九年级数学直线和圆的位置关系2
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《直线和圆的位置关系》第2课时示范公开课PPT教学课件【九年级数学下册北师大版】
∠BIC
解：连接OA，∵l⊥OC∴∠AMO=90°，AM= AB=4cm
l
O
A
M
B
C
∴在Rt△AMO中，AO²=AM ²+OM ²∴OM=3cm
∴向下平移2 cm或向上平移8 cm.
∴CM=OC- OM=2cm
∠BIC
3.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
例1 如图，△ABC内接于⊙O，CD与AB的延长线相交于点D，且∠BCD=∠BAC.CD是⊙O的切线吗？为什么？
解：
D
O
CD是⊙O的切线.理由如下：
则∠CBE = 90°.
∴∠BEC + ∠BCE= 90°.
连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接EB，
E
∵∠BEC = ∠BAC，∠BAC=∠BCD，
证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON. ∵EF=GH=MN，OE=OF=OG=OH=OM=ON， ∴△OEF≌△OGH≌△OMN. ∴OD=OP=OQ. ∴点O是△ABC的内心．
都是沿切线方向飞出的.
如图所示，OA是⊙O的半径，直线l经过点A，l与OA的夹角为∠α，当l绕点A旋转时:
(1) 随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大；当∠α=90°时，d达到最大，此时d=r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小.直线l与⊙O的位置关系由相交到相切再相交.
∴∠BCD+ ∠BCE= 90°.
∴EC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
∠BIC
解：连接OA，∵l⊥OC∴∠AMO=90°，AM= AB=4cm
l
O
A
M
B
C
∴在Rt△AMO中，AO²=AM ²+OM ²∴OM=3cm
∴向下平移2 cm或向上平移8 cm.
∴CM=OC- OM=2cm
∠BIC
3.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
例1 如图，△ABC内接于⊙O，CD与AB的延长线相交于点D，且∠BCD=∠BAC.CD是⊙O的切线吗？为什么？
解：
D
O
CD是⊙O的切线.理由如下：
则∠CBE = 90°.
∴∠BEC + ∠BCE= 90°.
连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接EB，
E
∵∠BEC = ∠BAC，∠BAC=∠BCD，
证明：如图，过点O作OD⊥AB于点D，OP⊥BC于点P，OQ⊥AC于点Q，连接OE，OF，OG，OH，OM，ON. ∵EF=GH=MN，OE=OF=OG=OH=OM=ON， ∴△OEF≌△OGH≌△OMN. ∴OD=OP=OQ. ∴点O是△ABC的内心．
都是沿切线方向飞出的.
如图所示，OA是⊙O的半径，直线l经过点A，l与OA的夹角为∠α，当l绕点A旋转时:
(1) 随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大；当∠α=90°时，d达到最大，此时d=r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小.直线l与⊙O的位置关系由相交到相切再相交.
∴∠BCD+ ∠BCE= 90°.
∴EC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
∠BIC
人教版数学九年级上册：直线和圆的位置关系课件
2.如图所示，以△ABC的边AB为直径做⨀O，点C在⨀O上，
BD是 ⨀ O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，
过点C作CE∥BD交AB延长线于点E。
(1)求证：CE是⨀O的切线。
(2)求证：CG=BG
(3)若∠DBA=30°，CG=4，求BE的长。
D
A
C
G
O F
B
E
3.如图：过 ⨀的圆心O作OP⊥ ℓ1 于点P，若直线ℓ1
到直线的距离。
ℓ3
相交
相切
相离
2
1
ℓ1
ℓ2
3
ℓ3
直线与圆相交⇌ ＜ ⇌直线与圆有两个交点
直线与圆相切⇌ = ⇌直线与圆只有一个交点
直线与圆相离⇌ ＞ ⇌直线与圆无交点
如图：已知∠AOB =60°，P为∠AOB平分线上一点。
以P为圆心，4为半径作⨀P。
A
直线和圆的位置关系
如图，直线ℓ1 外有一点P，在直线ℓ1 上分别取
A,B,C三点并连接。哪条线段是P到ℓ1 的距离？
P
A
B
ℓ
C 1
点到直线的距离指的是什Leabharlann ？直线和圆的位置关系2
1
ℓ1
3
ℓ2
ℓ3
直线和圆的位置关系有三种
1
ℓ1
相交
相切
2
3
ℓ2
相离
视察三种情况直线和圆的交点数量；圆心
要成为⨀的切线，需要满足什么条件？
O
P
ℓ1
4.如图：在梯形ABCD中，AD∥BC,∠D=90°；AD+BC=AB,
初中数学教学课件：直线和圆的位置关系(第2课时)(人教版九年级上)
跟踪训练
1. 如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C 在圆上,∠CAB=30°. 求证:DC是⊙O的切线.
