苏教版高中数学必修2 ：直线与圆中的动点问题 专题练习
考点练习(必修二)：与圆有关的轨迹问题(附答案)
与圆有关的轨迹问题1. 动点P 与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则点P 的轨迹为（ ）A.221x y +=B. ()2211x y x +=≠±C. ()2211x y x +=≠ D. ()2210x y x +=≠2. 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝13. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝24. 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|P A|＝2|P B|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．5. 自A(4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．6. 已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段A M 的中点，试求点N 的轨迹．7. 已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________．8. 点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A. （x﹣2）2+（y+1）2=1B.（x﹣2）2+（y+1）2=4C. （x+4）2+（y﹣2）2=1D.（x+2）2+（y﹣1）2=19. 已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．11. 已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.(1)求证：a取不为1的实数时，圆过定点；(2)求圆心的轨迹方程．12. 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.13. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．14. 已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上运动，端点A的坐标为(4，0)，线段AB的中点为M.(1)试求M点的轨迹C2的方程；(2)若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长.15. 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.参考答案 与圆有关的轨迹问题1. 【答案】B2. 解析：选A 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3. 解析：选D 设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵P A 是圆的切线，且|P A |＝1，∴|PC |＝2，即(x －1)2＋y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4. 【解析】设点P (x ，y )，由题意知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4. 可知圆的面积为4π.5. 【解析】设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．6. 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，B(8,0)，|M A|＝12|M B|，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]． 化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16. (2)设点N 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，N 为线段A M 的中点，∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4. ∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．7. 【解析】 设M 点坐标为(x ，y )，A 点坐标为(x 0,0)，B 点坐标为(0，y 0)．∵点M 是线段AB 的中点，∴000202x x y y +⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨+⎪⎪=⎪⎪⎩⎭，即0022.x xy y =⎧⎨=⎩∴A(2x,0)，B(0,2y )．又∵|AB|＝4， ∴()()222002x y -+-＝4，即x 2＋y 2＝4.8. 【解析】设圆上任意一点为（x 1，y 1），中点为（x ，y ），则 得:，代入x 2+y 2=4得（2x ﹣4）2+（2y +2）2=4，化简得（x ﹣2）2+（y +1）2=1．故选A ． 9. 【解析】以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如右图)，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x ，y )，BC 中点D(x 0，y 0)．故x 0＝2x a+，y 0＝2y .①∵|AD|＝m ，∴(x 0＋a )2＋y 20＝m 2.② 将①代入②，整理得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m 为半径的圆，除去(－3a ＋2m,0)和(－3a －2m,0)两点．10. 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.11. 【解析】(1)证明：将方程x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，整理得x 2＋y 2－4y ＋2－a (2x －2y )＝0(a ≠1，且a ∈R)．令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＋2＝0，2x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以a 取不为1的实数时，圆过定点(1,1)． (2)由题意知圆心坐标为(a,2－a )，且a ≠1，又设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2－a ，消去参数a ，得x ＋y －2＝0(x ≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．12. 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况).13. [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.14. 解 (1)设M (x ，y )，B (x ′，y ′)，则由题意可得⎩⎨⎧x ＝x ′＋42，y ＝y ′2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ，∵点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上，∴(2x －4)2＋(2y －4)2＝16，即(x －2)2＋(y －2)2＝4. ∴M 点的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋（y －2）2＝4，x 2＋（y －4）2＝16，得直线CD 的方程为x －y －1＝0，圆C 1的圆心C 1(0，4)到直线CD 的距离d ＝|－4－1|2＝522，又圆C 1的半径为4， ∴线段CD 的长为242－⎝⎛⎭⎫5222＝14.15. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ). 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.。
新苏教版高中数学必修二同步练习：2.2.2《直线与圆的位置关系》(含答案)
随堂练习：直线与圆的位置关系1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是________．2．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是______________．3．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．5．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为____________________．6．直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于________．7．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为22，则圆C的标准方程为____________．8．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程．9．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．答案1．相交2．(x －2)2＋(y －1)2＝1 3.74．35．x 2＋y 2＝46．2 37．(x －3)2＋y 2＝48．解 设圆心坐标为(3m ，m)，∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m|2＝2|m|. 由半径、弦心距的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.9.（1)证明 ∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R)．∴l 过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0x ＋y －4＝0的交点M(3,1)． 又∵M 到圆心C(1,2)的距离为d ＝－2＋－2＝5<5，∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点．(2)解 ∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤5，弦心距、半弦长和半径r 构成直角三角形，∴当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.∴弦长AB 的最小值|AB|min ＝4 5.此时，k CM ＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1. ∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.∴当m ＝－34时，取到的最短弦长为4 5.。
高中数学苏教版必修二《同步辅导与检测：2.2.2直线与圆的位置关》课件
分析：解决实际问题的关键是如何把 实际问题数学化，通常通过建系来实现．
解析：以A为圆心，
250 km为半径作⊙A.当台风中心移动 所经过的直线l与⊙A相交或相切时，A市将 受到台风影响．
建立如图所示的坐标系，那么点A、B 的坐标分别为(0,0)、(300,0)，⊙A的方程为 x2＋y2＝2502，直线l的方程为y＝－(x－300)， 即x＋y－300＝0(y≥0)．
A 市将受台风影响，持续时间为10400 7≈6.6 h.
