探索全等三角形全等的条件(sss)
探索三角形全等的条件边角边
到目前为止，你知道哪些判定三角形全 等的方法？
边边边（SSS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）
根据探索三角形全等的条件，至少需要三个条件， 除了上述三种情况外，还有哪种情况？
两边一角相等
那么有几种可能的情况呢？
两边及夹角或两边及其一边的对角
（1）两边及夹角
三角形两边分别为3cm，4cm，它们所夹的角为30°，
AA
解：相等
理由：在△ABD和△ACE中 AB＝AC（已知） ∠A＝∠A（公共角） AD＝AE（已知）
△ABD≌△ACE（SAS） ∠B＝∠C(全等三角形的对应 角相等)
EE BB
DD CC
如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么
△ABC与△FED全等吗？为什么？
F
AC∥FD吗？为什么？
B
C 42 13 D
ED=FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知 道EH=FH吗？与同桌进行交流。
D
解：在△DEH和△DFH中
ED＝FD（已知）
E
F
∠EDH＝∠FDH（已知） DH＝DH（公共边）
△DEH≌△DFH（SAS）
EH＝FH(全等三角形的对应边
H
相等)
如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
那么∠B与∠C相等吗？为什么？
你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定 全等吗？
C
F
3cm
3cm
A 30°
4cm
30°
BD
4cm
E
结论：两边和它们的夹角对 应相等的两个三角形全等， 简写为“边角边”或“SAS”.
几何语言：在△ABC与△DEF中 AB=DE（已知） ∠A＝∠D（已知） AC=DF（已知）
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
三角形全等的条件SSS
练习2。
（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？
试说明理由。
A
D
解： △ABC≌△DCB 理由如下：
AB = CD
AC = BD
B
C
△ABD ≌ △DCB （S S S）
BC = BC
（2）如图，D、F是线段BC上的两点， A
E
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
• 证明：在△已知）
AD=CB（已知） A
B
BD=DB （公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴ ∠ A= ∠ C （全等三角形的对应角相等）
练习：1、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH
＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等
§12.2.1 三角形全等的条件(SSS)
• 学校有两块三角形装饰板如下图，小明想知道这
两块板是否全等，这两块板很重又固定在墙上，
小明只有刻度尺，你能帮小明想个办法吗？
A
D
B
E
C
F
• 两块完全一样的三角形,就是两个三角形全等.
• 什么样的两个三角形才能保证全等呢?
• 三条边对应相等,三个角对应相等.
①如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
30◦ 45◦
30◦
45◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
②如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
③三角形的一个内角为30°,一条边为4cm时
30◦ 4cm
30◦ 4cm
探索三角形全等的条件(SSS)
探索三角形全等的条件
一个条件 一组边相等
一对角相等
两个条件
一边一角相等 两对角相等
两组边相等
不能判定三角形全等 不能判定三角形全等
三个条件
三角 三边 两边一角 两角一边
给出三个条件时(已知三角)
如果三角角形三形个不两内一个角定分全内别等角相。等分的别两个为三30°,45°时， 第三角是多少度？
105
xx三边三角两角一边两边一角一组边相等一对角相等一边一角相等两对角相等两组边相等探索三角形全等的条件2021310讲解
A
D
B
C
E
F
已知： △ABC≌ △DEF 找出其中相等的边和角
△ABC≌ △DEF
AB=DE,BC=EF,CA=FD ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ E, ∠ C= ∠ F
反之，判别两个三角形全等需要哪些条件？
30°° 45°
30°
105 °
45°
给出三个条件时(已知三边)
（2）用三根长度分别为4cm， 5cm,7cm的木棒摆一个三角形，把你 摆出的三角形与同伴摆出的进行比较， 它们一定全等吗?
