+(?1a)2=√2，解得a=±1．故选：B．3.答案：A解析：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之⼀，出等差数列和等⽐数列外，⼤部分的数列求和都需要⼀定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等根据图象的规律可得f(4)和f(5)的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f(n)?f(n?1)=6(n?1)，进⽽根据合并求和的⽅法求得f(n)的表达式，即可求得f(10)的值．解：由于：f(4)=37，f(5)=61．由于：f(2)?f(1)=7?1=6，f(3)?f(2)=19?7=2×6，f(4)?f(3)=37?19=3×6，f(5)?f(4)=61?37=4×6，因此：当n≥2时，有f(n)?f(n?1)=6(n?1)，所以：f(n)=[f(n)?f(n?1)]+[f(n?1)?f(n?2)]+?+[f(2)?f(1)]+f(1)=6[(n?1)+(n?2)+?+2+1]+1=3n2?3n+1．⼜：f(1)=1=3×12?3×1+1，所以：f(n)=3n2?3n+1．所以：f(10)=3×102?3×10+1=271．故选A．4.答案：A解析：解：A答案中：如果m?α，n//α，则m//n或m与n异⾯，⼜由m、n共⾯，那么m//n，故A正确；B答案中：如果m?α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异⾯直线，故B答案错误；C答案中：如果m?α，n?α，当m、n是异⾯直线时，则n与α可能平⾏，也可能相交，故C答案错误；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n//α或n?α故D答案错误；故选：A．本题考查的知识点是空间中直线与平⾯之间的位置关系，如果m?α，n//α，则m//n或m与n异⾯，⼜由m、n共⾯，那么m//n；如果m?α，n与α相交，那么m、n相交或m、n是异⾯直线；如果m?α，n?α，当m、n是异⾯直线时，则n与α可能平⾏，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n//α或n?α.分析后即可得到正确的答案．要判断空间中直线与平⾯的位置关系，有良好的空间想像能⼒，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏或垂直的判定定理及性质定理，并能利⽤教室、三棱锥、长⽅体等实例举出满⾜条件的例⼦或反例是解决问题的重要条件．5.答案：C解析：。

河北省衡水市2020届高三数学二模试题理(含解析)

2020学年度第二学期二模考试高三年级数学试卷（理科）一、选择题（下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，则A B =U （）A. []02，B. ()13，C. []14， D.[)2-+∞，【答案】D 【解析】【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集。

【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，则有{}|2A B x x ⋃=≥-，故选D 。

【点睛】本题考查求集合的并集，属于基础题。

2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==--虚部为-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.某中学2020年的高考考生人数是2020年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2020年和2020年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A. 与2020年相比，2020年一本达线人数减少B. 与2020年相比，2020二本达线人数增加了0.5倍C. 2020年与2020年艺体达线人数相同D. 与2020年相比，2020年不上线的人数有所增加【答案】D 【解析】【分析】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2020年该校参加高考的人数为S ，则2020年该校参加高考的人数为1.5S . 对于选项A.2020年一本达线人数为0.28S .2020年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2020年二本达线人数为0.32S ，2020年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2020年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2020年和2020年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误；对于选项D ，2020年不上线人数为0.32S .2020年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.如图所示，ABC ∆中，点D 是线段BC的中点，E 是线段AD 的靠近A 的三等分点，则AC =u u u r（）A. 43AD BE +u u ur u u u rB. 53AD BE +u u ur u u u rC. 4132AD BE +u u ur u u u rD. 5132AD BE +u u ur u u u r【答案】B 【解析】【分析】利用向量的加减运算求解即可【详解】据题意，2533AC DC DA BD AD BE ED AD BE AD AD AD BE =-=+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．故选：B ．【点睛】本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，是基础题5.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序配图，求得该垛果子的总数S 为（）A. 120B. 84C. 56D. 28 【答案】B【解析】运行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故选C.6.某人在微信群中发一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为（） A.13B.827C.37D.518【答案】B 【解析】【分析】利用隔板法得到共计有n 27C ==21种领法，利用列举法求得甲领到的钱数不少于其他任何人的情况总数m ＝8，由此能求出结果．【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有n 27C ==21种领法，甲领3元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即乙领3元，丙领2元或丙领3元，乙领2元，记为（乙2，丙3）或（丙2，乙3）；甲领4元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有3种，即（乙1，丙3）或（丙1，乙3）或（乙2，丙2）甲领5元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况有2种，即（乙1，丙2）或（丙1，乙2）；甲领6元“甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况只有1种，即（乙1，丙1） “甲领取的钱数不少于其他任何人”的情况总数m ＝2+3+2+1＝6， ∴甲领取的钱数不少于其他任何人的概率p 821=．故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.以双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于P Q ，两点，若PQ =，则双曲线C 的离心率是（）C. 2【答案】A 【解析】【分析】根据圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长3PQ c =，即可求出结果. 【详解】因为以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，所以MF x ⊥轴；不妨令M 在第一象限，所以易得2b M c a ，⎛⎫⎪⎝⎭，半径2b r a=；取PQ 中点N ，连结MN ，则MN 垂直且平分PQ ，所以MQ ==；又MQ r =，所以23b c a =222ac =220e -=，解得e =故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，根据题意，结合双曲线的性质即可求解，属于常考题型.8.在斜ABC ∆中，设解 A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin sin 4sin a A b B c C b B +-=cos C ，若CD 是角C 的角平分线，且CD b =，则cos C =（）A.34B.18C.23D.16【答案】B 【解析】【分析】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，可得22224cos ,a b c b C +-= 结合余弦定理可得2,a b = 又CD 是角C 的角平分线，且CD b =，结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得cos2C的值，则cos C 可求. 【详解】由已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，根据正弦定理可得22224cos ,a b c b C +-=又由余弦定理可得2222cos ,a b c ab C +-=故24,a b =即2,a b =结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得()22222222cos54cos 22C CBD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=- ， 222222cos 22cos 22C CAD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-，由2224BD AD BD AD =⇒= ，可得2222354cos 88cos ,cos ,2224C C C b b b b -=-∴=故2231cos 2cos 121,248C C ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.9.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有棱长组成的集合为A. {1,5}B. {1,6}C. {1,2,5}D.{1,2,22,6}【答案】B 【解析】【分析】将三视图还原成四棱柱即可得解.【详解】该几何体是四棱柱，底面是边长为16, 故选B.【点睛】由三视图还原几何体时应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为6弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（）A. 37.5分钟B. 40.5分钟C. 49.5分钟D. 52.5分钟【答案】A 【解析】【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，计算y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，即可得出．详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 626x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N = y M ﹣y N 2sin 64x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，令sin 64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1，解得：64x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2kπ+2π，x=12k+32，k=0，1，2，3．∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+32=37.5（分钟）．故选：A ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.11.在圆锥PO 中，已知高2PO =，底面圆的半径为4，M 为母线PB 的点；根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命题，正确的个数为（）①圆的面积为4π； 37；③双曲线两渐近线的夹角正切值为34-④抛物线中焦点到准线的距离为55. A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】【分析】根据点M 是母线的中点，求出截面圆的半径即可判断①；由勾股定理求出椭圆长轴可判断②；建立坐标系，求出,a b 的关系可判断③；建立坐标系，求出抛物线方程，可判断④. 【详解】①Q 点M 是母线的中点， ∴截面的半径2r =，因此面积224ππ=⨯=，故①正确；②由勾股定理可得椭圆的长轴为()2242137=++=，故②正确；③在与底面、平面PAB 的垂直且过点M 的平面内建立直角坐标系，不妨设双曲线的标准方程为()22221,0x y a b a b-=>，则()1,0M ，即1a =，把点(2,23代入可得21241b -=，解得2,2b b a =∴=，设双曲线两渐近线的夹角为2θ，2224tan 2123θ⨯∴==--，4sin 25θ∴=，因比双曲线两渐近线的夹角为4arcsin 5，③不正确；④建立直角坐标系，不彷设抛物线的标准方程为22y px =,把点)5,4代入可得2425p =，解得85p =∴抛物线中焦点到准线的距离p 85，④不正确，故选B .【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查圆锥的性质、椭圆的性质、双曲线的性质，抛物线的方程与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.设使直线y ax =与曲线()sin ln 4x x x f π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点的a 的取值范围为集合A ，则（）A. ()1A ⊆-∞，B. ()1A +∞≠∅I ， C. ()1A ⊆+∞， D. ()1R A ⋃+∞=，【答案】A 【解析】【分析】设公共点(),s t ，可得πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤，通过构造函数()1ln g s s s =+-，求导分析单调性可得1ln 1ss+≤，从而得1a <. 【详解】设直线y ax =与曲线()πsin ln 4f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有公共点(),s t ,则πsin ln 1ln 4s ss a s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=≤, 设()1ln g s s s =+-,则()111sg s s s-=-=' , 所以()g s 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数, 所以()()10g s g ≤=,1+ln s s ≤，又0s >，所以1ln 1ss+≤，当1s =时，πsin ln 1ln 41s ss s s⎛⎫++ ⎪+⎝⎭<=,所以1a <,故选A. 【点睛】本题是一道灵活处理方程问题求参的试题，用到了放缩的思想和构造新函数的方法，方法较为巧妙，难度较大，属于难题.二、填空题（把答案在答题纸的横线上）13.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号_____ 【答案】535 【解析】【分析】根据题意按既定的方法向右读，直到取到第六个样本为止，即可得其编号。

