开放性试验

齐齐哈尔大学

开放实验室项目论文

题目MATLAB在控制系统中的应用

院（系）通信与电子工程学院

专业班级电子信息工程 061班

学生姓名张文霞

指导教师题原

成绩

2009年10月25日

摘要

控制系统分析与设计是MATLAB成功应用的领域之一。在控制系统分析与设计中，经常会涉及到矩阵运算，以前常采用FORTRAN作为编程语言，但用FORTRAN编程很繁琐。而MATLAB正好是以矩阵运算为基础的，因此，MATLAB一经推出就受到了控制界专家学者的重视，并最早开发出控制系统工具箱函数。这些函数为求解控制系统分析与设计问题提供了便利的工具。

MATLAB是一个高级的数学分析与运算软件，可以用作动态系统的建模与仿真。MATLAB是一个开放的环境，在这个环境下，人们开发了许多具有特殊用途的工具箱软件，如控制系统、信号处理、最优控制、鲁棒控制及模糊控制工具箱等。本章主要介绍MATLAB常用的命令、控制系统工具箱及SIMULINK仿真工具软件。

关键词：MATLAB 控制系统自动系统

1前言

MATLAB提供的控制系统工具箱函数分为十类:模型建立、模型变换、模型简化、模型实现、模型特性、方程求解、时域响应、频域响应、根轨迹和估计器/调节器设计。这足见MATLAB给用户分析与设计控制系统所带来的强大设计工具。

控制系统可分成多个子系统，每个子系统可采用传递函数、零极点增益、状态方程三种表示形式。MATLAB提供的模型变换函数可方便地实现这三种表示形式之间的转换，而且利用模型建立函数可实现子系统的串联、并联、反馈、闭环等连接方式，从而得到复杂的控制系统。最后利用模型简化和实现函数，可得到简化后的期望模型。

对于一个复杂的控制系统，首先关心的是可控性和可观性问题，利用模型特性函数“ctrb”和“obsv”可直接求得系统的可控性和可观性矩阵，据此可判定系统的可控性和可观性。

对线性系统，一般可设计线性二次型调节器和估计器。MATLAB提供的十多种求解连续和离散控制系统的设计函数，完全可以满足大部分的设计要求。为利用线性二次型设计系统的调节器和估计器，需要求解代数里卡蒂（Riccati）方程和李雅普诺夫（Lyapunov）方程，这可由“are”和“lyap”等函数直接求得，使技术人员从繁重的计算任务中解脱出来，从而使控制系统的设计变得轻松自然。

MATLAB提供的控制系统工具箱函数还在不断地扩展，其功能也在不断增强，每次MATLAB版本的升级都会对工具箱函数进行增补和增强，使控制系统的分析与设计更加方便。

2 控制系统的传递函数模型

对简单系统的建模可直接采用三种基本模型：传递函数、零极

点增益、状态空间模型。但实际中经常遇到几个简单系统组合成

一个复杂系统。常见形式有：并联、串联、闭环及反馈等连接。 并联是将两个系统按并联方式连接，在MATLAB 中可用

parallel 函数实现。命令格式为：[nump, denp] = parallel(num1, den1, num2, den2) 其对应的结果为：Gp(s)=G1(s)+G2(s) 。串联是将两

个系统按串联方式连接，在MATLAB 中可用series 函数实现。命

令格式为：[nums, dens] = series(num1, den1, num2, den2) 其对应的

结果为：Gs(s)=G1(s)+G2(s)

2.1 有理函数模型

线性系统的传递函数模型可一般地表示为：

n

n n n m m m m a s a s a s b s b s b s b s G ++???++++???++=--+-1111121)( m n ≥ (1)将系统的分子和分母多项式的系数按降幂的方式以向量的形 式输入给两个变量num 和den ，就可以轻易地将传递函数模型输入

到MATLAB 环境中。命令格式为：

],,,,[121+???=m m b b b b num ],,,,,1[121n n a a a a den -???=;

