人教版高中数学必修一表格式学案：《对数与对数运算》
人教版高中数学必修一《对数与对数运算》教案设计
2.2.1 对数与对数运算一、教材分析本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2对数函数的内容二、三维目标1．知识与技能（1）．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；（2）．理解和掌握对数的性质；（3）．掌握对数式与指数式的关系。
2．过程与方法（1）通过实例认识对数模型，体会引入对数的必要性；（2）通过观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化；（3）通过分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。
3．情感、态度与价值观（1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；（2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程；（3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．三、教学重点教学重点：（1）对数的定义；（2）指数式与对数式的互化四、教学难点教学难点：推导对数性质五、教学策略讲练结合掌握对数的双基，即对数产生的意义、概念等基础知识，求对数及对数式与指数式间转化等基本技能的掌握六、教学准备（对数教学目标）—对数的文化意义、对数概念（讲一讲）—对数式与指数式转化（做一做）—例题（讲一讲）、习题（做一做）—两种特殊的对数（讲一讲）—求值（做一做）—评价、小结—作业。
八、板书设计第二章基本初等函数（I）2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算九、教学反思对数的教学采用讲练结合的教学模式。
教学中，以双基为教学主题，采用讲讲练练的教学程序，运用指数式与对数式的转化策略，通过教师的讲，数学家对对数的痴迷激发学生好奇，从实际问题导入对数概念、对数符号，理解对数的意义，通过典型例题的讲授，充分揭示对数式与指数式间的关系，掌握求对数值的方法，通过学生典型习题的练，使学生进一步理解对数式与指数式间的关系，掌握求对数的一些方法，在讲练结合中实现教学目标。
高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 对数的运算
4.3.2 对数的运算1.对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)=log a M+log a N.即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和. 这个性质可推广到若干个正因数的积:log a(N1N2…N k)=log a N1+log a N2+…+log a N k(N i>0，i=1，2，3，…，k). 即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.=log a M-log a N.(2)log a MN即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.(3)log a M n=nlog a M(n∈R).即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.特别地，log a a N=N.2.换底公式及导出公式(a>0，且a≠1;b>0;c>0，且c≠1).(1)换底公式:log a b=log c blog c a.(2)log a b=1log b a(3)log a N=lo g a n N n.(4)nlog a N=lo g a m N n.m对数的运算性质[例1] 计算:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2; (2)lg3+25lg9+35lg √27-lg √3lg81-lg27;(3)log 535-2log 573+log 57-log 51.8. 解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2 =(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2 =(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2 =(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (2)原式=lg3+45lg3+910lg3-12lg34lg3-3lg3=(1+45+910-12)lg3(4-3)lg3=115.(3)原式=log 5(5×7)-2(log 57-log 53)+log 57-log 595=log 55+log 57-2log 57+2log 53+log 57-2log 53+ log 55 =2log 55=2.(1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值.(2)对数计算问题中，涉及lg 2，lg 5时，常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5，lg 5=1-lg 2等解题.针对训练1:计算:(1)lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18;(2)lg 2×lg 50+lg 5×lg 20-lg 100×lg 5×lg 2; (3)2lg2+lg31+lg0.6+lg2.解:(1)法一 原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. 法二 原式=lg 14-lg(73) 2+lg 7-lg 18=lg 14×7(73) 2×18=lg 1=0.(2)原式=lg 2×(lg 5+1)+lg 5×(2lg 2+lg 5)-2lg 5×lg 2 =lg 2lg 5+lg 2+lg 5lg 5 =lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2 =lg 5+lg 2=1. (3)原式=lg4+lg3lg10+lg0.6+lg2=lg12lg12=1.换底公式及其推论的应用类型一 用已知对数式表示对数值[例2] 已知log 37=a ，2b =3，试用a ，b 表示log 1456. 解:因为2b =3，所以b=log 23，即log 32=1b ，log 1456=log 356log 314=log 3(23×7)log 3(2×7)=3log 32+log 37log 32+log 37=3b +a 1b+a =3+ab 1+ab.