证明: 连接OC、BC.
由AB为直径可得∠ACB=90°.
∠A=30°，可得BC= 1 AB=OB， 2
A
∠ABC= 60°，又BD=OB ∴ BC=BD，
∠BCD=30°
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2.数量法(d=r):到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. 3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆 的切线. 即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心， 说明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未 指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长 等于圆的半径．
几何应用: ∵OA⊥l,∴l是⊙O的切线.
已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?
例题
【例1】直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证: 直线AB是⊙O的切线. 证明: 连结OC ∵OA=OB, CA=CB ∴△OAB是等腰三角形, OC是底边AB上的中线 ∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线
【解析】由题意知该圆的半径为3，而直线DC到圆心 的距离即直线DC到AB的距离为４，所以相离. 答案：相离
3.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，过点E作DE⊥AC 于点E．求证：DE是⊙O 的切线．
证明: 连接OD，则OD=OB,∠B=∠1.
∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,∴∠1=∠C.
3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,以点D
为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明AC是⊙D的切线.
人教版九年级数学上册《直线和圆的位置关系》第2课时教学课件
例3
如图，△ 内接于大圆 O ， 是 的中点，
∠ = ∠，以 为圆心， 为半径作小圆 .
求证：、 分别是小圆的切线.
与小圆相切 与小圆公
共点未明确
过圆心 作 的
垂线段
= ，即 =
=
与小圆相切 为 与小
∵ 为⊙ 的半径
且 ⊥ ，
∵
∵
= ，
为⊙ 的切线.
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1
直线经过半径外端点
（直线与圆有公共点）
2
直线与圆相切
直线垂直于这条半径
∵ 为⊙ 的半径且 ⊥ 于
为⊙ 的切线.
，
∵
圆的切线的判定方法
直线垂直于半径，简记为“连半径，证垂直”；
如果直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心
作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半
径，简记为“作垂直，证半径”.
课 堂 小 结
1 直线与圆相切是直线与圆位置关系中最特殊的一种；
2 一般的，当证明某直线是圆的切线时，如果已知直
线过圆上一点，应“连半径，证垂直”，即作出过
∵ 为小圆 的半径，
与小圆 相切.
∵ △ 内接于大圆 ，
= .
∵ ∠ = ∠，
= ，
= .
连接 ，可得 = ，
与小圆 相切.
∵
∵ 是 的中点，
∵
例3
当证明某直线是圆的切线时，如果已知直
线过圆上一点，则作出过这一点的半径，证明
人教版九年级数学上册直线和圆的位置关系精品ppt课件
人教版（ 九2年01级2）数九学年上级册数直学线上和册圆的位24置.2关.2系直线精和品圆pp的t 课位件置关系（2） 课件（25张ppt）
归纳分析
例1与例2的辅助线、证法有何不同?
〖例1〗已知：直线AB经过 ⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
〖例2〗已知：O为∠BAC平分上
人教版九年级数学上册直线和圆的位 置关系 精品ppt 课件
判 断×
×
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） ×
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过l 半径的rO 端点与半径垂直rO的直线l 是圆的切线rO（
l）
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线垂直于这条半径。
O.