知识点一：
三边分别相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS”
由上面的结论可知：只要三角形的长度 确定了，这个三角形的形状和大小就完 全确定了，三角形的这个性质叫做三角 形的稳定性.这种性质表现为判定三角形 全等的条件SSS,与角 无关
谢 谢！
让我们共同进步
三角形具有稳定性 四边形不具有
生活中有许多利用用三角形的稳定性制成的东西
请看下面几组图片
学以致用
-
工人师傅造门时，常用木条EF-固定矩形门框
ABCD如图，使其不变形，这种做法的根据是
探索三角形全等的条件ppt课件
三角形全等条件的综合应用
[例2] 如图所示,已知点D在射线AE上,BD=CD,AE平分∠BAC与∠BDC,说
明:AB=AC.
解:因为AE平分∠BDC, 所以∠BDE=∠CDE. 因为∠BDA=180°-∠BDE, ∠CDA=180°-∠CDE, 所以∠BDA=∠CDA. 在△BDA和△CDA中, 因为AD=AD,∠BDA=∠CDA,BD=CD, 所以△BDA≌△CDA(SAS). 所以AB=AC.
解:∠A=∠C.理由如下: 如图所示,连接BD. 在△BAD和△DCB中, 因为AB=CD,AD=CB,BD=DB, 所以△BAD≌△DCB. 所以∠A=∠C.
第2课时 “ASA”“AAS”
根据“ASA”说明三角形全等
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写为“ “ ASA ”.
角边角
”或
[例1-1] 如图所示,已知点B,F,C,E在一条直线上,AB=DE,AB∥DE, ∠A=∠D,试说明△ACB≌△DFE.
3.如图所示,已知AD=CE,BD=BE,点B是AC的中点,∠ABD=6B. 在△ABD和△CBE中, 因为AD=CE,BD=BE,AB=CB, 所以△ABD≌△CBE(SSS). 所以∠ABD=∠CBE=60°. 所以∠DBE=180°-∠ABD-∠CBE=180°-60°-60°=60°.
[例1-1] (2023泸州)如图所示,点B在线段AC上,BD∥CE,AB=EC,DB=BC. 说明:AD=EB.
解:因为BD∥CE, 所以∠ABD=∠C. 在△ABD和△ECB中, 因为AB=EC,∠ABD=∠C,DB=BC, 所以△ABD≌△ECB(SAS), 所以AD=EB.
[例1-2] 如图所示,点C,F,E,B在一条直线上,∠CFD=∠BEA,CE=BF, DF=AE,试说明CD∥AB.
数学七年级北师大版4.3《探索三角形全等的条件-SSS》教案
一、教学内容
本节教学内容选自数学七年级北师大版第四章第三节《探索三角形全等的条件-SSS》。主要内容包括：理解三角形全等的定义，掌握全等三角形的判定方法SSS（Side-Side-Side，即三边相等），能够运用SSS判定两个三角形是否全等，并能解决实际问题。具体教学内容如下：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调SSS判定全等三角形的条件和全等三角形性质这两个重点。对于难点部分，我会通过对比不同判定方法（如SAS、ASA）和实际例题来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形全等相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠和拼接三角形纸片，观察和验证SSS判定全等三角形的原理。
在课程总结环节，我对学生提出了掌握全等三角形知识点并在日常生活中运用这一要求。然而，我也意识到，要让学生真正将所学知识运用到实际中，还需在课堂上创设更多贴近生活的情境，让学生感受数学的实用性。
最后，我深感教学过程中，激发学生的学习兴趣和好奇心至关重要。在本节课中，我尝试通过提问和生活实例导入新课，取得了一定的效果。但在后续教学中，我还需要不断探索更多有趣、富有挑战性的教学方法，激发学生的学习热情。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三角形全等的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对SSS判定全等三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
苏科版初中八年级数学上册1-3探索三角形全等的条件第四课时三边证全等(SSS)课件
10.(手拉手模型)(2024江苏扬州宝应月考,7,★☆☆)如图,B、 C、E三点在同一直线上,且AB=AD,AC=AE,BC=DE,若∠1+ ∠2+∠3=94°,则∠3的度数为 (B )
A.49° B.47° C.45° D.43°
AB AD,
解析
在△ABC和△ADE中,
AC
AE,
BC DE,
解析 (1)证明:∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF.在△
AD CB,
ADE和△CBF中, DE ∴ B△F,ADE≌△CBF(SSS).
