离散数学复习提要

《离散数学》期末复习提要 第一章 集 合 [复习知识点] 1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集 2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 幂等律、De Morgan对偶律等），文氏（Venn）图 3、有序对与笛卡尔积 本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明

[复习要求] 1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。 2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。 3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。 4、了解有序对与笛卡尔积的概念，掌握笛卡尔积的运算。

[疑难解析] 1、集合的概念 因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n。 2、集合恒等式的证明 通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求重视吸收律和重要等价式在证明中的特殊作用。

第二章 关 系 [复习知识点] 1、关系、关系矩阵与关系图 2、复合关系与逆关系 3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性） 4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包） 5、等价关系与等价类 6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界（上确界）、最大下界（下确界） 本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、偏序关系的概念 [复习要求] 1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。 2、掌握求复合关系与逆关系的方法。 3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。 4、掌握求关系的闭包 （自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。 5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法，偏序关系做哈 斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。

[疑难解析] 1、关系的概念 关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。因此，应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。 2、关系的性质及其判定 关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、偏序关系的基础。这其中对传递性的判定，难度稍大一点。不破坏传递性定义，可认为具有传递性。 ３、关系的闭包 在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。 ４、偏序关系及偏序集中特殊元素的确定 理解与掌握偏序关系与偏序集概念的关键是哈斯图。哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。

第三章 映 射 [复习知识点] 1、映射是特殊的关系（特殊在哪里？） 2、单射，满射，双射 3、复合映射 4、可逆映射及其逆映射 本章重点内容：映射是特殊的关系，单射，满射，双射

[复习要求] 1、理解作为特殊关系的映射概念。 2、掌握求复合映射与逆映射的方法。 3、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。 4、单而不满，满而不单，既单且满，不单不满，的映射都是存在的，要求能够给出例子。 [疑难解析] 映射的概念与映射种类的判定 映射的种类主要指单射、满射、双射与不单不满射。判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。

第四章 代 数 [复习知识点] 1、代数系统，一元运算，二元运算，n元运算，代数系统的型 2、代数系统中的特殊元素，零元，单位元，可逆元与其逆元，幂等元 3、代数系统中的运算律，结合律，交换律，分配律，吸收律，消去律 4、代数系统的同构与同态 5、模k加法系统，模k乘法系统 6、半群，半群举例 7、独异点，独异点举例 8、群，群的例子，子群，子群的计算，群中元素阶数的计算，循环群，循环群的生成元，计算循环群的所有生成元，置换群的运算表，构造一个6次置换群使其与模4加法群同构，构造一个4次置换群使其为4阶克莱因群 9、环的构造，环的例子，环中的零元和负元，含单位元的环中单位元与可逆元及其逆元，环中的零因子，无零因子环的例子，有零因子环的例子，域的构造，域的例子 10、格的构造，作为偏序集的格（任何两个元的上下确界都存在，的偏序集），作为代数系统的格（两个二元运算，满足结合律，交换律，吸收律，的代数系统），有界格，有补格，有补格的例子，分配格，分配格的例子，分配格中的联合消去律，分配格一个著名的判定定理，布尔代数，布尔代数的例子，原子，有限布尔代数中非零布尔元的原子表示定理，有限布尔代数的原子表示定理 本章重点内容：代数系统的概念，半群的构造，独异点的构造，群的构造和性质，子群，元素的阶数，循环群与生成元，置换群的构造，环的构造，无零因子环，有零因子环，域的构造，格的构造，有补格，分配格，布尔代数

