离散数学复习提纲(图论)1
离散数学复习提纲（图论）
1. 判别图6－1的两幅图是否可以一笔画出？
解 在图6－1(a ) 中，
deg(v 1)=deg(v 2)=deg(v 3)＝3
有两个以上的结点的度为3. 故在(a )中不存在欧拉通路，不能一笔画出.
在图6－1(b ) 中，deg(A )=2, deg(B ) =deg(C )= deg(D )=4，deg(E ) =deg(F )=3
只有两个奇数度的结点，所以存在欧拉通路，可以一笔画出. 一条欧拉通路，如EDBEFCABCDF .
2． 画出具有下列条件的有5个结点的无向图.
(1) 不是哈密顿图，也不是欧拉图； (2) 有哈密顿回路，没有欧拉回路； (3) 没有哈密顿回路，有欧拉回路； (4) 是哈密顿图，也是欧拉图. 解 作图如图6－3(不唯一).
(1) (2) (3) (4) 在图(1)中，可以走遍5个点，但不是回路，无哈密顿回路，故不是哈密顿图。无论指定怎样的方向，可以走遍所有边，但不是回路，不能构成欧拉路。
在图(2)中，容易找出走遍5个点的回路，即有哈密顿回路，故是哈密顿图。但是构成
回路，要么出现重复边，要么漏掉边，即不存在欧拉回路，因此不是欧拉图。
在图(3)中，不重复地走遍5个点是不可能的，故不是哈密顿图。如指定右边垂直边方
向向上，就可以画出一个走遍所有的边，又不重复的回路，所以有欧拉回路，故是哈欧拉图。
v 4 v 5 E F
A
v 2 v 3 B C v 1 D （a ） (b ) 图6－1
第1个面，边界为a b e a ，次数为3；第2个面，边界为b d e b ，次数为3； 第3个面，边界为a b c a ，次数为3；第4个面，边界为a d e a ，次数为3； 第5个面，边界为a c b d a ，次数为4。
（b ）图中共有两个面，第1个面，边界为 g f c d e f g ，次数为6； 第2个面，边界为 a b c d e f c b a ，次数为8。
4．在具有n 个结点的完全图K n 中，需要删去多少条边才能得到树？
解 n 个结点的完全图共有2
)
1(2
-=
n n C n 条边，而n 个结点的树共有n －1条边. 因此需要删去2
)2)(1()1(2
--=--n n n C n 条边后方可得到树.
5．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树.
证明 由树的定义可知，只需证G 连通即可. 任取不相邻两点u ,v , 由题设，加上边就形成一回路，于是去掉边,从u 到v 仍有路u ,…,v ，即u ,v 连通，由u ,v 的任意性可知，G 是连通的，故G 必是树.
6．如图6－5是有6个结点a ,b ,c ,d ,e ,f
的带权无向图，各边的权如图所示. 试求 其最小生成树.
解 构造连通无圈的图，即最小生成树，
b ? 23 1 15
c ? 25 ? a 4 ? f 28 9 16 3
d ? 15 ?
e 图6－5
用克鲁斯克尔算法：
第一步： 取ab ＝1；第二步： 取af =4；第三步： 取fe =3；第四步： 取ad =9； 第五步： 取bc =23.
如图6－6。权为1+4+3+9+23=30
7．试画出一棵带权1，2，2，3，4，5，5，6，7，8，10的最优二叉树。
解：最优二叉树如下：
9．试证明下图中两个无向图是不同构的。
10．一个简单无向图同构于它的补图，称为自补图，证明其结点必是4k 或者4k+1.
