2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
【河北省邯郸】2017学年高考一模数学年试题(理科)
,
1 k 3 k 2 或 1 ,
k
2
2
直线 l 的斜率为 k 2 或 k 1 ． 2
- 4 -/18
21．解：（Ⅰ）
f（ x）
2x
a
2
x
a 2
x
a
2
,
x
0
,
x
x
所以,当 0 x a 时, f x＜0 ,当 x＞ a 时, f x＞0 ,
Y
1 000 2 000
3 000
P
0.16
0.68
0.16
Y 的数学期望为 E Y 1000 0.16 2000 0.68 3000 0.16 1680 ．
20．解：（Ⅰ）联立
y
x
p 2
,消去 x 得
y2
3py
p2
0,
x2 2 py
4
题设得
所以 a 2 ．
（Ⅱ）由条件可得 f 2 xe2x 6mf xex 9m 0 ,
令 g x f xex x2 2ln x ex ,
则
g（ x）
x2
2x
2 x
2lnx
e
x
,
令（r x） x2 2x 2 2lnx x 1 ,
22 2
由于 g'a 1 ln a ,故 a 2 时, g '2 0 ,
22
且 0 a 2 时, ga 0 , a 2 时, ga 0 ,
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。
2017年河北省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)
2017年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则（）A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.1 4B.π8C.12D.π43.设有下面四个命题p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2；p4：若复数z∈R，则z∈R．其中的真命题为（）A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p44.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A.1B.2C.4D.85.函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是（）A.[−2, 2]B.[−1, 1]C.[0, 4]D.[1, 3]6.(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为（）A.15B.20C.30D.357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10B.12C.14D.168.如图程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A.A >1000和n =n +1B.A >1000和n =n +2C.A ≤1000和n =n +1D.A ≤1000和n =n +29.已知曲线C 1:y =cosx ，C 2:y =sin(2x +2π3)，则下面结论正确的是（ ）A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A.16B.14C.12D.1011.设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ） A.2x <3y <5z B.5z <2x <3y C.3y <5z <2x D.3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N:N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A.440 B.330 C.220 D.110 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a →，b →的夹角为60∘，且|a →|=2，|b →|=1，则|a →+2b →|等于________．14.设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0，则z =3x −2y 的最小值为________．15.已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60∘，则C 的离心率为________．16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA．(1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC =1，a =3，求△ABC 的周长．18.如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB // CD ，且∠BAP =∠CDP =90∘．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，求二面角A−PB−C的余弦值．19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ, σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ−3σ, μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ−3σ, μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得x=116∑x i16i=1=9.97，s=√116∑(16i=1x i−x)2=√116(∑x i216i=1−16x2)≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数x作为μ的估计值^μ，用样本标准差s作为σ的估计值^σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974，0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09．20.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(1, 1)，P2(0, 1)，P3(−1, √32)，P4(1, √32)中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为−1，证明：l过定点．21.已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围． [选修4-4，坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ，（θ为参数），直线l 的参数方程为 {x =a +4t y =1−t，（t 为参数）．(1)若a =−1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为√17，求a ． [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=−x 2+ax +4，g(x)=|x +1|+|x −1|． (1)当a =1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[−1, 1]，求a 的取值范围． 答案1. 【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ，再求出A ∩B 和A ∪B ，由此能求出结果． 【解答】解：∵集合A ={x|x <1}， B ={x|3x <1}={x|x <0}，∴A ∩B ={x|x <0}，故A 正确，D 错误； A ∪B ={x|x <1}，故B 和C 都错误． 故选：A ． 2. 【答案】B【解析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S =π2， 则对应概率P =π24=π8，故选：B 3. 