用已知对数式的值表示不同底数的对数值，首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数，然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.针对训练2:(1)已知log 147=a ，log 145=b ，用a ，b 表示log 3528; (2)已知log 189=a ，18b =5，用a ，b 表示log 3645. 解:(1)log 147=a ，log 145=b ， 所以log 3528=log 1428log 1435=log 14(14×2)log 14(5×7)=1+log 14147a+b=2-aa+b.(2)因为log 189=a ，18b =5，所以log 185=b ， 所以log 3645=log 1845log 1836=log 189+log 185log 1818+log 182=a+b1+log 18189=a+b 2-a.类型二 应用换底公式及其推论求值 [例3] 计算:(1)log 1627×log 8132; (2)(log 32+log 92)(log 43+log 83). 解:(1)log 1627×log 8132=lg27lg16×lg32lg81=lg 33lg 24×lg 25lg 34=3lg34lg2×5lg24lg3=1516.(2)(log 32+log 92)(log 43+log 83) =(log 32+log 32log 39)(log 23log 24+log 23log 28)=(log 32+12log 32)(12log 23+13log 23)=32log 32×56log 23=54×lg2lg3×lg3lg2=54.(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般需要统一成一种表达形式.针对训练3:计算:(1)log 23×log 34×log 45×log 52; (2)log 89×log 2732;(3)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258). 解:(1)原式=lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg2lg5=1.(2)原式=lo g 2332×lo g 3325=23log 23×53log 32=23×53log 23×log 32=109. (3)原式=(log 253+log 2252+log 235)(log 52+log 5222+log 5323) =(3log 25+log 25+13log 25)(log 52+log 52+log 52)=133×3×(log 25×log 52)=13.指数与对数的综合应用[例4] (1)设3a =4b =36，求2a +1b 的值;(2)已知2x =3y =5z ，且1x +1y +1z=1，求x ，y ，z.解:(1)法一 由3a =4b =36， 得a=log 336，b=log 436，由换底公式得1a =log363，1b=log364，所以2a +1b=2log363+log364=log3636=1.法二由3a=4b=36，两边取以6为底数的对数，得alog63=blog64=log636=2，所以2a =log63，1b=12log64=log62，所以2a +1b=log63+log62=log66=1.(2)令2x=3y=5z=k(k>0)，所以x=log2k，y=log3k，z=log5k，所以1x =log k2，1y=log k3，1z=log k5，由1x +1y+1z=1，得log k2+log k3+log k5=log k30=1，所以k=30，所以x=log230=1+log215，y=log330=1+log310，z=log530=1+log56.利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的转化.(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.针对训练4:(1)已知log a x=2，log b x=3，log c x=6，求log abc x的值;(2)已知2x=50y=100，求x-1+y-1的值. 解:(1)因为log a x=2，log b x=3，log c x=6，所以lgxlga =2，lgxlgb=3，lgxlgc=6，lg x≠0.则log abc x=lgxlga+lgb+lgc =lgxlgx2+lgx3+lgx6=1.(2)因为2x=50y=100，所以x=log2100，y=log50100，所以x-1+y-1=log1002+log10050=1.典例探究:素数也叫质数，部分素数可写成“2n-1”的形式(n是素数)，法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n-1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P=24 423-1，第19个梅森素数为Q=24 253-1，则下列各数中与PQ最接近的数为(参考数据:lg 2≈0.3)( )A.1045B.1051C.1056D.1059解析:PQ =24423-124253-1≈2170.令2170=k，则lg 2170=lg k，所以170lg 2=lg k，又lg 2≈0.3，所以51≈lg k，即k≈1051.所以与PQ最接近的数为1051.故选B.应用探究:已知lg 3≈0.477 1，由此可以推断32 022是几位整数.( ) A.963 B.964 C.965 D.966解析:因为lg 3≈0.477 1，令32 022=t，所以lg t=2 022×lg 3，则lg t≈2 022×0.477 1=964.696 2，所以可以推断32 022是965位整数.故选C.1.log210-log25等于( B )A.0B.1C.log25D.2解析:log210-log25=log2105=log22=1.故选B.2.log483+4log482等于( A )A.1B.2C.6D.48解析:log483+4log482=log483+log4816=log48(3×16)=1.故选A.3.log912-log32等于( C )A.√3B.2√3C.12D.3解析:原式=log912-log94=log93=12.故选C.4.已知3a=5b=M，且1a +1b=2，则M= .解析:3a=5b=M，则a=log3M，b=log5M，1 a +1b=log M3+log M5=log M15=2.所以M2=15，又M>0，M=√15. 答案:√15[例1] (2021·陕西渭南月考)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(√3lg 2)2+lg16+lg 600等于( )A.10B.2C.5D.6解析:原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6+2=3lg 2lg 5+3lg 5+3(lg 2)2+2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5+2=3lg 2+3lg 5+2=3(lg 2+lg 5)+2=3+2=5.