那过点O可作OB⊥ l 于点B,
则OA为直角三角形的斜边，
AB l
OB的长就是圆心0到切线l的距离,即OA=OB，
这与“直角三角形的斜边大于直角边”相矛盾，
所以半径OA与切线 l 不垂直的假设不成立。
那半径OA与切线 l 垂直成立。
人教版（ 九2年01级2）数九学年上级册数直学线上和册圆的位24置.2关.2系直线精和品圆pp的t 课位件置关系（2） 课件（25张ppt）
九年级 上册
24.2.2 直线和圆的位置关系（2）
切线的判定与性质
直线和圆相切
．
O
切
切点 A
线
利用切线的定义: 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
利用d与r的关系作判断: 当d＝r时直线是圆的切线。
人教九年级数学上册《直线和圆的位置关系(二)》课件
第3课时 直线和圆的位置关系（2）
问题
1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方 向是什么方向？
2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
●创设情境 明确目标
在纸上画一个⊙O和圆上一点A，根据所学知识 ，如何画出这个圆的过点A的一条切线？ ⑴能画几条？ ⑵有几种画法？ ⑶你怎么确定你所画的这条直线是⊙O的切线？
❖ 1、切线的判定方法； ❖ 2、切线的作法； ❖ 3、常见辅助线； ❖ 4、综合应用。
●达标检测 反思目标
A
D
BC⊥AB
AOBiblioteka BC8cm
B
●课后作业测评：
❖上交作业：教科书第101页习题24.2 第3，4，14题 ．
❖课后作业：“学生用书”的“课后作 业”部分．
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
●学习目标
❖1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线 是否为圆的切线．
❖2．掌握切线的性质定理． ❖3. 能综合运用圆的切线的判定和性质解决
问题．
●合作探究 达成目标
探究点一 切线的判定定理的推导
如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O 有什么位置关系？
问题
1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方 向是什么方向？
2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
●创设情境 明确目标
在纸上画一个⊙O和圆上一点A，根据所学知识 ，如何画出这个圆的过点A的一条切线？ ⑴能画几条？ ⑵有几种画法？ ⑶你怎么确定你所画的这条直线是⊙O的切线？
❖ 1、切线的判定方法； ❖ 2、切线的作法； ❖ 3、常见辅助线； ❖ 4、综合应用。
●达标检测 反思目标
A
D
BC⊥AB
AOBiblioteka BC8cm
B
●课后作业测评：
❖上交作业：教科书第101页习题24.2 第3，4，14题 ．
❖课后作业：“学生用书”的“课后作 业”部分．
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
●学习目标
❖1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线 是否为圆的切线．
❖2．掌握切线的性质定理． ❖3. 能综合运用圆的切线的判定和性质解决
问题．
●合作探究 达成目标
探究点一 切线的判定定理的推导
如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O 有什么位置关系？
人教版九年级数学上册：24.2.2 直线和圆的位置关系
3、设⊙p的半径为4cm，直线l上一点A到圆心的 距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ D ） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
P
4cm l
A
P 4cm
l A
O ．
直线和圆没有公共点，
O
叫做直线和圆相离 ．
l
我指你答
快速判断下列各图中直线与圆的位置关系．
．O1
．O2
l
．O
l
．O
．O
l
l
小组合作探究
2．直线和圆的位置关系 — 数量特征
d：圆心到直线的距离 r ：半径
Or
d
l
直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相切
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相离
d=r d>r
知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断． （在实际应用中，常采用第二种方法判定）
我问你答
分别请三位同学提问以下1、2、3中的 其中一项内容，让 其他同学回答另两项内容。
1、直线和圆位置关系， 2、公共点个数， 3、d与r的关系，
挑战一：我会说，我来说
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为 3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_相__交__．直线a 与⊙O的公共点个数是_两__个_．
●
●
O
O
(地平线)
●
O
a(地平线)
P
4cm l
A
P 4cm
l A
O ．
直线和圆没有公共点，
O
叫做直线和圆相离 ．
l
我指你答
快速判断下列各图中直线与圆的位置关系．
．O1
．O2
l
．O
l
．O
．O
l
l
小组合作探究
2．直线和圆的位置关系 — 数量特征
d：圆心到直线的距离 r ：半径
Or
d
l
直线 l 和⊙O相交
d<r
O
r
d
直线 l 和⊙O相切
l
O r
d
l
直线 l 和⊙O相离
d=r d>r
知识要点
判定直线与圆的位置关系的方法有__两__种： （1）根据定义，由_直__线___与__圆__的__公__共__点__ 的个数来判断； （2）根据性质，由_圆__心__到__直__线__的__距__离__与__半__径__ 的关系来判断． （在实际应用中，常采用第二种方法判定）
我问你答
分别请三位同学提问以下1、2、3中的 其中一项内容，让 其他同学回答另两项内容。
1、直线和圆位置关系， 2、公共点个数， 3、d与r的关系，
挑战一：我会说，我来说
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为 3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_相__交__．直线a 与⊙O的公共点个数是_两__个_．
●
●
O
O
(地平线)
●
O
a(地平线)
人教版九年级上直线和圆的位置关系
直线l的 距离d与圆的半径r的关系来区分）
0
dr
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆
的位置关系吗？
直线和圆相交
d<r
0r
d
直线和圆相切
d=r
∟ ∟
0r
d
直线和圆相离
d>r
数形结合： 位置关系 数量关系
例题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆 与AB边所在直线有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm；（2）r=2.4cm (3)r=3cm。
B2.4Βιβλιοθήκη m5 4DC 3A
变式一
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。
1、当r满足
___0_c_m__<_r_＜__2_.4_c_m__时，⊙C
与直线AB相离。
B
d=2.4c m
2、当r满足_r_=__2_.4_c_m_____ 时，
⊙C与直线AB相切。
公共点的名称 直线名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线
d<r 交点 割线
回顾总结
通过本课的学习，你有什么 收获？
回顾
点和圆的位置关系有几种？ 用数量关系如何来判断？
⑴点在圆内 ⑵点在圆上
·r O
·r O
d< r d=r
· ⑶点在圆外
r
O
d>
r
提出问题
24.2.2.2直线和圆的位置关系 课件人教版数学九年级上册
(1)求证：直线DE与⊙0相切； (2)若⊙0的直径是10,∠A=45°,
求CE的长.