AE CF,
(2)△ADE≌△CBF成立.理由:∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即
AE=CF.
AD CB,
在△ADE和△CBF中, DE BF,
AE CF,
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(3)AD与CB不一定平行.理由: 在△ADE和△CBF中,仅有AD=CB,DE=BF,不能判定它们全 等,即不能得出∠A=∠C,故AD与CB不一定平行.
∴△ABO≌△ACO(SSS).综上所述,题图中共有4对全等三角 形.故答案为4.
12.(2024江苏淮安洪泽期中,23,★★☆)如图,AD=CB,E、F是 AC上两动点,且有DE=BF. (1)若点E、F运动至图①所示的位置,且有AF=CE,求证:△ ADE≌△CBF. (2)若点E、F运动至图②所示的位置,仍有AF=CE,则△ADE ≌△CBF还成立吗?为什么? (3)若点E、F不重合,则AD和CB平行吗?请说明理由.
解析 ∵AB⊥CD,AC⊥BE,∴∠ADC=∠AEB=90°.
ADC AEB,
在△ADC与△AEB中, DAC EAB,
专题探索三角形全等的条件(SSS和SAS)(知识讲解)数学七年级下册(北师大版)
专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS 和SAS ）（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.特别说明：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.特别说明：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、用“SSS”和“SAS”直接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值1．如图，已知：AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为AD 上一点．(1) 求证：△ABD △△ACD ；(2) 若△BED ＝50°，求△CED 的度数．【答案】(1) 证明见分析 (2) 50CED ∠=︒【分析】（1）根据SSS 即可证明△ABD △△ACD ；（2）只要证明△EDB △△EDC （SAS ），即可推出△BED ＝△CED ，进而得到答案． （1）证明：在△ABD 和△ACD 中， AB ACBDCD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD △△ACD （SSS ）；（2）解：△△ABD △△ACD ，△△ADB ＝△ADC ，在△EDB 和△EDC 中，DB DC BDE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△EDB △△EDC （SAS ），△△BED ＝△CED ，△△BED ＝50°，△△CED ＝△BED ＝50°．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．举一反三：【变式1】如图，点A 、M 、N 、C 在同一条直线上，AB CD =，BN DM =，AM CN =，求证：AB CD ∥．【分析】根据AB CD =，BN DM =，AM CN =，利用SSS 定理证明ABN CDM ≌，从而得到A C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，AB CD ∥得证．解：证明：∵AM CN =∴AM MN CN MN∴AN CM =在ABN 和CDM 中AB CD BN DM AN CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ABN CDM SSS △≌△∴A C ∠=∠∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．【变式2】如图，已知AB AC =，AD AE =，BD CE =，求证：312.【分析】利用SSS 可证明△ABD△△ACE ，可得△BAD=△1，△ABD=△2，根据三角形外角的性质即可得△3=△BAD+△ABD ，即可得结论.解：在△ABD 和△ACE 中，AB=AC AD=AE BD=CE ⎧⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△ACE ，△△BAD=△1，△ABD=△2，△△3=△BAD+△ABD ，△△3=△1+△2.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.2．已知：如图，AB AC =，F ，E 分别是AB AC ，的中点，求证：ABE ACF ≌．在ABE 与△AB AC A A AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE △≌△【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASAAAS 、、【变式1】如图，点D 在BC 上，,ADB B BAD CAE ∠=∠∠=∠．(1) 添加条件：____________（只需写出一个），使ABC ADE ≅；(2) 根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1) AC AE = (2) 见分析【分析】（1）根据已知条件可得AB AD =，BAC DAE ∠=∠，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．解：（1）添加的条件是：AC AE =,故答案为AC AE =；（2）△,ADB B ∠=∠△AB AD =，△BAD CAE ∠=∠△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，又AC AE =△ABC ADE ≅【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【变式2】如图所示，DC CA ⊥，EA CA ⊥，CD AB =，CB AE =，求证：(1) BCD EAB ≌△△；(2) DB BE ⊥．