故选C.[例2] 已知log 23=a ，3b =7，则log 2156等于( ) A.ab+3a+ab B.3a+b a+ab C.ab+3a+bD.b+3a+ab解析:log 23=a ，3b =7，即log 37=b ， 则log 2156=log 356log 321=log 3(7×23)log 3(3×7)=b+3a 1+b =ab+3a+ab.故选A.[例3] 设P=1log 211+1log 311+1log 411+1log 511，则( )A.0<P<1B.1<P<2C.2<P<3D.3<P<4 解析:P=1log 211+1log 311+1log 411+1log 511=log 112+log 113+log 114+log 115 =log 11(2×3×4×5)=log 11120.所以log 1111=1<log 11120<log 11121=2.故选B. [例4] 若2a =3，3b =4，4c =ab ，则abc 等于( ) A.12 B .1 C.2 D.4解析:根据题意，2a =3，3b =4， 则a=log 23，b=log 34，则有ab=log23×log34=lg3lg2×lg4lg3=2，则c=log4ab=log42=12，故abc=1.故选B.[例5] 已知log3a+log3b=log3(a+b)+1，则a+4b的最小值是( ) A.12 B.18 C.24 D.27解析:由log3a+log3b=log3(a+b)+1，可得log3(ab)=log3[3(a+b)]，a，b>0.可得ab=3(a+b)，所以3a +3b=1，则a+4b=(a+4b)(3a +3b)=3(1+4+ab+4ba)≥3(5+2√ab·4ba)=27，当且仅当a=2b=9时，取等号.故选D.选题明细表基础巩固1.lo g√24等于( D )A.12 B.14C.2D.4解析:lo g√24=lo g√2(√2)4=4.故选D.2.2log510+log50.25等于( C )A.0B.1C.2D.4解析:2log 510+log 50.25=log 5102+log 50.25=log 5(102×0.25)=log 525=2.故选C.3.(2021·浙江诸暨模拟)已知x ，y 为正实数，则( B ) A.lg(x 2·y)=(lg x)2+lg y B.lg(x ·√y )=lg x+12lg yC.e ln x+ln y =x+yD.e ln x ·ln y =xy解析:x ，y 为正实数，对于A ，lg(x 2·y)=lg x 2+lg y=2lg x+lg y ，故A 错误; 对于B ，lg(x ·√y )=lg x+lg √y =lg x+12lg y ，故B 正确;对于C ，e ln x+ln y =e ln x ·e ln y =xy ，故C 错误; 对于D ，xy=e ln x ·e ln y =e ln x+ln y ，故D 错误.故选B. 4.若log 34·log 8m=log 416，则m 等于( D ) A.3 B.9 C.18 D.27 解析:原式可化为log 8m=2log 34，lgm 3lg2=2lg4lg3，即lg m=6lg2×lg32lg2=lg 27，m=27.故选D.5.(2021·北京月考)log 38+log 32-4log 36= . 解析:原式=3log 32+log 32-4(log 32+log 33)=4log 32-4log 32-4=-4. 答案:-46.(2021·浙江杭州期中)若a=log 23，3b =2，则2a +2-a = ， ab= .解析:因为a=log 23，所以2a =3，2-a =13，所以2a +2-a =3+13=103，因为3b =2，所以b=log 32， 所以ab=log 23·log 32=1. 答案:103 1能力提升7.(2022·河北沧州模拟)生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K(n)=λln n 来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系，且Q=Tλ+1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q=9，T=80.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为(ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( C )A.6.9天B.11.0天C.13.8天D.22.0天 解析:因为Q=Tλ+1，Q=9，T=80，所以9=80λ+1，解得λ=10.设初始时间为K 1，初始累计繁殖数量为n ，累计繁殖数量增加3倍后的时间为K 2，则K 2-K 1=λln(4n)-λln n=λln 4=20ln 2≈13.8天.故 选C.8.(多选题)已知正实数x ，y ，z 满足4x =25y =100z ，则下列正确的选项有( BD ) A.xy=z B.1x +1y =1zC.x+y=zD.xz+yz=xy解析:设正实数x ，y ，z 满足4x =25y =100z =t ， 则x=log 4t ，y=log 25t ，z=log 100t ， 所以1x=log t 4，1y=log t 25，1z=log t 100，所以1x +1y =1z，所以yz+xz=xy.故选BD.9.已知lg a ，lg b 是方程6x 2-4x-3=0的两根，则(lg ba) 2的值为( D )A.49B.139C.149D.229解析:因为lg a ，lg b 是方程6x 2-4x-3=0的两根，所以lg a+lg b=23，lg alg b=-12，所以(lg b a) 2=(lg a+lg b)2-4lg alg b=(23) 2-4×(-12)=229.故选D.10.计算:(1)ln(2e 2)+log 37×log 781-ln 2-log 2√2-log 2√8; (2)lg 2×lg 2 500+8×(lg √5)2+2log 49+log 29×log 34. 解:(1)原式=ln2e 22+log 381-log 24=2+4-2=4.(2)原式=lg 2×lg(52×102)+8×(12lg 5) 2+2log 23+2lg3lg2×2lg2lg3=lg 2×(2lg 5+2)+2(lg 5)2+3+4 =2lg 2+2lg 2×lg 5+2(lg 5)2+7 =7+2lg 5(lg 2+lg 5)+2lg 2 =7+2lg 5+2lg 2 =7+2=9.11.已知log a 2=m ，log a 3=n. (1)求a 2m-n 的值; (2)用m ，n 表示log a 18. 解:(1)因为log a 2=m ，log a 3=n ， 所以a m =2，a n =3. 所以a 2m-n =a 2m ÷a n =22÷3=43.(2)log a 18=log a (2×32)=log a 2+log a 32=log a 2+2log a 3=m+2n.应用创新12.对于任意实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数.例如[-1.52]=-2， [2.094]=2，记{x}=x-[x]，则{log 23}+{log 210}-{log 215}等于( D ) A.-6 B.-1 C.1 D.0解析:因为1<log 23<2，3<log 210<4，3<log 215<4， 所以{log 23}=log 23-1=log 232，{log 210}=log 210-3=log 2108，{log 215}=log 215-3=log 2158，则{log 23}+{log 210}-{log 215}=log 232+log 2108-log 2158=log 2(32×108×815)=log 21=0.故选D.。
