2007-2008(1)线性代数试题A卷解答
2007-2008-2线性代数试卷(肖)解答
2007-2008-2线性代数期考试卷B 参考答案和评分标准一、单项选择题（每题3分，共30分）1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10. A 。
二、填空题（每题4分，共20分）1. 0； 2. 3 ； 3. n+a ，()1,1, (1)n R ∈； 4. 2221232y y y -++，222123z z z -++； 5. n 。
三、解答题（每题10分，共40分）1．解：系数矩阵初等变换过程如下：121323(1)(1)(1)11111111110110121121000E E E λλλμλμλμμλμμ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， ——-（4分） 当0μ≠而且1λ≠时，齐次线性方程组只有零解。
——-（7分） 当0μ=或者1λ=时，齐次线性方程组有非零解。
——-（10分）2．解：()()()322001112442113λλλλλλλ----=--+=---， ——-（3分） 2λ=是3重特征值。
——-（4分） 000000111111111000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得两个线性无关的特征向量 ()11,1,0T x =，()20,1,1Tx =。
——-（8分） 矩阵A 的属于特征值2的特征向量为 1122x k x k x =+，其中12,k k 不全为零。
——————————-（10分）3．解：（1）()123123100101,,,,,110012111110αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭—————（2分） 1β在基{}123,,ααα的坐标是()1,1,1T -；2β在基{}123,,ααα的坐标是()0,1,2T -；3β在基{}123,,ααα的坐标是()1,1,2T -。
基{}123,,ααα到基{}123,,βββ的过渡矩阵为101111122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭———————————-（7分） （2）()()123123231231232222223ααααβββββββββββ=-+=-+--++-=-+ 所求的坐标为()2,2,3T -。
浙江大学2007-2008学年春夏学期线性代数期末试卷
浙江大学2007-2008学年春夏学期《线性代数》期末试卷一、 填空题（每空3分）1．设a a a a a a a a a a =333231232221131211，则=++++++333231323123222122211312111211a a x a xa a a a x a xa a a a x a x a a （ ）。
2．设4阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2111121111211112A ，则=**)(A （ ）。
3．设V 是实数域ℜ上的全体44⨯反对称矩阵所构成的线性空间，即},|)({44ℜ∈-===⨯ij Tij a A Aa A V 。
写出V 的一组基（ ）。
V 的维数是（ ）。
设4阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=0221204324021320A ，写出A 在上面这组基下的坐标（ ）。
4．设A 是3阶矩阵，且4,2,1,0332211-====A A A A ，则*A 的特征值是=1λ（ ），=2λ（ ），=3λ（ ）。
二、 计算题。
1．计算行列式4444445544444444333333332222222223452345234523454----------------=D （12分）。
2．已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000322212321321x c x b x a cx bx ax x x x问(1) a,b,c 满足何种关系时，方程组仅有零解。
(2) a,b,c 满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示他的全部解。
3．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011,12,110321b a βββ与向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=769,103,321321ααα有相同的秩，且3β可以由321,,ααα线性表示。
求b a ,的值，并写出3β由321,,ααα线性表示的一个表达式。
(完整版)线性代数测试试卷及答案
线性代数(A 卷)一、选择题(每小题3分，共15分)1 .设A 、B 是任意n 阶方阵，那么下列等式必成立的是() (A) AB BA (B) (AB)2 A 2B 2 (C) (A B)2 A 2AB B 2 (D) A B B A2 .如果n 元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量，那1 0 0210, A *是A 的伴随矩阵，则(A*)4 .设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5, t)T 正交，则t5 .设A 为正交矩阵，则A1 11 6 .设a,b,c 是互不相同的三个数，则行列式ab c2,22a b c7 .要使向量组 1 (1, ,1)T , 2 (1,2,3)T, 3 (1,0,1)T 线性相关，则8 .三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为么矩阵A 的秩为((A) n (B) )s (C)n s (D)以上答案都不正确 3 .如果三阶方阵A (a j )3 3的特征值为1,2,5 ,那么ana 22a 33 及A 分别等于()(A) 10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,4 .设实二次型f(x 1,x 2)2 (X ,X 2)4X 1 X 2的矩阵为A, 那么()2 3(A) A3 1 ⑻(C)1 1(D)5.若方阵A 的行列式A0, 则((A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 二、填空题(每小题3分，共30分)(B)A (D)A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关 的列向量组线性相关，行向量组线性无关1如果行列式D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于2.设A3.设，是非齐次线性方程组AX b 的解若也是它的解，那么关组和秩. 四、(10分)设有齐次线性方程组X 1 ( 1)X 2 X 3 0, (1)X 1 X 2 X 3 0, X 1 X 2 ( 1)X 3 0.问当 取何值时，上述方程组（1）有唯一的零解；（2）有无穷多个解，并求出这些解. 五、（12分）求一个正交变换X PY ,把下列二次型化成标准形：、222f （X 1,X 2, X 3） X 1 X 2 X 3 4X 1X 2 4X 1X 3 4X 2X 3.六、（6分）已知平■面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c 0, 12 : bx 2cy 3a 0, 13 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.线性代数(A 卷)答案1. D2. C3. B4. A5. A■-4*11.02. (A ) A3. 14. 35. 16. (c a)(c b)(b a)7. 08. 1,9.411 t 0 10. A I 5 42、1.解由AX(A I ) 1B . (2分)9 .若二次型 f(X i ,X 2,X 3)X 21 x 22 5x 23 2tX i X 2-2X 1X 3 4X 2X 3 是正定的，则 t 的取值范围10 .设A 为n 阶方阵，且满足A 2 2A 4I 0,这里I 为n 阶单位矩阵，那么A 1三、计算题（每小题9分，共27分）1 .已知A 1 00 1 ,求矩阵X 使之满足AX 0 0X B.2 .求行列式的值.3求向量组 (1,0,1,0), 2 ( 2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 （4, 3,1, 3,）的一个最大无或-1由于1 23 4 1 2 3 41 2 3 4 0 1 1 3 r r 0 1 1 3 「3 5r 2 0 1 1 3 1 3 01 UUuLu 0 5 3 3 LuiuiUj2 0 0 2 12 0 73 3 0 733424四、解 方程组的系数行列式卜面求 (A I ) 由于(4分）(A I)所以 (A I) (7分）2.解 10 10 10 1010(9 分)10(4 分）(8160 (9 分)3.解 故向量组的秩是UjuniUr31 2 03 12 0(6分)3是它的一个最大无关组。