【分析】（1）利用SAS 判定定理证明三角形全等即可；（2）由()≌DCB BAE SAS △△，可得∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，再利用90DBC BDC ∠+∠=︒，可得90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，所以DB BE ⊥．解：（1）证明：△DC CA ⊥，EA CA ⊥，△90∠=∠=︒DCB BAE ，在DCB △和BAE 中，CD AB DCB BAE CB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()≌DCB BAE SAS △△． （2）证明：由（1）可知()≌DCB BAE SAS △△， △∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，△90DBC BDC ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，△DB BE ⊥．【点拨】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质．类型二、用“SSS”和“SAS”间接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC≌≌DEF ．【分析】首先根据AF=DC ，可推得AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；再根据已知AB=DE ，BC=EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS 即可证明△ABC△△DEF ．解：△AF=DC ，△AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；在△ABC 和△DEF 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△DEF （SSS ）举一反三： 【变式1】如图，已知：PA＝PB，AC ＝BD ，PC ＝PD ，△PAD 和△PBC 全等吗？请说明理由．【分析】由AC=BD ，利用线段的和差关系可得AD=BC ，利用SSS 即可证明△PAD△△PBC.解：△AC ＝BD ，△AC+CD=BD+CD ，即AD ＝BC ，又△PA ＝PB ，PC ＝PD ，△△PAD△△PBC(SSS)【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.【变式2】如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB .试说明：△F ＝△C .【分析】根据SSS 的方法证明△DEF△△ABC,即可得到结论.解：因为DA ＝EB ， 所以DE ＝AB.在△DEF 和△ABC 中， 因为DE ＝AB ，DF ＝AC ，EF ＝BC ，所以△DEF△△ABC(SSS)，所以△F ＝△C.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.4．如图，在ABCD 中，点E 、F 在BD 上，ABE 与CDF 全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．(1) 你添加的条件是__________．(2) 证明过程： 【答案】(1) BE DF =，答案不唯一； (2) 证明见分析； 【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；（2）由四边形ABCD 是平行四边形得到AB CD ∥，AB CD =，得ABE CDF ∠=∠，再用上添加的条件，即可证明结论．(1)解：BE DF =（答案不唯一）故答案为：BE DF =（答案不唯一）(2)证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AB CD ∥，AB CD =，△ABE CDF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABE CDF △≌△（SAS ）．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在ABC 和ADE 中，AB AD =，AC AE =，且BAD CAE ∠=∠，求证：ABC ADE △≌△．【分析】根据BADCAE ∠=∠可得BAC DAE ∠=∠，再根据SAS 即可证明．证明：△BAD CAE ∠=∠，△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC ADE △≌△．【点拨】本题主要考查了用SAS 证明三角形全等，解题的关键是通过BAD CAE ∠=∠得出BAC DAE ∠=∠．【变式2】图，BE CF =，AC DF =，AC DF ∥．求证：ABC DEF ≌△△．【分析】首先根据BE CF =可得BC EF =，再由AC DF ∥可得ACB F ∠=∠，然后利用定理证明ABC DEF ≌即可．证明：△BE CF =，△BE EC CF EC ++＝，即BC EF =，△AC DF ∥，△ACB F ∠=∠， 在ACB △和DFE △中，BC EF ACB F AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC DEF ≌．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、全等的性质与“SSS”和“SAS”综合➽➼证明✮✮求值 5．已知：如图，在ABC 中，AB AC AD =，是BC 边上的中线．求证：AD BC ⊥（填空）．证明：在三角形ABD ACD 和中，△()()()______________BD AB ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩已知已知公共边，△ ≌ （ ）．△ADB ∠＝ （全等三角形的对应角相等）．△1902ADB BDC ∠∠︒＝＝（平角的意义）． △（垂直的意义）．【答案】,,,,SSS DC AC AD AD ABD ACD ADC AD BC =∠⊥，△△，，【分析】证明()SSS ADB ADC ≌△△．推出ADB ADC ∠∠＝，可得结论． 