11．非平凡的树至少有两个叶子。
12．证明: 在任何n (n ≥2)个顶点的简单图G 中，至少有两个顶点具有相同的度。
证 如果G 有两个孤立顶点，那么它们便是具有相同的度的两个顶点。
如果G 恰有一个孤立顶点，那么我们可对有n – 1 个顶点但没有孤立顶点的G’（它由G 删除孤立顶点后得到）作下列讨论。
不妨设G 没有孤立顶点，那么G 的n 个顶点的度数应是：1，2，3，…，n –1 这n –1种
b ? 23 1
c ? ? a 4 ? f 9 3
d ? ?
e 图6－6
可能之一，因此必定有两个顶点具有相同的度。
13．n 个城市间有m 条相互连接的直达公路。证明：当2)
2)(1(-->
n n m 时，人们便能通
过这些公路在任何两个城市间旅行。
证 用n 个顶点表示n 个城市，顶点间的边表示直达公路，据题意需证这n 个城市的公路网络所构成的图G 是连通的。反设G 不连通，那么可设G 由两个不相关的子图（没有任何边关联分别在两个子图中的顶点）G1，G2组成，分别有n 1，n 2个顶点，从而，n = n 1+n 2，n 1 ≥1，n 2 ≥1。
由于各子图的边数不超过2)
1(-i i n n ，因此G 的边数m 满足： ))
1()1((21
)1(2122111-+-=-≤∑=n n n n n n m k i i i
))
1)(1()1)(1((21
21--+--=n n n n
)
2)(1(21
)2)(1(21
21--=-+-=n n n n n
与已知2)2)(1(-->
n n m 矛盾，故图G 是连通的。
14．有7人a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 分别精通下列语言，问他们7人是否可以自由交谈（必要时借助他人作翻译）。 a 精通英语。
b 精通汉语和英语。
c 精通英语、俄语和意大利语。
d 精通日语和英语。
e 精通德语和意大利语。
f 精通法语、日语和俄语。
g 精通法语和德语。
解 下图中7个顶点表示7个人，关联两个顶点的边表示两个人同时精通某一种语言：
由于该图是连通的，因此他们7人是可以自由交谈（必要时借助他人作翻译）。
15．证明：恰有两个奇数度顶点u,v 的无向图G 是连通的,当且仅当在G 上添加边（u ，v ）后所得的图G*是连通的。
证 必要性是显然的。
a
b d
c e g f
设G*是恰有两个奇数度顶点u,v的无向图G添加边（u，v）后所得，且是连通的,那么图G*是一个欧拉图（每一个顶点都是偶数度的连通图），因此G*中删除边（u，v）后所得的图G仍是连通的。
判别图8.31中各图是否为哈密顿图，若不是，请说明理由，并回答它是否有哈密顿通路。
图8.31
解（a），(b) 是为哈密顿图。(c) 不是哈密顿图，也没有哈密顿通路。在图(c)中增加顶点k ，并对其顶点做二着色，构成图(d)（如下）。图(d) 不是哈密顿图，也没有哈密顿通路。因为图中白色顶点比黑色顶点多两个。故(c) 不是哈密顿图，
课后习题:
p279: 1，2，3，5
p287: 3，4，5，7，8
p300: 1，2，3，4
p311: 1，2，3，6
p317: 1，2，4
p321: 1，3，5
p327: 1，2，6
p337: 1，3，6，8
《离散数学》复习提纲(2018)
《离散数学》期末复习大纲 一、数理逻辑 [复习知识点] 1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题 2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足）， 公式的基本等值式 3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式 4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） 5、命题逻辑的推理理论 6、谓词、量词、个体词（一阶逻辑3要素）、个体域、变元（约束出现与自由出 现） 7、命题符号化、谓词公式赋值与解释，谓词公式的类型（永真、永假、可满足） 8、谓词公式的等值式（代换实例、消去量词、量词否定和量词辖域收与扩、量 词分配）和置换规则（置换规则、换名规则） 9、一阶逻辑前束范式（定义、求法） 本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、 公式类型的判定、命题逻辑的推理、谓词与量词、命题符号化、谓词公式赋值与 解释、求前束范式。 [复习要求] 1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方 法。 2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简 其它公式，公式在解释下的真值。 3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取） 范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。 4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公 式等价方法。 5、掌握命题逻辑的推理理论。 6、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑
联结词描述一个简单命题；掌握命题的符号化。 7、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定 解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。 8、掌握求一阶逻辑前束范式的方法。 二、集合 [复习知识点] 1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂 集 2、集合的交、并、差、补以及对称差等运算及有穷集的计数（文氏（Venn）图、包含排斥原理） 3、集合恒等式（幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、矛盾律、德摩根 律等）及应用 本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明。 [复习要求] 1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。 2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补、对称差等基本运算。 3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。 三、二元关系 [复习知识点] 1、序偶、迪卡儿积，迪卡儿积的性质及运算。 2、二元关系（定义、空关系、全域关系、恒等关系）、关系表达式、关系矩阵与 关系图 3、关系的定义域、值域、限制、像、复合关系（右复合）与逆关系 4、关系的性质（自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性） 5、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包） 6、等价关系与等价类、商集、划分 7、偏序关系与哈斯图、极大/小元、最大/小元
离散数学复习要点
离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1?1，0∨0?0，1→0?0，11?1，00?1详见P5 3、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式：(1)双否定：??A?A。(2)交换律：A∧B?B∧A，A∨B?B∨A，A?B?B?A。3)结合律：(A∧B)∧C?A ∧(B∧C)，(A∨B)∨C?A∨(B∨C)，(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律：A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律：?(A∧B)??A∨?B，?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律：A∧A?A，A∨A?A。(7) 同一律：A∧T?A，A∨F?A。(8) 零律：A∧F?F，A∨T?T。(9) 吸收律：A∧(A∨B)?A，A∨(A∧B)?A。(10) 互补律：A∧?A?F，(矛盾律)，A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律：A→B??A∨B，A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律：A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法：①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中，前件为真的行，后件也为真或者后件为假的行，前件也为假。④用定义，证A?B，即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤：①使用命题定律，消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词；②使用?(?P)?P和德·摩根律，将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前；③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤：(a)把给定公式化成析取（合取）范式；(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取（析取）式；(c)用等幂律化简简单合取（析取）式中同一命题变元的重复出现为一次出现，如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取（析取）式中未出现的所有命题变元，如Q，则P?P∧（?Q∨Q)或P?P∨（?Q∧Q)，并用分配律展开之，将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现，这样得到了给定公式的主析取（合取）范式。 注意：主析取范式与主合取范式之间的联系。例如：(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2，即剩下的编码就是另一个主范式的编码，因此，求主范式，哪一个简单易求，就先求哪个，然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明：重点方法：演算、演绎法（常用的格式）、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则（主要蕴含式）：(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P，(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q，(P→Q)??P拒取式(10) ?P，(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q)，(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q)，(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步：一命题符号化，二写出前提和结论，三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走，看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3．下列为两个命题变元P，Q的小项是（） A．