[复习要求] 1、理解代数系统的概念，会识别代数系统中的零元、单位元、幂等元等特殊元素，理解代数系统中结合律、交换律、分配律、吸收律、消去律等运算律，理解代数系统的型，理解代数系统的同构和同态。 2、掌握半群的构造和独异点的构造，能给出半群的例子和独异点的例子。 3、掌握群的构造，能给出群的例子，会计算子群，计算群中元素的阶数，掌握循环群的构造，了解循环群的性质，计算循环群的所有生成元，掌握置换群中元素的运算，构造一个6次置换群使其与模4加法群同构，构造一个4次置换群使其为4阶克莱因群。 4、掌握环的构造，给出环的例子。能够在作为环的模k加法系统和乘法系统中计算和确定零元与负元，单位元与逆元，零因子。给出有零因子环的例子，给出无零因子环的例子。掌握域的构造，给出域的例子。 5、掌握格的构造，给出有补格和分配格的例子，给出布尔代数的例子，能识别布尔代数中的原子，叙述有限布尔代数中非零布尔元的原子表示定理、有限布尔代数的原子表示定理。

[疑难解析] 1、代数系统的概念 代数系统的概念是第四章全章的基础，应该认真理解代数系统、运算律、同构、同态等概念，并根据定义和运算性质、运算表识别特殊元素。 2、半群、独异点、群、环、域、格、布尔代数的构造、性质及其判定 严格根据定义判定，手里应当各有几个例子。 ３、群中元素的阶数 熟练掌握元素阶数的计算，则可解决子群的计算，循环群的计算，循环群所有生成元的计算等。 ４、无零因子环与有零因子环 熟悉模k加法系统和乘法系统，根据k的不同取值得到无零因子环和有零因子环。 ５、布尔代数 原子集合是深度研究和刻划布尔代数的一种工具和工作平台。

第五章 图论 [复习知识点] 1、图、完全图、子图、图的同构 2、图的矩阵表示 3、赋权图、路、最短路径，迪克斯特拉算法（Dijkstra） 4、树、生成树、二叉树 5、赋权图的最小生成树，克鲁斯卡尔算法（Kruskal） 6、有向图、有向树 7、欧拉图，半欧拉图，欧拉图的判定定理，半欧拉图的判定定理 本章重点内容： 赋权图的最短路，赋权图的最小生成树，欧拉图和半欧拉图

[复习要求] 1、理解图的有关概念：图、完全图、子图、母图、图的同构。 2、掌握图的矩阵表示。 3、理解赋权图、路的概念，掌握用Dijkstra算法求赋权图中最短路的方法。 4、理解树、二叉树与生成树的有关概念；掌握二叉树的三种遍历方法；掌握用Kruskal算法求赋权图最小生成树的方法。 5、理解有向图与有向树的概念。 6、理解欧拉图与半欧拉图的概念，会使用欧拉图和半欧拉图的判定定理 [疑难解析] 1.本章的概念较多，学习时需要认真比较各概念的含义，如：图、子图、有向图、赋权图；树、生成树、二叉树、有向树；路、简单路、回路等，这些都是图的基本概念，今后将在数据结构、数据库、计算机网络等课程中用到。 2、赋权图中的最短路 严格执行迪克斯特拉（Dijkstra）算法步骤，从起点起，到每一点求出最短路，然后进行仔细比较，最后到达终点，算出最小权和，并画出路线图。 3、赋权图中的最小生成树 赋权图中的最小生成树是图中所带权和最小的生成树，使用克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。

第六章 命题逻辑 [复习知识点] １、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题 ２、命题公式，真值表，公式分类（永真式、永假式、可满足式），公式的逻辑等价 ３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式 ４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） ５、公式的永真蕴涵 ６、命题逻辑的推理理论：推理规则和证明方法 本章重点内容：命题与联结词、公式与真值表、主析取范式与主合取范式、公式永真性的判定、推理规则和证明方法

[复习要求] １、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。 ２、理解公式与真值指派的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在变元真值指派下的真值。 ３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。 ４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。 ５、理解永真蕴涵的概念，掌握基本蕴涵式。 6、掌握命题逻辑的推理规则和证明方法。

[疑难解析] 1、公式永真性的判定 判定公式的永真性，包括判定公式是永真的或是永假的。具体方法有两