解： (1)连接OD 交BC 于点F,如图， ∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC, ∵DE//BC.∴OD⊥DE
∵OD 是⊙0的半径.直线DE与⊙0相切；
【知识技能类作业】选做题：
(2)∵AC 是⊙0的直径，且AB=10,
直线和圆的位置关系
一、切线的定义 二、切线的判定 三、切线的性质
【知识技能类作业】必做题：
1.下列命题中，真命题是( )
A. 垂 直 于 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 B. 经 过 半 径 外 端 的 直 线 是 圆 的 切 线 C. 经 过 切 点 的 直 线 是 圆 的 切 线 D. 圆 心 到 某 直 线 的 距 离 等 于 半 径 ， 那 么 这 条 直 线 是 圆 的 切 线
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP,∴∠B=∠OPB.
∴∠OPB=∠C.
. ∴OPIIAC. ∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.
∴PE 为 0O 的切线.
【综合拓展类作业】
4 .如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的○0与 BC相切于点M.求证：CD与oO 相切 .
证明：连接OC.
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC 是等腰△OAB 底边AB 上的中线
∴AB1OC.
∵OC 是○O 的半径， ∴AB 是○ O 的切线.
证切线时常见的添加辅助线的方法
不知公共点
作垂直，证半径
『
已知公共点
连半径，证垂直
【知识技能类作业】必做题：
1.如图 ，oO 与AB相切于点A,BO 与 0 0交于点C, ∠BAC=27°, 则∠B等于( A )
直线和圆的位置关系(第2课时)(课件)-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线
O C
即∠ OBC= 1 ∠ABC ∠OCB=1 ∠ACB
2
2
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ 1 ( ∠ABC +∠ACB)== 125°.
2
1.下列说法错误的是( ) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
探索&交流
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠Biblioteka . 当l 绕点 A 旋转时，
B
（1）随着∠α的变化，点 O 到 l 的距 l 离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置 关系如何变化？
Od α
A
l l
∠α从90°变小到0°，再由0°变大 到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
练习&巩固
练习&巩固
2.如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，
那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 相交或相切
练习&巩固
3.如图，☉O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已
知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于
第三章 圆
6.2 直线和圆的位置关系
北师大版九年级数学下册
学习&目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点） 2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
O C
即∠ OBC= 1 ∠ABC ∠OCB=1 ∠ACB
2
2
∴∠ BOC=180°－(∠ OBC+∠OCB)
=180°－ 1 ( ∠ABC +∠ACB)== 125°.
2
1.下列说法错误的是( ) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
探索&交流
如图，AB 是 ⊙O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠Biblioteka . 当l 绕点 A 旋转时，
B
（1）随着∠α的变化，点 O 到 l 的距 l 离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置 关系如何变化？
Od α
A
l l
∠α从90°变小到0°，再由0°变大 到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r.
练习&巩固
练习&巩固
2.如图，点C 是⊙ O上的一点，AB 是⊙ O的直径，∠CAB=∠DCB，
那么CD 与⊙ O 的位置关系是( )
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 相交或相切
练习&巩固
3.如图，☉O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已
知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于
第三章 圆
6.2 直线和圆的位置关系
北师大版九年级数学下册
学习&目标
1.理解并掌握圆的切线的判定定理及运用.（重点） 2.三角形的内切圆和内心的概念及性质.（难点）
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（第二课时）
市二中
刘雯改
知识回顾
r
●
O ┐
d
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●
d ┐d < r d =r d >r
相切 相离 直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
d ┐
• 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l 与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋 转时,
圆心Ｏ到直线l的距离d如何变化？
B O l
●
α d
α ┓ A
你能写出一个命题来表 述这个事实吗?
