人教版A版高中数学必修4：小结_课件6
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高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高中数学必修4全册(人教A版)精品PPT课件
已知三角函数值，求角
一、基本概念：
1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指.0 360
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广
的终边
y 的终边
正角
o
x 零角
负角
(,)
一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 原点重合，角的始边 与 x轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
为第二象限角时
P
MO
为第一象限角时
P
OM
MP为角的正弦线,OM为角的余弦线
为第三象限角时
为第四象限角时
M
O
P
M
cos
tan
不存在
0
x
_0
-1
_o
y
+
1x
_
0
+o
人教版A版高中数学必修4：1.3 三角函数诱导公式(6)
角之间的数量关系
与＋2k (k Z )
(数 量 关 系 ）
终边位置重合 （形的关系）
终边上（对应） 点的坐标 P(x, y)和P(x, y) (数 量 关 系 ）
三角函数值间的关系
sin( 2k ) sin (k Z ) cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan (k Z )
tan 180 +60 tan 60 3
16
17
例1.求下列各三角函数值
(1)sin 2p ; cos 5p ; tan330
3
4
(2)cos 45p ; tan 1560 .
4
公式一
将大于2p 的角转化 为0到2p 之间的角
解：cos 45p 4
cos
10 p
三角函数值间的关系
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（数量关系）
“终边对称于 x 轴的图形关系” “ 三角函数的代数关系”
π - a 与a 的终边关 于y 轴对称
π - 的终边 y
x,Py' r r
O
sin(π - a ) = sin a
终边上（对应） 点的坐标 P(x, y)和P(x, y) (数 量 关 系 ）
终边关于 y轴 对 称 （形的关系）
三角函数值间的关系
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（数量关系）
“终边对称于 y 轴的图形关系” “ 三角函数的代数关系” zxxk
教学难点:角任意性的理解。以及发现由终边位置关系导致
（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公 式的“路线图”。
高中人教版数学必修4课件：1.3公式二、公式三和公式四
3.掌握公式二、公式三和公式四，并能运用 用，培养学生的数学运
诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、 算素养.
证明问题．(难点)
自主 预习 探新 知
1．诱导公式二 终边关系
图示
角 π＋α 与角 α 的终边 关于 原点 对称
公式
sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ，
思考：(1)诱导公式中角 α 只能是锐角吗？ (2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
[提示] (1)诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要 求 α≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．下列说法中正确的是( ) A．公式二～四对任意角α都成立 B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β) C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C D．以上说法均错误
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－31，α为第四象限角
→
求sinα－75°
→ 用sin180°＋α＝－sin α求值
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝sin
(2)化简：
1＋2sin 290°cos 430° sin 250°＋cos 790° .
[解]
(1)原式＝－sisninπ＋α－αs－in cαos－αcsoins
α α
＝－－sinsiαnα－s－incαos－αscions αα＝－1.
(2)原式＝
1＋2sin360°－70°cos360°＋70° sin180°＋70°＋cos720°＋70°
诱导公式解决一些三角函数的化简、求值、 算素养.
证明问题．(难点)
自主 预习 探新 知
1．诱导公式二 终边关系
图示
角 π＋α 与角 α 的终边 关于 原点 对称
公式
sin(π＋α)＝ －sin α ， cos(π＋α)＝ －cos α ，
思考：(1)诱导公式中角 α 只能是锐角吗？ (2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
[提示] (1)诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要 求 α≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．下列说法中正确的是( ) A．公式二～四对任意角α都成立 B．由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β) C．在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C D．以上说法均错误
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－31，α为第四象限角
→
求sinα－75°
→ 用sin180°＋α＝－sin α求值
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝sin
(2)化简：
1＋2sin 290°cos 430° sin 250°＋cos 790° .
[解]
(1)原式＝－sisninπ＋α－αs－in cαos－αcsoins
α α
＝－－sinsiαnα－s－incαos－αscions αα＝－1.
(2)原式＝
1＋2sin360°－70°cos360°＋70° sin180°＋70°＋cos720°＋70°
1.1 任意角和弧度制 课件(34张PPT) 高中数学必修4(人教版A版)
圆心角为30°时
圆心角为60° 时
结论：圆心角不变则比值不变
比值的大小只与角度大小有关， 我们可以利用这个比值来度量 角，这就是度量角的另外一种 单位制——弧度制。
弧度制的定义
定义：长度等于半径 长的圆弧所对的圆心 角叫做弧度的角，用 符号1 rad表示，读 作1弧度。这种以弧 度为单位来度量角的 制度叫做弧度制。
3、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S { | k 360 , k Z}
0
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角的和. 注意：1 、α是任意的角（可以是正的，可以 是负的，也可以是0o） 2、k取整数
例l、在0°～360°范围内，找出与下列各角终 边相同的角，并判定它们是第几象限角： ①480° ② -150° ③ 665° ④-950° 解：① 480°=120°+1×360° 与120°的角终边相同，是第二象限角 ② -150°=210°+(-1)×360° 与210°的角终边相同，是第三象限角 ③ 665°=305°+360° 与305°的角终边相同，是第四象限角 ④ -950° =130°+(-3)×360° 与130°的角终边相同，是第二象限角
B' R B O A r L A'
l
即时问答：下列四个图中的圆心角的弧度数 分别是多少？
问题：
（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的 弧度数是多少？若是一个圆呢？
（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？ 零角呢？角的正负由什么决定？
角度制与弧度制不同之处
1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单 位的度量角的单位制，角度制是以“度”为 单位来度量角的单位制；1°≠1 弧度； 2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度 制是六十进制.
