小学五年级下册数学讲义第三章 长方体和正方体 人教新课标版(含解析)

人教版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义 第三章 长方体和正方体 【知识点归纳总结】 1. 长方体的特征 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 【经典例题】

1．长方体中至少有（ ）条棱的长度相等．

A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面多少长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），一般情况长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．据此解答． 【解答】解：长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等． 答：长方体中至少有4条棱的长度相等． 故选：B． 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用． 2. 正方体的特征

①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 【经典例题】 2．在一个正方体中，最多能找到（ ）组互相垂直的线段．

A．12 B．18 C．24 【分析】根据互相垂直的定义：在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答． 【解答】解：据分析解答如下：

垂直：AB⊥AD AB⊥BC AB⊥AE AB⊥BF； BC⊥CD BC⊥BF BC⊥CG；

CD⊥AD CD⊥DH CD⊥CG；

AD⊥DH AD⊥AE BF⊥FG BF⊥FE AE⊥FE AE⊥EH；

CG⊥FG CG⊥GH；

DH⊥GH DH⊥HE；

FG⊥GH GH⊥EH HE⊥EF EF⊥FG．

故选：C． 【点评】本题考查的是垂线的定义，熟知正方体的性质是解答此题的关键． 3. 长方体和正方体的表面积 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S=6a2．（a表示棱长） 【经典例题】

3．如下图，用三个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了100dm2，原来每个正方体的表面积

是 150 dm2，长方体的表面积是 350 dm2．

【分析】三个正方体一拼成一个长方体减少了4个面，减少的面积就是100dm2，可以求出一个面的面积，即100dm2除以4等于25dm2，再根据正方体的表面积公式S＝6a2进行计算，再用一个正方体的表面积乘以3减去100dm2可求长方体的表面积． 【解答】解：100÷4＝25（dm2） 25×6＝150（dm2）

150×3﹣100 ＝450﹣100 ＝350（dm2） 答：原来每个正方体的表面积是150dm2，长方体的表面积350dm2． 故答案为：150，350． 【点评】本题是一道关于立体图形的拼接问题，考查了学生长方体的表面积公式及正方体的表面积公式的灵活运用． 4. 长方体、正方体表面积与体积计算的应用 （1）长方体：

底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体． 长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点． 长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和． 如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表=2（ab+ah+bh）

长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高． 如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V=abh （2）正方体： 长宽高都相等的长方体，叫做正方体． 正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体． 正方体的表面积：六个面积之和． 如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表=6a2

正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长． 如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V=a3 【经典例题】

4．礼堂里有一根用作支撑的长方体柱子，底面是一个边长为0.4米的正方形，柱子高4.5米．油漆这根柱

子，求总共油漆面积的算式是0.4×4.5×4． √ ．（判断对错） 【分析】要油漆这根柱子，两个底面接触地面和楼层，只求出每根柱子的4个侧面即可，侧面的长就是高4.5米，宽是底面的边长0.4米，代入长方形面积公式“长×宽”，然后乘4个面，即可得解． 【解答】解：0.4×4.5×4 ＝1.8×4 ＝7.2（平方米）． 答：油漆面积是7.2平方米． 故答案为：√． 【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题． 5. 长方体和正方体的体积 长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长） 【经典例题】

5．计算下面图形的体积和表面积． 【分析】（1）长方体的长、宽、高均已知，根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可求出这个长方体的体积；根据长方体的表面积计算公式“S＝2（ah+bh+ab）”即可求出这个长方体的表面积． （2）这个正方体的棱长已知，根据正方体的体积计算公式“V＝a3”即可求出这个正方体的体积；根据正方体的表面积计算公式“S＝6a2”即可求出这个正方体的表面积． 【解答】解：（1）15×8×7 ＝120×7 ＝840 （15×7+8×7+15×8）×2 ＝（105+56+120）×2 ＝281×2 ＝562 答：这个长方体的体积是840，表面积是562． （2）3×3×3 ＝9×3 ＝27 32×6 ＝9×6 ＝54 答：这个正方体的体积是27，表面积是54． 【点评】解答此题的关键是记住并会运用长方体、正方体的体积、表面积计算公式．

【同步测试】 单元同步测试题 一．选择题（共10小题） 1．一个正方体的棱长总和是24cm，每条棱长（ ） A．1cm B．2cm C．3cm 2．如图是用边长1cm的小正方体拼成的长方体．下列图形（ ）是这个长方体中的一个面．

A． B． C．

3．用一根72厘米的铁丝正好可以焊成一个长8厘米、宽（ ）厘米、高4厘米的长方体框架．

A．4 B．5 C．6 4．正方体有___个面，相对应的两个面______．（ ）

A．6个，大小不同，形状一样

B．6，大小相同形状一样

C．6，大小不同形状不同

5．一种长方体盒装牛奶，从包装盒的外面量，长6厘米，宽3厘米，高12厘米．它标注的净含量可能是

（ ）毫升． A．200 B．220 C．250 6．一个长方体的集装箱，从里面测量长12m、宽4m、高3m，如果要装一批棱长2m的正方体货箱，最多

能装（ ）个． A．12 B．18 C．36 7．一团橡皮泥，妙想第一次把它捏成长方体，第二次把它捏成正方体．捏成的两个物体体积（ ）

A．长方体大 B．正方体大 C．一样大 D．无法确定

8．一张长方形纸板长80厘米，宽10厘米，把它对折、再对折．打开后，围成一个高10厘米的长方体纸

箱的侧面．如果要为这个长方体纸箱配一个底面，这个底面的面积是（ ） A．200平方厘米 B．400平方厘米

C．800平方厘米

9．有两个表面积都是60平方厘米的正方体，把它们拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（ ）平

方厘米． A．90 B．100 C．110 D．120 10．把一根长2m的长方体木材平均截成3段，表面积增加了100dm2，原来木材体积是（ ）dm3． A．50 B．100 C．500 D．1000 二．填空题（共8小题） 11．小军在一个无盖的长方体玻璃容器内摆了一些棱长1分米的小正方体（如图）．做这个玻璃容器至少

要用玻璃 平方分米，它的容积是 立方分米．（玻璃的厚度忽略不计）

12．长方体和正方体都有 个面， 条棱．长方体最多有 个面是正方形．

13．粉笔盒的形状是 ，红领巾的形状是 ．

14．在如图的长方体中，和a平行的棱有 条，和a垂直的棱有 条．

15．手工课上，小辉把三块小正方体方木粘在一起，如图：表面积比原来减少16平方厘米，原来1个小正

方体的表面积是 平方厘米．

16．把一根长48厘米的铁丝焊成一个宽2厘米，高1厘米的长方体框架，这个框架的长是 厘米．

17．一个长方体的上面是面积为25平方厘米的正方形，前面是面积为30平方厘米的长方形，这个长方体

的表面积是 平方厘米． 18．有一个长12厘米，宽8厘米，高4厘米的长方体，把高增加3厘米，则体积增加 立方厘米，

表面积增加 平方厘米． 三．判断题（共5小题） 19．长方体长和宽可以相等，长、宽、高也可以相等． （判断对错）

20．长方体和正方体的表面积就是求它6个面的面积之和，也就是它所占空间的大小． （判断对错）

21．加工一个油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的体积． （判断对错）

22．正方体是长、宽、高都相等的长方体． （判断对错）

23．两个长方体体积相等，底面积不一定相等． （判断对错）

四．操作题（共1小题）