证明：△AD 是BC 边上的中线，△BD CD =，在三角形ABD △和ACD 中，【变式1】如图：AB AC =，BD CD =，若28B ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】28︒ 【分析】连接AD ，利用“SSS ”证明ABD ACD △≌△，即可得到答案．解：连接AD ，在ABD △和ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABD ACD ∴≌C B ∴∠=∠，28B ∠=︒，28C ∴∠=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式2】已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1) ABC BAD ≌．(2) AE BE =．【分析】（1）利用SSS 证明ABC BAD ≌；（2）根据全等三角形的性质得出DAB CBA ∠=∠，则OA OB =，根据等腰三角形的性质可得出结论．（1）证明：在ABC 和BAD 中，AC BD BC AD AB BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△ABC BAD ≌（2）证明：△ABC BAD ≌△CBA DAB ∠=∠，△OA OB =，△OE AB ⊥，△AE BE =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS 证明ABC BAD ≌是解题的关键．6．如图，在ABC 中，CM 是AB 边上的中线，8AC =，12BC =，求CM 的取值范围．【答案】210CM <<【分析】倍长中线CM 至点N ，构造BNM ，易得ACM BNM ≅△△，再利用三角形的三边关系找到CN 的取值范围，进而得到CM 的取值范围．解：如图，延长CM 到点N ，使CM MN =，连接BN ，在ACM △和BNM 中，CM NM AMC BMN AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACM BNM ≅△△（SAS ），∴8AC BN ==， 在BCN △中，BC BN CN BC BN -<<+，∴128128CN -<<+，即420CN <<，∴4220CM <<，即210CM <<．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．举一反三：【变式1】如图，已知在ABC 与ADE 中，90BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒==，，，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ．图中的CE BD 、有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．【答案】CE BD =，证明见分析【分析】根据SAS 证明ACE ABD ≌△△，即可得到CE BD =．解：CE BD =，证明：△90BAC DAE ∠=∠=︒，△BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ACE △和ABD △中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE ABD ≌△CE BD =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2】如图已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形．(1) 如图1，连接AM ，BM ，此时AM ，BN 的数量关系为___________请说明理由．(2) 若将MON △绕点O 顺时针旋转，如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：222BN AN MN +=．【答案】(1) AM BN =，理由见分析(2) 见分析 【分析】（1）由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =（2）连接AM ，由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =，再求得90MAN ∠=︒，利用勾股定理即可得到222BN AN MN +=解：（1）AM BN =，理由如下：△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠,在AOM 和BON △中：OA OB OM ON AOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =（2）如下图，连接AM ，△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，45B BAO ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中：OA OB OM ONAOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =，45B MAO ∠=∠=︒，△90MAN MAO BAO ∠=∠+∠=︒，△222AM AN MN +=，△222BN AN MN +=【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键。
4.3 探索三角形全等的条件 第1课时 边边边(SSS)