沈阳建筑大学08秋-线性代数试卷A答案
沈阳建筑大学考试评分标准专用纸2008年 秋季学期 科目： 线性代数1（A 卷） 适用年级、专业：07级土木、环境、交通机械、管理、信息（除计算机）学院 ————————————————————————————————一、填空（每小题4分，共20分） 1．0； 2．AA； 3．-4； 4．!n ； 5．22t -<< 二、选择题（每小题4分，共20分） 1． D ； 2．D ； 3．B ； 4．C ；5．C 三、（6分） 原式＝222222()(()())16x y x yx y x y x y x y x y x y-+-=--+=+- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6' 四、（6分）证明：设存在121,,,s l l l - 满足 1122110s s l l l βββ--+++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2' 则有111222111()()()s s s s s s l k l k l k αααααα---++++++112211112211()0s s s s s l l l l k l k l k αααα----=+++++++=因为 12,,,s ααα无关， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2' 所以 1211122110s s s l l l l k l k l k ---====+++=故 121,,,s βββ-无关. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2'五、（6分）解：32213211111111122200()3203200r r r r A a b aba b a a b aa ba ab a b+----=+--=-=-=--+-+-．．2'当()0a a b -=时，即0a =或a b =时，()3R A < （1）若0a b ==，则111100010000A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()1()2R A R =<=，无解. .．．．．．．．．．．．．2' （2）若0,0a b =≠，则2132221 1 1 1111 1222300100 23002311 1100100 01r r r r A b b b b b -+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()2()3R A R A =<=，无解. ．．．．．．．．．．．．．2' 六、（6分）解：()12341525100236330101,,,2215001110110000a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.．．．．．．．．．．．．．3' 秩为3，123,,a a a 为一个最大无关组，41232a a a a =-+. ..．．．．．．．．．．．．．3' 七、（6分）解：1122r n n n D D D --=-按展..．．．．．．．．．．．．．3'232232(2)32n n n n n D D D D D -----=--=-34334213(2)243(1)(2)n n n n n D D D D D n D n D -----=--=-==---21(1)(2)2(1)32(2) 1.12n n n n n =---=---=+ ..．．．．．．．．．．．．．3' 八、（6分）解：由2AX E A X +=+，得到2()A E X A E -=- ..．．．．．．．．．．．．．2' 由于001010,0100A E A E ⎡⎤⎢⎥-=-≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦201030102X A E ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ..．．．．．．．．．．．．．4' (或者)由2AX E A X +=+，得到2()A E X A E -=- ..．．．．．．．．．．．．．2'11001001001010,()010010100100100A E A E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦..．．．．．．．．．．．．．2'12()()X A E A E -=--001102201010030030100201102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ..．．．．．．．．．．．．．2' 九、（6分）解：222222A B αααηζηζβββ+=+=+4444A B ααηζββ=+=+ .．．．．．．．．．．．．．4' 454(2)12.=⨯+⨯-= ..．．．．．．．．．．．．．2'十、（8分）解：100023032A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， (5)(1)(1)E A λλλλ-=--+ ..．．．．．．．．．．．．．1' 5λ=的特征向量1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1λ=特征向量2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1λ=-特征向量3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭单位化11011q β⎛⎫⎪==⎪⎪⎭ ，222q βξ==，333011q βξ⎛⎫⎪===⎪⎪-⎭..．．．．．．．．．．．．．4'正交变换01000X Y ⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪..．．．．．．．．．．．．．1'2221235f y y y =+-. ..．．．．．．．．．．．．．1' 由顺序主子式不全大于等于0或标准形中有负项，得不是正定的...．．．．．．．．．．1' 十一、（6分）解：由 ,P PA Λ=故11,k k A P P A P P --=Λ=Λ所以 175()(62)A P E P ϕ-=Λ-Λ+又10,11P -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 所以110,11P --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦..．．．．．．．．．．．．3' 75175101010()62010(1)0(1)103010110711A P P ϕ-⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦30.107-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦..．．．．．．．．．．．．3' 十二、（4分）解：由1234b αααα=+++得线性方程组Ax b = 的特解*T (1,1,1,1)η= . 由234,,ααα 线性无关，1232ααα=-知()3R A =，线性方程组0Ax = 的基础解系含有431-=个解向量。
2007全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分