P∧Q∧? P B．? P∨Q C．? P∧Q D．? P∨P∨Q 4．下列语句中是真命题的是（） A．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那雪是黑的 5．设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） A．? P∧? Q B．? P∨? Q C．?（P?Q） D．?（? P∨? Q） 6．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）A．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式 7．命题公式?（P∧Q）→R的成真指派是（） A．000，001，110，B．001，011，101，110，111 C．全体指派D．无 8．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）
离散数学图论与系中有图题目
离散数学图论与系中有图题目
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图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数 （1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。 （2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因 为此图的最大度()4G ?=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤?=，因而()4G χ=。 （对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ?=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着 色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1） ()2G χ=；（2） ()3G χ=； （3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T 要放进贮藏室保管。出于安全原因， 下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, 4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图 (2) (1) (3) (2)(1)
离散数学图论复习
离散数学11春图论部分综合练习辅导 大家好！本学期的第二次教学辅导活动现在开始，本次活动主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式同样是通过讲解一些典型的综合练习作业题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法． 图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法．教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等． 本次综合练习主要是复习这一单元的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题．这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习． 下面是本学期第4，5次形考作业中的部分题目． 一、单项选择题 单项选择题主要是第4次形考作业的部分题目． 第4次作业同样也是由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分．在每次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩．需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目． 1．设图G ＝
东北大学离散数学复习总结
方法、知识点总结（知识重点和考题重点） 前三章重点内容（知识重点）： 1、蕴含（条件）“→”的真值 P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真，推出后件也为真。 <2>假设后件为假，推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用 4、重要公式 重言蕴涵式：P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变
等价公式：幂等律 P∧P=P P∨P=P 吸收律 P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律 P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法（最方便就是真值表法） 6、派遣人员、课表安排类算法： 第一步：列出所有条件，写成符号公式 第二步：用合取∧连接 第三步：求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如 ~ , ~, ~ => R->S R P(附加条件) ... ... S T
R->S CP 8、谓词基本内容 注意：任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式 量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式， 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)； 2)如果量词前有“﹁?”，则用量词否定公式﹁?”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁?”后移到原子谓词公式之前； 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)；