（2）在MATLAB 控制系统工具箱中，定义了tf() 函数，它可由传递函数分子分母给出的变量构造出单个的传递函数对象。从而使

得系统模型的输入和处理更加方便。该函数的调用格式为：

G ＝tf(num ，den); 这时对象G 可以用来描述给定的传递函数模型,作为其它函数调用

的变量。其中conv()函数（标准的MATLAB 函数）用来计算两个向量的卷积，多项式乘法当然也可以用这个函数来计算。该函数允

许任意地多层嵌套，从而表示复杂的计算。

2.2 零极点模型

线性系统的传递函数还可以写成极点的形式：

)

())(()())(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G +???+++???++= 注意：对于单变量系统，其零极点均是用列向量来表示的，

故Z 、P 向量中各项均用分号（;）隔开。

2.3 反馈系统结构图模型

设反馈系统结构图如图1所示。

图1 反馈系统结构图

图2 复杂反馈系统

可见，在系统的零极点模型中若出现复数值，则在显示时将以

二阶因子的形式表示相应的共轭复数对。同样，对于给定的零极

点模型，也可以直接由MATLAB 语句立即得出等效传递函数模型。

调用格式为：G1=tf(G)。

3利用MATLAB 进行时域分析

3.1 线性系统稳定性分析

线性系统稳定的充要条件是系统的特征根均位于S 平面的左

半部分。系统的零极点模型可以直接被用来判断系统的稳定性。

另外，MATLAB 语言中提供了有关多项式的操作函数，也可以用于

系统的分析和计算。

3.1.1 直接求特征多项式的根

设p 为特征多项式的系数向量，则MATLAB 函数roots()可以

直接求出方程p=0在复数范围内的解v,该函数的调用格式为：

v=roots(p)。利用多项式求根函数roots(),可以很方便的求出系

统的零点和极点，然后根据零极点分析系统稳定性和其它性能。

3.1.2 由根创建多项式

如果已知多项式的因式分解式或特征根，可由MATLAB 函数

poly()直接得出特征多项式系数向量，其调用格式为：p=poly(v)，

函数roots()与函数poly()是互为逆运算的。

3.1.3多项式求值

在MATLAB 中通过函数polyval()可以求得多项式在给定点的值，该函数的调用格式为：polyval(p,v)。

3.1.4部分分式展开

考虑下列传递函数：n

n n n n n a s a s a b s b s b den num s N s M +???+++???++==--110110)()(，式中0a 0≠，但是i a 和j b 中某些量可能为零。

MATLAB 函数可将)

()(s N s M 展开成部分分式，直接求出展开式中的留数、极点和余项。该函数的调用格式为：

[]),(,,den num residue k p r = ，则)

()(s N s M 的部分分式展开由下式给出：)()

()()2()2()1()1()()(s k n p s n r p s r p s r s N s M +-+???+-+-=，式中1)1(p p -=,2)2(p p -=,…, n p n p -=)(,为极点，1)1(r r -=,

2)2(r r -=,…, n r n r -=)(为各极点的留数，)(s k 为余项。

应当指出，如果p(j)=p(j+1)=…=p(j+m-1),则极点p(j)是一

个m 重极点。在这种情况下，部分分式展开式将包括下列诸项： [][]

m j p s m j r j p s j r j p s j r )()1()()1()()(2--++???+-++- 3.1.5由传递函数求零点和极点

在MATLAB 控制系统工具箱中，给出了由传递函数对象G 求出

系统零点和极点的函数，其调用格式分别为：Z=tzero(G)，

P=G.P{1}。

3.1.6零极点分布图

在MATLAB 中，可利用pzmap()函数绘制连续系统的零、极点

图，从而分析系统的稳定性，该函数调用格式为：pzmap(num,den)。

3.2 系统动态特性分析

3.2.1时域响应解析算法――部分分式展开法

用拉氏变换法求系统的单位阶跃响应，可直接得出输出c(t)

随时间t 变化的规律，对于高阶系统，输出的拉氏变换象函数为：

s

den num s s G s C 11)()(?=?