2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分一、2007年：1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ ] 【答案】A【详解】用定义进行判定:令0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 又 011011101=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】B【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .3、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为 . 【答案】1【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1.4、(2007年数学一、二、三、四)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321xa x x ax x x x x x ①与方程12321-=++a x x x ②有公共解，求a 的值及所有公共解．【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++.12,04,02,03213221321321a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a .于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ，k 为任意常数.2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ，故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭, 即①与②有唯一公共解: 为123011x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5、(2007年数学一、二、三、四)设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ．【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A ， 故 1351)4(ααE A A B +-=113154ααα+-=A A1114ααα+-=12α-=，从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即0,03121==ααααT T 所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1,1,1(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ,其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 , 故可取2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, 3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101.即B 的全部特征值的特征向量为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111k , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.(II) 令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111, 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121BP P ，得 1112-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110.二、2008年：1、（2008年数学一、二、三、四）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则[ ]则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=． 故E A -，E A +均可逆．故应选(C).2、（2008年数学一）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x x yz A y z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为[ ](A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).3、（2008年数学二、三、四）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为[ ] (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【答案】 应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.4、(2008年数学一) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值． 因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．5、（2008年数学二）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．【详解】由482-=A ，依据方阵行列式的性质，则有48223-==A A ，即6-=A .又A 等于其特征值的乘积，即632321-=⨯⨯=⨯⨯=λλλλA ,得1-=λ. 6、（2008年数学三）设3阶方阵A 的特征值为1,2,2,E 为单位矩阵，则=--E A 14 .【答案】应填3．【详解】由方阵特征值的性质，E AA f -=-14)(，则14)(1-=-λλf ，故方阵EA --14的特征值分别为1,1,3，又由方阵行列式等于其特征值的乘积，则有341=--E A .7、（2008年数学四）设3阶方阵A 的特征值互不相同，若行列式0=A ，则A 的秩为 . 【答案】应填2．【详解】由题可知，方阵A 的特征值含有0，而其余两个非零，故A 的秩为2.8、（2008年数学一）设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<． 9、(2008年数学一、二、三、四) 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．10、(2008年数学二、三、四)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=． 用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=． 因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+， 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=， 即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故 123,,ααα线性无关．（II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．三、2009年：1、（2009年数学一）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,nηηη的过渡矩阵。
全国2007年7月高等教育自学考试线性代数经管类试题答案
全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 是3阶方阵，且|A |=21-，则|A -1|=（ A ） A ．-2 B ．21- C ．21 D ．22．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则=||A λ（ C ）A ．||A λB ．||||A λC ．||A n λD ．||||A n λ 3．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ A ） A ．B T =B B ．B =2A C ．B B T -= D ．B =04．矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=（ D ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 5．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100101110C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001300010 6．若向量组)0,1,1(1+=t α，)0,2,1(2=α，)1,0,0(23+=t α线性相关，则实数t =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．3A ．A 中的4阶子式都不为0B ．A 中存在不为0的4阶子式C ．A 中的3阶子式都不为0D ．A 中存在不为0的3阶子式8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为021==λλ，23=λ，则秩(A )=（ B ）A ．0B ．1 C ．2 D ．39．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式=||2A （ C ）A ．-2B ．-1C ．1D ．210．