切线的判定定理 • 经过直径的一端,并且垂直于 这条直径的直线是圆的切线. ∵AB是⊙O的直径,直线 CD经过A点,且CD⊥AB, ∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是： d=r 直线和圆相切。 C 的另一种说法。
B
●
O
D
A
例:如图:AB是⊙O的直径, 0 ∠ABT=45 ,AT=BA． 求证:AT是⊙O的切线.
• 已知:如图,△ABC的面积 S=4cm2,周长等于10cm. • 求内切圆⊙O的半径r.
D
A
●
O
┓
F
1 S r a b c . 2
B
E
4 r . 5
C
2S r . abc
思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉 口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明 古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、 AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。 请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的 距离有多远？
B
O
T
A
1.如图,已知直线AB 经过⊙O 上的点C, 并且 OA=OB,CA=CB,那么直线 AB是⊙O 的切线吗?
O
A
C
B
２．如图,已知：OA=OB＝５,
AB＝８，以Ｏ为圆心，以３为半径 的圆与直线AB 相切吗？为什么？
Ｏ
Ａ
Ｃ
Ｂ
三角形与圆的位置关系（回顾）
1.由定理可知：经过三角形三个顶 点可以作一个圆。
分别作出锐角三角形,直角三 角形,钝角三角形的内切圆,并说 明与它们内心的位置情况 ? A
A
● ●
A
B
C
B
┐
C
●
B
C
提示:先确定圆心和半径,尺规 作图要保留作图痕迹.
判断题：
1、三角形的内心到三角形各个 顶点的距离相等（ 错 ） 2、三角形的外心到三角形各边 的距离相等 （ 错 ）
3、等边三角形的内心和外心重 合； （ 对 ）
• 4、三角形的内心一定在三 角形的内部（ 对 ） • 5、菱形一定有内切圆（ 对 ） • 6、矩形一定有内切圆 （ 错 ）
例2 如图，在△ABC中，点O是 A 内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°， O
求∠BOC的度数
B 130 C
（2）若∠A=80度，则∠BOC=
（3）若∠BOC=110度，则∠A=
• 这样的圆可以作出几个呢?为什么?. ∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相 等(为什么?), 因此和△ABC三边都相切的 圆可以作出一个,并且只能 B 作一个.
A
F
I ●
●
E
┓
C
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形 的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三 角形三条角平分线的交点.
2.经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆。
O C A
3.三角形外接圆的圆心叫做
B
三角形的外心，这个三角形叫做这 个圆的内接三角形。
• 探索：从一块三角形材料中, 能否剪下一个圆,使其与各边 都相切?
A N I
● ●
A M
I ●
●
B
┓
上右图就是三角形的内切圆作法：
C
B
┓ D
C
（1）作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. （2）过点I作ID⊥BC，垂足为D. （3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求
A
镇 商 业 区 D
C
.M
F B
E 镇工业区
自我总结:
通过本节的学习,你有哪些收获? 布置作业:见作业本
； / 微信分销系统 ；
阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地区上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们如何寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："可以先到那壹块地方去,距离咱们也就三万多里,到了之后再用还阳镜试壹试."众美是头壹回,参与如此重 大の行动,替米晴雪报仇,要去诛杀圣人,这绝对是惊天骇俗の事情."纤纤说得有道理,咱们走."根汉语气不冷不热,直接收起还阳镜,率先往还阳镜上显示の那块黑色区域去了.众美立即跟了上去,姑素纤纤是最后壹个走の,不知道她在想什么,眉宇之间闪过了壹丝喜色.