河北省石家庄二中2020届高三年级0.5模考试(理数PDF版)理科参考答案

3
3
ln 5 1.6094, 5 1.6667 ，所以 ln 5 5 所以 k 的最大值为 4。------12 分
3
3
（二）选考题
22.解：圆 C 的普通方程为 (x 1)2 y 2 1，又 x cos , y sin
=
a 2
,
余弦定理得
AE
=
3 2
a
，
满足 AE 2 + DE 2 = AD2, 所以有 AE ^ DE ，从而 AB ^ AE .
2分
由 PA ^ 面 ABCD 得 PA ^ AE ,又 AB I PA = A ，从而 AE ^ 面 PAB . 4 分
又 AE Ì面 AEF ，所以，面 AEF ^ 平面 PAB ；
3a 2
,
0
÷÷÷÷
uuur ， AF
=
çççç
a 4
,
3a 4
,
3a 2
÷÷÷÷
.
8分
设面 AFE 的一个法向量为 n1 = (x0,y0,z0 ) ，
则由
ìïïïíïïïî
n2 n2
uuur × AuuEur × AF
= =
0 0
得
ìïïïïíïïïïïî
a 4
3a 2
x0
y0 +
=0
3a 4
y0
（2）（Ⅰ）由已知 E 1 k ， 2 的所有可能取值为1, k 1 .
P 2 1 1 pk , P 2 k 1 1 1 pk ------5 分
所以
E
2
1
pk
k
1
1
1
pk
k
1
k

2020年河北省石家庄二中高考数学0(含答案解析).5模数学试卷(理科)