高中数学《对数的概念与运算性质》教学设计
《对数与对数运算》（第一课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节)一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化.二、教学目标设置1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念；2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值；3.感受数学符号的抽象美、简洁美.本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。
根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念.通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值.恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.三、学生学情分析1.认知基础从运算的角度来讲，加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习.从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质，对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，之后将在学习对数的基础上继续学习对数函数.2.问题诊断对数的概念对于学生来说，是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的，在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面：（1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转换；（2）不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中.基于以上分析，本节的教学难点是：（1）对数概念的理解；（2）对数的常用性质的概括.为了突破第一个难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从对数概念外延的角度进行理解.本节的第二个难点是：“0和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证是涉及到求定义域时，看到对数符号，不能如同看到分母一样，瞬间闪现出真数要大于0的限制，因此应该在学习对数伊始，就打好“0和负数没有对数”的认识基础.为了突破第二个难点，不要急于将现成的结论抛出，可以让学生在自主举例（感受个例）的基础上，尝试思考（分析通例）对数中的底数和真数可以取什么样的数，引导学生思考是不是所有的实数都有对数，哪些数有对数？为什么？通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.四、教学策略分析本节教学中，学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程：从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习；再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加深概念理解；再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识；循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值（1的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，从而丰富学生对于对数概念的认知.突破难点的策略为：旧知新悟，适度模仿，归纳概括，自主举例.五、教学过程设计1.对数概念的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】网上的一则消息：有驴友挖到几枚恐龙蛋，送到权威机构做了碳14同位素鉴定，结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现坐等博物馆上门收购.生物死亡后，它机体内原有的碳14含量，每经过大约6000年，会衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代，其中半衰次数x与碳14的含量P间的关系为：1()2x P.但是，当生物组织内的碳14含量低于千分之一时（这里我们按11024来计算），一般的放射性探测器就测不到碳14了.众所周知，恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上，那么用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？问题1：（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为原来的多少？3次呢？（2）经过几次半衰期，一般的放射性探测器就测不到碳14了呢？（3）用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？【预设的答案】12，18；10；不能【设计意图】对数概念不是凭空产生的，用考古鉴定这一实例，让学生感受“求指数”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.【数学情境】解方程：（1）2x=2；（2）2x=3；（3）2x=4.【设计意图】创设数学情境，通过指数方程的实例，让学生感受在数学学习中，“求指数”这样的问题也是存在的，有必要研究这一类问题.问题2：以上几个问题的共同特征是什么？【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征：已知底数和幂，求指数x .1.2探究典例，形成概念活动：解方程：（1）2x =2； （2）2x =3； （3）2x =4.