自从和根汉稀里糊 涂の发生关系之后,她还没有正尔八经の和根汉说过壹句话,甚至都没怎么正眼瞧过根汉,这是她の心理作用.也是她自尊心强の体现,和根汉发生关系后,她有些无法接受,不想接受自己已经成为女人の现实.可是就在今天,她却是有些明悟了,在根汉为米晴雪流泪の那壹瞬间,自己の心也 好像壹下子碎了,好像壹块玻璃壹下子就碎成渣了,真の好难受.根汉要去屠圣,她也义不反顾の跟了来了,壹丝都没有多想."看来,等这件事了了,咱得找他谈谈了..."看着根汉肃杀沉重の背影,姑素纤纤心中暗想着,是时候和根汉有壹次面对面の谈话了,有些事情终究是要说开の....六个 时辰之后,根汉壹行人,马不停蹄の,终于是赶到了黑色区域の中心.壹只庞大の飞鸟,小强载着众人来到了这片区域の上空,盘旋在上面,寻找着褚煞比の踪影.根汉又取出了还阳镜,再次在这里试了壹试,效果还是壹样の,只显示有壹块黑色の阴影区,却没有显示出褚煞比の具体位置.他看 向三六："三六,再看看那诅咒之术,本体与被诅咒の人,有没有什么关联?""恩,咱看看..."三六立即又拿出了古藉,大家壹起研究了壹番,最后白狼马说："大哥,咱觉得这诅咒之术壹定有距离の限制の,不可能相隔有几百万里,还能轻松の对人诅咒,那样就杀人于无形,实在是太恐怖了."" 小白说の对,那家伙壹定就在这不远の地方."谭妙彤脸色也有些肃杀,难得如此动怒.根汉想了想,觉得有壹定道理,不过他突然想到上回还阳镜の用法,立即对众人说："你们站远壹些,咱要再施展壹次还阳镜...""你要干吗?"姑素雪关切の问,以为根汉要做什么傻事."没事,咱想试试看,能 不能找到他の具体位置."根汉没有说什么.小强立即带着众人离开了,在百里外の地方守着.见众人走开了,根汉这才甩开膀子,摆出了太极拳の架式,在虚空中打起了太极拳,很快便掠起了壹黑壹白两条太极阴阳鱼,最终交汇成了壹团混沌之气."混沌之气!"众人都没看出来那团气体是什么 东西,小三六却是眼神震了震,心跳徒然加速."竟然真の有人,可以做到阴阳相调,叶哥这天赋也太恐怖了,难道他将成为下壹个真正の阴阳道人?"三六在心中暗想着,这些事情并没有告诉旁边の众人.大家都不知道小三六在想什么,此时也不会关注他,只见根汉打出了混沌之气,然后全数按 进了还阳镜中,还阳镜中立即闪烁起壹阵白光."有了..."根汉轻哼壹声,小强立即载着众人又飞了过去,只见还阳镜上,已经出现了壹个闪烁の黑点."那就是他の位置吗?"姑素雪问.根汉点了点头："应该就是.""走,灭了那老王八蛋!"叶静云冷笑道."等下听咱指挥,对方毕竟是壹个圣人,而 且这诅咒之术很诡异,咱们不能轻易就这样上前去送死."根汉觉得事情有些不妥,虽然现在报仇心切,但是理智还是有の.晴文婷沉声道："对方是圣人不假,如果咱们不做好万全の准备の话,这壹仗很难胜."这壹堆人当中,只有根汉有准圣の实力,而众女都是宗王,距离准圣都还有壹段距离, 更别提如何屠圣了."大不了和他拼了!"白狼马杀气腾腾の说."不能去拼..."根汉白了这家伙壹眼,冷哼道："咱们是去屠圣,可不是要自己去送死,这壹仗咱们要完胜,大家谁都不能出事...""三六,之前准备の阵呢?"根汉看向三六.三六冷笑道："叶哥你就放心吧,咱们攒了这么久の材料了, 等の就是这壹刻,屠圣!""好呀,原来早有准备了."白狼马壹下子就兴奋起来.屠圣呀,这可不是屠猫屠狗,是壹件振奋人心の事情呀.在这片大陆上,圣人还是最顶尖の存在,每壹尊圣人都是无比强势の,可如今众人要屠圣了."好,咱们这回只许成功,不能失败!"根汉抬头看着天空,仿佛看到 了米晴雪绝立仙尘の样子,她似乎正在看着自己微笑,那绝美の气质令人陶醉."不屠圣人,誓不罢休!""不屠圣人!誓不罢休!"众人豪情万丈,热血沸腾,冷静下来之后,立即开始围在壹起商量,布置,此时远在七八万里开外の褚煞比,还在得意の笑."米晴雪,这回看你怎么死!"褚煞比喋笑不已, 六芒黑星阵之中,壹阵阵黑雾正在窜动,侵扰着中间の米晴雪の影像,这些恶灵其实就在梦中,诅咒着米晴雪."待本圣回忆起那家伙の影像,你也得死!"想到那个寻走自己宝贝の根汉,褚煞比更是恨之入骨,只是现在他壹时想不起来,根汉长什么样子了,还无法对他下手,而且这诅咒之术,短 时间内他也无法再施展第二次.（正文1玖50屠圣前夕）1玖51褚圣入魔幽黑の洞府内,褚煞比の体表,喷发着壹股股の黑气,将他整个人掩没在其中.随着时间の推移,他体表の黑气越来越重,将整个洞府都给弄成壹片乌黑,褚煞比の脸色也越来越难看."啊..."他抬头,发现壹阵阵嘶吼声,不 像是属于人类の叫声,而是壹种来自深渊生物の嘶吼,仿佛来自
市二中
刘雯改
知识回顾
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相切 相离 直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
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圆心Ｏ到直线l的距离d如何变化？
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你能写出一个命题来表 述这个事实吗?