规律总结：(1)在学习中要注意联系实际，重视数学 在生产、生活及相关学科中的运用．
(2)解有关实际应用问题时，关键要明确题意，掌握 建立数学模型的基本方法．
(3)数学实际应用问题，在多年来的高考中得到了重 视，除了在选择、填空中出现外，近几年都有解答题出 现，应引起重视，平时多做练习，以提高解决实际问题 的能力．
解析：(1)原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆 心，半径为 3的圆．
设yx＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值和最小值，此时有 |2kk2－＋01| ＝ 3，解得 k＝± 3.
故yx的最大值为 3，最小值为－ 3.
(2)设 y－x＝b，即 y＝x＋b，当 y＝x＋b 与圆相切时， 纵截距 b 取得最大值和最小值， 此时|2－0＋b|＝ 3，即 b＝－2± 6.
(1)当________时，Δ>0，方程组有两组不同的实数解， 因此直线与圆相交；
(2)当________时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解， 因此直线与圆相切；
(3)当________时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直 线与圆相离．
16－4b2 (1)－2<b<2 (2)b＝±2
高中数学 直线和圆的方程综合练习(1)苏教版必修2
高中数学 直线和圆的方程综合练习（1)苏教版必修2一、填空题130y +-=的倾斜角是 ．2.直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是 ． 3. 若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ．4. 直线()00≠=++ab c by ax 截圆522=+y x 所得弦长等于4，则以|a |、|b |、|c |为边长的确定三角形一定是 ．5. 已知直线1l 的方程为y x =，直线2l 的方程为0ax y -=（a 为实数）．当直线1l 与直线2l 的夹角在（0，12π）之间变动时，a 的取值范围是 ． 6若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为 ．7．如果点P 在平面区域22020210x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 ．8．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a = ．9．已知圆22:1C x y +=，点A （－2，0）及点B （2，a ），从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是 ．10．在圆x 2+y 2＝5x 内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a 1，最大弦长为a n ，若公差]31,61[∈d ，那么n 的取值集合为 ．11．点P （a ，3）到直线0134=+-y x 的距离等于4，且在不等式032<-+y x 表示的平面区域内，则点P 的坐标是 . 12．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0，2)与点B (4，0)重合．若此时点C (7，3)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值是 ．13．已知圆22((2)16x y -+-=与y 轴交于A B ，两点，与x 轴的另一个交点为P ，则APB ∠= ．14．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）二、解答题15．已知点A(2, 0), B(0, 6)，坐标原点O 关于直线AB 的对称点为D, 延长BD 到P, 且|PD|=2|BD|.已知直线l :ax+10y+84-1083=0经过P, 求直线l 的倾斜角。
苏教版高中数学必修二圆与方程同步练习(4)
圆与方程 同步测试一、选择题1 若直线2=-y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22, 则实数a 的值为（ ）A 1-或3B 1或3C 2-或6D 0或4 2 直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（ ） Ａ23 Ｂ 43Ｃ 52 Ｄ 5563 直线l 过点），（02-，l 与圆x y x 222=+有两个交点时， 斜率k 的取值范围是( )A ），（2222-B ），（22-C），（4242- D ），（8181- 4 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ） A 03222=--+x y x B 0422=++x y xC 03222=-++x y xD 0422=-+x y x5 若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（ ） A 50<<k B 05<<-kC 130<<kD 50<<k６ 设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（）A 1±B 21±C 33±D 3±二、填空题1 直线20x y +=被曲线2262150x y x y +---=所截得的弦长等于2 圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的外有一点00(,)P x y ，由点P 向圆引切线的长______1． 对于任意实数k ，直线(32)20k x ky +--=与圆222220x y x y +---=的位置关系是_________4 动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是 ５ P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为_______三、解答题１ 求过点(2,4)A 向圆422=+y x 所引的切线方程２ 求直线012=--y x 被圆01222=--+y y x 所截得的弦长３ 已知实数y x ,满足122=+y x ，求12++x y 的取值范围４ 已知两圆04026,010102222=--++=--+y x y x y x y x ，求（1）它们的公共弦所在直线的方程；（2）公共弦长参考答案一、选择题 1 D22,4,0d a a a ==-===或2 D 弦长为4，1425S =⨯=3 Ctan 4α==，相切时的斜率为4±4 D 设圆心为2234(,0),(0),2,2,(2)45a a a a x y +>==-+= 5 A 圆与y轴的正半轴交于k <<6 D得三角形的三边060的角二、填空题122(3)(1)25x y -+-=，d r ===23 相切或相交2≤=；另法：直线恒过(1,3)，而(1,3)在圆上4 210,(1)x y x --=≠ 圆心为(21,),,(0)m m r m m +=≠，令21,x m y m =+=5 1 10115d r -=-= 三、解答题1 解：显然2x =为所求切线之一；另设4(2),420y k x kx y k -=--+-=32,,341004k x y ==-+=2x ∴=或34100x y -+=为所求2 解：圆心为(0,1)，则圆心到直线012=--y x得弦长的一半为5，即弦长为53 解：令(2),(1)y k x --=--则k 可看作圆122=+y x 上的动点到点(1,2)--的连线的斜率而相切时的斜率为34，2314y x +∴≥+4 解：（1）2210100,x y x y +--=①；2262400x y x y ++--=②；②-①得：250x y +-=为公共弦所在直线的方程；（2=，公共弦长为。
