结构力学 静定结构的位移
合集下载
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
结构力学(I)结构静力分析篇(位移法)@@
l
EI
正对称
q q q
h
反对称
q
哈工大 土木工程学院
29 / 65
q
q
q
对称结构在对称荷载作 用下内力、反力和变形皆对 称，故取半结构计算。由半 结构特点采用位移法较好。
哈工大 土木工程学院
30 / 65
q
q
q
对称结构在反对称荷载 作用下内力、反力和变形皆 反对称，故取半结构计算。 而此半结构仍具有对称结构 特点。继续分解。
A 2EI
l
B
EI c
l
C
原始结构
C
A
Z1
B c
基本结构 基本体系
k R 0 1Z 11 1 C
哈工大 土木工程学院
基本方程
33 / 65
4i
Z1 1
3i
8i
k 11
3i
8i
12 i l 12 i l
M1
1 2 i l
k i 1111
R 1C
3i l
c
3i l
MC
9i R1C c l
哈工大 土木工程学院
15 / 65
3i
Z1 1
k 11
4i
3i
1 Z1 FPl 56i
2i
1 FPl 8 1 FPl 8
M1
4i k i 117
R1P
1 FPl 8
M Z M M 1 1 P
3 FPl 56 8 FPl 56 9 FPl 56
FP
MP
1 R 1P F Pl 8
哈工大 土木工程学院
21 / 65
Z1 1
EI
正对称
q q q
h
反对称
q
哈工大 土木工程学院
29 / 65
q
q
q
对称结构在对称荷载作 用下内力、反力和变形皆对 称，故取半结构计算。由半 结构特点采用位移法较好。
哈工大 土木工程学院
30 / 65
q
q
q
对称结构在反对称荷载 作用下内力、反力和变形皆 反对称，故取半结构计算。 而此半结构仍具有对称结构 特点。继续分解。
A 2EI
l
B
EI c
l
C
原始结构
C
A
Z1
B c
基本结构 基本体系
k R 0 1Z 11 1 C
哈工大 土木工程学院
基本方程
33 / 65
4i
Z1 1
3i
8i
k 11
3i
8i
12 i l 12 i l
M1
1 2 i l
k i 1111
R 1C
3i l
c
3i l
MC
9i R1C c l
哈工大 土木工程学院
15 / 65
3i
Z1 1
k 11
4i
3i
1 Z1 FPl 56i
2i
1 FPl 8 1 FPl 8
M1
4i k i 117
R1P
1 FPl 8
M Z M M 1 1 P
3 FPl 56 8 FPl 56 9 FPl 56
FP
MP
1 R 1P F Pl 8
哈工大 土木工程学院
21 / 65
Z1 1
结构力学_11超静定结构-位移法
§11.3 位移法的基本未知量和基本体系
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形 （2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
C
C
D
D
A
B
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的
基本方法 （手算）
机算
力法
位移法
矩阵 力法
力矩分配法
矩阵 位移法
力法几次9超次静定?
位移法几1次次超静定?