2020年河北省石家庄二中高考数学0.5模数学试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A = {x | 1 <x 2<4}，B = {x |x ≥1}，则A ∩B =( )A. {x|1<x <2}B. {x|1≤x <2}C. {x|−1<x <2}D. {x|−1≤x <2}2. 复数z 满足z =2+i i+i ，则|z|=( )A. √2B. 2C. √5D. √103. 若a =ln 12，b =(13)0.8，c =2 13，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <a <c4. 若a 1，a 2，a 3，…a 20这20个数据的平均数为x .，方差为0.21，则a 1，a 2，a 3，…a 20，x .这21个数据的方差为( )A. 0.19B. 0.20C. 0.21D. 0.225. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图像关于直线x =π3对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图像的一个对称中心是( )A. (π12,0)B. (π3,1)C. (5π12,0)D. (−π12,0)6. 设数列{a n }满足a 1=3，且对任意整数n ，总有(a n+1−1)(1−a n )=2a n 成立，则数列{a n }的前2018项的和为( )A. 588B. 589C. 2018D. 20197. 设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2则z =x +y 的最小值是( )A. −7B. 2C. 3D. −58. 已知平面向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 均为单位向量，若向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为π2，则|3m ⃗⃗⃗ +4n ⃗ |=( ) A. 25B. 7C. 5D. √79. 如图，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为60°的直线交双曲线于点P ，设PF 2的中点为M.若|OF 2|=|F 2M|，则该双曲线的离心率为( )A. √2+12B. √3+12C. √2+1D. √3+110. 已知函数f(x)是定义在R 的奇函数，当x ≤0时，f(x)=x 2，若对任意的x ∈[t,t +1]，不等式f(x)≤9f(x +t)恒成立，则实数t 的最大值为( )A. −25B. −32C. −23D. 211. 已知A ，B ，C 是球O 球面上的三点，且AB =AC =3,BC =3√3，D 为该球面上的动点，球心O 到平面ABC 的距离为球半径的一半，则三棱锥D −ABC 体积的最大值为( )A. 9√34B. 3√34C. 94D. 27412. 已知函数f(x)={x 2+4x,x ≤0,e x x,x >0, g(x)=f(x)−ax ，若g(x)有4个零点，则a 的取值范围为( )A. (e 24,+∞)B. (e4,+∞)C. (e4,4)D. (e 24,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(x 2+1)(x −2)7的展开式中x 3的系数是______ ．14. 在等差数列{a n }中，a 4=10，前12项的和S 12=90，则a 18的值为________． 15. 点P(x,y)在直线x +y −4=0上，则x 2+y 2的最小值是______． 16. 直线l 与抛物线y =x 22交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线互相垂直，其中A 点坐标为(2,2)，则直线l 的斜率等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△A BC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cosB =35且ac =35．(1)求△ABC 的面积； (2)若a =7，求角C ．18.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥BD，AB=2AD，且PD⊥底面ABCD．(1)证明：平面PBD⊥平面PBC；(2)若二面角P−BC−D为π6，求AP与平面PBC所成角的正弦值．19.已知A为椭圆E：x24+y23=1(a>0,b>0)的左顶点，过A作斜率为k的直线交椭圆于另一点M，点N在E上，AM⊥AN．(1)当k=1时，求△AMN的面积；(2)求证：直线MN恒过定点．20. 设．f(x)=lnx +√x −1．(1)求证：当x >1时，f(x)<32(x −1)．(2)求证：当1<x <3时，f(x)<9(x−1)x+5．21. 已知盒中有n 个黑球和m 个白球，连续不放回地从中随机取球，每次取一个，直至盒中无球，规定：第i 次取球若取到黑球得2i ，取到白球不得分，记随机变量ξ为总的得分数． (Ⅰ)当n =m =2时，求P(ξ=10)； (Ⅱ)若m =1，求随机变量ξ的期望E(ξ)．22. 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2cosφ,y =2sinφ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)若直线l ：{x =m +√32t,y =12t(t 为参数)与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|=√15，求m 的值．23. 已知定义在R 上的函数f(x)=|x +1|+|x −2|的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且a +b +c =m ，求证：a 2+b 2+c 2≥3．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．解不等式求出集合A，根据交集的定义求出A∩B．解：集合A={x|1<x2<4}={x|−2<x<−1或1<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B={x|1<x<2}．故选：A．2.答案：A解析：解：∵z=2+ii+i，∴|z|=|1−i|=√2，故选：A．先化简z，再求模即可．本题考查复数求模，正确化简复数是关键．3.答案：A解析：解：a=ln12<ln1=0，b=(13)0.8<(13)0=1，又b=(13)0.8>0，c=2 13>20=1，∴a<b<c，故选A．利用对数函数，指数函数的单调性进行判断．本题考查了指数函数，对数函数的单调性应用，属于中档题．4.答案：B解析：本题考查了平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．根据平均数与方差的概念，计算即可得出答案．解：a 1，a 2，a 3，…a 20这20个数据的平均数为x .，方差为0.21，∴s 2=120×[(a 1−x .)2+(a 2−x .)2+(a 3−x .)2+⋯+(a 20−x .)2]=0.21 ∴(a 1−x .)2+(a 2−x .)2+(a 3−x .)2+⋯+(a 20−x .)2=4.2∴则a 1，a 2，a 3，…a 20，x .这21个数据的x .，方差为s′2=121×[(a 1−x .)2+(a 2−x .)2+(a 3−x .)2+⋯+(a 20−x .)2+(x .−x .)2] =121×4.2=0.20．故选B ．5.答案：A解析：本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于基础题．利用对称轴与对称中心的横坐标相差个周期即可求解．解：，设对称中心的横坐标为x 0，因为函数有一条对称轴为x =π3，所以，所以，所以，令，得，,0)为一个对称中心，所以(π12故选A．6.答案：B解析：解：数列{a n}满足a1=3，且对任意整数n，总有(a n+1−1)(1−a n)=2a n成立，当n=1时，解得：a2=−2，，当n=2时，解得：a3=−13当n=3时，解得：a4=1，2当n=4时，解得：a5=3，…故：数列的周期为4，，则：a1+a2+a3+a4=76则：2018=504×4+2，所以：S2018=a1+a2+a3+⋯+a2018，+3−2=589，.