高一数学苏教版必修2习题：2. 2.2 直线与圆的位置关系
2．2.2直线与圆的位置关系为了更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在受伤的鲸身上安装了电子监测装置，从海岸放归点A处(如右图所示)把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对鲸进行了长达40分钟的跟踪观测，每隔10分钟踩点，测得数据如下表(设鲸沿海面游动)．然后又在观测站B处对鲸进行生活习性的详细观测．已知AB＝15 km，观测站B的观测半径为5 km.写出a，b近似满足的关系式，并预测：若按此关系式运动，那么鲸经过多长时间可进入观测站B的范围？观测时刻t/min 跟踪观测点到放归点的距离x/km鲸位于跟踪观测点正北方的距离y/km1010.999 2020.333 4 3030.111 1 4040.037 01．直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种． 2．(1)若直线与圆相交⇔圆心到直线的距离d <圆的半径r ； (2)若直线与圆相切⇔圆心到直线的距离d ＝圆的半径r ； (3)若直线与圆相离⇔圆心到直线的距离d >圆的半径r .3．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝x ＋b ，消去y ，可得关于x 的一元二次方程2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0，方程的根的判别式Δ＝16－4b 2．(1)当－2<b <2时，Δ>0，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆相交；(2)当b ＝±2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆相切；(3)当b <－2或b >2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆相离．4．若P (x 0，y 0)(y 0≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2上一点，过P (x 0，y 0)的直线与圆相切，则切线的斜率为－x 0y 0，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2． 5．过圆(x －a )2＋(y －b )2＝R 2外一点P (x 0，y 0)作圆的切线PT (T 为切点)，则切线长PT ＝（x 0－a ）2＋（y 0－b ）2－R 2．一、直线与圆的位置关系①直线与圆相交，有两个公共点； ②直线与圆相切，只有一个公共点； ③直线与圆相离，没有公共点． 二、判定直线与圆的位置关系的方法 有两种：代数法和几何法． 方法一：代数法．判断直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的位置关系，可将⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0联立，可得mx 2＋nx ＋p ＝0.然后利用Δ，当Δ＝0时相切，当Δ＞0时相交，当Δ＜0时相离．方法二：几何法．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2.相交⇔d ＜r ；相切⇔d ＝r ；相离⇔d ＞r . 三、圆中的弦长公式直线与圆相交有两个交点，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2.即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形的三边，数形结合，利用勾股定理求解．基础巩固知识点一直线与圆的位置关系1．已知直线x＝a(a＞0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是________．解析：由已知|a－1|＝2，∴a＝3或a＝－1.又a＞0，∴a＝3.★答案★：32．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程是__________________________________________________________．解析：设圆心为C(2，0)，则直线CP的斜率为3－01－2＝－3，又切线与直线CP垂直，故切线斜率为33，由点斜式得切线方程y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.★答案★：x－3y＋2＝03．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x＋1}，则A∩B的元素个数为(C) A．0个B．1个C．2个D．3个解析：集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合，集合B表示直线y＝x＋1上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A∩B 的元素个数为2.知识点二圆的弦长及切线长4．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B 两点，且弦AB的长为23，则a＝________．解析：∵AB＝23，R＝2，∴圆心(1，2)到直线ax－y＋3＝0的距离为22－（3）2＝1，即|a－2＋3|a2＋1＝1，∴a＝0.★答案★：05．由直线x－y＋1＝0上一点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：圆心C(3，0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝22，故直线上的点P到圆心的距离的最小值为22，从而切线长的最小值为7.★答案★：76．过点P(3，－4)的直线l被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求该直线方程．解析：当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y＋4＝k(x －3)，即kx－y－3k－4＝0.