控制系统的频率特性

对数幅频特性是对数值20lgA(ω)和频率ω的关系曲线。 对数相频特性是相角φ(ω)和频率ω的关系曲线。 这两条特性曲线画在半对数坐标纸上，采用同一个横坐 标作为频率轴。横坐标采用对数分度，但标写的却是ω 实际值，单位为弧度/秒（rad/s).
L() (dB)
40 20 0 0.01 -20 -40 0.1 1 10 100 (rad/s)
指数式
G( j ) G( j ) e jG ( j ) A( )e j ( )
A G j U 2 V 2
U A cos
V arctan U
1
幅频特性 A G j
1 T 2T
2 2 2
1
2
1 A G j 2 2T 1 arctan 2 1 2T 2 2T 2T 2 T 相频特性 1 G j 2 T 2 arctan 1 T 1 arctan 1 2T 2 T 2 2 1 T T G j arctan 2T 1 2 2 1 T T
( ) arctan T 稳态输出相位 输入相位 RC网络相频特性
1 1 T
2 2
arctan T
将s以j 代入RC网络传递函数，即得RC网络频率特性
1 1 G( j ) RCj 1 1 jT

1 1 2T 2
e j ( arctanT )
A( )e j ( )
RC电路的这一特性，对于任何稳定的线性网络都成立 虽然在前面的分析中，设定输入信号是正弦信号，然而频
率特性是系统的固有特性，与输入信号无关，
即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。
频率特性定义为输出量的Fourier变换与输入量
的Fourier变换之比，即
7 勾画大致曲线，
4.3 频率响应的Bode图(对数坐标图)
幅相频率特性的优点：
在一张图上把频率ω由0到无穷大区间内各个频率 的幅值和相位都表示出来。 缺点：
在幅相频率特性图上，很难看出系统是由哪些环节组成 的，并且绘图较麻烦。 对数频率特性能避免上述缺点，因而在工程上得到广泛 的应用。
一.对数频率特性的坐标

2
3. 微分环节
频率特性
G( j ) j
L() 20dB/dec
对数幅频特性
0.1
1
10

L( ) 20 lg G( j ) 20 lg
对数相频特性
()
90° 0° 0.1 1 10

( )

2
4.一阶惯性环节
频率特性
1 G j 1 jT
当T=1时， T ＝1/T称为转折频率，
5. 一阶微分环节
频率特性
G( j ) j 1
对数幅频特性
L( ) 20 lg 2 2 1
对数相频特性
arctan
6.二阶振荡环节
频率特性
G j ) j 2 n n
RC网络的幅相曲线绘在s平面上
jv →∞ 0 -45° 0.707 =1/T =0 u
4.2 频率响应的Nyquist 图
一. 典型环节的Nyquist图
1. 放大环节
频率特性 幅频特性
G j K
A G j K
jv K 0 u
相频特性
G j 0o
p1
1 2 4 1倍频程 1倍频程
p2
p3
6 8 10 20 40 60 80 100 1倍频程 1倍频程
10倍频程 10倍频程
(a)
10倍频程
1
2
3
4
(b)
5
6
7
二.典型环节的 Bode图
1. 放大环节
频率特性
G( j ) K
L()
20lgK 0 0.1 1 10
对数幅频特性
L( ) 20 lg A( ) 20 lg K
2. 积分环节
j ( ) 频率特性 G j 1 1 e 2 j

jv 0

幅频特性 A G j 1 相频特性

u →∞ =0
G j 90
3. 微分环节
频率特性
G j j e
j

2
jv
幅频特性 A G j
对数幅频特性 L( ) 20 lg G( j ) 20 lg 2T 2 1 对数相频特性
arctan T
低频段，当很小，T<<1时，L()=0dB 高频段，当很大，T>>1时，L()=－20lg(T) 惯性环节的Bode图可用上述低频段与高频段两条渐近线的 折线近似表示，
输入信号 输出信号
xi t A sin t
AT x0 t e 2 2 1 T
系统稳态输出

t T

A 1 T
2 2
sin t arctanT
lim x0 t
t
A 1 2T 2
sin t arctan T
定义：
A / 1 2T 2 1 稳态输出幅值 RC网络幅 A( ) 频特性 2 2 A 输入幅值 1 T
7. 二阶微分环节
G( j ) ( j / n ) 2 ( j / n ) 1
2
8. 延迟环节
频率特性
L()
0.1 1 10
G j e j
对数幅频特性