=504×76故选：B．直接利用数列的递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的周期，最后利用周期性求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)，由z =x +y 得y =−x +z ，平移直线y =−x +z ，由图象可知当直线y =−x +z 经过点B 时，直线y =−x +z 的截距最小，此时z 最小．由{2x +y =4x −2y =2，解得{x =2y =0，即B(2,0)，代入目标函数z =x +y 得z =2+0=2．即目标函数z =x +y 的最小值为2．故选：B ．8.答案：C解析：解：根据题意，平面向量m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 均为单位向量且两个向量的夹角为π2，则m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0；则|3m ⃗⃗⃗ +4n ⃗ |2=9m ⃗⃗⃗ 2+16n ⃗ 2+24m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =25，则|3m ⃗⃗⃗ +4n ⃗ |=5；故选：C ．根据题意，由数量积的计算公式可得m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，又由|3m ⃗⃗⃗ +4n ⃗ |2=9m ⃗⃗⃗ 2+16n ⃗ 2+24m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ，计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式，属于基础题．9.答案：B解析：解：由题意，|MO|−|MF 2|=2a ， ∵|OF 2|=|F 2M|，∴|OF 2|=|F 2M|=c ，|MO|=2a +c ， ∵直线的倾斜角为60°，∴(2a +c)2=c 2+c 2−2c ⋅c ⋅cos120°，∴e 2−2e −2=0， ∵e >1， ∴e =√3+12．故选：B ．由题意，可得|OF 2|=|F 2M|=c ，|MO|=2a +c ，直线的倾斜角为60°，利用余弦定理，建立a ，c 的关系，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率，考查余弦定理，考查学生的计算能力，确定a ，c 的关系是关键．10.答案：A解析：根据函数的奇偶性的性质求出函数f(x)的表达式，并判断函数的单调性，利用函数的单调性将不等式恒成立进行转化，即可求出t 的最大值．解：若x >0，则−x <0，∵当x ≤0时，f(x)=x 2，∴f(−x)=x 2， ∵f(x)是定义在R 的奇函数， ∴f(−x)=x 2=−f(x)，即f(x)=−x 2，x >0，即f(x)={x 2,x ≤0−x 2,x >0, 则函数f(x)的图象如图：则函数f(x)在R上单调递减，∵9f(x+t)=32f(x+t)=f(3x+3t)，∴对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(x)≤9f(x+t)恒成立，等价为对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(x)≤f(3x+3t)恒成立，即x≥3x+3t，即x≤−32t恒成立，∵x∈[t,t+1]，∴t+1≤−32t恒成立，即52t≤−1，解t≤−25，则实数t的最大值为−25，故选：A．11.答案：D解析：解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3√3，∴由余弦定理可得cosA=32+32−(3√3)32×3×3=−12，则A=120°，∴sinA=√32．设△ABC外接圆的半径为r，则√3√32=2r，得r=3．设球的半径为R，则R2=(R2)2+32，解得R=2√3．∵S△ABC=12×3×3×√32=9√34，∴三棱锥D−ABC体积的最大值为13×9√34×3√3=274，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D−ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．12.答案：D解析：本题考查函数的零点与方程的根的关系，涉及分段函数，利用导数研究函数的单调性和图象，利用导函数的几何意义求切线的斜率等知识和方法，属中档题，难度较大.g(x)=f(x)−ax，若g(x)有4个零点，等价于y=f(x)的图象与直线y=ax的交点有且只有4个.当x>0时f(x)=e xx，需要使用导数方法研究函数的单单调性及凸性，结合x≤0时的f(X)的二次函数部分图象，何处分段函数f(x)的图象的示意图，根据数形结合，只要求得直线y=ax与f(x)(x≤0)段和f(x)在x>0段的相切时的切线的斜率，即可知道a的取值范围在这两个斜率之间．解：g(x)=f(x)−ax，若g(x)有4个零点，等价于y=f(x)的图象与直线y=ax的交点有且只有4个．当x>0时f(x)=e xx ，f′(x)=ex·x−e x·1x2=(x−1)e xx2，在区间(0,1)内f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(1,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．又∵f′′(x)=[(x−1)e x]′x2−(x−1)e x(x2)′x4=(x2−2x+1)e xx3，u(x)=x2−2x+1在x>0时大于零，∴x>0时f′′(x)>0，即f(x)在x>0时是下凸函数，结合二次函数y=x2+4x(x≤0)的图像，画出分段函数f(x)的示意图如图所示：由于y =x 2+4x 的导函数y′=2x +4，在x =0时的导数值为4，设过原点的直线y =kx 与f(x)在x >0的部分的图象相切时的切点坐标为(x 0,y 0)，则{y 0=e x 0xy 0x 0=k =f′(x 0)=(x 0−1)e x 0x 02，解得x 0=2，∴切线的斜率k =f′(2)=e 24，结合图象可知y =f(x)的图象与直线y =ax 的交点有且只有4个时，实数a 的取值范围是(e 24,4) ．故选D ．13.答案：1008解析：先将问题转化为二项式(x −2)7的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r +1项，令x 的指数分别等于1，3求出特定项的系数．本题考查等价转化的能力、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．解：(x 2+1)(x −2)7的展开式中x 3的系数等于(x −2)7展开式的x 的系数加上(x −2)7展开式的x 3的系数，(x −2)7展开式的通项为T r+1=C 7r x 7−r(−2)r ，令7−r =1，得r =6，故(x −2)7展开式的x 的系数为C 76(−2)6=448，令7−r =3，得r =4，故(x −2)7展开式的x 3的系数为C 74(−2)4=560，故展开式中x3的系数是448+560=1008，故答案为：1008．14.答案：−4解析：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=10，S12=90，∴a4=a1+3d=10，S12=12a1+12×112d=90，解得a1=13，d=−1，∴a18=a1+17d=−4．故答案为：−4．15.答案：8解析：解：原点到直线x+y−4=0的距离√2．点P(x,y)在直线x+y−4=0上，则x2+y2的最小值，就是求原点到直线的距离的平方，为：(√2)2=8故答案为：8x2+y2的最小值，就是直线到原点距离的平方的最小值，求出原点到直线的距离的平方即可．本题考查直线与圆的位置关系，考查等价转化的数学思想，是基础题．16.答案：34解析：解：对抛物线y=x22，y′=x，A点坐标为(2,2)，k A=2，抛物线在A，B两点处的切线互相垂直，所以k B=−12，所以B(−12,18)，所以直线AB方程的斜率为：2−182+12=34．故答案为：34．对抛物线y=x22，y′=x，求出A处切线的斜率，然后求解B的坐标，推出直线l的斜率即可．本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用．