因l被圆所截得的弦长为8，又圆的半径R＝5，故知圆心到直线l的距离等于3.由点到直线的距离公式，得|k×0－0－3k－4|k2＋1＝3，解得k＝－7 24.此时，l的方程为y＋4＝－724(x－3)，即7x＋24y＋75＝0.又当l垂直于x轴时，这时的直线方程为x＝3，满足题目要求，故所求的直线l的方程为x＝3或7x＋24y＋75＝0.能力升级综合点一直线与圆的位置关系的判定7．直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是________．解析：圆心(2，3)到直线3x－4y＋6＝0的距离为d＝|3×2－4×3＋6|32＋（－4）2＝0.∴直线过圆心且与圆相交．★答案★：相交且过圆心8．直线(x＋1)a＋(y＋1)b＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．解析：直线方程为ax＋by＋a＋b＝0过定点(－1，－1)，又(－1，－1)在圆x2＋y2＝2上，故直线和圆相切或相交．★答案★：相切或相交9．若直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是________．解析：由题意得：1a2＋b2<1，即a2＋b2>1，故点P(a，b)在圆x2＋y2＝1外．★答案★：在圆外综合点二 求圆的切线和割线10．从点P (4，5)向圆(x －2)2＋y 2＝4引切线，求切线方程． 解析：若切线的斜率不存在，切线方程为x ＝4，满足条件；若切线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y ＋5－4k ＝0，又圆心坐标为(2，0)，r ＝2，因为圆心到切线的距离等于半径，即 |2k －0＋5－4k |k 2＋1＝2，k ＝2120.所以切线方程为21x －20y ＋16＝0或x ＝4.11．圆x 2＋y 2＋4y －21＝0的割线l 被圆截得的弦长为45，若l 过点M (－3，－3)，求l 的方程．解析：将圆写成标准式方程，得x 2＋(y ＋2)2＝25， 所以圆心为(0，－2)，半径 r ＝5. 设圆心到直线l 的距离为d ，则 d ＝52－⎝⎛⎭⎪⎫4522＝ 5. 设l 的方程为y ＋3＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3k －3＝0， 所以d ＝|2＋3k －3|k 2＋1＝ 5.解得k ＝－12，或k ＝2.故所求直线l 有两条，其方程分别为y＋3＝－12(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0.综合点三数形结合解决有关的问题12．当b取何值时，直线y＝x＋b与曲线y＝1－x2；(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点．解析：由y＝1－x2得，y2＝1－x2(y≥0)，即x2＋y2＝1(y≥0)．由此可知，曲线y＝1－x2是x2＋y2＝1位于x轴上方的半圆，当直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切时，b＝±2，故知直线与半圆y＝1－x2相切时，b＝ 2.将点(1，0)的坐标代入直线方程y＝x＋b得，0＝1＋b，解得b ＝－1；将点(－1，0)的坐标代入直线方程y＝x＋b得，0＝－1＋b，解得b＝1.由下图可知，(1)当b＝2或－1≤b＜1时，直线与曲线只有一个公共点；(2)当1≤b＜2时，直线与曲线有两个公共点；(3)当b＜－1或b＞2时，直线与曲线没有公共点．13．已知圆(x－1)2＋(y＋1)2＝R2，直线4x＋3y＝11，问当圆半径R取何值时，圆上：(1)有一点到直线的距离等于1；(2)有两点到直线的距离等于1；(3)有三点到直线的距离等于1；(4)有四点到直线的距离等于1.解析：圆心C(1，－1)到直线4x＋3y－11＝0的距离d＝|4×1＋3×（－1）－11|＝2.32＋42(1)当R＝1时，圆上仅有一个点到直线的距离等于1；(2)当1＜R＜3时，圆上有两个点到直线的距离等于1；(3)当R＝3时，圆上有三个点到直线的距离等于1；(4)当R＞3时，圆上有四个点到直线的距离等于1.。
苏教版高中数学必修二高考一轮理与圆有关的定点、定值、最值与范围问题一轮复习基础到提升含精细解析含答案
与圆有关的定点、定值、最值与范围问题分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上点的距离的最小值是________． 答案 42－12．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________．解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.法二 设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案 14－2133．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________．解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cosθ，5sin θ)，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6. 答案 64．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离的最大值为________． 解析 △AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax ＋by ＝1的距离等于22，由点到直线的距离公式，得12a 2＋b2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝1－b 22且b ∈[－2，2]．点P (a ，b )与点(0,1)之间的距离为d ＝a 2＋b －12＝12b 2－2b ＋2，因此当b ＝－2时，d 取最大值，此时d max ＝3＋22＝2＋1.答案2＋15．(2012·北京师大附中检测)已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________． 解析 如图所示，由题意，圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心是C (1,1)，半径为1，由PA ＝PB 易知四边形PACB 的面积＝12(PA ＋PB )＝PA ，故PA 最小时，四边形PACB 的面积最小．由于PA ＝PC 2－1，故PC 最小时PA 最小，此时CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0，P 为垂足，PC ＝|3＋4＋8|5＝3，PA ＝PC 2－1＝22，所以四边形PACB 面积的最小值是2 2. 答案 2 26．(2013·南京29中模拟)过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AB 的最小值为________．