离散数学复习提纲(图论)1
离散数学复习提纲（图论） 1. 判别图6－1的两幅图是否可以一笔画出？ 解 在图6－1(a ) 中， deg(v 1)=deg(v 2)=deg(v 3)＝3 有两个以上的结点的度为3. 故在(a )中不存在欧拉通路，不能一笔画出. 在图6－1(b ) 中，deg(A )=2, deg(B ) =deg(C )= deg(D )=4，deg(E ) =deg(F )=3 只有两个奇数度的结点，所以存在欧拉通路，可以一笔画出. 一条欧拉通路，如EDBEFCABCDF . 2． 画出具有下列条件的有5个结点的无向图. (1) 不是哈密顿图，也不是欧拉图； (2) 有哈密顿回路，没有欧拉回路； (3) 没有哈密顿回路，有欧拉回路； (4) 是哈密顿图，也是欧拉图. 解 作图如图6－3(不唯一). (1) (2) (3) (4) 在图(1)中，可以走遍5个点，但不是回路，无哈密顿回路，故不是哈密顿图。无论指定怎样的方向，可以走遍所有边，但不是回路，不能构成欧拉路。 在图(2)中，容易找出走遍5个点的回路，即有哈密顿回路，故是哈密顿图。但是构成 回路，要么出现重复边，要么漏掉边，即不存在欧拉回路，因此不是欧拉图。 在图(3)中，不重复地走遍5个点是不可能的，故不是哈密顿图。如指定右边垂直边方 向向上，就可以画出一个走遍所有的边，又不重复的回路，所以有欧拉回路，故是哈欧拉图。 v 4 v 5 E F A v 2 v 3 B C v 1 D （a ） (b ) 图6－1
第1个面，边界为a b e a ，次数为3；第2个面，边界为b d e b ，次数为3； 第3个面，边界为a b c a ，次数为3；第4个面，边界为a d e a ，次数为3； 第5个面，边界为a c b d a ，次数为4。 （b ）图中共有两个面，第1个面，边界为 g f c d e f g ，次数为6； 第2个面，边界为 a b c d e f c b a ，次数为8。 4．在具有n 个结点的完全图K n 中，需要删去多少条边才能得到树？ 解 n 个结点的完全图共有2 ) 1(2 -= n n C n 条边，而n 个结点的树共有n －1条边. 因此需要删去2 )2)(1()1(2 --=--n n n C n 条边后方可得到树. 5．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树. 证明 由树的定义可知，只需证G 连通即可. 任取不相邻两点u ,v , 由题设，加上边就形成一回路，于是去掉边,从u 到v 仍有路u ,…,v ，即u ,v 连通，由u ,v 的任意性可知，G 是连通的，故G 必是树. 6．如图6－5是有6个结点a ,b ,c ,d ,e ,f 的带权无向图，各边的权如图所示. 试求 其最小生成树. 解 构造连通无圈的图，即最小生成树， b ? 23 1 15 c ? 25 ? a 4 ? f 28 9 16 3 d ? 15 ? e 图6－5
离散数学复习知识点
复习知识点： 第1章 1． 命题、真命题、假命题 2． 命题符号化（连接词） 设P ：天下大雨，Q ：他在室内运动，命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”可符合化为（ D ） A ．Q P ∧? B ．Q P →? C ．Q P ?→? D ．Q P ?→ 设P ：只有你通过了大学英语六级考试，Q ：你是英语专业的学生，R ：你可以选修这门课程。命题“只有你通过了大学英语六级考试而且不是英语专业的学生，才可以选修这门课程”( B ) A ．R Q)(P →∧ B ．R Q)(P →?∧ C ．R Q)(P ??∧ D ．R Q)(P ?∧ 3． 什么是命题公式 4． 命题公式的等价式 5． 利用逻辑等价关系证明下面的等价关系 证明： 6． 用真值表法求命题公式的主析取范式和主合取范式 7． 符号化以下语句，并推证结论的有效性。 有些学生相信所有的老师，任何一个学生都不相信骗子，所以老师都不是骗子。 解：设论述域为全总个体域，S(x)：x 是学生，T(x)：x 是老师，P(x)：x 是骗子，L(x,y)：x 相信y 。将前提和结论符号化为 （1）y)))L(x,y(T(y)x(S (x)→?∧? P （2）y))L(a,y(T(y)S (a)→?∧ T1，ES （3）S(a) T2，I （4）y))L(a,y(T(y)→? T2，I （5）b)L(a,T(b)→ T4，US （6）y)))L(x,y(P(y)x(S (x)?→?→? P （7）y))L(a,y(P(y)S (a)?→?→ T6，US
（8）y))L(a,y(P(y)?→? T3,7，I （9）b)L(a,P(b)?→ T8，US （10）P(b)b)L(a,?→ T9，E （11）P(b)T(b)?→ T5,10，I （12）P(x))x(T(x)?→? T11，UG 侦查员在调查了某珠宝店的珠宝失窃案现场以及询问了认证之后，得到以下事实： （1） 是营业员甲或营业员乙作案。 （2） 如果是甲作案，则案发在非营业时间。 （3） 如果乙提供的证词可信，则案发时货柜未上锁。 （4） 如果乙提供的证词不可信，则案发在营业时间。 （5） 货柜在案发时上锁了。 侦查员推断是营业员乙作案，请用命题逻辑判断该推断是否正确。 解：设P ：甲作案；Q ：乙作案；R ：发在营业时间；S 乙的证词可信； T ：案发时货柜未上锁。 由题意可知，前提为：Q P ∨，R P ?→，T S →，R S →?，T ? 推理过程： （1）T ? P （2）T S → P （3）S ? T1，2，I （4）R S →? P （5）R T3，4，I （6）R P ?→ P （7）P ? T5，6，I （8）Q P ∨ P （9）Q P →? T8，E （10）Q T7，9，I 所以Q P ∨，R P ?→，T S →，R S →?，T ?Q ?