17.答案：解：(1)∵cosB=35，且B∈(0,π)，∴sinB=√1−cos2B=45，又ac=35，∴S△ABC=12acsinB=12×35×45=14．(2)由ac=35，a=7，得c=5，∴b2=a2+c2−2accosB=49+25−2×7×5×35=32，∴b=4√2，∴cosC=a2+b2−c22ab =2×7×4√2=√22．又C∈(0,π)，∴C=π4．解析：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．(1)由已知可先求sin B的值，由ac=35，即可根据面积公式求S△ABC的值．(2)由已知先求c的值，由余弦定理可求b的值，从而可求cos C的值，即可求出C的值．18.答案：(1)证明：∵AD⊥BD，∴BC⊥BD，又∵PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC，又∵PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；(2)解：由(1)所证PD⊥底面ABCD，所以∠PBD即为二面角P−BC−D的平面角，即∠PBD=π6，设AB=2，而BD=√3，所以PD=1，分别以DA、DB、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,√3,0),C(−1,√3,0)，P(0,0，1)，所以，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,1)，设平面PBC 的法向量为n⃗ =(a,b,c)，∴{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−a =0−√3b +c =0，可解得n ⃗ =(0,1,√3)， ∴AP 与平面PBC 所成角的正弦值为sinθ=|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√2⋅2=√64．解析：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确运用向量法求线面角．(1)首先证明BC ⊥平面PBD ，利用面面垂直的判定定理，即可证明平面PBC ⊥平面PBD ； (2)确定∠PBD 即为二面角P −BC −D 的平面角，分别以DA 、DB 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC 的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP 与平面PBC 所成角的正弦值．19.答案：解：(1)椭圆E ：x 24+y 23=1的左顶点A(−2,0)，设M(x 1,y 1)，则由题意可知y 1>0，则直线AM 的方程y =x +2，联立{y =x +2x 24+y 23=1，整理得7y 2−12y =0，解得：y 1=127，由椭圆的对称性可知：S △AMN =2×12×127×127=14449；(2)证明：由题意可知，直线MN 的斜率不为0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设直线MN 的方程为x =my +b ，{x =my +b x 24+y 23=1，整理得：(3m 2+4)y 2+6mby +3b 2−12=0，y 1+y 2=−6mb3m 2+4，y 1y 2=3b 2−123m 2+4，由AM ⊥AN ，则(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2=0，则x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， (my 1+b)(my 2+b)+2[m(y 1+y 2)+2b]+4+y 1y 2=0， (m 2+1)y 1y 2+mb(y 1+y 2)+b 2+2m(y 1+y 2)+4b +4=0， (m 2+1)×3b 2−123m 2+4+mb(−6mb3m 2+4)+b 2+2m(−6mb3m 2+4)+4b +4=0，整理得：7b 2+16b +4=0，b =−2，b =−27，满足(△>0)， ∴直线MN 过定点(−27,0)．解析：(1)求得AM 的方程，代入椭圆方程，求得M 点坐标，根据对称性质，即可求得△AMN 的面积；(2)设MN 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得b 的值，即可证明直线MN 恒过定点．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．20.答案：解：(1)当x >1时，2√x <x +1，故√x <x 2+12.①令k(x)=ln x −x +1，则k(1)=0，k′(x)=1x −1<0，故k(x)<0，即ln x <x −1.②由①而得，当x >1时，f(x)<32(x −1)．(2)记ℎ(x)=f(x)−9(x−1)x+5，由(1)得ℎ′(x)=1x +2√x 54(x +5)2=2+√x 2x −54(x +5)2<x +54x −54(x +5)2=(x+5)3−216x 4x(x+5)2．令G(x)=(x +5)3−216x ，则当1<x <3时，G ＇(x)=3(x +5)2−216<0，因此G(x)在(1,3)内是减函数．又由G(1)=0，得G(x)<0，所以ℎ＇(x)<0．因此ℎ(x)在(1,3)内是减函数．又ℎ(1)=0，所以ℎ(x)<0．于是当1<x <3时，f(x)<9(x−1)x+5．解析：本题考查了利用导数研究函数的最值，是中档题．(1)当x >1时，2√x <x +1，故√x <x2+12.令k(x)=ln x −x +1，利用导数即可得证；(2)记ℎ(x)=f(x)−9(x−1)x+5，由(1)得ℎ′(x)=1x +2√x 54(x+5)2=2+√x 2x−54(x+5)2<x+54x−54(x+5)2=(x+5)3−216x 4x(x+5)2．令G(x)=(x +5)3−216x ，利用导数得G(x)<0，所以ℎ＇(x)<0.因此ℎ(x)在(1,3)内是减函数，从而得证．21.答案：解：(Ⅰ)当n =m =2时，ξ=10表示4次中，第1次和第3次取到黑球，所以P(ξ=10)=A 22A 224!=16；(Ⅱ)当m =1时，随机变量ξ的取值有：21+22+⋯+2n+1−2k ，k =1，2，3，…，n +1，即2n+2−2−2k ，k =1，2，3，…，n +1，因为随机变量ξ的取值的概率为1n+1，所以期望E(ξ)=1n+1[(2n+2−2−2)+⋯+(2n+2−2−2n+1)]=n(2n+2−2)n+1．解析：本题考查概率的计算，考查随机变量ξ的期望E(ξ)，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)当n=m=2时，ξ=10表示4次中，第1次和第3次取到黑球，即可求出概率；(Ⅱ)当m=1时，随机变量ξ的取值有：21+22+⋯+2n+1−2k，k=1，2，3，…，n+1，因为随机变量ξ的取值的概率为1n+1，即可求随机变量ξ的期望E(ξ)．22.答案：解：(1)对于圆C：把参数方程转化普通方程为(x−2)2+y2=4，x2−4x+4+y2=4，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ；(2)把直线l化简为x−√3y−m=0，圆C的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设圆心坐标到直线l的距离为d，d=|2−m|2，则|AB|=2√22−d2=√15，解得m=1或m=3．解析：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．(2)由题意得，直接运用参数方程的几何意义即可求解．23.答案：(1)解：f(x)=|x+1|+|x−2|≥|x+1−x+2|=3，当−1≤x≤2时，取得等号，所以f(x)min=3，即m=3；(2)证明：由(1)知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=9，所以a2+b2+c2≥3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．(1)|x+1|+|x−2|≥|(x+1)−(x−2)|=3，即可求m的值；(2)由(1)知a+b+c=3，再由柯西不等式即可得证．。