解析 设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1，分别令x ＝0，y＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝1x 2＋1y 20＝x 20＋y 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 2二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x2.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.8．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6,0)．(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； (2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有|GF ||GP |＝12？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心C (－4,0)到FG 的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ＝|±215|15＋1＝152.则直线FG 被圆C 截得的弦长为216－⎝⎛⎭⎪⎫1522＝7. 故直线FG 被圆C 截得的弦长为7.(2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由|GF ||GP |＝12，得x 0＋62＋y 20x 0－s 2＋y 0－t2＝12， 整理得3(x 20＋y 20)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0. ①又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上， 所以x 20＋y 20＋8x 0＝0.②将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，⎩⎪⎨⎪⎧2s ＋24＝0，2t ＝0，144－s 2－t 2＝0，解得s ＝－12，t ＝0.所以在平面上存在定点P (－12,0)，使得结论成立．分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·南通模拟)若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________． 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝|a ＋2|2≥1，a ＋1＋1≥0，解得a ≥2－2. 答案2－22．(2012·苏州调研)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB最小时，直线l 的方程为________．解析 因点P 在圆C 内，所以当AB 长最小时，∠ACB 最小，此时AB ⊥PC .由k PC ＝－2可得k AB ＝12.所以直线l 的方程为2x －4y ＋3＝0.答案 2x －4y ＋3＝03．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．解析 因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案 (2，2)4．(2013·南师附中月考)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为a －22＋b －22表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以a －22＋b －22的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 55．(2013·宿迁联考)已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解 (1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)· (x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.所以PQ →·MQ →的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得)(3)由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2. 同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k2. 所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k x B －1－k x A －1x B －x A＝2k －k x B ＋x Ax B －x A＝1＝k OP .所以直线AB 和OP 一定平行．6. (2012·福建卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)∵|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴4a ＝8，a ＝2.又∵e ＝12，即c a ＝12，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝ 3.故椭圆E 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， ∴m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*)此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝kx 0＋m ＝3m，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝kx ＋m ，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则MP →·MQ →＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立． ∵MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m )，由MP →·MQ →＝0，得－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m＋3＝0，整理，得(4x 1－4)km＋x 21－4x 1＋3＝0.(**) 由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1.故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .。
苏教版必修2高考题同步试卷422 直线与圆的位置关系2.docx