【活动预设】感受在求指数的过程中，有的指数可以直接写出结果，有的指数却不好表示.【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫.问题3：以引例中的2x =3为例，分析x 的值存在吗？如果存在，符合条件的x 的值有几个？能估计出x 的大致范围吗？【活动预设】（1）根据函数图象，思考等式2x =3中指数x 的存在性，唯一性和大致范围；（2）类比：在学习求方程x 3=2的根时，为了表示底数x ，引入了数学符号：√，表示3次方为2的数；这里，我们引入对数符号来表示指数x ,将x 记作log 23.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x 的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题4：结合方程2x =3来思考，x =log 23中log 23表示什么？【活动预设】（1）分析log 23表示的含义；（2）感受：以2x =4为例，分析指数x 可以怎样用对数符号表示，以及该符号表示什么. 教师讲授：若a x =N （a >0，a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：N x a log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对数概念.问题5：指数式与对数式是等价的，但a ，x ，N 在两个式子中的名称一样吗？【预设的答案】此处画上连线图，呈现指数式与对数式之间的关系。
高中数学人教A版必修1教案：§2.2.1 对数与对数运算(2)教案
高中数学 §2.2.1 对数与对数运算（2）教案 新人教A 版必修1 "一．教学目标：1．知识与技能①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的运算性质.②让学生归纳整理本节所学的知识.3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用难点：正确使用对数的运算性质三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.教学用具：投影仪四．教学过程1．设置情境复习：对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0），指数的运算性质.;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷=();m n m n mn n ma a a a == 2．讲授新课探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a+⋅=，那m n+如何表示，能用对数式运算吗？如：,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设。
于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔=log m n a MN a m n MN +=⇔+=log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？（让学生探究，讨论）如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+（2）log log log a a a M M N N=- （3）log log ()n a a M n Mn R =∈ 证明：（1）令,m nM a N a == 则：m n m n M a a a N-=÷= log a M m n N ∴-= 又由,m n M a N a ==log ,log a a m M n N ∴== 即：log log log a a aM M N m n N -=-= （3）0,log ,N n n a n N M M a ≠==时令则 log ,bna b n M M a ==则 Nb n na a ∴= Nb ∴= 即log log log a a a M M N N=- 当n =0时，显然成立.log log n a a M n M ∴=提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0？1． 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？例题：1. 判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有（1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=-（3）log log log a a a x x y y=÷ （4）log log log a a a xy x y =-（5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x=- （7）1log log n a a x x n= 例2：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.（1）log a xy z （2）23log 8a x y （3）75log (42)z ⨯ （4）5lg 100 分析：利用对数运算性质直接计算：（1）log log log log log log aa a a a a xy xy z x y z z =-=+- （2）222333log log log log log log a a a a a a x y x y z x y z z =-=+- =112log log log 23a a a x y z +- （3）7575222log (42)log 4log 214519⨯=+=+=（4）2552lg 100lg105== 点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.让学生完成P 68练习的第1，2，3题提出问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且e ≠1，b ＞0log log log c a c b b a= 先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.设log ,log ,,M N c c M a N b a c b c ====则 且11,()N N M M M a c a a b ====N 所以c 即：log log ,log c a c b N N b M M a==又因为 所以：log log log c a c b b a = 小结：以上这个式子换底公式，换的底C 只要满足C ＞0且C ≠1就行了，除此之外，对C 再也没有什么特定的要求.提问：你能用自己的话概括出换底公式吗？说明：我们使用的计算器中，“log ”通常是常用对数. 因此，要使用计算器对数，一定要先用换底公式转化为常用对数. 如：2lg 3log 3lg 2= 即计算32log 的值的按键顺序为：“log ”→“3”→“÷”→“log ”→“２” →“=”再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算1.0118log 13x = 所以 1.0118lg 18lg18lg13 1.2553 1.13913log 13lg1.01lg1.010.043x --===≈ =32.883733()≈年练习：P 68 练习4让学生自己阅读思考P 66~P 67的例5，例6的题目，教师点拨.3、归纳小结（1）学习归纳本节（2）你认为学习对数有什么意义？大家议论.4、作业（1）书面作业：Ｐ74 习题２.２ 第3、4题 P 75 第11、12题2、思考：（1）证明和应用对数运算性质时，应注意哪些问题？（2）222log (3)(5)log (3)log (5)---+-等于吗?。