河北省石家庄二中2020届高三上学期12月月考理科数学试题 Word版含解析

石家庄二中2019-2020学年度高三年级上学期12月月考数学理科试卷一.选择题（每题5分，共60分）1.已知复数1i iz +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A. 1B. -1C. iD. i -【答案】A 【解析】【分析】先计算出复数z ，求出共轭复数z ，再由复数的定义得结论．【详解】21i i(1)1z i ii i+=+==-，1z i =+，其虚部为1．故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义．属于基础题． 2.已知集合1|01x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (3),B y y x x A ==+∈，则A B U =（） A. (,1)[2,)-∞-+∞U B. (,1)[1,)-∞-+∞UC. []1,2-D. (]1,2-【答案】D 【解析】【分析】解分式不等式得集合A ，求对数函数的值域得集合B ，再由并集概念计算．【详解】由题意101xx -≥+(1)(1)010x x x -+≥⎧⇒⎨+≠⎩(1)(1)01x x x -+≤⎧⇒⎨≠-⎩11x ⇒-<≤，(1,1]A =-，11x -<≤时，234x <+≤，21log (3)2x <+≤，(1,2]B =，∴(1,2]A B =-U ．故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质．解分式不等式要注意分母不为0．3.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4.石家庄春雨小区有3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（）种 A. 12 B. 24 C. 36 D. 72【答案】C【解析】【分析】4人分配到3个家庭，有一家去2人．由此利用排列组合的知识可得．【详解】4名水暖工分配到3个家庭，其中有2人去同一家，因此分配方案数为234336C A =．故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法．5.若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>3则双曲线C 的渐近线方程为（）A. 12y x =±B. 2y x =±C. 2y x =±D.22y x =±【答案】D 【解析】【分析】由离心率得3ca=,a b 的关系即得．【详解】由题意3c a =222223c a b a a +==，222b a =，22a b =， ∴渐近线方程为：22y x =±．故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题方法就是由离心率得,a b 的关系，但要注意双曲线的标准方程，渐近线的形式．6.若03sin m xdx π=⎰，则二项式2mx x ⎛⎝的展开式中的常数项为（） A. 6 B. 12 C. 60 D. 120【答案】C 【解析】【分析】先由微积分基本定理求得m ，然后由二项展开式通项公式求出常数项．【详解】03sin m xdx π=⎰03cos |3(cos cos 0)6x ππ=-=--=，622mx x x x =⎛⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式通项公式36662166(2)()2r rrr r rr T C x C x x---+==，令3602r -=，4r =，∴常数项为2456260T C ==．故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础． 7.如图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A. e 1<e 2<e 3<e 4B. e 2<e 1<e 3<e 4C. e 1<e 2<e 4<e 3D. e 2<e 1<e 4<e 3【答案】C 【解析】【详解】根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜e 1＜e 2＜1 根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜e 4＜e 3 ∴可得到e 1＜e 2＜e 4＜e 34, 故选C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为（）45B. 45C. 19-D.19【答案】A 【解析】【分析】以正方体的棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，1(2,0,2)A ，1(2,2,2)B ，1(0,0,2)D ，(2,0,1)M ，(2,2,1)N ，所以(2,2,1)CM =-u u u u r，1(2,2,1)D N =-u u u u r ，1111cos ,999CM D N CM D N CM D N⋅<>===-⨯u u u u r u u u u ru u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ． 21145sin ,1()9CM D N <>=--=u u u u r u u u u r ， ∴异面直线CM 与1D N 所成角的正弦值为45．故选：A ．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，由于在正方体中，因此建立空间直角坐标系，用向量法求解．9.函数()sin()||2f x x πωϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到函数sin()y x ωϕ=-的图象，只需把函数()y f x =的图象（）A. 向右平移3π个长度单位 B. 向左平移3π个长度单位 C. 向右平移23π个长度单位D. 向左平移23π个长度单位【答案】A 【解析】【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后结合图象变换得结论．【详解】由题意74()123T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，而2πϕ<，∴3πϕ=， ∴()sin(2)3f x x π=+，sin(2)sin[2()]333y x x πππ=-=-+，因此只要向右平移3π个单位就满足题意．故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查由函数图象求解析式．解题关键是掌握“五点法”．掌握三角函数的图象变换的概念．10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()31x f x =-，则使不等式()839x x f e e --<成立的x 的取值范围是（）A. (ln3,)+∞B. (0,ln 3)C. (),ln3-∞D. ()1,3-【答案】C 【解析】【分析】由奇函数性质确定函数在R 上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式．【详解】当0x <时，()31xf x =-是增函数且()0f x <，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =满足()31x f x =-，所以，函数()y f x =在R 上是连续函数，所以函数()f x 在R 上是增函数，8(2)9f -=-，∴8(2)(2)9f f =--=()83(2)9x x f e e f --<=，∴32x x e e --<，即2230x x e e --<，(3)(1)0x x e e -+<，又10x e +>，∴3<x e ，ln3x <，即原不等式的解集为(,ln3)-∞．故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式．利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f ”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0x e >．11.己知函数1()2x f x e x -=+-，2()3g x x mx m =--+，若存在实数12,x x ，使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数m 的取值范围为（）A. 7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,)+∞D. [2,3]【答案】D 【解析】【分析】首先确定11x =，根据题意问题转化为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．再用分离参数法转化为求函数值域．【详解】易知1()2x f x e x -=+-是R 上的增函数，且(1)0f =，∴()f x 只有一个零点1，即11x =，∴问题变为2()3g x x mx m =--+在 [0,2]上有零点．由2()30g x x mx m =--+=得231x m x +=+，令1t x =+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]t x =+∈，2(1)342t m t t t-+==+-，由双勾函数的单调性可知，当[1,2]t ∈时，42m t t =+-递减，当[2,3]t ∈时，42m t t=+-递增， ∴42m t t=+-的最小值是2，最大值是3．即[2,3]m ∈．故选：D.【点睛】本题考查函数零点分布问题，考查转化与化归能力．题中两个函数的零点问题，通过一个函数的零点确定，转化为另一个函数的零点范围．然后再转化为求函数值域． 12.已知数列{}n a 满足112a =，*11,2n n a n a +=∈-N ，关于该数列有下述四个结论：①*0N n ∃∈，使得01n a >；②*n ∀∈N ，都有121n a a a n<L ； ③使得210.999nii a i=≤∑成立的一个充分不必要条件为99n ≤； ④设函数2()ln 2xf x =，()f x '为()f x 的导函数，则不等式()2*1(1)()12,N n n n f n n n a a --'-<≥∈⋅有无穷多个解. 其中所有正确结论的编号为（） A. ②④ B. ②③C. ②③④D. ①③④【答案】B 【解析】【分析】由递推公式求出通项公式，然后验证各个选项．【详解】∵*11,2n na n a +=∈-N ，∴121111111112n n n n na a a a a +-===+-----，1121a =-，∴数列1{}1na -是首项为2，公差为1的等差数列，∴1111n a =+-， 1n na n =+，显然对任意*n N ∈，1n a <，①错；*n ∀∈N ，1212123111n a a a n nn n =⨯⨯⨯=++<L L ，②正确； 21111111()10.999(1)111nn ni i i i a n i i i i i n n =====-=-=≤++++∑∑∑，999≤n ，③正确； 2()ln 2x f x =，则()2xf x '=，不等式21(1)()1n n n f n a a --'-<⋅为2211n n -<-，即22n n <，由数学归纳法可证当5n ≥时，22n n >恒成立，证明如下： (i)5n =时，52232255=>=，命题成立， (ii)假设n k =(5k ≥)时，命题成立，即22k k >，则1n k =+时，122222222(1)(1)1(1)k k k k k k +=⨯>=++-->+，命题也成立，综上，对任意的正整数n ，5n ≥时，22n n >恒成立．所以22n n <有无穷多个解，是错误的．④错误．只有②③正确．故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查数列的通项公式．解题关键是求出数列通项公式．本题中第4个命题有一些难度．题中证明是用数学归纳法给出的．当然对我们学生来讲这样的结论可能都记得，反而不显得有难度．二.填空题（每题5分，共20分）13.抛物线24y x =的准线方程为______. 【答案】116y =- 【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n an的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在)33+∞，上是单调递增，在(033，上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==，所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．15.若实数x ，y 满足约束条件020x y x y ->⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则11x y -+的取值范围为______________.【答案】(]1,1- 【解析】【分析】作出可行域，利用11y x +-的几何意义求解．【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（不含虚线边界，含实线边界），令11x z y -=+，1x =时，0z =，1x ≠时，111y z x +=-表示可行域内点(,)Q x y 与点(1,1)P -连线的斜率， 111PO k -==-，1112PA k -==-，由图可知11z <-或11z≥，所以10z -<<或01z <≤，综上 11z -<≤．故答案为：(]1,1-．【点睛】本题考查简单线性规划中的非线性目标函数的取值范围问题．解题关键是理解目标函数的意义．由几何意义求解是解题的基本方法．16.在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅=u u u r u u u r，沿BD 将四边形折起成直二面角A BD C --，且2|2BD +=u u r u u u r，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________________.【答案】4π 【解析】【分析】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，结合直二面角A BD C --，可证AB ⊥平面BCD ，从而有AB BC ⊥，因此AC 中点O 就是外接球球心．由此可求得表面积．【详解】由0AB BD ⋅=u u u r u u u r得AB BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，∴AB ⊥平面BDC ，∴AB BC ⊥，同理CD AD ⊥，取AC 中点O ，则O 到四顶点的距离相等，即为三棱锥A BCD -的外接球的球心．222222222AC CD AD CD BD AB AB BD =+=++=+，∵2|2BD +=u u r u u u r，∴222|2|222AB BD AB AB BD BD +=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2224AB BD =+=，∴24AC =，2AC =， ∴224()42S ππ=⨯=．故答案为：4π．【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心．利用直角三角形寻找球心是最简单的方法．三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线．