苏教版必修2高考题同步试卷：4.2.2直线与圆的位置关系2选择题(本大题共20小题，共100.0分)如图，在△ ABC•中，丄AB,若館=3BD. \AD\ = 1,则疋•而=()A. 1B. 2C. 3D. 4过圆x2 + y2 = 5±一点M(l,—2)作圆的切线/,贝口的方程为()A. % + 2y — 3 = 0B. % — 2y — 5 = 0C. 2x — y — 5 = 0D. 2% + y — 5 = 0直线x + y = c与圆%2 + y2 = 8相切，则正实数c的值为A. 3B. 2V5C. 3A/2D. 4若直线V3x - y + m = 0与圆%2 + y2 - 2y = 0相切，则实数加等于()A. —1或3B. -3或3C. 1 或一1D. 3 或1过点4(4,1)的圆C与直线x-y-l = 0相切于点(2,1),则圆C的方程是()A. (% — 5)2 + y? = 2B. (% — 3)2+ y2 = 4C. (% — 5尸 + y2 = 4D. (% — 3)2 + y2 = 2若圆C］： (% + 2)2 + (y - m)2 = 9与圆Q： (% - m)2 + (y + l)2 = 4外切，则加的值为()A. 2B. —5C. 2 或—5D.不确定设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆%2+y2 = 2相切，则Q的值为()A. ±V2B. ±2C. +2V2D. ±4已知点M是直线Z： 3% 4- 4y - 2 = 0上的动点，点N为圆C： (% + I)2 + (y + I)2 = 1上的动点, 则|MN|的最小值是( )A. IB. 1C. ID.乎设M圆(% - 5)2 + (y - 3)2 = 9上的圆心，则M点到直线3% + 4y - 2 = 0的距离是()A. 9B. 8C. 5D. 2已知直线/过点(0,3)且与直线x + y-1 = 0垂直，贝畀的方程是()A. x + y — 3 = 0B. x — y + 3 = 0C. x + y — 2 = 0D. x — y — 2 = 0已知直线b与直线＜2： 3% + 4y - 6 = 0平行且与圆：* + y2 + 2y = 0相切,则直线b的方程是(A.3% + 4y — 1 = 0B.3% + 4y + 1 = 0或3x + 4y - 9 = 0C.3% + 4y + 9 = 0D.3% + 4y — 1 = 0或3x + 4y + 9 = 0直线/过点P(-2V3,0)且与圆O：x2+y2 = 4相切，贝弭的斜率为()A. —1或1B.—逼或阳C. -V3^V3D.—逼或逼2 23 313.己知圆(x + 1 )2 + (y — 1)2 = 2 - m截直线x + y + 2 = 0所得弦的长度为4,则实数m =()A. -2B. -4C. -6D. -814.己知点(a,b)是圆x2 + y2 = r2外的一点，则直线ax + by = r2与圆的位置关系()A.相离B.相切C.相交且不过圆心D.相交且过圆心15.若直线x + y = a + 1被圆(％ - 2尸+ (y — 2尸=4所截得的弦长为2返，则a=()A. 1 或5B. -1或5C. 1 或一5D. -1 或一516.下列直线方程，满足“与直线y = x平行，且与圆x2+y2-6x + l = 0相切”的是()A. x — y + 1 = 0B. x + y — 7 = 0C. x + y + l = OD. x — y + 7 = 017.己知直线y = 2x + 1与圆x2 + y2 + mx = 0没有公共点，则加的取值范围是()A. (4 - 2V5,4 + 2V5)B. (4 - 2V5,0) U (0,4 + 2V5)C. (-4 — 2V5,-4 + 2V5)D. (-4 — 2V5,0) U (0, -4 + 2同18.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆%2+y2 = 2相切，则a的值为()A. ±4B. ±2V2C. ±2D. ±V219.若圆Q: %2 + y2 = 1 与圆C2 \ x2 + y2— 6x — By + m = 0外切，则m =()A. 21B. 19C. 9D. -1120.已知圆(x + l)2+ y2 = 12的圆心为C,点P是直线I: mx - y - 5m + 4 = 0上的点，若圆C上存在点Q使ZCPQ = 60° -则实数也的取值范围是()A. [1_—,1 +—]B. (_x, l 一七_]u[l +七-,+x)C. [0,y]D. ( —8,0]U【¥，+8)二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)21.过点(0, 3)作圆0 + I)2 + (y — 1)2 = 5的切线，则切线方程为______________________ .22.在平面直角坐标系XQF中，直线mx —y - 3m - 2 = 0(m e 7?)被圆(x - 2)2 + (y + l)2 = 4截得的所有弦中弦长的最小值为_________ •23.若直线y = 2x + b与圆x2 + (y - l)2 = 4有且仅有一个交点，则b的值是___________________ .24.已知直线x +ay+ 3 = 0与圆O：x2 + y2 = 4相交于A, B两点(。
苏教版高中数学必修二第14课时——直线与圆的位置关系(配套练习).docx
桑水第14课 直线与圆的位置关系分层训练1．直线10x y ++=与圆2242x y x y +-+ 10+=的位置关系为： （ ） ()A 相离 ()B 相切 ()C 相交但直线不过圆心()D 相交且直线过圆心2．圆 222430x y x y +++-=到直线10x y ++=的距离为2的点共有 （ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个3．圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为C ，若90ACB ∠=，则F的值是 （ ）()A 22- ()B 22 ()C 3 ()D 3-4．若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是 （ ）()A 在圆上 ()B 在圆外 ()C 在圆内 ()D 不能确定5．过圆上一点(3,4)P 作圆2225x y +=的切线，该切线的方程为 ． 6．与直线3y x =+垂直，且与圆228x y +=相切的直线方程是 ． 7．圆224440x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长等于 ．8．过(2,4)M 向圆22(1)(3)1x y -++=引切线，求切线方程并求切线长。
9．一个圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦长为27，圆心在直线30x y -=上，求该圆的方程．拓展延伸10．已知直线2360x y ++=与圆222x y x ++60y m -+=（其圆心为点C ）交于,A B 两点，若CA CB ⊥，求实数m 的值．11．自点(3,3)P -射出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切 ，求光线l 所在直线方程．本节学习疑点：学生质疑教师释疑桑水。