人教版高中数学必修4(A版) 两角差的余弦公式 PPT课件
33 3 5 4 12 65 5 13 5 13
练习：
课本P140 1, 2，3，4 题。
应用
3:公式的逆用
cosααcos cos( -β β )=cos +sinα sin cosβ=cos( +sinααsin -β β ) cos12° +sin27° sin12° 的值 例3： 求 cos27°
–cos30 ° cos( 0° -30° ) ≠ cos 0 ° –cos45° cos(270° -45° ) = cos270° 问题2:你认为cos(α -β)=cosα -cosβ成立吗? cos(60° -30° ) = cos60° cos30° +sin60° sin30° cos(90° -45° ) = cos90° cos45° +sin90° sin45°
人教社高中数学必修四
D
问题1：
①如何把实际问题转 化为数学问题？
C
A
B
引例 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，小 山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点 间距离约为67米，从A观测电视发射塔的视角（∠CAD） 约为45°，求这座电视发射塔的高度？
D
X 67
45°
A C
在Rt△ABD中， x 30 tan(45°+α)≈ 60 思考：
求cosxcos(x+15° ) +sinx sin(x+15° )的值
6 4
2
这节课，我学到了什么？
知识：掌握了公式Cα-β并会正确应用
能力：通过对公式Cα-β获得过程的探究， 提高了数学的探究能力及分析问题 解决问题的能力 求简 数学 数形结合 思想 分类讨论 方程的思想
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
人教A版高中数学必修四第二章：2.2.1向量加法运算及其几何意义课件
若a，b不共线，则 | a b || a | | b |
因此，对任意两个向量a，b，有 a b a b a b
思考：
已知
|
a
|
8,|
b
|
6,
则
|
a
b
| 的最大值和
最小值各是什么?
向量加法的运算律(满足交换律和结合律)：
(1)a b b a;
(2)(a b) c a (b c).
3、向量加法的交换律与结合律。
a b ab
b a
abc a
c bc
ab b
例2：
根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
BC CD _B__D__
C AB BC CD _A__D__
A
AB BC CD DE _A__E__
B
向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加，如：
AB BC CD DE EF AF ，
起点相同
向量加法的平行四边形法则：
B
C
b
ab
O
a
A
以同一点O为起点的两个已知向量 a、b为邻边作 OACB,
则以O为起点的对角线OC就是a与b的和a b,即
a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
对于零向量与任一向量a,我们规定
a0 0a a
例题讲授：
2.2.1 向量加法运算 及其几何意义
日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某人从A点向东走到B.然后从B点向北走到C. 思考:这个人所走过的位移是多少?
分析 :由物理知识可以知道:
C
从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.
1.3 三角函数的诱导公式 课件(共19张PPT)高中数学人教A版必修四
2k (k Z)、 、 的三角函数值，等于
的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函
数值的符号。
14
理论迁移
例1 求下列各三角函数的值：
(1)cos225
(2)sin 11
3
(3)sin(-16 )
3
(4)cos(-2040 )
15
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面 步骤进行：
任意负角的 用公式一 任意正角的 三角函数 或公式三 三角函数
用公式一
锐角的三角 用公式二 0～2π的角
函数
或公式四 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
16
课堂小结： 1.小结使用诱导公式化简任意角的三 角函数为锐角的步骤.
2.体会数形结合、对称、化归的思想. 3.“学会”学习的习惯.
17
作业布置：
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
10
问题4：公式中的角 仅是锐角 吗？
11
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边
有什么关系？
那么它们之间的三角函
数值有什么关系？
y
α的终边
P(x，y)
公式三：
o
Q(x，-y)
x
sin( ) sin
1
（一）回顾旧知
问题1： （1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数？ （2） 终边相同的角的三角函数之间有什么关系？
2
温故而知新
1、任意角的三角函数的定义
sin y
y
α的终边
cos x tan y (x 0)
x
人教版高中数学必修4(A版) 正切函数的性质与图像 PPT课件
例4 求下列函数的周期：
( 2)变题 y 3 tan(
4
1 解 : f ( x) 3 tan( x ) 2 4
1 x ); 2 4
f (x ) 2 周期 T 2
3 tan[ 2( x ) ] 2 4
1 3 tan( x ) 2 4 1 3 tan[ ( x 2 ) ]
f ( x 2 ) 周期T 2
2
4
周期T | |
（1）正切函数的图像
（2）正切函数的性质： x | x k , k Z 2 定义域：
值域：全体实数R
正切函数是周期函数， 周期性： 最小正周期T= 奇函数， 奇偶性：
tan1670 tan1730
1 (1) y 3 tan( x ); 2 4
解 : (1)令u
例3
求下列的单调区间：
变题 (2) y 3 tan(
u
1 x 为增函数; 且y tan u的单调区间为: 2 4
1 x , 则y 3 tan u 2 4
正切函数在开区间 k , k , k Z 内都是增函数。
2
正切函数是周期函
数，T=
例1 求函数 y tan( x
解：令
4
z x
)的定义域。
z | z k , k Z 2
那么函数
y tan的定义域是： z
k , k , k Z 2 正切函数在开区间 2 单调性：
内都是增函数。
2