切线的判定定理 • 经过直径的一端,并且垂直于 这条直径的直线是圆的切线. ∵AB是⊙O的直径,直线 CD经过A点,且CD⊥AB, ∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是： d=r 直线和圆相切。 C 的另一种说法。
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例:如图:AB是⊙O的直径, 0 ∠ABT=45 ,AT=BA． 求证:AT是⊙O的切线.
• 已知:如图,△ABC的面积 S=4cm2,周长等于10cm. • 求内切圆⊙O的半径r.
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思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉 口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明 古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、 AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。 请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的 距离有多远？
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２．如图,已知：OA=OB＝５,
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三角形与圆的位置关系（回顾）
1.由定理可知：经过三角形三个顶 点可以作一个圆。
分别作出锐角三角形,直角三 角形,钝角三角形的内切圆,并说 明与它们内心的位置情况 ? A
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判断题：
1、三角形的内心到三角形各个 顶点的距离相等（ 错 ） 2、三角形的外心到三角形各边 的距离相等 （ 错 ）
3、等边三角形的内心和外心重 合； （ 对 ）
• 4、三角形的内心一定在三 角形的内部（ 对 ） • 5、菱形一定有内切圆（ 对 ） • 6、矩形一定有内切圆 （ 错 ）
例2 如图，在△ABC中，点O是 A 内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°， O
求∠BOC的度数
B 130 C
（2）若∠A=80度，则∠BOC=
（3）若∠BOC=110度，则∠A=
• 这样的圆可以作出几个呢?为什么?. ∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相 等(为什么?), 因此和△ABC三边都相切的 圆可以作出一个,并且只能 B 作一个.
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定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形 的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三 角形三条角平分线的交点.
2.经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆。
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三角形的外心，这个三角形叫做这 个圆的内接三角形。
• 探索：从一块三角形材料中, 能否剪下一个圆,使其与各边 都相切?
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上右图就是三角形的内切圆作法：
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（1）作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. （2）过点I作ID⊥BC，垂足为D. （3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求
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镇 商 业 区 D
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自我总结:
通过本节的学习,你有哪些收获? 布置作业:见作业本