人教版高一数学必修1第二章《对数与对数运算》学案第二课时换底公式及对数的应用
§2.2.1对数与对数运算3（换底公式及对数的应用）班级：高一（ ） 姓名： 学号：学习目标：1、理解并掌握对数的换底公式2、运用对数运算性及公式质解决有关问题学习重点、难点：对数的换底公式，对数运算性质及公式的灵活应用自主预习：一、知识梳理：问题引入：数学史上，人们通过大量努力，制作了常用对数表、自然对数表，只要通过查表就可求出任意正数的常用对数或自然对数。
那么有没有方法把其他底的对数转换为以10或e 为底的对数呢？对数的底数能否随意转换?探究：设M b a =log （0>a 且 1≠a ,b>0）由对数的意义有，b a M =，显然M a ＞0，两边取常用对数得：_______________∵ 0>a ，∴M b a lg lg =•，又1≠a ,∴0lg ≠a ，∴M a b lg lg = ，即 【总结】更一般地，可得对数的换底公式：【归纳提升】1. 注意换底公式的结构特点：右边分子、分母所换的底必须是同一底，且为真数的对数除以底数的对数。
2. 当b ≠1且b ＞0时，存在倒数关系：二、自我检测1、计算下列各式的值 (1) log 98 log 3227 ; (2) 235111log log log 125323••三、学点探究探究1：对于底不同的对数的运算例1、 计算（1）32log 9log 38⨯ （2）a c c a log log •（3）)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+变式训练一：应用对数换底公式化简下列各式1、（1）16log 25log 9log 125274••（2）)3log 3)(log 2log 2(log 8493++方法小结1：利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想，在解题过程中应注意：1、针对具体问题，选择恰当的底数；2、注意换底公式与对数运算法则结合使用3、换底公式的正用与逆用探究2、对数换底公式的应用例2、已知518,9log 18==b a ，用a 、b 来表示45log 36变式训练二：1、30log ,53,2log 33表示、用b a a b ==2.已知32=x ，y =38log 4，则x+2y= .3.设p =3log 8，q =5log 3，则lg5= （用含p 、q 的式子表示） 课后作业：1、应用对数换底公式化简下列各式(1) 84log 27log 9； (2) log 225 log 34 log 59 ;2、 若0>a 且 1≠a ，x ，y ∈R 且xy ＞0则下列各式正确的是 ： ① x x a a log 2log 2= ； ②||log 2log 2x x a a =； ③y x xy a a a log log )(log +=； ④||log ||log )(log y x xy a a a +=3、已知lg2=a,lg3=b ，用a,b 表示代数式log 2716=4、已知 lgN=alnN ; lnN=b lgN, 则a= , b=5、已知514,7log 14==b a ，求28log 356、设3a =4b =36，求21a b +的值7、已知m a =8log ,n a =5log ,请求n m a 2+的值.课后反思：。
高中数学 2.2.1 对数与对数运算教案 新人教A版必修1
2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。
〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。
〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。
教学重难点：指、对数式的互化。
教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。
这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。
能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。
二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =。
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。
人教A版数学必修一教案：§2.2.1对数与对数运算(1)
②负数和零有没有对数？
如何转化为对数式
③根据对数的定义， a loga N =？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答） 由以上的问题得到
①
a 0 1, a1 a （ a ＞ 0，且 a ≠ 1）
② ∵ a ＞ 0，且 a ≠ 1 对任意的力， log 10 N 常记为 lg N .
恒等式： alog a N =N
（6） log e10 2.303
注：（ 5）、（ 6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明
.
（让学生自己完成，教师巡视指导）
巩固练习： P64 练习 1、 2
3．对数的性质：
提问：因为 a ＞ 0， a ≠ 1 时， a x N x loga N
则 由１、 a 0=1
２、 a 1= a
人教 A 版数学必修一教案：§ 2.2.1 对数与对数运算（ 1）
人教 A 版数学必修一教案：§ 2.2.1 对数与对数运算（ 1） 人教 A 版数学必修一教案：§ 2.2.1 对数与对数运算（ 1）
指数式 对数式
幂底数← a →对数底数 指 数← x →对数
幂 ← N →真数
说明：对数式 log a N 可看作一记号，表示底为 a （ a ＞ 0，且 a ≠1），幂为 N 的指数工
表示方程 a x N （ a ＞ 0，且 a ≠ 1）的解 . 也可以看作一种运算，即已知底为 a （ a ＞0，
且 a ≠ 1）幂为 N，求幂指数的运算 . 因此，对数式 log a N 又可看幂运算的逆运算 .