§11.1
P C θA
θA
位移法的基本概念
B
A
附加
刚臂 C
P B
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
A 用下附加刚臂上
产生附加力矩
C θA
B
θA
施加力偶使结点产 生的角位移，以实
A 现结点位移状态的
一致性。
D
2
C
F22
A
D
A
D
Fk1111
2i B
1 =1
i
A
C
kF2211
Fk122
B
i
D
A
建立基本方程
F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a)
k111 + k122 +F1P =0………..(1) k211 + k222 +F2P =0………..(2)
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学第五章-4(温度变化)
温度位移公式图示结构设外侧温度升高内侧温度升高求k点的竖向位移设温度沿杆件截面厚度为线性分布杆轴温度与上下边缘的温差另外温度变化时杆件可以自由地发生变形杆件不引起剪应变即dv将温度引起的变形代入公式可得上式中的正负号
§5-6 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
dut t0ds
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件可以自由地发生
变 向du形 伸t ,长杆和件t0d截不s面引转起d角剪为t应：变，htd即s dvt=o,微段轴线 膨 胀 系
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
100C c3 l
c2
A
l
c1 实际位移状态
B
C
FP=1
A
FCy 1
FAx 1
FAy 1 虚拟力状态
同时考虑荷载、温度和支座位移的影响
Cx
FPl 3 16EI
各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
解：构造虚拟状态
虚拟状态
实际状态
单位荷载内力图为：
§5-6 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
dut t0ds
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件可以自由地发生
变 向du形 伸t ,长杆和件t0d截不s面引转起d角剪为t应：变，htd即s dvt=o,微段轴线 膨 胀 系
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
100C c3 l
c2
A
l
c1 实际位移状态
B
C
FP=1
A
FCy 1
FAx 1
FAy 1 虚拟力状态
同时考虑荷载、温度和支座位移的影响
Cx
FPl 3 16EI
各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
解：构造虚拟状态
虚拟状态
实际状态
单位荷载内力图为：
结构力学(第五版)第六章 结构位移计算
相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功 实功： 力本身引起的位移上所作的功。 例如： W=
A 力在其它 虚功： 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、 如图示。 Ｒ １ c2 求任一指定截面K K c1 ２ 沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态 Ｒ 虚拟状态－力状态 上的位移△K 。
静定结构由于支座移动、温度改变引起的位移
4.27(c)所示。由式（4.13）得
BH (1b l ) b （↓）
计算结果为正，表示ΔBV的方向与所设单位力的方向相同， 即ΔBV向下。
b h
BA Aal源自B图4.27B F 1
A
l
（c） 1
二、 温度改变引起的位移计算
t1
B
tC 2 ds
t1 h1 t 0
l t1d s
d
h
h2 t 2
结构力学
静定结构由于 支座移动、温度改变引起的位移
一、支座移动引起的位移计算
静定结构在支座移动时，只发生刚体位移，不产 生内力和变形。
K K B
KK
K
FK 1 B
K
B
c3
A
A
c2
C1
(a)实际状态
R1
A
R3
R2 (b)虚拟状态
K Rc (4.13)
乘积 R c的正负号规定为：当虚拟状态的支座反力与
ds
hds
h
将上两式代入式
K l FNds l FSds lMkds Rc
令 0
K
（ ）l FNlt0ds
（ ）M ltds
l
h
（4.14）
如果t0、Δt和h沿每一杆件的全长为常数，则上式可写为
K
（ ）lt0 AN
（ ）l
t h
AM
（4.15）
l——杆件的长度； AN — FN图的面积；
A
D
（a）
ds
lt2ds
（b）
图4.28
t0=(h1t2+h2t1)/h 如果 h1=h2
有 t0=(t1+t2)/2 上、下边缘的温度差为 Δt= t2 t1
BH (1b l ) b （↓）
计算结果为正，表示ΔBV的方向与所设单位力的方向相同， 即ΔBV向下。
b h
BA Aal源自B图4.27B F 1
A
l
（c） 1
二、 温度改变引起的位移计算
t1
B
tC 2 ds
t1 h1 t 0
l t1d s
d
h
h2 t 2
结构力学
静定结构由于 支座移动、温度改变引起的位移
一、支座移动引起的位移计算
静定结构在支座移动时，只发生刚体位移，不产 生内力和变形。
K K B
KK
K
FK 1 B
K
B
c3
A
A
c2
C1
(a)实际状态
R1
A
R3
R2 (b)虚拟状态
K Rc (4.13)
乘积 R c的正负号规定为：当虚拟状态的支座反力与
ds
hds
h
将上两式代入式
K l FNds l FSds lMkds Rc
令 0
K
（ ）l FNlt0ds
（ ）M ltds
l
h
（4.14）
如果t0、Δt和h沿每一杆件的全长为常数，则上式可写为
K
（ ）lt0 AN
（ ）l
t h
AM
（4.15）
l——杆件的长度； AN — FN图的面积；
A
D
（a）
ds
lt2ds
（b）
图4.28
t0=(h1t2+h2t1)/h 如果 h1=h2