二次型),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．设矩阵A =⎪⎪⎫ ⎛1121，则行列式=||T AA __1__．13．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则=B A T __5__． 32112=3α⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,1,1． 15．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6131的行向量组的秩=__2__．16．已知向量组)1,1,1(1=α，)0,2,1(2=α，)0,0,3(3=α是R 的一组基，则向量)3,7,8(=β在这组基下的坐标是)1,2,3(．17．已知方程组⎩⎨⎧=+-022121tx x 存在非零解，则常数t =__2__． 18．已知3维向量)1,3,1(-=α，)4,2,1(-=β，则内积=),(βα__1__．19．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 01010101的一个特征值为0，则x =__1__．20．二次型323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎝-541431．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=210121012的值．解：4)26(2123210121230210121012=+--=---=--=． 22．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3512，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0231，求矩阵方程XA =B 的解X ．解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=252610022501101220016101210013512),(E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→25131001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-26512251302311BA X ． 23．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121，问a 为何值时，（1）秩(A )=1；（2）秩(A )=2．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--900000003121a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000090003121a ．（1）9=a 时，秩(A )=1；（2）9≠a 时，秩(A )=2．24．求向量组1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛626，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-542的秩与一个极大线性无关组． 解：=),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--565142312611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3126028402611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142014202611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000014202611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000142041222→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000014205802→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00002/12102/5401， 秩为2，1α,2α是一个极大线性无关组．25．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=362232203421),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032200201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00002/31100201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=333231232x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11202/30k ．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1630310104A ，求可逆矩阵P 及对角矩阵D ，使得D AP P =-1． 解：2)1)(2(31104)1(1630310104||-+=--+-=-----+=-λλλλλλλλλA E ， 特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-00013050300013001531300000511210510513630510102A E λ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0003/1103/501，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=3332313135x x x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13/13/51α； 对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000000210210210210630210105A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0122α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1003α．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101013/1023/5P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010002D ，则P 是可逆矩阵，使D AP P =-1． 四、证明题（本大题6分）27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=，212ααβ-=也线性无关． 证：设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α,2α线性无关，得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．本资料由广州自考网收集整理，更多自考资料请登录 下载考试必看：自考一次通过的秘诀！。
(试题) 2007上自考线性代数
C.(1,0,2)T k (0,1,1)T
T
9
一、单项选择题
1 1 1 9. 矩阵A 1 1 1 的非零特征值为 ( 1 1 1 A. 4 B.3 C. 2 D.1
10
)
一、单项选择题
1 10. 矩阵A 2 合同于 ( 3 1 1 2 A. 2 B . 3 3 1 C. 2 3 1 D. 2 3 )
T T
3 (3,0,6,1) , 4 (0,3,0,4)
T
T
(1)求向量组的一个极大线 性无关组 (2)将其余向量表为该极大 线性无关组 的线性组合
25
三、计算题(每题9分，6题共54分)
25. 设2阶矩阵 A的特征值为 1与2， 对应的特征向量分别为
1 (1,1) , 2 (1,1) , 求矩阵 A
T T
26
三、计算题(每题9分，6题共54分)
26.已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 3x2 3x3 2ax2 x3 , 通过正交变换可化为标 准形 f y1 2 y2 5 y3 , 求a
2 2 2 2 2 2
27
四、证明题(本大题6分)
27. 证明：若向量组 1 (a11 , a21 ),
15
二、填空题(每空2分，6空共12分)
1 0 1 15. 设矩阵A 0 2 0，矩阵B A E 0 0 1 则矩阵B的秩r ( B ) ?