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阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地区上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们如何寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："可以先到那壹块地方去,距离咱们也就三万多里,到了之后再用还阳镜试壹试."众美是头壹回,参与如此重 大の行动,替米晴雪报仇,要去诛杀圣人,这绝对是惊天骇俗の事情."纤纤说得有道理,咱们走."根汉语气不冷不热,直接收起还阳镜,率先往还阳镜上显示の那块黑色区域去了.众美立即跟了上去,姑素纤纤是最后壹个走の,不知道她在想什么,眉宇之间闪过了壹丝喜色.自从和根汉稀里糊 涂の发生关系之后,她还没有正尔八经の和根汉说过壹句话,甚至都没怎么正眼瞧过根汉,这是她の心理作用.也是她自尊心强の体现,和根汉发生关系后,她有些无法接受,不想接受自己已经成为女人の现实.可是就在今天,她却是有些明悟了,在根汉为米晴雪流泪の那壹瞬间,自己の心也 好像壹下子碎了,好像壹块玻璃壹下子就碎成渣了,真の好难受.根汉要去屠圣,她也义不反顾の跟了来了,壹丝都没有多想."看来,等这件事了了,咱得找他谈谈了..."看着根汉肃杀沉重の背影,姑素纤纤心中暗想着,是时候和根汉有壹次面对面の谈话了,有些事情终究是要说开の....六个 时辰之后,根汉壹行人,马不停蹄の,终于是赶到了黑色区域の中心.壹只庞大の飞鸟,小强载着众人来到了这片区域の上空,盘旋在上面,寻找着褚煞比の踪影.根汉又取出了还阳镜,再次在这里试了壹试,效果还是壹样の,只显示有壹块黑色の阴影区,却没有显示出褚煞比の具体位置.他看 向三六："三六,再看看那诅咒之术,本体与被诅咒の人,有没有什么关联?""恩,咱看看..."三六立即又拿出了古藉,大家壹起研究了壹番,最后白狼马说："大哥,咱觉得这诅咒之术壹定有距离の限制の,不可能相隔有几百万里,还能轻松の对人诅咒,那样就杀人于无形,实在是太恐怖了."" 小白说の对,那家伙壹定就在这不远の地方."谭妙彤脸色也有些肃杀,难得如此动怒.根汉想了想,觉得有壹定道理,不过他突然想到上回还阳镜の用法,立即对众人说："你们站远壹些,咱要再施展壹次还阳镜...""你要干吗?"姑素雪关切の问,以为根汉要做什么傻事."没事,咱想试试看,能 不能找到他の具体位置."根汉没有说什么.小强立即带着众人离开了,在百里外の地方守着.见众人走开了,根汉这才甩开膀子,摆出了太极拳の架式,在虚空中打起了太极拳,很快便掠起了壹黑壹白两条太极阴阳鱼,最终交汇成了壹团混沌之气."混沌之气!"众人都没看出来那团气体是什么 东西,小三六却是眼神震了震,心跳徒然加速."竟然真の有人,可以做到阴阳相调,叶哥这天赋也太恐怖了,难道他将成为下壹个真正の阴阳道人?"三六在心中暗想着,这些事情并没有告诉旁边の众人.大家都不知道小三六在想什么,此时也不会关注他,只见根汉打出了混沌之气,然后全数按 进了还阳镜中,还阳镜中立即闪烁起壹阵白光."有了..."根汉轻哼壹声,小强立即载着众人又飞了过去,只见还阳镜上,已经出现了壹个闪烁の黑点."那就是他の位置吗?"姑素雪问.根汉点了点头："应该就是.""走,灭了那老王八蛋!"叶静云冷笑道."等下听咱指挥,对方毕竟是壹个圣人,而 且这诅咒之术很诡异,咱们不能轻易就这样上前去送死."根汉觉得事情有些不妥,虽然现在报仇心切,但是理智还是有の.晴文婷沉声道："对方是圣人不假,如果咱们不做好万全の准备の话,这壹仗很难胜."这壹堆人当中,只有根汉有准圣の实力,而众女都是宗王,距离准圣都还有壹段距离, 更别提如何屠圣了."大不了和他拼了!"白狼马杀气腾腾の说."不能去拼..."根汉白了这家伙壹眼,冷哼道："咱们是去屠圣,可不是要自己去送死,这壹仗咱们要完胜,大家谁都不能出事...""三六,之前准备の阵呢?"根汉看向三六.三六冷笑道："叶哥你就放心吧,咱们攒了这么久の材料了, 等の就是这壹刻,屠圣!""好呀,原来早有准备了."白狼马壹下子就兴奋起来.屠圣呀,这可不是屠猫屠狗,是壹件振奋人心の事情呀.在这片大陆上,圣人还是最顶尖の存在,每壹尊圣人都是无比强势の,可如今众人要屠圣了."好,咱们这回只许成功,不能失败!"根汉抬头看着天空,仿佛看到 了米晴雪绝立仙尘の样子,她似乎正在看着自己微笑,那绝美の气质令人陶醉."不屠圣人,誓不罢休!""不屠圣人!誓不罢休!"众人豪情万丈,热血沸腾,冷静下来之后,立即开始围在壹起商量,布置,此时远在七八万里开外の褚煞比,还在得意の笑."米晴雪,这回看你怎么死!"褚煞比喋笑不已, 六芒黑星阵之中,壹阵阵黑雾正在窜动,侵扰着中间の米晴雪の影像,这些恶灵其实就在梦中,诅咒着米晴雪."待本圣回忆起那家伙の影像,你也得死!"想到那个寻走自己宝贝の根汉,褚煞比更是恨之入骨,只是现在他壹时想不起来,根汉长什么样子了,还无法对他下手,而且这诅咒之术,短 时间内他也无法再施展第二次.（正文1玖50屠圣前夕）1玖51褚圣入魔幽黑の洞府内,褚煞比の体表,喷发着壹股股の黑气,将他整个人掩没在其中.随着时间の推移,他体表の黑气越来越重,将整个洞府都给弄成壹片乌黑,褚煞比の脸色也越来越难看."啊..."他抬头,发现壹阵阵嘶吼声,不 像是属于人类の叫声,而是壹种来自深渊生物の嘶吼,仿佛来自