例题：
例 1（P63 例 1）
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
.
（ 1） 54=645
人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：4.3.2 对数的运算
4．3.2 对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 换底公式1．log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)log a N ＝1log N a (N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)；(2)log n m a b ＝mnlog a b (a >0，且a ≠1，b >0)；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)． 预习小测 自我检验1．计算log 84＋log 82＝________. 『答 案』 12．计算log 510－log 52________. 『答 案』 13．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝________.『答 案』 (1)12 (2)0.84.log 29log 23＝________. 『答 案』 2一、对数运算性质的应用 例1 计算下列各式： (1)log 53625；(2)log 2(32×42)； (3)log 535－2log 573＋log 57－log 595.解 (1)原式＝13log 5625＝13log 554＝43.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (2)lg3＋25lg9－35lg 27lg81－lg27.解 (1)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg5－lg2＋2lg2 ＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝lg3＋45lg3－910lg34lg3－3lg3＝⎝⎛⎭⎫1＋45－910lg3(4－3)lg3＝910. 二、对数换底公式的应用例2 (1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 『答 案』 56『解 析』 原式＝⎝⎛⎭⎫1log 34＋1log 38log 32 ＝⎝⎛⎭⎫12log 32＋13log 32log 32 ＝12＋13＝56. (2)已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(2×18)＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .延伸探究若本例(2)条件不变，求log 915.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以log 185＝b . 所以log 915＝log 1815log 189＝log 18(3×5)log 189＝log 183＋log 185a ＝log 189＋ba＝1218log9ba＝12log189＋ba＝12a＋ba＝a＋2b2a.反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2 (1)log 89log 23的值是( )A.23B.32C ．1D ．2 『答 案』 A『解 析』 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即log 89log 23＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2·lg2lg3＝23. 方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23. (2)计算：log 52·log 79log 513·log 734.解 原式＝log 52log 513·log 79log 73423122114233log 2log log 23log 3==⋅＝－12·log 32·3log 23＝－32.三、对数的综合应用例3 2018年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精确到1年) 解 设经过x 年后国民生产总值为2018年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …，经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， 所以1.08x ＝2，所以x ＝log 1.082＝lg2lg1.08＝0.30100.0334≈9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍． 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000(e 为自然对数的底数，ln3≈1.099)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．解 因为v ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000 ＝2000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ， 所以v ＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.1．计算：log 123＋log 124等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 『答 案』 A2．若lg2＝m ，则lg5等于( ) A ．m B.1m C ．1－m D.10m『答 案』 C 『解 析』 lg 5＝lg102＝lg 10－lg 2＝1－m . 3．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．62B ．122C ．log 63D.12『答 案』 C『解 析』 原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 4．下列各等式正确的为( ) A ．log 23·log 25＝log 2(3×5) B ．lg3＋lg4＝lg(3＋4) C ．log 2xy＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lg m (m >0，n >1，n ∈N *)『答 案』 D『解 析』 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 5．计算：log 513·log 36·log 6125＝________.『答 案』 2『解 析』 原式＝lg 13lg5·lg6lg3·lg 125lg6＝－lg3lg5·lg6lg3·－2lg5lg6＝2.1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)换底公式． (3)对数的实际应用． 2．方法归纳：(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度． (2)利用结论log a b ·log b a ＝1，log n m a b ＝m n log a b 化简求值更方便．3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．。
高一数学人教A版必修1教学教案2-2-1对数与对数运算
2.2.1 对数运算一、教材分析本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2对数运算的内容二、三维目标1．知识与技能（1）．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；（2）．理解和掌握对数的运算性质；（3）．掌握对数的运算性质的正逆转化。
2．过程与方法（1）通过实例了解对数运算，体会引入对数运算的必要性；（2）通过指数运算的观察分析得出对数运算的性质及换底公式；（3）通过分组探究进行活动，掌握对数运算的重要性质。
3．情感、态度与价值观（1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；（2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程；（3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．三、教学重点教学重点：（1）对数运算的性质；（2）换底公式的灵活应用。
四、教学难点教学难点：推导对数的运算性质和换底公式的推导过程。