有 t0=(t1+t2)/2 上、下边缘的温度差为 Δt= t2 t1
结构力学位移法PPT_图文
6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
结构力学 第8章 位移法
B B
3i
1
0 0
l
3i
l
3i
l2
A
θ=1
B
i
－i
0
二、由外部荷载求固端反力矩
mAB q
EI l
q EI l mBA
mAB
ql 2 8
ql 2 mBA 8
» 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力 一般公式（转角位移方程）： AB 4i A 2i B 6i m AB M
位移法：以某些结点位移基本未知量
用力法求解，有6个未知数。 用位移法求解，未知数=
？个。
5.力法与位移法的适用范围：
力 法: 超静定结构
位移法：超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点较少而杆件较多的刚架。
位移法正负号规定
★杆端角位移、杆两端相对线位移（侧移）Δ ：顺时针为正 ★ 杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正
综上所述，位移法的基本思路是： 1. 在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点 固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；
２. 人为迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的 位移。
通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变 形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力 和变形。
位移法中需要解决的问题：
2. 回顾力法的解题思路
先求多余未知力 结构内力
结构位移
具体解题过程：
超静定结构 拆成基本结构 加上某些条件
位移条件（力法典型方程）
3. 反推位移法的解题思路
先求某些结点位移 结构内力
具体解题过程：
结 构 拆成单根杆件 的组合体
1.杆端位移协调条件
2.结点平衡条件
结构力学 位移法
S in
分析方法：
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
D
B
E
C
A
注意：
(1)铰处的转角不作基本未知量。
Δ
(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。
(3)结构带无限刚性梁时，即EI∞时，若柱子平行，
q4l02kN2.m0•42 84q1l 2.7kN82.m0•5
12 12
2
MBA
m 41.7kN.m CB
44mm
EE
300I..7755M图(kN.M300)I..55
1.7
55mm 4.9FF
MCB MCD
MCF 44mm
MBC M 4•0.75 3 =3.4
BE
B
B
M 3 40 =43.5 MBE
FP
B FQBA FQBC
MBC
M B 0M B A M B C 0
11iB
9i qL2 L 12
0
……①
Y 0
FQBA FQBC FP 0 ……②
求FQBA MAB A
q
FQAB
求FQBC
MBC B FQBC
MA 0
B
MBA
FQBA
M AB
M BC L
qL 2
FQBA
12i L
3 2 1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
刚架结构，有两个刚结点D、E，
故有两个角位移，结点线位移由铰
结体系来判断，W=3×4－2×6=0，
A
B
分析方法：
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
D
B
E
C
A
注意：
(1)铰处的转角不作基本未知量。
Δ
(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。
(3)结构带无限刚性梁时，即EI∞时，若柱子平行，
q4l02kN2.m0•42 84q1l 2.7kN82.m0•5
12 12
2
MBA
m 41.7kN.m CB
44mm
EE
300I..7755M图(kN.M300)I..55
1.7
55mm 4.9FF
MCB MCD
MCF 44mm
MBC M 4•0.75 3 =3.4
BE
B
B
M 3 40 =43.5 MBE
FP
B FQBA FQBC
MBC
M B 0M B A M B C 0
11iB
9i qL2 L 12
0
……①
Y 0
FQBA FQBC FP 0 ……②
求FQBA MAB A
q
FQAB
求FQBC
MBC B FQBC
MA 0
B
MBA
FQBA
M AB
M BC L
qL 2
FQBA
12i L
3 2 1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
刚架结构，有两个刚结点D、E，
故有两个角位移，结点线位移由铰
结体系来判断，W=3×4－2×6=0，
A
B
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
仅发生支座移动
FR i ci
N
无支座移动
M d F
d FQ d
虚功原理求位移的关键：
虚设相应的力系
1. C点竖向线位移
2. D点水平线位移
3.铰C左右截面的相对角位移
D
C
l
A b
l 2 l 2
B
a
B
P
C
l
A D
1.求D点的水平、竖向 位移
C
0
A
0 l
D
0
A
0 l
D 1/l
0
l
-1/l
l
CD
P EA
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
D
l
A C B
l
l
已知：每根杆的抗拉刚度均为EA， 1.求D点的水平、竖向位移 0.207 P 2.求BD杆的角位移 EA
梁和刚架在荷载下的位移计算
M MP ds EI
E
Pl
l
求：1. B点的水平位移和角位移
2. D点的水平位移
ql ql
2
q
B
C
EI=常数
D
l
A
l l
求：１.