4.3探索三角形全等的条件第1课时边边边(SSS)1.掌握“边边边”证明方法的内容，会运用“边边边”证明方法说明两个三角形全等.2.能用“边边边”定理判定两个三角形全等和解决相关实际问题，体会三角形的稳定性.自学指导阅读教材P97～98，完成下列问题.(一)知识探究三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.(二)自学反馈1.如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以直接判定( B )A.△ABD≌△ACDB.△ABE≌△ACEC.△BDE≌△CDED.以上答案都不对2.如图，通常凳子腿活动后，木工师傅会在凳腿上斜钉一根木条，这是利用了三角形的稳定性.活动1小组讨论例如图，已知AB＝AC，BE＝CE，BD＝CD.(1)图中有几对全等三角形？请分别写出来；(2)请选择一对全等三角形说明其相等的理由.解：(1)一共有3对全等三角形，△ABE≌△ACE，△ABD≌△ACD，△BED≌△CED.(2)因为AB＝AC，BE＝CE，AE＝AE，所以△ABE≌△ACE(SSS).注意运用“SSS”说明三角形全等的书写格式，在解答过程中善于挖掘“公共边”这个隐含的条件.活动2跟踪训练1.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的根数为( B )A .0B .1C .2D .32.如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠B 与∠D 相等吗？为什么？解：∠B＝∠D.理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，BC ＝DC ，所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠B＝∠D.三角形全等的判定与性质的应用经常交叉使用.活动3 课堂小结1.本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的方法“SSS ”.并利用它证明简单的三角形全等问题.2.添加辅助线构造公共边，可以为证明两个三角形全等提供条件，证明两个三角形全等是证明线段相等或角相等的重要方法.。
11.2 三角形全等的条件(sss)1
D
C
这就是 A B 转化思 分析：要证两个角等或两条线段等，常需要先证这两角或 想 两线段
所在的两个三角形全等。而构造两个全等三角形，连接公
共边
是最常见的辅助线。
• 练一练： • 已知如图，AB=AC,DB=DC,说明∠B =∠C成 立的理由
解：连接AD 在△ABD和△ACD中， AB=AC (已知） 你会用转
C A D
B
图2
F
应 用 拓 展
2．如图，AB=AC，BD=CD，H是BC的中点， 指出图中全等三角形，它们全等的条件 什么？
A
D
B C 3．四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC。△ABC和△CDA 是否全等？∠BAD=∠DCB吗？说明理由。
A
H
D
B
C
聪明题
你会吗
• 已知如图四边形ABCD是平行四边形， • 求证： ∠A＝ ∠C。
3.边边边公理的应用中所用到的数学方法:
证明线段（或角相等）转 化 证明线段（或角） 所在的两个三角形全等.
用结论说明两个三角形全等需注意
1. 说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书 写. 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
化思想吗？ DB=DC （已 知） AD=AD （公共 边） ∴△ABD≌△ACD
A
D B C
(SSS) ∴ ∠B =∠C(全等三角形的对应角相 等）
归纳：
1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等 简写成“边边边”（SSS）
2.边边边公理的发现过程所用到的数学方法 （包括画 图、猜想、分析、归纳等.)
初中数学八年级下册 （苏科版）
11.2 三角形全等的条件 (1)
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《全等三角形的判定（SSS）》教学设计
一、教学目标：
【知识与技能】
掌握“边边边”条件的内容，并能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等，会作一个角等于已知角。
【过程与方法】使学生经历探索三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程。
【情感、态度与价值观】
通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力。
三、教学重难点：
教学重点：用“边边边”条件证明两个三角形全等。
教学难点：探索三角形全等的条件。
四、教法、学法分析：
（1）教法分析：“边边边”是一个基本事实，因此在探究三角形全等条件的新课阶段以启发谈话法为主，通过提出问题，引导学生探讨问题和解决问题，始终让学生参与整个问题的“发生”和“解决”过程，让学生真正的去实践探索，从而掌握知识培养学生探索问题的能力，激发学生的求知欲。
(2)教学多媒体设计：本节教学中为了处理好图形的、对应的识别等问题，加之学生对图形接受水平较低，我借助了多媒体演示。
这样做不仅在表现力上更直观形象，而且唤起了学生注意，提高了学生参与活动的机会。
（3）学法分析
在整个的教学过程中注重学生自主活动，合作交流，让学生的学习在探究的过程中进行使他们在自主探究的过程中理解和掌握三角形全等的条件，同时注意精选习题，做多种形式的练习，在教学中力争把学生思维展开，注重培养学生的思维能力。
五、教学过程
(一)复习引入
让学生回忆上一节所讲的全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等。
【回忆旧知识，为探索三角形的全等条件做准备】
(二).新知探究
（首先提出问题）
1、两个三角形全等是不是一定要六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件它们是否全等呢？
组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，汇总归纳，对学生的良好表现进行鼓励。
【使学生产生浓厚的兴趣，激发他们的探究欲望】
然后引导学生按条件画三角形（只满足六个条件中的一个或两个），通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：两个三角形若满足六个条件中的一个或两个条件是不能保证两个三角形一定全等的。
（接着提出问题）
2、两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？满足三个条件有几种情形呢？
由学生分组讨论、交流，最后教师总结，得出可分为四种情况，即三边对应相等、三角对应相等、两边一角对应相等、两角一边对应相等。
告诉学生这一节先探究两个三角形满足三角相等和三条边相等时，两个三角形是否全等？当三组角对应相等时两个三角形全等么?