三.解答题（共70分）（一）必考题（共60分）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(cos ,cos )m B C =u r，(2,)n a c b =+r ，且m n ⊥u r r.（1）求角B 的大小；（2）若13b =，4a c +=，求ABC V 的面积. 【答案】(1) 23B π= (2) 33【解析】【分析】（1）由m n ⊥u r r ，得0m n ⋅=u r r，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cos B ，从而得B 角．（2）由余弦定理可求得ac ，从而可求得面积．【详解】（1）∵m n ⊥u r r，∴(2)cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=u r r ，即2cos cos cos 0a B c B b C ++=由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=即2sin cos sin()2sin cos sin sin (2cos 1)0A B B C A B A A B ++=+=+= ∵,(0,)A B π∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B +=，即1cos 2B =-，∴23B π= （2）由余弦定理，22222cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B =+-=+-+∵13b =4a c +=，∴1316ac =-，∴3ac = 则ABC V 的面积133sin 24S ac B ==【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式．掌握公式会使用即可．考查的知识点较多，本题属于中档题．18.已知数列{}n a 满足125a =，且*113220,N n n n n a a a a n ++-+=∈，数列{}n b 为正项等比数列，且123b b +=，34b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2n n n b c a =，12n n S c c c =+++L ，求证：101nS <<. 【答案】(1) 2,N*32n a n n =∈+，1*2,N n n b n -=∈ (2) 证明见解析【解析】【分析】（1）变形已知等式得数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可求通项公式，数列{}n b 是等比数列，用基本量法可求得通项公式；（2）用错位相减法求得和n S ，即可证结论成立．【详解】（1）∵113220n n n n a a a a ++-+=，∴*1223,n nn N a a +-=∈ ∴2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为125a =，公差为3∴253(1)32nn na=+-=+，2,N*32na nn=∈+∵{}n b为正项等比数列，设公比为()0q q>，则121(1)3b b b q+=+=，2314b b q==整理得23440q q--=，解得2q=，11b=，∴1*2,Nnnb n-=∈（2）12(32)2nnnnbc na-==+⋅21582112(32)2nnS n-=+⨯+⨯+++⋅L①2125282(31)2(32)2n nnS n n-=⨯+⨯++-⋅++⋅L②①-②得215323232(32)2n nnS n--=+⨯+⨯++⨯-+⋅L53(22)(32)2n nn=+--+⋅, ∴(31)21nnS n=-⋅+∵*Nn∈，∴1nS>，∴101nS<<，得证.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和．基本量法是求等差数列和等比数列的通项公式的常用方法．19.如图，已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC∠=︒，E，F分别是BC，PC的中点.（1）求证：AE PD⊥；（2）若直线PB与平面PAD10E AF C--的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 15 【解析】【分析】（1）在底面菱形中可得AE BC ⊥，AE AD ⊥.由PA ⊥平面ABCD ，得PA AE ⊥.从而有线面垂直，因此线线垂直；（2）由于图中有AE ，AD ，AP 两两垂直，因此以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，AP a =，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a ，再求解二面角．【详解】（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，可得ABC V 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥. 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD .所以AE PD ⊥.（2）由（1）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图，设2AB =，AP a =，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)A B C -，(0,2,0),(0,0,),(3,0,0)D P a E ，31,,22a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以3,1,)PB a =--u u u r，且)3,0,0AE =uu u r 为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由10cos θ=，则有2||6sin |cos ,|4||||43PB AE PB AE PB AE a θ⋅=<>===⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r解得2a =所以3,0,0)AE =u u u r，31,12⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r AF设平面AEF 的一法向量为()111,,m x y z =u r ，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，因此11113031022x x y z =++=⎩取11z =-，则(0,2,1)m =-u r因为,,BD AC BD PA PA AC A ⊥⊥=I ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD u u u r为平面AFC 的一法向量又(3,3,0)BD =u u u r所以c |os 1,5512|m BD m BDm BD <⋅==>=⨯⋅u r u u u u ru r u u u u u r r u r 因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为155【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求线面角和二面角．本题对学生的空间想象能力，运算求解能力有一定的要求．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>3过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △3（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN V的面积为定值.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】【分析】（1）离心率提供一个等式32c a =，PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式212322b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入 12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意>0∆，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则3c a =过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以21232b c a ⨯⨯=② 把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a = 所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-，即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440kxkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+ ()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+ 所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=> ()()2222212121614||141k m MN k x x x x k +-=++-=+O 到直线MN 的距离21d k=+所以()22222OMN22161411214||1||22141k m k m S MN d k m k k∆+-+-=⋅=+=++ 222222||||||12m m m m m m m-==⋅=，即OMN V 的面积为定值1 （ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12y x =，代入椭圆方程，解得22,2M ⎭，此时OMN V 的面积为122212⎛= ⎝⎭. 综上可知，OMN V 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形． 21.已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0a >，讨论()f x 的零点个数；【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点. 【解析】【分析】（1）先判断()f x 为偶函数，再利用导数研究[0,]x π∈上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先求出导函数，然后对a 按照1a ≥，01a <<，进行分类讨论，当1a ≥，得到()f x 在[0,]x π∈单调递增，结合()01f =，判断出此时无零点，当01a <<，得到()f x 单调性，结合()0f ，()f π的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.【详解】解：∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数，只需先研究[0,]x π∈()sin cos f x x x x =+()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤，所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减所以根据偶函数图像关于y 轴对称，得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， .故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增又(0)1f =，所以()f x [,]x ππ∈-上无零点②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点（ii ）21102a π-≤，即220a π<≤ ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题（共10分）请考生在第22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线3:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，且02απ≤<）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点2,4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点N 到直线l 的距离的最小值，以及此时点N 的坐标.【答案】（1）曲线22:13x C y +=，直线:80l x y +-=；（2）最小值是32N 31(,)22．【解析】【分析】（1）由22cos sin 1αα+=消元后可得曲线Ｃ的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线的直角坐标方程；（2）3,sin )N αα，由点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角函数知识可求得最小值及相应点的坐标．【详解】（1）由由22cos sin 1αα+=得2213x y +=，此为C 的普通方程，直线:cos sin l m ρθρθ+=经过点42,4M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则42(cos sin )844m ππ+==， ∴直线l 的直角坐标方程为8x y +=，即80x y +-=．（2）设3,sin )N αα，[0,2)απ∈，则3cos sin 82d αα+-=2sin()832πα+-=，当sin()13πα+=，即6πα=时，min 32d =N 点坐标为31(,)22．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩是解题基础． 23.已知函数()|1||2|f x x x =+--.（1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足1122m a b a b +=++，求a b +的最小值. 【答案】（1）[1,)+∞；（2）49．【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值．【详解】（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥，当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<，当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞．（2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a b a b a b++=++++ 122(22)922a b a b a b a b++≥+⋅++49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立， ∴+a b 的最小值是49．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．。