２.
ql2
C、D两点的相对水平位移
A、D两点的相对角位移
B
C
EI
q
l
A
l
D
q ql
2
已知：EI=常数．求： 1．C点的竖向位移和
l
D
C
E
铰C左右截面的相对角位移
２．D点的水平位移和角位移
已知：
C 梁式杆的EI=常数，
二力杆的EA=常数 求:
D
l
B
C
D
A点的竖向线位移和水平线位移 D点的角位移
A
A
l l
ql
B
C
D
A
§5-6 温度作用时的位移计算
t 0 F N ds
α——材料的线膨胀系数
t0 ——轴线温度
t
h
M ds
h——截面高度
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
§5.2 变形体的虚功原理
• 外力虚功＝虚变形能
• 虚功：力与位移之间无因果关系
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
M d FN d FQ d FR i ci
实际的位移体系
支座位移: C1 C2 C3
2.求CD杆的角位移
l
仅发生支座移动
FR i ci
1. C点竖向线位移
2. D点水平线位移
3.铰C左右截面的相对角位移
D
C
l
A b
l 2 l 2
B
a
A
a
θ
求A点的竖向位移和水平位移 原结构
§5-3
荷载作用下的位移计算
无支座移动
M d FN d FQ d
t F N ( t0 ds) M ds h t t 0 F N ds M ds h
正负号：以相同变形趋势为正
t 0 F N ds t 0 AN h
FQ FQP FN FN P M MP ds ds k ds EI EA GA
M N V
简化公式(1)
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
M MP 梁式杆（梁、刚架） EI ds
二力杆（桁架）
FN FN P l EA
q
A
C
B
l
已知：EI=常数
求跨中C点的竖向位移和B点的角位移 5ql 4 ql3 384EI 24EI
P B
EI
已知： AB曲线为1/4圆弧， 半径为R 求： B点的竖向线位移 和水平线位移
PR3 A4 EI
PR3 2 EI
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
求：１．B点的竖向位移和角位移 ２．跨中C点的竖向位移 3． D点的竖向位移
求：B点的水平位移和角位移
P
q =P/l
B
EI
2EI
C
l
A
l
B
C
EI 求：
1. C、D两点的相对水平位移 2. B、D两点的相对角位移
A
2l
q
l
D
l
求：１.
２.
C
E点的水平位移和竖向位移
Ｃ点的角位移
D EI
l
P
B
A
2l
[3] 如图形较复杂，可分解为简单图形
3.图乘法的步骤
[1] 设虚力状态，画 M 图； [2] 画
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
M图； P
[3] 图乘求位移。
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
规则图形的面积和形心
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
h
2l 3
C
1l 3
1 A l h 2
1.功的互等定理（虚功）
第一状态外力在第二状态位移上做功W12等 于 第二状态外力在第一状态位移上做功W21
W12 = W21
原理
外力虚功等于虚变形能
a
1
FPa
第一状态
△1
a
1
第二状态
F’P1 a
△’a
1
第一状态 外力 FPa及其反力
第二状态
F’P1 及其反力 M’ FN’ FQ’
内力
M FN
A
l 2 l 2
B
组合结构
EI
A l B
M MP FN FN P ds l EI EA
FP D
已知：
EI
EI EA 2 2l
EA
C l l
求：D点的竖向位移 和角位移
2 FP l 3 4 FP l VD 3EI EA 26FP l 3 3EI
t
h
M ds
t
AM
注意：梁式杆在温度影响下的轴向变形通常不忽略 （梁式杆在荷载影响下的轴向变形通常忽略）
矩形截面
h=60cm α＝常数
求：C点的竖向位移和角位移 0℃ 10℃ 0℃ 10℃
l
C
5l 25l
V C 2
100l 3
l
1 x tan M P dx EI
tan xM P dx EI tan 1 ABD xc ABD yc EI EI
l
MM p
0
1 Ay C dx EI EI
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
注意：
[1] yc 应取自直线图中 [2] 若A与 yc 在杆件的同侧, △取正值
矩形截面h=60cm 原温度15℃ 现温度如图 求： 2.A点水平位移 (-50 ℃) -35℃ A
-35℃ (-50 ℃) C (-50 ℃) 15℃ (0 ℃) -35℃ 6m
1.铰C左右相对转角
3400 3
4m 4m
100
制造误差影响下的位移
d AP B P 4d
第五章 静定结构的位移计算
线位移 位移
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
水平线位移
竖向线位移
角位移
单个点的位移