()
0° 0.1 1 10

L( ) 20lg G( j ) 20lg1 0dB
相频特性
2T 1 arctan 1 2T 2 ( T ) ( ) arctan 2T ( 1 ) T 1 2T 2
在低频段，很小，φ(ω)约等于0，高频段，很大， φ(ω) ＝－，转折频率处，
1 n , ( n ) T 2
T
二.Nyquist图的一般作图方法
1 分别写出开环系统中各个典型环节的幅频特性和相 频特性。 2 写出开环系统的A(ω)和φ(ω)表达式。 3 分别求出ω=0和ω为无穷时的G(j ω)。 4 求Nyquist与实轴交点，交点可用Im[G(j ω)]=0求出。 5 求Nyquist与虚轴交点，交点可用Re[G(j ω)]=0求出。 6 必要时再画出中间几点。
V A sin
二. 频率特性的几何表示
1. 幅相频率特性（Nyquist 图） 当频率 从0到无穷大变化 时，向量G(j )的端点在复 平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过 的角度为正，顺时针转过的角度为负。 2. 对数频率特性（Bode图） 由两张图组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频 特性。


jv →∞ 0 n n n =1 =0.5 =0.3 =0 1 u
振荡环节的 Nyquist曲线不 仅与频率 有关，而且与 阻尼比ξ也有关。 ξ 越小， 幅频越大。 当ξ 小到一定程度时，幅 频将会出现峰值：
M r A( r )
r为谐振频率
Mr为谐振峰值
r n 1 2 2
4) 频率特性分析法不仅适用于线性系统，而且可以推广到某些非线 性系统。
5) 当系统在某些频率范围存在着严重噪声时，应用频率法，可以设 计出能够很好抑制这些噪声的系统。
4.1 频率特性
一.频率特性的基本概念
xi (t) xi (t) t R C xo(t)
RC网络的传递函数为
X 0 s 1 G( s) X i s Ts 1
5. 一阶微分环节
频率特性
G j Tj 1
jv
2 45°
幅频特性 A 1 T 2 相频特性 实频特性
∞ ↑ =0 u
arctan T
0
1
U ( ) 1
6. 二阶振荡环节
频率特性
G j
j 2 T 2 j 2T 1
X 0 j G j X i j
频率特性的矢量图
jv V () A() () 0 U() u G(j)
频率特性是一个复数，有三种表示：
代数式
极坐标式
G j U jV
G( j ) G( j ) G( j ) A( ) ( )
第4章 控制系统的频率特性
4.1 频率特性 4.2 频率响应的Nyquist 图 4.3 频率响应的Bode图 4.4 控制系统的闭环频率响应
时域分析法研究系统的各种动态与稳态性 能比较直观、准确
缺点是： 1. 当某些系统工作机理不明了时，数学模型难以确定， 因而无法分析系统性能。
2. 当系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确
对数相频特性

()
0° 0.1 1 10
( ) 0
o

2.积分环节
频率特性
G ( j ) 1 j
L() -20dB/dec
0.1 1 10
对数幅频特性
L( ) 20 lg 1 20 lg j

()
0° 0.1 -90° 1 10
对数相频特性

( )
定应该如何调整系统来获得预期效果。
频域法是利用频率特性研究自动控制系统的一种古典方 法，它有如下特点
1) 应用Nyquist(奈奎斯特)稳定性判据，可以根据系统的开环频率特 性，研究闭环系统的稳定性，而不必求特征方程的根。 2) 对于二阶系统，频率响应和瞬态响应的性能指标之间有确定的对 应关系，而高阶系统也存在类似的关系。因为系统的频率特性与系 统参数、结构之间有着密切关系，所以可以利用研究频率特性的方 法，把系统的参数、结构变化和瞬态响应性能指标之间联系起来。 3) 频率特性有明确的物理意义，很多元件的这一特性都可以用实验 的方法确定，这对难于分析其物理规律来列出微分方程的元部件和 系统，有很重要的工程实际意义。