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河北省石家庄市2020届高三数学二模试题理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设i是虚数单位，复数1ii（） A. 1i B. -1i C. 1i D. 1i 【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，化简复数1i1ii，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，复数1i(i)1i1iii(i)，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2.已知全集UR，集合1Axx，12Bxx，则UCAB（） A. |12xx B. {}12xx＃ C. 11xx D. |1xx 【答案】B 【解析】【分析】由补集的运算求得1UCAxx，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合1,12AxxBxx，则1UCAxx，根据集合的并集运算，可得UCAB12xx，故选B．【点睛】本题主要考查了集合混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3.如图是一个算法流程图，则输出的结果是（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】【分析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1xy；第2次循环：满足判断条件，4,2xy；第3次循环：满足判断条件，8,3xy；不满足判断条件，输出计算结果3y，故选A．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

4.已知实数x、y满足不等式组2102100xyxyy，则3zxy的最大值为（） A. 3 B. 2 C. 32 D. 2 【答案】A 【解析】【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．

【详解】画出不等式组2102100xyxyy所表示平面区域，如图所示，由目标函数3zxy，化为直线3yxz，当直线3yxz过点A时，此时直线3yxz在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，

又由2100xyy，解得(1,0)A，所以目标函数的最大值为3(1)03z，故选A．

【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．

5.将函数sin2fxx的图象向左平移02个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为（） A. 12 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案．【详解】将将函数sin2fxx的图象向左平移个单位长度，可得函数sin[2()]sin(22)gxxx 又由函数gx为偶函数，所以2,2kkZ，解得,42kkZ，因为02，当0k时，4，故选D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）

A. 623 B. 622 C. 442 D. 443 【答案】C 【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC，

正方体的棱长为2，该几何体的表面积： 111122222222224422222．

故选C．【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键． 7.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( ) A. 15 B. 25 C. 35 D. 110 【答案】B 【解析】【分析】推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．【详解】解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个，基本事件总数2353C10nC， 6和28恰好在同一组包含的基本事件个数202123234mCCCC， ∴6和28恰好在同一组的概率42105mpn．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8.已知双曲线221:110xyCmm与双曲线222:14yCx有相同的渐近线，则双曲线1

的离心率为（） A. 54 B. 5 C. 5 D. 52 【答案】C 【解析】【分析】由双曲线1C与双曲线2C有相同的渐近线，列出方程求出m的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．

【详解】由双曲线221:110xyCmm与双曲线222:14yCx有相同的渐近线，

可得102mm，解得2m，此时双曲线221:128xyC，则曲线1C的离心率为2852cea，故选C．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9.设函数fx在R上可导，其导函数为fx，若函数fx在1x处取得极大值，则函数yxfx的图象可能是（）

A. B.

C. D. 【答案】B 【解析】【分析】由题设条件知：0x时，0yxfx，01x时，0yxfx，0x或1x 时，0yxfx，1x时，0yxfx，由此即可求解．【详解】由函数fx在R上可导，其导函数为fx，若函数fx在1x处取得极大值，所以当1x时，0fx；1x时，0fx；1x时，0fx；所以当0x时，0yxfx，当01x时，0yxfx，当0x或1x 时，0yxfx，当1x时，0yxfx，可得选项B符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值的应用，其中解答中认真审题，主要导数的性质和函数的极值之间的关系合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10.已知当m，[1n，1)时，33sinsin22mnnm，则以下判断正确的是( ) A. mn B. ||||mn C. mn D. m与n的大小关系不确定【答案】C 【解析】【分析】

由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xfxxx，求得可得()fx为增函数，又m，[1n，1)时，根据条件得()()fmfn，即可得结果．【详解】解：设3()sin,[1,1]2xfxxx，则2()3cos022xfxx，即3()sin,[1,1]2xfxxx为增函数，又m，[1n，1)，33sinsin22mnnm，即33sinsin22mnmn，所以()()fmfn，所以mn．故选C．【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 11.已知抛物线24yx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P为抛物线上任意一点KPF的平分线与x轴交于(,0)m，则m的最大值为( ) A. 322 B. 233 C. 23 D. 22 【答案】A 【解析】【分析】

求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，2111(1)4xmmxx，求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．【详解】解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，

由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，记∠KPF的平分线与x轴交于(m,0),(1m1)H

根据角平分线定理可得||||||=||||||PFPMFHPKPKKH，

2111(1)4xmmxx



，

当0x时，0m，