数学第2章2.2.2直线与圆的位置关系随堂自测和课后作业(苏教版必修2)
1.过点(1，1)和圆x 2＋y 2＝1相切的直线方程为________．答案：x ＝1或y ＝12.过点P (3，－4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，则切线长为________．解析：圆心到P 的距离为（3－2）2＋（－4－3）2＝50，∴切线长为（50）2－r 2＝7.答案：7 3.直线y ＝x 被圆(x －2)2＋(y －4)2＝10所截得的弦长为________．解析：法一：求出两个交点，进而求出距离；法二：弦心距为|2－4|2＝2，∴弦长为2×r 2－（2）2＝4 2. 答案：4 24.若直线ax ＋by ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是________．解析：由题意|a ·0＋b ·0＋1|a 2＋b 2<1， ∴a 2＋b 2>1，点P (a ，b )到圆心的距离为（a －0）2＋（b －0）2＝a 2＋b 2>1＝r ，∴点P 在圆C 外．答案：点P 在圆C 外5.若直线x ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则a 的值为________． 解析：利用平面几何知识求解，直线与圆的两交点分别为(2，4a －a 2)，(2，－4a －a 2)，故弦长为24a －a 2＝23，解得a ＝1或3.答案：1或3[A 级 基础达标]1.直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．解析：∵d ＝11＋（－1）2＝12＜1， ∴直线与圆相交．答案：相交2.直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于________．解析：圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心C (1，0)，半径r ＝3，直线3x －y ＋m ＝0与圆相切时，d＝r ，即|3＋m |3＋1＝3，解得m ＝－33或m ＝ 3. 答案：－33或 33.(2010·高考四川卷)直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A 、B 两点，则AB ＝________．解析：圆心到直线的距离d ＝55＝5，半径R ＝22，所以弦长AB ＝2R 2－d 2＝28－5＝2 3.答案：2 34.圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点的个数为________．解析：圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，又圆半径r ＝22，所以满足条件的点共有3个．答案：35.过点A (1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 等于________．解析：由(1－2)2＋(2)2＝3<4可知，点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，圆心为O (2，0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l ⊥OA ，所以k l ＝－1k OA ＝－1－2＝22. 答案：226.已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切？(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方后得到标准方程x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34. 即当a ＝－34时，直线l 与圆C 相切． (2)法一：过圆心C 作CD ⊥AB 于点D ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎨⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.即直线l 的方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.法二：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＋2a ＝0，x 2＋y 2－8y ＋12＝0，并消去y ，得(a 2＋1)x 2＋4(a 2＋2a )x ＋4(a 2＋4a ＋3)＝0.设此方程的两根分别为x 1，x 2，由AB ＝22＝（a 2＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]，可求出a ＝－7或a ＝－1.所以直线l 的方程是7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.7.求通过直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，并且有最小面积的圆的方程．解：由x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴C (－1，2)．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，∴k CD ＝－1k l ＝12. ∴CD 的方程为y －2＝12(x ＋1)即x －2y ＋5＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5＝0，2x ＋y ＋4＝0，可得D 的坐标为(－135，65)． 由点到直线的距离公式得CD ＝|2×（－1）＋2＋4|5＝455，AD ＝4－CD 2＝4－165＝255.∴以D 为圆心，AB 为直径的圆是面积最小圆．故所求圆的方程为：(x ＋135)2＋(y －65)2＝45. [B 级 能力提升]8.(2010·高考山东卷)已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：设圆心坐标为(x 0，0)(x 0>0)，由于圆过点(1，0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知(|x 0－1|2)2＝(x 0－1)2－2， 整理得(x 0－1)2＝4.∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．因此圆心为(3，0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09.(2010·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：由题设，得若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0，0)到直线的距离d 满足0≤d ＜1.