【答案】B【解析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，故命题p 1为真命题； p 2：复数z =i 满足z 2=−1∈R ，则z ∉R ，故命题p 2为假命题；p 3：若复数z 1=i ，z 2=2i 满足z 1z 2∈R ，但z 1≠z 2，故命题p 3为假命题； p 4：若复数z ∈R ，则z =z ∈R ，故命题p 4为真命题． 故选：B ． 4. 【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n }的公差．【解答】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 4+a 5=24，S 6=48， ∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48， 解得a 1=−2，d =4， ∴{a n }的公差为4． 故选：C ． 5. 【答案】D【解析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式−1≤f(x −2)≤1化为−1≤x −2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f(x)为奇函数． 若f(1)=−1，则f(−1)=1，又∵函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，−1≤f(x −2)≤1， ∴f(1)≤f(x −2)≤f(−1)， ∴−1≤x −2≤1， 解得：x ∈[1, 3]， 故选：D 6. 【答案】C【解析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：(1+1x 2)(1+x)6展开式中：若(1+1x )=(1+x −2)提供常数项1，则(1+x)6提供含有x 2的项，可得展开式中x 2的系数： 若(1+1x 2)提供x −2项，则(1+x)6提供含有x 4的项，可得展开式中x 2的系数：由(1+x)6通项公式可得C 6r x r ． 可知r =2时，可得展开式中x 2的系数为C 62=15．可知r =4时，可得展开式中x 2的系数为C 64=15．(1+1x 2)(1+x)6展开式中x 2的系数为：15+15=30．故选C ． 7. 【答案】B【解析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可 【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S 梯形=12×2×(2+4)=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B 8. 【答案】D【解析】通过要求A >1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A >1000”，进而通过偶数的特征确定n =n +2． 【解答】解：因为要求A >1000时输出，且框图中在“否”时输出， 所以“”内不能输入“A >1000”，又要求n 为偶数，且n 的初始值为0， 所以“”中n 依次加2可保证其为偶数， 所以D 选项满足要求， 故选：D ． 9. 【答案】D【解析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y =cos2(x +π12)=cos(2x +π6)=sin(2x +2π3)的图象，即曲线C 2，故选：D ． 10. 【答案】A【解析】方法一：根据题意可判断当A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案 【解答】解：如图，l 1⊥l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点， 直线l 2与C 交于D 、E 两点， 要使|AB|+|DE|最小，则A 与D ，B ，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1， 又直线l 2过点(1, 0)，则直线l 2的方程为y =x −1，联立方程组{y 2=4xy =x −1，则y 2−4y −4=0，∴y 1+y 2=4，y 1y 2=−4，∴|DE|=√1+1k 2⋅|y 1−y 2|=√2×√32=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l 1的倾斜角为θ，则l 2的倾斜角为 π2+θ， 根据焦点弦长公式可得|AB|=2psin 2θ=4sin 2θ |DE|=2p sin 2(π2−θ)=2p 2=42∴|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ， ∵0<sin 22θ≤1，∴当θ=45∘时，|AB|+|DE|的最小，最小为16， 故选：A11. 【答案】D【解析】x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0．可得x =lgk lg2，y =lgklg3，z =lgklg5．可得3y =lg √33，2x =lg √2，5z =lg 55．根据√33=√96>√86=√2，√2=√3210>√2510=√55．即可得出大小关系．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0．可得x =lgklg2，y =lgklg3，z =lgklg5．2x 3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x >3y ，同理可得5z >2x ． 【解答】解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0． 则x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5． ∴3y =lg √33，2x =lg √2，5z =lg √55． ∵√33=√96>√86=√2，√2=√3210>√2510=√55．∴lg √33>lg √2>lg √55>0． ∴3y <2x <5z ．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1．lgk >0．则x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5．∴2x3y =23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x >3y ， 5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52>1．可得5z >2x ． 综上可得：5z >2x >3y ．解法三：对k 取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D ． 12. 【答案】A【解析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n }的通项公式及前n 项和，可知当N 为n(n+1)2时(n ∈N +)，数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n −n −2，容易得到N >100时，n ≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n 项和S n =2n+1−2−n ，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n 消去即可，分别分别即可求得N 的值．【解答】解：设该数列为{a n }，设b n =a (n−1)n 2+1+...+a n(n+1)2=2n−1，(n ∈N +)，则∑b in i=1=∑a i n(n+1)2i=1，由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =21−1+22−1+...+2n −1=2n −n −2， 可知当N 为n(n+1)2时(n ∈N +)，数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和，即为2n −n −2，容易得到N >100时，n ≥14， A 项，由29×302=435，440=435+5，可知S 440=T 29+b 5=230−29−2+25−1=230，故A 项符合题意． B 项，仿上可知25×262=325，可知S 330=T 25+b 5=226−25−2+25−1=226+4，显然不为2的整数幂，故B 项不符合题意．