位移
两个点的相对位移
位移计算的目的
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
• １．刚度验算 • ２．为超静定结构的计算做基础
刚架的位移举例
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
A 点的线位移
△t
——上下表面温差
FN M ——虚力体系的轴力和弯矩
d t0 ds
t1 h1 h h2 t2 ds
d
t2 t1 ds
h
t1 ds
t 0 ds
t 2 ds
一般截面
t1h2 t 2 h1 t0 h
对称截面
t1 t 2 t0 2
ds微段的内力:
FN
FQ
M
外力虚功： 虚变形能：
1 FR i ci
M d F
N
d FQ d
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
M d FN d FQ d FR i ci 通式
b
可看作梯形， a与b的符号相反
求：1. A点的竖向位移和角位移
2. B点的竖向位移和角位移
P EI A l l B
求：1. B点的角位移
2. C点的竖向位移和角位移
P A EI l B EI
l 2
C
已知：EI=常数。
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
q
A
ql
C
l/2 l l/6
D l/3
B
FQ
W12 FP '
FQ ' FN ' M' M EI ds FN EA ds FQ k GA ds
W21 FP '
FQ FN M M ' EI ds FN ' EA ds FQ ' k GA ds
A
AV
水平线位移 AH
竖向线位移
截面A 的角位移
FR i ci
N
无支座移动
M d F
d FQ d
虚功原理求位移的关键：
虚设相应的力系
1. C点竖向线位移
2. D点水平线位移
3.铰C左右截面的相对角位移
D
C
l
A b
l 2 l 2
B
a
B
P
C
l
A D
1.求D点的水平、竖向 位移
C
0
A
0 l
D
0
A
0 l
D 1/l
0
l
-1/l
l
CD
P EA
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
D
l
A C B
l
l
已知：每根杆的抗拉刚度均为EA， 1.求D点的水平、竖向位移 0.207 P 2.求BD杆的角位移 EA
梁和刚架在荷载下的位移计算
M MP ds EI
E
Pl
l
求：1. B点的水平位移和角位移
2. D点的水平位移
ql ql
2
q
B
C
EI=常数
D
l
A
l l
求：１.
２.
ql2
C、D两点的相对水平位移
A、D两点的相对角位移
B
C
EI
q
l
A
l
D
q ql
2
已知：EI=常数．求： 1．C点的竖向位移和
l
D
C
E
铰C左右截面的相对角位移
２．D点的水平位移和角位移
已知：
C 梁式杆的EI=常数，
二力杆的EA=常数 求:
D
l
B
C
D
A点的竖向线位移和水平线位移 D点的角位移
A
A
l l
ql
B
C
D
A
§5-6 温度作用时的位移计算
t 0 F N ds
α——材料的线膨胀系数
t0 ——轴线温度
t
h
M ds
h——截面高度
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
§5.2 变形体的虚功原理
• 外力虚功＝虚变形能
• 虚功：力与位移之间无因果关系
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
M d FN d FQ d FR i ci
实际的位移体系
支座位移: C1 C2 C3
2.求CD杆的角位移
l
仅发生支座移动
FR i ci
1. C点竖向线位移
2. D点水平线位移
3.铰C左右截面的相对角位移
D
C
l
A b
l 2 l 2
B
a
A
a
θ
求A点的竖向位移和水平位移 原结构
§5-3
荷载作用下的位移计算
无支座移动
M d FN d FQ d
t F N ( t0 ds) M ds h t t 0 F N ds M ds h
正负号：以相同变形趋势为正
t 0 F N ds t 0 AN h
FQ FQP FN FN P M MP ds ds k ds EI EA GA
M N V
简化公式(1)
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
M MP 梁式杆（梁、刚架） EI ds
二力杆（桁架）
FN FN P l EA
q
A
C
B
l
已知：EI=常数
求跨中C点的竖向位移和B点的角位移 5ql 4 ql3 384EI 24EI
P B
EI
已知： AB曲线为1/4圆弧， 半径为R 求： B点的竖向线位移 和水平线位移
PR3 A4 EI
PR3 2 EI
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
求：１．B点的竖向位移和角位移 ２．跨中C点的竖向位移 3． D点的竖向位移
求：B点的水平位移和角位移
P
q =P/l
B
EI
2EI
C
l
A
l
B
C
EI 求：
1. C、D两点的相对水平位移 2. B、D两点的相对角位移
A
2l
q
l
D
l
求：１.