∵d ＝|c |122＋（－5）2＝|c |13， ∴0≤|c |＜13，即c ∈(－13，13)．答案：(－13，13)10.矩形ABCD 中，AB ∶BC ＝4∶3，点E 在边CD 上，且CE ∶ED ＝1∶7，试确定以BC 为直径的圆与直线AE 的位置关系．解：如图，分别以AB 、AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系．不妨设|AB |＝8，则|AD |＝6，∴A (0，0)，B (8，0)，C (8，6)，E (7，6)，∴直线AE 的方程为y ＝67x ， 即6x －7y ＝0.BC 中点为M (8，3)，∴以BC 为直径的圆的方程为(x －8)2＋(y －3)2＝9.M (8，3)到AE 的距离d ＝|6×8－7×3|62＋（－7）2＝2785<2781＝3＝r . ∴直线AE 与圆相交．11.(创新题)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，问：是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：设这样的直线存在，其方程为y ＝x ＋m ，它与圆C 的交点设为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0 (*)∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－（m ＋1），x 1x 2＝m 2＋4m －42. ∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2.由OA ⊥OB ，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.m 2＋4m －4－m (m ＋1)＋m 2＝0.m 2＋3m －4＝0.∴m ＝1或m ＝－4.容易验证：m ＝1或m ＝－4时(*)有实根．故存在这样的直线，有两条，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.高!考。
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直线与圆中的动点控制
1.已知直线0=++m y mx 与圆2:22=+y x O 交于不同的两点B A ,，O 是坐标原点，OM OB OA =+，若点M 也在圆O 上，那么实数m 的值是 .
2.已知直线0=++m y x 与圆2:22=+y x O 交于不同的两点B A ,，O 是坐标原点，AB OB OA ≥+,那么实数m 的取值范围是 .
3.过点)2,11(A 作圆016442:2
2=--++y x y x O 的弦，其中弦长为整数的共有 条
4.设圆3:22=+y x C ，直线06-3:=+y x l ，点l y x P ∈）（00,，若存在点C Q ∈，使0
60
=∠OPQ （O 为圆点），则0x 的取值范围是 .
5.已知BD AC ,为圆4:22=+y x O 的两条互相垂直的弦，垂足为()
21，M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 .
6.圆()42-:22=+y x C ，圆()()()R y x M ∈=-+--θθθ,1sin 5cos 52:2
2，若圆上M 任意一点P 作圆C 的两条切线PF PE ,，切点分别为F E ,，则PF PE ⋅的最小值是 .
7.已知直线09:=-+y x l 和圆0188-22:2
2=--+y x y x M ，点A 在直线l 上，C B ，为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围是 .
8.已知点()2,0A 是圆()0022-:22>=-+a ay ax y x M 外的一点，圆M 上存在点T 使得045=∠MAT ，则实数a 的取值范围是 .
9.在平面直角坐标系xoy 中，过点()1,0A 向直线02:=+-+m y mx l 作垂线，垂足为M ，则点M
到点()32，
N 的距离的最大值为 .
10.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆上422=+y x 有且仅有四个点到直线05-12=+c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围是 .
11.在平面直角坐标系xoy 中，圆0158-:22=++x y x C ，若直线2-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 .
12.已知圆1:2
2=+y x C ，点）（00,y x P 是直线0423:=-+y x l 上的动点，若圆C 上总存在不同的两点B A ,，使得OP OB OA =+，则0x 的取值范围是 .
13.已知圆()12-:22=+y x C ，直线01=++y x 上存在点P 使得经过P 的直线l 与圆C 交于B A ,两点，且点A 为PB 中点，则点P 的横坐标0x 的取值范围是 .
14.在平面直角坐标系xoy 中，圆()()256-1:221=++y x C ，圆()()222230-17-:r y x C =+，若圆2C 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点B A ,，满足AB PA 2=，则半径r 的取值范围是 .
15.在平面直角坐标系xoy 中，若与点()2,2A 的距离为1且与点()0,m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是 .
16.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为()()91-1-:2
2=+y x C ，直线3:+=kx y l 与圆C 相交于B A ,两点，M 为弦AB 上的一动点，以M 为圆圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围 .
17.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x-a )2+(y+a-3)2=1(a>0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 .
18.在平面直角坐标系xoy 中，圆()21-:221=+y x C ，圆()()2
222-:m m y m x C =++，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线PB PA ,，切点为B A ,，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .
19.已知B A ,是圆04:2
2=-+x y x C 上两个动点，且32=AB ，点P 在直线02:=-+y x l 上，则PB PA ⋅的最小值是 .
20.已知点B A ,在圆1:22=+y x C 上，点P 在圆()()143:22=-+-y x M 上，若PB PA λ=，则实
数λ的取值范围是 .。