C 项，仿上可知20×212=210，可知S 220=T 20+b 10=221−20−2+210−1=221+210−23，显然不为2的整数幂，故C 项不符合题意． D 项，仿上可知14×152=105，可知S 110=T 14+b 5=215−14−2+25−1=215+15，显然不为2的整数幂，故D 项不符合题意． 故选A ．方法二：由题意可知：20⏟第一项，20,21第二项，20,21,22第项，…20,21,22,…,2n−1第n 项， 根据等比数列前n 项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，…，2n −1， 每项含有的项数为：1，2，3，…，n ， 总共的项数为N =1+2+3+...+n =(1+n)n 2，所有项数的和为S n :21−1+22−1+23−1+...+2n −1=(21+22+23+...+2n )−n =2(1−2n )1−2−n =2n+1−2−n ，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n 消去即可， 则①1+2+(−2−n)=0，解得：n =1，总共有(1+1)×12+2=3，不满足N >100， ②1+2+4+(−2−n)=0，解得：n =5，总共有(1+5)×52+3=18，不满足N >100，③1+2+4+8+(−2−n)=0，解得：n =13，总共有(1+13)×132+4=95，不满足N >100，④1+2+4+8+16+(−2−n)=0，解得：n =29，总共有(1+29)×292+5=440，满足N >100，∴该款软件的激活码440． 故选A ．13. 【答案】2√3【解析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：∵向量a →，b →的夹角为60∘，且|a →|=2，|b →|=1，∴(a →+2b →)2=a →2+4a →⋅b →+4b →2=22+4×2×1×cos60∘+4×12 =12，∴|a →+2b →|=2√3．故答案为：2√3． 14. 【答案】−5【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【解答】解：由x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ， 联立{x +2y =12x +y =−1，解得A(−1, 1)．∴z =3x −2y 的最小值为−3×1−2×1=−5． 故答案为：−5． 15. 【答案】2√33【解析】利用已知条件，转化求解A 到渐近线的距离，推出a ，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右顶点为A(a, 0)，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点． 若∠MAN =60∘，可得A 到渐近线bx +ay =0的距离为：bcos30∘=√32b ，可得：√a 2+b2=√32b ，即a c=√32，可得离心率为：e =2√33． 故答案为：2√33． 16. 【答案】4√15cm 3【解析】由题，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG =√36BC ，设OG =x ，则BC =2√3x ，DG =5−x ，三棱锥的高ℎ=√25−10x ，求出S △ABC =3√3x 2，V =13S △ABC ×ℎ=√3⋅√25x 4−10x 3，令f(x)=25x 4−10x 5，x ∈(0, 52)，f′(x)=100x 3−50x 4，f(x)≤f(2)=80，由此能求出体积最大值．【解答】解：由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD ⊥BC ，OG =√36BC ，即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG =x ，则BC =2√3x ，DG =5−x ，三棱锥的高ℎ=√DG 2−OG 2=√25−10x +x 2−x 2=√25−10x ， S △ABC =12×√32×(2√3x)2=3√3x 2，则V =13S △ABC ×ℎ=√3x 2×√25−10x =√3⋅√25x 4−10x 5， 令f(x)=25x 4−10x 5，x ∈(0, 52)，f′(x)=100x 3−50x 4， 令f′(x)≥0，即x 4−2x 3≤0，解得x ≤2， 则f(x)≤f(2)=80，∴V ≤√3×√80=4√15cm 3，∴体积最大值为4√15cm 3． 故答案为：4√15cm 3．17. 【答案】解：(1)由三角形的面积公式可得S △ABC =12acsinB =a 23sinA ，∴3csinBsinA =2a ，由正弦定理可得3sinCsinBsinA =2sinA ， ∵sinA ≠0，∴sinBsinC =23；; (2)∵6cosBcosC =1， ∴cosBcosC =16，∴cosBcosC −sinBsinC =16−23=−12， ∴cos(B +C)=−12， ∴cosA =12， ∵0<A <π， ∴A =π3，∵asinA =bsinB =csinC =2R =√32=2√3，∴sinBsinC =b2R ⋅c2R =(2√3)2=bc12=23，∴bc =8，∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∴b 2+c 2−bc =9，∴(b +c)2=9+3cb =9+24=33， ∴b +c =√33∴周长a +b +c =3+√33．【解析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，; (2)根据两角余弦公式可得cosA =12，即可求出A =π3，再根据正弦定理可得bc =8，根据余弦定理即可求出b +c ，问题得以解决．【解答】解：(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=12acsinB=a23sinA，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=23；; (2)∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=16，∴cosBcosC−sinBsinC=16−23=−12，∴cos(B+C)=−12，∴cosA=12，∵0<A<π，∴A=π3，∵asinA =bsinB=csinC=2R=√32=2√3，∴sinBsinC=b2R ⋅c2R=(23)2=bc12=23，∴bc=8，∵a2=b2+c2−2bccosA，∴b2+c2−bc=9，∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=√33∴周长a+b+c=3+√33．18. 【答案】(1)证明：∵∠BAP=∠CDP=90∘，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB // CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；; (2)解：∵AB // CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由(1)知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90∘，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=2√2a．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则：D(−√2a,0,0)，B(√2a,2a,0)，P(0, 0, √2a)，C(−√2a,2a,0)． PD →=(−√2a,0,−√2a)，PB →=(√2a,2a,−√2a)，BC →=(−2√2a,0,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅BC →=0，得{√2ax +2ay −√2az =0−2√2ax =0，取y =1，得n →=(0,1,√2)．