16
二、填空题(每空2分，6空共12分)
16. 设向量 (1,2,3), (3,2,1)， 则向量，的内积 ( , ) ?
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A卷
全校各专业《线性代数》课程试卷及答案A 卷试卷 A 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB，则必有（ ） (A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ； （C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。
2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（ ） (A) A E =； (B)B E =； （C ） A B =. (D) AB BA =。
3、设A 为n m ⨯矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）(A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关； （C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；(C) A 的特征值都等于零； (D) A 的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。
6、A 为n n ⨯阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。
7、已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+43121232121321x x x a a 无解，则a = 。
8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式1111111111111111x x D y y+-=+-10、计算n 阶行列式121212333n n n n x x x x x x D x x x ++=+四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
2007-2008第二学期线性代数及答案工科36学时
武汉大学数学与统计学院2007－2008第二学期《线性代数D 》 （A 卷，工科36学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分)设123,,ααα均为三维向量 ，记三阶矩阵123123123123(,,),(,24,39).A B αααααααααααα==++++++ 已知1A =，求B ．二、(10分) 设211120212-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,023214014-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，-=+AC E B C ,求矩阵C ．三、（15分）已知向量组123418210:2,4,1,53826A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξξ求向量组A 的秩及一个最大无关组，并把其它的向量用最大无关组表示出来．四、(15分）设线性方程组为123123123(2)2212(5)4224(5)31x x x x x x x x x λλλλ++-=⎧⎪++-=⎨⎪--++=+⎩问λ为何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解.五、(15分）已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量，1） 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，试求出该特征向量，若不能，则说明理由。
2）能否由此求得实对称阵A ？若能，试求之，若不能则说明理由。
六、(15分) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵().n n ⨯已知,BA E = 试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？七、(20分)设二次型的矩阵为5212233a b a b cc c --⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，,,a b c 为常数，则 （1).写出二次型),,321x x x f （的具体形式；(2).求A 的全部特征值与特征向量；(3).求一个正交变换X PY =,把二次型f 化为标准形；(4).在1x =的条件下，求二次型f 的最大值和最小值。
完整版)线性代数试卷及答案
完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。
(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。
A) r(A)。
r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。
A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。
3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。
(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。
(C) BA=O。
(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。
+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。
5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。
11；(C) -1；(D)。
(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。
A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。
1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。
(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。
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广州大学2007-2008学年第一学期考试卷
线性代数A 卷参考解答
一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）
1．设A 为3阶方阵，且||4A =, 则|2|A =32
2．设1234⎛⎫= ⎪⎝⎭AB , 则T T
1324⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B A
3．已知200*220421⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1
100110210.5-⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
A
4．n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数等于
()
n R -A
5．若2阶方阵A 满足方程2
56-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等, 则||=A 6
二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)
1．设123,,ααα为3维列向量, 且123|,,|4ααα=, 则1322|2,23,|-=αααα( B ). (A) 16； (B) 16-； (C) 24 (D) 24-.
2. 二次多项式281175413561081
x x ---中2
x 项的系数是( D ).
(A) 7； (B) 7-； (C) 5 (D) 5-.
3. 设,,A B C 均为n 阶方阵, 且ABC E =, 则必有( A ).
(A) BCA E =; (B) BAC E =; (C) CBA E =; (D) ACB E =.
4. 矩阵方程=AX B 有解的充分必要条件是( C ). (A) ()(,)R R <A A B ; (B) ()(,)R R <B A B ;
(C) ()(,)R R =A A B ; (D) ()(,)R R =B A B .
5. 若向量组1,,ααm 线性相关, 且110ααm m k k ++= , 则( D ). (A) 1,,m k k 全为0; (B) 1,,m k k 全不为0; (C) 1,,m k k 不全为0; (D) 前述情况都可能出现.
三．（本题满分8分）
计算行列式0000
a b c
a b c
D b a c c a b =
.