= 对函数c(s)进行部分分式展开，我们可以用num,[den,0]来表示c(s)的分子和分母。

3.2.2 单位阶跃响应的求法

控制系统工具箱中给出了一个函数step()来直接求取线性系统的阶跃响应，如果已知传递函数为：den

num s G =)(。则该函数可有以下几种调用格式：

step(num,den)

step(num,den,t)

或 step(G)

step(G,t)

该函数将绘制出系统在单位阶跃输入条件下的动态响应图，

同时给出稳态值。如果需要将输出结果返回到MATLAB 工作空间中，

则采用以下调用格式：c=step(G)。此时，屏上不会显示响应曲线，

必须利用plot()命令去查看响应曲线。plot 可以根据两个或多个

给定的向量绘制二维图形。

3.2.3 求阶跃响应的性能指标

MATLAB 提供了强大的绘图计算功能，可以用多种方法求取系

统的动态响应指标。我们首先介绍一种最简单的方法――游动鼠

标法。对于例16，在程序运行完毕后，用鼠标左键点击时域响应

图线任意一点，系统会自动跳出一个小方框，小方框显示了这一

点的横坐标（时间）和纵坐标（幅值）。按住鼠标左键在曲线上移

动，可以找到曲线幅值最大的一点――即曲线最大峰值，此时小

方框中显示的时间就是此二阶系统的峰值时间，根据观察到的稳

态值和峰值可以计算出系统的超调量。系统的上升时间和稳态响

应时间可以依此类推。这种方法简单易用，但同时应注意它不适

用于用plot()命令画出的图形。

另一种比较常用的方法就是用编程方式求取时域响应的各项

性能指标。与上一段介绍的游动鼠标法相比，编程方法稍微复杂，

但通过下面的学习，读者可以掌握一定的编程技巧，能够将控制

原理知识和编程方法相结合，自己编写一些程序，获取一些较为

复杂的性能指标。

4 利用MATLAB 绘制系统根轨迹

假设闭环系统中的开环传递函数可以表示为：

)()

())(()())(()(021********s KG p s p s p s z s z s z s K den num K a s a s a s b b s b s K s G n m n

n n n m m m m k =+???+++???++==++???++++???++=---- 则闭环特征方程为：01=+den

num K

。特征方程的根随参数K 的变化而变化，即为闭环根轨迹。控制系统工具箱中提供了rlocus()函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹。根轨迹法是分析和设计

线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。特别是适用于多

回路系统的研究，应用根轨迹比其它方法更为方便。通常来说，

要绘制出系统的根轨迹是很繁琐很难的事，因此在教科书中经常

以简单系统的图示解法得到。但在现代计算机技术和软件平台的

支持下，绘制系统的根轨迹变得轻松自如了。在MATLAB 中，专门

提供了绘制根轨迹有关的函数：rlocus ，rlocfind ，pzmap 等。

5 线性系统的频域分析

频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种经典方法。采

用这种方法可直观地表达出系统的频率特性，分析方法比较简单，

物理概念比较明确，对于诸如防止结构谐振、抑制噪声、改善系

统稳定性和暂态性能等问题，都可以从系统的频率特性上明确地

看出其物理实质和解决途径。

5.1频率特性函数)(ωj G

设线性系统传递函数为：

n

n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s G ++???++++???++=---1101110)( 则频率特性函数为：

n

n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b jw G ++???++++???++=---)()()()()()()(1101110ωωωωωω 由下面的MATLAB 语句可直接求出G(jw)。

i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根

GW=polyval(num ，i*w)./polyval(den ，i*w)