离散数学图论部分综合练习讲解.doc
离散数学图论部分综合练习 1．设图G＝
8．无向图G 存在欧拉通路 ,当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 9．设G 是有n 个结点 ,m 条边的连通图 ,必须删去G 的( )条边 ,才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 10．无向简单图G 是棵树 ,当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点 ,2个2度结点 ,3个3度结点 ,4个4度结点 , 则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示) ,则图G 的点割 集是 ． 3．若图G=
离散数学复习要点 (2)
离散数学复习 2018.1.3 第1章数学语言与证明方法 知识点1：幂集的定义 幂集的元素个数计算，如果A有n个元素，那么P（A）有2的n次方个元素例1 φ的幂集P（φ）的元素个数为1，因为2的0次方为1.即{φ}。 {φ}的幂集P（{φ}）元素个数为2，其幂集为{φ，{φ}} 知识点2：集合的运算 P8的公式，特别要注意下面的公式： A-B=A ~B ~~A=A ~(A B)= ~A ~B ~(A B) = ~A ~B A⊕B=（A - B） (B - A) 知识点3 文氏图 P7 用文氏图表达集合运算 第2章命题逻辑 1 成真赋值，成假赋值 例1：求(p∨q)→r的成假赋值 若上式子成假，必须(p∨q)为1，r为0 故成假赋值为110 ，100，010 2可满足式，矛盾式，永真式的定义 3 合取范式，析取范式的定义 4 极大项，极小项的定义。 例2 求(p∨q)→r的合取范式的极大项，析取范式的极小项 解成假赋值为110，100，010，故此有三项极大项， (p∨q)→r?M2∧M4∧M6 成真赋值为000，001，011，101，111，故此析取范式有五项极小项 (p∨q)→r?m0∨m1∨m3∨m5∨m7 5 联接词完备集 {∨，?，∧}是完备的，因为→和?都可以用前三个符号来表达 例如p?q?（p→q）∧（q →p）
（p→q）??p∨q {?，∧}也是完备的 因为p∨q??(?(p∨q)) ??(?p∧?q) 但{∨，∧}就不是完备的 6 命题符号化和定理证明 例如小王学过英语或者日语。如果小王学过英语，则他去过英国，如果他去过英国，他也去过日本。所以小王学过日语或者去过日本。 证明： 1）p：小王去过英语；q：小王学过英语 r : 小王去过英国s：小王去过日本 2）前提：p∨q，p→r，r→s 结论：q∨s 3）构造证明过程： 1 p→r 前提引入 2 r→s 前提引入 3 p→s 1，2假言三段伦 4 p∨q 前提引入 5 ??p∨q 4置换 6 ?q→p 5置换 7 ?q→s 6，3假言三段 8 q∨s 7置换 7 归结法证明： 例子：用归结法证明上述命题 1）p：小王去过英语；q：小王学过英语 r : 小王去过英国s：小王去过日本 2）前提：p∨q，p→r，r→s 结论：q∨s 用归结法改写为下述形式： 前提：p∨q，?p∨r，?r∨s，?q，?s 结论0 证明： 1 ?r∨s 前提引入 2 ?s 前提引入 3 ?r 1，2归结 4 ?p∨r 前提引入 5 ?p 3，4归结 6 p∨q 前提引入 7 q 6，7归结 8 ?q 前提引入 9 0 7，8归结
离散数学重点难点复习提纲
第一部分数理逻辑 第一章命题逻辑 重点： ●熟练掌握联结词的定义； ●掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义； ●熟记基本的等价公式和蕴涵公式； ●利用真值表技术和公式法求公式的主析取范式和主合取范式； ●熟练掌握应用基本推理方法完成命题逻辑推理： 1.直接证法 2.反证法 3.CP规则 难点： ●如何正确地掌握对语言的翻译； ●如何利用推理方法正确的完成命题推理。 第二章谓词逻辑 重点： ●谓词、量词、个体域的概念； ●谓词逻辑中带量词命题的符号化； ●熟记基本的谓词等价公式； ●求公式的前束范式； ●掌握谓词逻辑的推理规则以及能够熟练地完成一阶逻辑推理；难点： ●谓词逻辑中带量词命题的符号化； ●如何利用推理方法正确地完成一阶逻辑推理。
第二部分集合论 第三章集合与关系 重点： ●掌握集合的五种基本运算和集合相等的证明方法； ●幂集的概念以及和子集的关系； ●序偶和笛卡尔积的概念； ●关系定义及其和笛卡尔积之间的联系； ●关系的复合； ●关系的五种性质及其判断和证明； ●关系的闭包； ●等价关系定义、证明及其与等价类、集合的划分间的关系； ●偏序关系的定义和证明，哈斯图； ●偏序关系中的特殊元素； 难点： ●如何正确证明集合之间包含和相等关系； ●如何正确地理解和判断关系的性质； ●非常重要的关系性质的证明方法——按定义证明法； ●如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系； ●如何正确地理解和判断偏序关系中的八种特殊元素。 第四章函数
重点： ●能够判定某个二元关系是否是函数； ●几种特殊的函数：满射，单射，双射； 难点： ●如何正确地判断三种特殊函数。 第三部分代数结构 重点： ●理解代数结构的构成和研究方法； ●代数结构中运算的性质以及特殊元素； ●广群?半群?独异点?群； ●群的定义与性质； ●环与域的判断和证明； ●格的两种定义； ●特殊格：分配格、有界格、有补格、有补分配格； ●有补分配格与布尔代数之间的联系； 难点： ●循环群的判断和证明； ●如何正确理解由偏序关系定义的格与由代数系统定义格之间的关系 和区别； ●如何正确理解布尔代数的概念。 第四部分图论 重点： ●掌握图论的基本定理：握手定理及其推论的内容，并且能灵活地应用 （如已知边数和一些结点的度数，求另一些结点的度数等），在图论 中的很多证明都要用到握手定理及推论。 ●熟悉图的矩阵表示，在理解通路和回路相关概念的基础上，掌握可达