解 000a b c a b c a b c b c
D a b c a c a b c a b ++++=++++……………………………………………….3分
000
000000a b c a b c a b c
++-=
--…………………………………………..6分 ()abc a b c =-++……………………………………………………..8分
四．（本题满分10分）
设1200010000240012⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A , 求8A . 解 令11201⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 2
2412⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,
21121214010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A , 41141418010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A , 811818116010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A ,……………………………………..4分 2
2224248164121248⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ,
422222322222()(4)44====A A A A A ,
84232
62
722222()(4)44====A A A A A ,………………………………8分 8
81151682141511600010000220
022⎛⎫
⎪
⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
A O A O A (10)
分
五．（本题满分10分）
设12341314(,,,)431010561114⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
αααα, 求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无
关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.
解 化矩阵1234(,,,)αααα为行最简形:
1234(,,,)αααα1314~09660966⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭103222~01330000⎛⎫
⎪
⎪-
⎪ ⎪
⎝⎭
……………..4分 向量组1234,,,αααα的秩为2, …………………………………………………….6分
一个最大无关组为12,αα, …………………………………………………………8分 且有 312233=-ααα, 412223
=+ααα………………………………………10分
六．（本题满分10分）
已知矩阵3000130011301113⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A , 解矩阵方程2=+AX X A . 解 由 2=+AX X A ,
得 (2)-=A E X A ,…………………………………………………….2分
因 10001100211101111⎛⎫ ⎪
⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭
A E , |2|1,-=A E 所以2-A E 可逆, 于是 1(2)-=-X A E A …………………………………...5分
利用 1(2,)(,(2))r
--−−→-A E A E A E A 求1(2)-=-X A E A :
1000300011001300(2,)1110113011111113⎛⎫ ⎪
⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭
A E A 10003000010023000010023000010023r ⎛⎫ ⎪-
⎪−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭ 3000230002300023⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭
X ………………………………………………...10分
七．（本题满分12分）
求方程组123412341
23432434537761171513
x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪
-+-=⎨⎪-+-=⎩的通解.
解 化增广矩阵为行最简形:
13243(,)4537761171513--⎛⎫
⎪=-- ⎪--⎝⎭A b …………………………………..2分
13243~0759507595--⎛⎫
⎪-- ⎪--⎝⎭
…………………………………………4分 611
77759577
710~01000
00--⎛⎫ ⎪-- ⎪
⎝⎭………………………………………….6分 同解方程组为 ⎪⎩
⎪⎨⎧
-
=+-=--7579757
67171432431x x x x x x ……………………………………….8分
令13k x =，24k x =，得通解为
121234116777595777100010x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中21,k k 为任意实数……………...12分
八．（本题满分12分）
已知矩阵9226A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,
(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;
(2) 求可逆矩阵P , 使1
P AP -为对角矩阵.
解 (1) 92
||26λλλ
--=
-A E (5)(10)λλ=-- A 的特征值为15λ=，210λ=……………………...…………………………...5分
当15λ=时，解 (5)0-=A E x ，得基础解系112⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
p ，
对应于特征值15λ=的全部特征向量为11k p （01≠k ）……………………….7分 当210λ=时，解 (10)0-=A Εx ，得基础解系221⎛⎫
= ⎪⎝⎭
p ，
对应于特征值210λ=的全部特征向量为22k p （02≠k ）……………………9分 (2) 取1
22
1⎛⎫=
⎪-⎝⎭P , 则1
50010-⎛⎫= ⎪⎝⎭
P AP …………………………………..12分
九．（本题满分8分）
设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解, 1,,n r -ξξ 是=Ax 0的一个基础解系. 证明 1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关.
证明 设存在一组数1,,,n r x x x - , 使
11()()0n r n r x x x --+++++=ηηξηξ (1)
即 111()0n r n r n r x x x x x ---++++++=ηξξ (2)..................2分 由题设=A ηb , (1,,)0i i n r ==-A ξ , 用矩阵A 左乘(2)的两边, 得
1()0n r x x x -+++=b
因0≠b , 得
10n r x x x -+++= (3)…………..5分
代入(2)得
110n r n r x x --++=ξξ
因基础解系 1,,n r -ξξ 线性无关, 所以
10n r x x -===
代入(3)得 0x =.
因此(1)只有零解, 从而1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关………………………..8分。