其中（num ，den ）为系统的传递函数模型。而w 为频率点构成的

向量，点右除（./）运算符表示操作元素点对点的运算。从数值

运算的角度来看，上述算法在系统的极点附近精度不会很理想，

甚至出现无穷大值，运算结果是一系列复数返回到变量GW 中。 5.2用MATLAB 作奈魁斯特图

控制系统工具箱中提供了一个MATLAB 函数nyquist( )，该函

数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。当命令中不

包含左端返回变量时，nyquist （）函数仅在屏幕上产生奈氏图，

命令调用格式为：

nyquist(num,den) nyquist(num,den,w)

或者 nyquist(G) nyquist(G,w) 该命令将画出下列开环系统传递函数的奈氏曲线：)

()()(s den s num s G =

如果用户给出频率向量w,则w包含了要分析的以弧度/秒表示的诸频率点。在这些频率点上，将对系统的频率响应进行计算，若没有指定的w向量，则该函数自动选择频率向量进行计算。

对于上式有的用户不必给定频率向量，系统会自动选择频率向量进行计算。有的需要用户给出率向量w。w包含了用户要分析的以弧度/秒表示的诸频率点,MATLAB会自动计算这些点的频率响应。当命令中包含了左端的返回变量时，即:

[re,im,w]=nyquist(G) 或 [re,im,w]=nyquist(G,w)；

函数运行后不在屏幕上产生图形，而是将计算结果返回到矩阵re、im和w中。矩阵re和im分别表示频率响应的实部和虚部，它们都是由向量w中指定的频率点计算得到的。

在运行结果中，w数列的每一个值分别对应re、im数列的每一个值。

6 时间延迟系统的频域响应

6.1时间延迟系统的传递函数模型

带有延迟环节e-Ts的系统不具有有理函数的标准形式，在MATLAB 中，建立这类系统的模型。要由一个属性设置函数set()来实现。该函数的调用格式为：

set(H, ′属性名′, ′属性值′)

其中H为图形元素的句柄（handle）。在MATLAB中，当对图形元素作进一步操作时，只需对该句柄进行操作即可。例如以下调用格式： h=plot(x,y)

G=tf(num,den)

Plot()函数将返回一个句柄h，tf()函数返回一个句柄G，要想改变句柄h所对应曲线的颜色，则可以调用下面命令：

Set(h,color,[1,0,0]);即对“color”参数进行赋值，将曲线变成红色（由[1,0,0]决定）同样，要想对G句柄所对应模型的延迟

时间’T d ’进行修改，则可调用下面命令：Set(G, ′T d ′,T)。其

中T 为延迟时间。由此修改后，模型G 就已具有时间延迟特性。

6.2 时间延迟系统的频域响应

含有一个延迟环节的系统，其开环频域响应为：

ωω?ωωωT j jT e j G e j G --=)()()(

可见，该系统的幅频特性不变，只加大了相位滞后。

7相关实验

7.1例题解析

例1 一个简单的传递函数模型:5

4325)(234+++++=

s s s s s s G ，可以由下面的命令输入到MATLAB 工作空间中去。 >> num=[1，5];

den=[1，2，3，4，5];

G=tf(num ，den)

运行结果：

Transfer function:

s + 5

-----------------------------

s^4 + 2s^3 + 3s^2 + 4s + 5 例2 给定零极点模型：)

5.1)(23())7)(2(8.6)(+±+++=s j s s s s s G ，可以用下面的MATLAB 命令立即得出其等效的传递函数模型。输入程序的过程中要注意大小写。

>> Z=[-2,-7];

P=[0,-3-2j,-3+2j,-1.5];

K=6.8;

G=zpk(Z,P,K);

G1=tf(G)

结果显示：

Transfer function:

6.8 s^2 + 61.2 s + 95.2

-------------------------------

s^4 + 7.5 s^3 + 22 s^2 + 19.5 s

例3 已知传递函数为：25

425)(2++=

s s s G ，利用以下MATLAB 命令可得阶跃响应曲线如图9所示。

>> num=[0,0,25];

den=[1,4,25];

step(num,den)

grid % 绘制网格线。

title(1Unit-Step Response of G(s)=25/(s^2+4s+25) 1) 我们还可以用下面的语句来得出阶跃响应曲线

图9 MATLAB 绘制的响应曲线

>> G=tf([0,0,25],[1,4,25]);

t=0:0.1:5; % 从0到5每隔0.1取一个值。

c=step(G,t); % 动态响应的幅值赋给变量c

plot(t,c) % 绘二维图形，横坐标取t,纵坐标取c 。 Css=dcgain(G) % 求取稳态值。

系统显示的图形类似于上一个例子，在命令窗口中显示了如下结果

Css=

1

例4 已知三阶系统开环传递函数为：)232(27)(23+++=s s s s G ，利用下面的MATLAB 程序，画出系统的奈氏图，求出相应的幅值裕量和相位裕量，并求出闭环单位阶跃响应曲线。

>> G=tf(3.5,[1,2,3,2]);

subplot(1,2,1);

% 第一个图为奈氏图

nyquist(G);

grid

xlabel('Real Axis')

ylabel('Imag Axis')

% 第二个图为时域响应图

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G)

G_c=feedback(G,1);

subplot(1,2,2);

step(G_c)

grid

xlabel(′Time(secs) ′)

ylabel(′Amplitude ′)

显示结果为：

ans=1.1429 1.1578

1.7321 1.6542

图10 三阶系统的奈氏图和阶跃响应图

例5 已知系统的开环传递函数模型为：

)()

2)(1()(0s KG s s s K s G k =++=，利用下面的MATLAB 命令可容易地验证出系统的根轨迹如图11所示。

>> G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);

rlocus(G);

grid

title(1Root_Locus Plot of G(s)=K/[s(s+1)(s+2)]1) xlabel(1Real Axis 1) % 给图形中的横坐标命名。 ylabel(1Imag Axis 1) % 给图形中的纵坐标命名。

[K,P]=rlocfind(G)

用鼠标点击根轨迹上与虚轴相交的点，在命令窗口中可发现如下结果

select_point=0.0000+1.3921i

K=

5.8142

p=

-2.29830

-0.0085+1.3961i

-0.0085-1.3961i

所以，要想使此闭环系统稳定，其增益范围应为0

图11系统的根轨迹

参数根轨迹反映了闭环根与开环增益K的关系。我们可以编写下面的程序，通过K的变化，观察对应根处阶跃响应的变化。考虑K=0.1,0.2,…,1,2,…,5,这些增益下闭环系统的阶跃响应曲线。可由以下MATLAB命令得到。

>> hold off; % 擦掉图形窗口中原有的曲线。

t=0:0.2:15;

Y=[ ];

for K=[0.1:0.1:1,2:5]

GK=feedback(K*G,1);

y=step(GK,t);

Y=[Y,y];

end

plot(t,Y)

对于for循环语句，循环次数由K给出。系统画出的图形如图12所示。可以看出，当K的值增加时，一对主导极点起作用，且响应速度变快。一旦K接近临界K值，振荡加剧，性能变坏。

图12不同K值下的阶跃响应曲线

7.2 实验设计

（1）求典型二阶环节的时域响应曲线

典型二阶系统用传递函数表示为：H(s)=ωn2/(s2＋2ξωns＋ωn2)，其中ωn为自然频率，ξ为相对阻尼系数（程序中分别用Wn和kx表示）。

在自动控制理论课中，都以较大的篇幅来讨论典型二阶环节的时域特性，这是因为它不仅简单，容易获得其时域特性，而且许多实际的工业对象都可以近似看作是二阶环节及其连接形式。因此二阶系统在控制中有着重要的地位。但利用通常的FORTRAN 语言和C语言，求得系统的时域特性曲线并非易事，需要花不少的时间来编写和调试程序。有了MATLAB这样的高级软件平台后，就可很方便地求出系统的单位阶跃响应、单位冲激响应、零输入响应和任意输入(方波输入)时的响应曲线。