五、自主梳理1．对数的定义bNa=log其中),1()1,0(+∞∈a与,0(+∞∈N2．指数式与对数式的互化3.重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵1log=a，log=aa六、重点领悟1、积、商、幂的对数运算性质：如果 a ＞ 0， a1，M ＞ 0， N ＞ 0 有： 证明：①设a log M=p, a log N=q ． 由对数的定义可以得：M=p a ，N=qa ． ∴MN= p a q a =q p a + ∴a log MN=p+q ， 即证得a log MN=a log M + a log N ．②设a log M=p ，a log N=q ． 由对数的定义可以得M=p a ，N=qa ． ∴q p q p a a a N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设alog M=P 由对数定义可以得M=p a , ∴n M ＝np a ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ． 2、换底公式：(),0;10;1,0log log log >≠>≠>=N c c a a aN N c c a 且且（4） 证明：设P N a =log由对数的定义可以得：a N N a N p a p N a N a N c c a c c c c p c c p log log log log log ,log log log log ,==⇒=⇒=⇒=即证得这个公式就叫做换底公式七、探究提升（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ： 八、学法引领 例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zy x z xy a a ． 解：（1）zxy a log =a log （xy ）a log z=a log x+a log y a log z（2）32log z y x a =a log （2x 3log )z y a -= a log 2x +alog 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-． 例2． 计算 （1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg 解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0．（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19．（4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+- 解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+ ＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2；(3)解法一：lg142lg 37+lg7lg18=lg(2×7)2(lg7lg3)+lg7lg(23×2) =lg2+lg72lg7+2lg3+lg72lg3lg2=0．解法二：lg142lg 37+lg7lg18=lg14lg 2)37(+lg7lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯九、课堂练习1、练习：用表示下列公式：z y x lg ,lg ,lg（1）);lg(xyz （2）zxy 2lg ； （3）zxy 3lg ； （4）z y x 2lg 。
人教版高中数学必修一学案：《对数与对数运算》(含答案)
2.2.1 对数与对数运算(二)自主学习1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝______________；(2)log a M N＝____________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________________.对点讲练正确理解对数运算性质【例1】 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋ log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④对数运算性质的应用【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.换底公式的应用【例3】 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1)．课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝______________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝____________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.2.2.1 对数与对数运算(二) 答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a对点讲练【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．] 变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有 M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]【例2】 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.【例3】 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b,又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2) ＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189 ＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2.1对数与对数运算（一）
（一）教学目标
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
②理解和掌握对数的性质；
③掌握对数式与指数式的关系.
2.过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.
3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.
（3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.
（二）教学重点、难点
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
（2）难点：推导对数性质的
（三）教学方法
启发式
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.
（四）教学过程
如何解决？
分别等于多少？
合作探究
对数式与指数式的互化
在对数的概念中，要注意：
对数式
对数底数
对数
.对数的性质：
∵a＞0，且
备选例题
例1 将下列指数式与对数式进行互化.
（1）64)4
1
(=x
（2）5
15
2
1=
-
（3）327log 3
1-= （4）664log -=x
【分析】利用a x = N ⇔x = log a N ，将（1）（2）化为对数式，（3）（4）化为指数式. 【解析】（1）∵64)4
1
(=x ，∴x =4
1log 64
（2）∵5
15
2
1=
-
，∴2
15
1log 5
-
= （3）∵327log 3
1-=，∴27)31
(3=-
（4）∵log x 64 = –6，∴x －
6 = 64.
【小结】对数的定义是对数形式与指数形式互化的依据，同时，教材的“思考”说明了这一点. 在处理对数式与指数式互化问题时，依据对数的定义a b = N ⇔b = log a N 进行转换即可.
例2 求下列各式中的x . （1）3
2
log 8-=x ；
（2）4
327log =
x ； （3）0)(log log 52=x ； 【解析】（1）由3
2log 8-=x 得3
23
3
2
)
2(8
-
-==x = 2–2，即4
1=
x .
（2）由4
3
27log =x ，得343
327==x ，
∴813)
3(4343===
x .
（3）由log 2 (log 5x ) = 0得log 5x = 20 = 1. ∴x = 5.
【小结】（1）对数式与指数式的互化是求真数、底数的重要手段.
（2）第（3）也可用对数性质求解.如（3）题由log 2(log 5x ) = 0及对数性质log a 1=0. 知log 5x = 1，又log 55 = 1. ∴x = 5.。