学生会很容易举出例子说明两个三角形不一定全等。
（插视频）
3、那么，当三边对应相等时两个三角形全等么？
对于此问题我是这样引导学生探究的，先任意画一个△ABC，再画
△A’B’C’，使A’B’=AB B’C’=BC C’A’=CA（在画图中，教师可以先让学生试着画图，再让学生发现存在的问题，最后给出正确的画法）把画好的三角形剪下，进行对比，比较它们全等吗？（幻灯片）
通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等。
强调简写方法：“边边边”或“SSS”
（学生通过动手操作，自主探索、交流，获得新知，增强了动手能力，同时也渗
透了分类的思想）
(三)例题讲解：
1、 讲解例1时首先要给学生指出证题的思路“要证明△ABD ≌△ACD 可以看这两个三角形的三条边是否对应相等，而由已知条件可知AB=AC ，图中又有公共边AD=AD ，关键是第三对边BD 、CD 是否相等，由D 是BC 中点可知BD=CD ，从而找全三个条件。
然后教师给出规范的证明格式。
并且通过此题给学生总结证明三角形全等的书写步骤。
2、例2是做一个角等于已知角，先引导学生交流画法，教师参与学生的活动， 并适时给与指导，不断地调动学生的学习积极性。
鼓励学生交流解决问题的方法。
明确做一个角等于已知角的依据是利用SSS 构造全等三角形。
3、知识运用2：三角形具有稳定性。
(1)拿出准备的硬直条，三根首尾顺次相接，拉动两边会变形吗？四根、五根呢？
(2)出示生活中的三角形图片，学生观察。
(四)反馈练习：
1、如图，D 、F 是线段BC 上的两点，
AB=EC,AF=ED ， BD=CF ，能说明△ABF ≌△ECD 吗？
2、 小明有一块“飞镖”，想知道∠B 和∠C 是否相等，他没有量角器，只有刻度尺，你能帮小明想一个办法吗？
说明你的做法的理由。
A
B D F C
E
(五)课堂小结：
回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律。
进一步明确：1、三边分别相等的两个三角形全等。
2：三角形具有稳定性。
(六)布置作业
作业分为必做题和选做题，必做题属于知识性的，可以巩固练习本节课的教学内容及相关方法；选作题有一定难度，可让基础好的学生做.( 分层次布置作业,可达到因材施教，各有所获，同时可以夯实基础.)
1. 必做题
教科书习题4.6: 1—3题.
2.选做题
(1)从生活中找一些有关三角形稳定性的例子；
(2)利用本节课的探索方法，找出其它可以使三角形全等的条件。
（七）板书设计：
全等三角形的判定（—）
1、全等三角形定义
2、全等三角形的判定sss
3、sss 的证明
4、例题讲解
（原板书是打在幻灯片上的，板书打在幻灯片上，学生只能机械的记忆，并不理解，一些解题过程就需要通过板书示范。
重点突出、层次分明的板书,有利于学生作笔记,以便学生复习和记忆。
）
（八）教学设计反思 C A
B
学生经历观察、猜想、操作、推理、验证等活动，培养学生有条理的思考、表达和交流的能力，尽量让学生多动手操作，在操作的过程中，让学生进行小组合作学习，在合作操作的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理。
同时，通过范例和练习培养提高学生解答几何问题的书写格式和应用能力。
本节课的另一特色是充分发挥媒体的作用，利用课件设计，调动学生的学习积极性，再一次使课堂气氛推向高潮。
还可以让学生大胆想象、探索，使更多的同学有更多的锻炼机会。