程序：

Wn=6; kx=0.7; ％系统参数

num=Wn.^2; den=[1 2＊kx＊Wn Wn.^2]; ％系统表示

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den); ％模型转换

figure(1)

subplot(2,2,1),step(num,den) ％单位阶跃响应

title('Step response'),xlabel('');

subplot(2,2,2),impulse(num,den) ％单位冲激响应

title('Impulse response'),xlabel('');

subplot(2,2,3),initial(A,B,C,D,[ 1;0.2]) ％零输入响应

title('Zero－input response'),xlabel('');

subplot(2,2,4),T=[0:0.01:6－0.01]; L=length(T);

U=[ones(1,L/3),－ones(1,L/3),ones(1,L/3)];

lsim(num,den,U,T), grid on ％方波输入响应

title('Input response'),xlabel('');

（2）求开环系统的频域响应曲线

开环系统的传递函数为：H(s)=50/(s＋5)(s－2)。要求：绘制出系统的波德图、尼奎斯特曲线，判别闭环系统的稳定性，并求出闭环系统的单位冲激响应。

频域特性曲线是控制系统的经典分析方法，通过它可深入了解系统的频率特性。对控制系统而言，系统的稳定性是最重要的特性之一，因此,经常需要分析闭环系统的稳定性。但实际上往往只能得到或测量到开环系统的传递函数或频域特性，由此可根据尼奎斯特判据判定系统的稳定性[1]。然而绘制系统的频域特性是一个复杂的任务，幸好MATLAB提供了直接绘制系统频域特性的函数，从而使之变得轻而易举。

程序：

k=50; z=[]; p=[－5 2]; ％系统的零极点增益表示

[num,den]=zp2tf(z,p,k); ％系统的传递函数表示

figure(2)

subplot(2,2,1)

w=logspace(－1,2,500);[m,p]=bode(num,den,w); ％求Bode图

plot(w,20＊log10(m)),grid on

title('Bode Plot －－Magnitude response')

subplot(2,2,3),plot(w,p),grid on

title('Bode Plot －－Phase response')

subplot(2,2,2),nyquist(num,den)％求Nyquist曲线

title('Nyquist Plot'),xlabel('')

subplot(2,2,4),[num1,den1]=cloop(num,den); ％求闭环系统传递函数

impulse(num1,den1),grid on ％闭环系统单位冲激响应

title('Impulse response'),xlabel('');

8 结论

MATLAB是国际控制界目前使用最广的工具软件，几乎所有的控制理论与应用分支中都有MATLAB工具箱。本节结合前面所学自控理论的基本内容，采用控制系统工具箱（Control Systems Toolbox）和仿真环境（Simulink），学习MATLAB的应用。

在对控制系统进行分析时，人们经常需要求出控制系统的时域响应、频域响应和根轨迹等。MATLAB提供了直接求取单位阶跃响应、单位冲激响应、零输入响应和任意输入响应等时域响应曲线函数；提供了直接求取波德(Bode)图、尼奎斯特（Nyquist）图和尼柯尔斯（Nichols）图等频域响应曲线函数；同时还提供了直接绘制系统根轨迹的“rlocus”、零极点图的“pzmap”等函数，这对控制系统的分析是很有帮助的。所有这些分析的结果都以曲线图形式给出，因此具有分析结果的直观性。

参考文献

[2] 飞思科技产品开发中心，MATLAB,应用接口编程[M]，电子工业出版社，20031

[3] 王永骥，基于Matlab 环境的两级计算机实时控制系统测控技术[M]，清华大学出版社，200221(7)

[4] 苏金明,阮沈勇，MATLAB实用指南(上册)[M]，电子工业出版社，20021

[5] 薛定宇，基于MATLAB/ Simulink 的系统仿真技术与应用[M]，清华大学出版社，20021

[7] 赵明，直流调速系统[M]，机械工业出版社，2OO2

[8] 孙扬声，自动控制理论[M]，水利电力出版社，2004

[9] 陆道政，自动控制原理及设计[M]，上海科学技术出版社,1978