以形助数,以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用

以形助数，以数解形
——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
摘要：在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度.笔者结合教学实际，对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.
关键词：数形结合初中数学数学应用
数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性.因此，笔者结合数学教学实际, 探讨数形结合思想在初中数学中的应用.
在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等.” [1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法.利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂.
数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论, 或者把数量关系问题转化为图形问题, 借助几何知识加以解决, 使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离” [2].
初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系.正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联
系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的.
那么作为最基本的数学思想之一的数形结合思想，又是怎样体现在数学的具体应用中呢？下面我结合以下几个方面浅谈一下. 一.以形助数，化难为易
一些问题中的代数式, 比如方程或不等式，若以图形的形式直观地表示出来, 问题的结果便可一目了然. (一） 在不等式中的应用
例1. 如图1，直线y 1=kx+b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），则不等式mx ＞kx+b 的解集是_________ 分析：这是一个解不等式的问题，如果直接去解不等式，是做不出的，因为将现有的已知点都代入解析式中，无法求出参数k 、b , 以及m 的.所以，这个题必须借助图像，利用图像观察交点以及交点两侧的图像，来判断当x 在什么范围时，y 1＞y 2 或者y 2＞y 1 解：
不等式mx ＞kx+b 即y 2＞y 1 ，通过观察图像，结合p 点横坐标，在交点p 的右侧，即当x ＞1时，y 2＞y 1
∴mx＞kx+b 的解集是x ＞1 （二） 在方程或方程组中的应用
例2.(1)求方程2211x x -+=-的实数根的个数. (2)求方程221x x -+=
2
x
的实数根的个数. 分析与解答：我们学习了“用函数的观点看方程”，知道一元二次方程
20ax bx c ++=的根的情况，可以看成是2y ax bx c =++ (抛物线)与y=0 (x 轴)的
交点的情况，我们既可以通过计算方程的判别式来判断，又可以通过函数图像的交点很形象、直观的判断.所以，（1）问中，我们可以把方程左边看成抛物线
221y x x =-+,右边看成直线y= -1，然后通过图2观察，会很快的发现，抛物线
与直线没有交点，故原方程就没有实数根.(2)问中，如果直接去解方程，
势必会
得到一个三次方程，解起来很困难.若利用数形结合的方法，就简单直观了.求方
程根的问题，转化成求函数221
y x x
=-+与y=2
x
的图像的交点问题，通过观察图
3，知道两图像只有一个公共点，所以原方程只有一个根.
（三）函数与函数图像中的应用
例3.抛物线2
y ax bx c
=++（a＞0）的对称
轴是直线x=2，且经过点p(3,0),试判断a-b+c的符
号.
分析：此题如果直接求a,b,c的话，根据已有的条
件，a,b,c三个值是无法一一求出的，只能用一个
字母表示出其他两个字母，然后代入可以将a-b+c
求出. 如果能从函数图像着手，以形助数的话，就很简单了.当x= -1时，y=a-b+c.如图4所示，很容易判断a-b+c是大于0的.
(四)应用题中的应用
例4.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，当行驶1.5小时时，两车相距70千米，再过半个小时，两车相遇，求甲乙两地的距离.
分析：此题如果用代数的解法，需要设三个未知数列方程组求解，可能还得用上整体代入的思想.但是如果能将两车的距离(y)与时间(t)的图像画出,如图5，再借助解析几何或平面几何的知识，会变得简单.
解：法1：利用待定系数法将直线AB 的解析式求出， y=-140x+280,甲乙两地的距离实际就是A 点的纵坐标，故令x=0求出y=280.
法2：设点（1.5,70）为C 点，过C 作CD⊥x 轴
于D ，因为△AOB∽△CDB ,700.5
2
OA =
所以 OA=280.
二.以数解形，化繁为简
几何图形中的问题转化为代数的知识来解, 这种数形结合的解题方法贯穿在教材中, 也是几何计算与证明中常常采用的方法. (一) 解几何计算题
例5.如图6
，直线y x b =+与y 轴交于点A ，与双曲线k
y x
=
在第一象限交于B 、C 两点，且AB·A C=4，则k=_________．
解：设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1、x 2
是方程
k
x b x
+=的两根，∴x 1x 2
.
又AB·AC= 124= ∴k
此题将反比例函数图像与代数相结合，利用直线解析式，先算出
1，
2，然后联立直线与双曲线的解析式，得到关于x 的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出k 的值.用代数的知识解决几何问题，体现了数形结合的思想.
例6. 如图7、∠BAC=60°，半径长为1的圆O 与∠BAC 的两边相切，P 为圆O 上一动点，以P 为圆心，PA 长为半径的圆P 交射线AB 、AC 于D 、E 两点，连接DE ，则线段DE 长度的最大值为多少？
图5
图 6
分析与解答：连CP交圆P于H点，连DE，DH.，则
EH
所以，求DE的最大值，就是求EH的最大值.由于EH 是动圆P的直径，AP是半径，所以再转化为求AP 的最大值.因为A点固定，P是动点，由图可知当P 运动到AO的延长线上时，AP最大，求出此时的AP 即可.∵∠OAF=30°∴ AO=2OF=2 ∴AP最大为
3 ，∴
EH最大值为6，DE的最大值就为
（二）解几何证明题
例7.证明: 圆内接矩形以正方形的面积最大
分析:如果用几何问题去解, 解题方法不容易找到, 所以把它转化为代数中求最值的方法来解答.利用配方法，可以把最值很快求出.
解：如图8
，设圆的半径为R，矩形的一边长为x,
所以矩
形的面积为S=所以24222222
4(2)4
S x R x x R R
=-+=--+.当2x=
2
2R时，2S有最大值4
4R，
S有最大值2
2R，此时x=，矩形为正方形.
例8.如图9，以线段AB为直径作一个半圆，O点为圆心，C为半圆上一动点，
已知AB=1，设
AC=a，BC=b，证明：a+b.
分析：由于AC与BC长度都是变化的，而且在此图形中无法进行线段的转化.但是由于AB是定值，221
a b
+=，故可以用代数的方法进行探讨.
解：22222
1,()212
a b a b a b ab ab
+=∴+
=++=+
. a b
∴+=
所以要求a b
+的最大值，即求ab的最大值. 过C点往AB上作高，设其长度为h, 则由面积法可得，ab=1h
⨯. 即当h最大时，ab最大.此时看图比较容易发现，
当C点运动到使CO⊥AB时，h最大，且为1
2
. 所以，当ab=
1
2
时，a b
+的最大值.
图 7
H
B
总之，数形结合思想是初中数学解题中的一种重要思想方法，它对于沟通知识之间的联系，激活学生的思维，提高学生的数学能力有独到的作用.因此，教师在教学中要有意识的去培养和提高学生这方面的能力，经过长期的训练，达到数与形的统一.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订. 初中数学课程标准，2012
[2]周培喜. 初中数学教学中数形结合思想的价值体现与应用. 数学大世界（教育导向），2012，9
O
图
9
图 8。