２.
C
E点的水平位移和竖向位移
Ｃ点的角位移
D EI
l
P
B
A
2l
[3] 如图形较复杂，可分解为简单图形
3.图乘法的步骤
[1] 设虚力状态，画 M 图； [2] 画
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
M图； P
[3] 图乘求位移。
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
规则图形的面积和形心
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
h
2l 3
C
1l 3
1 A l h 2
1.功的互等定理（虚功）
第一状态外力在第二状态位移上做功W12等 于 第二状态外力在第一状态位移上做功W21
W12 = W21
原理
外力虚功等于虚变形能
a
1
FPa
第一状态
△1
a
1
第二状态
F’P1 a
△’a
1
第一状态 外力 FPa及其反力
第二状态
F’P1 及其反力 M’ FN’ FQ’
内力
M FN
A
l 2 l 2
B
组合结构
EI
A l B
M MP FN FN P ds l EI EA
FP D
已知：
EI
EI EA 2 2l
EA
C l l
求：D点的竖向位移 和角位移
2 FP l 3 4 FP l VD 3EI EA 26FP l 3 3EI
t
h
M ds
t
AM
注意：梁式杆在温度影响下的轴向变形通常不忽略 （梁式杆在荷载影响下的轴向变形通常忽略）
矩形截面
h=60cm α＝常数
求：C点的竖向位移和角位移 0℃ 10℃ 0℃ 10℃
l
C
5l 25l
V C 2
100l 3
l
1 x tan M P dx EI
tan xM P dx EI tan 1 ABD xc ABD yc EI EI
l
MM p
0
1 Ay C dx EI EI
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
注意：
[1] yc 应取自直线图中 [2] 若A与 yc 在杆件的同侧, △取正值
矩形截面h=60cm 原温度15℃ 现温度如图 求： 2.A点水平位移 (-50 ℃) -35℃ A
-35℃ (-50 ℃) C (-50 ℃) 15℃ (0 ℃) -35℃ 6m
1.铰C左右相对转角
3400 3
4m 4m
100
制造误差影响下的位移
d AP B P 4d
第五章 静定结构的位移计算
线位移 位移
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
水平线位移
竖向线位移
角位移
单个点的位移
位移
两个点的相对位移
位移计算的目的
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
• １．刚度验算 • ２．为超静定结构的计算做基础
刚架的位移举例
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
A 点的线位移
△t
——上下表面温差
FN M ——虚力体系的轴力和弯矩
d t0 ds
t1 h1 h h2 t2 ds
d
t2 t1 ds
h
t1 ds
t 0 ds
t 2 ds
一般截面
t1h2 t 2 h1 t0 h
对称截面
t1 t 2 t0 2
ds微段的内力:
FN
FQ
M
外力虚功： 虚变形能：
1 FR i ci
M d F
N
d FQ d
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
M d FN d FQ d FR i ci 通式
b
可看作梯形， a与b的符号相反
求：1. A点的竖向位移和角位移
2. B点的竖向位移和角位移
P EI A l l B
求：1. B点的角位移
2. C点的竖向位移和角位移
P A EI l B EI
l 2
C
已知：EI=常数。
本章重点： 图乘法求梁和 刚架的位移
q
A
ql
C
l/2 l l/6
D l/3
B
FQ
W12 FP '
FQ ' FN ' M' M EI ds FN EA ds FQ k GA ds
W21 FP '
FQ FN M M ' EI ds FN ' EA ds FQ ' k GA ds
A
AV
水平线位移 AH
竖向线位移
截面A 的角位移