∵AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，PA ∩AB =A ，∴PD ⊥平面PAB ，则PD →为平面PAB 的一个法向量，PD →=(−√2a,0,−√2a)．∴cos <PD →,n →>=|PD →||n →|=2a×√3=−√33．由图可知，二面角A −PB −C 为钝角， ∴二面角A −PB −C 的余弦值为−√33．【解析】(1)由已知可得PA ⊥AB ，PD ⊥CD ，再由AB // CD ，得AB ⊥PD ，利用线面垂直的判定可得AB ⊥平面PAD ，进一步得到平面PAB ⊥平面PAD ；; (2)由已知可得四边形ABCD 为平行四边形，由(1)知AB ⊥平面PAD ，得到AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，设PA =AB =2a ，则AD =2√2a ．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再证明PD ⊥平面PAB ，得PD →为平面PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A −PB −C 的余弦值．【解答】(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90∘，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ，∵AB // CD ，∴AB ⊥PD ，又∵PA ∩PD =P ，且PA ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ；; (2)解：∵AB // CD ，AB =CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， 由(1)知AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AD ，则四边形ABCD 为矩形，在△APD 中，由PA =PD ，∠APD =90∘，可得△PAD 为等腰直角三角形， 设PA =AB =2a ，则AD =2√2a ．取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO 、OE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则：D(−√2a,0,0)，B(√2a,2a,0)，P(0, 0, √2a)，C(−√2a,2a,0)．PD →=(−√2a,0,−√2a)，PB →=(√2a,2a,−√2a)，BC →=(−2√2a,0,0)． 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅BC →=0，得{√2ax +2ay −√2az =0−2√2ax =0，取y =1，得n →=(0,1,√2)．∵AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，PA ∩AB =A ，∴PD ⊥平面PAB ，则PD →为平面PAB 的一个法向量，PD →=(−√2a,0,−√2a)．∴cos <PD →,n →>=|PD →||n →|=2a×3=−√33．由图可知，二面角A −PB −C 为钝角， ∴二面角A −PB −C 的余弦值为−√33．19. 【答案】解：(1)由题可知尺寸落在(μ−3σ, μ+3σ)之内的概率为0.9974， 则落在(μ−3σ, μ+3σ)之外的概率为1−0.9974=0.0026，因为P(X =0)=C 160×(1−0.9974)0×0.997416≈0.9592， 所以P(X ≥1)=1−P(X =0)=0.0408， 又因为X ∼B(16, 0.0026)，所以E(X)=16×0.0026=0.0416；; (2)(I)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(II)由x =9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为^μ=9.97，σ的估计值为^σ=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为115(16×9.97−9.22)=10.02，因此μ的估计值为10.02． ∑x i 216i=1=16×0.2122+16×9.972≈1591.134， 剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为115(1591.134−9.222−15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为√0.008≈0.09．【解析】(1)通过P(X =0)可求出P(X ≥1)=1−P(X =0)=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；; (2)(I)由(1)及知落在(μ−3σ, μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(II)通过样本平均数x 、样本标准差s 估计^μ、^σ可知(^μ−3^σ,^μ+3^σ)=(9.334, 10.606)，进而需剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：(1)由题可知尺寸落在(μ−3σ, μ+3σ)之内的概率为0.9974， 则落在(μ−3σ, μ+3σ)之外的概率为1−0.9974=0.0026，因为P(X =0)=C 160×(1−0.9974)0×0.997416≈0.9592， 所以P(X ≥1)=1−P(X =0)=0.0408， 又因为X ∼B(16, 0.0026)，所以E(X)=16×0.0026=0.0416；; (2)(I)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(II)由x =9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为^μ=9.97，σ的估计值为^σ=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为115(16×9.97−9.22)=10.02，因此μ的估计值为10.02． ∑x i 216i=1=16×0.2122+16×9.972≈1591.134， 剔除(^μ−3^σ,^μ+3^σ)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为115(1591.134−9.222−15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为√0.008≈0.09．20. 【答案】解：(1)根据椭圆的对称性，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1(1, 1)， ∴P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)三点在椭圆C 上．把P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)代入椭圆C ，得：{1b 2=11a 2+34b2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．证明：; (2)①当斜率不存在时，设l:x =m ，A(m, y A )，B(m, −y A )， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1， ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l:y =kx +b ，(b ≠1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =kx +b x 2+4y 2−4=0，整理，得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0， x 1+x 2=−8kb1+4k 2，x 1x 2=4b 2−41+4k 2， 则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+b)−x 2+x 1(kx 2+b)−x 1x 1x 2=8kb 2−8k−8kb 2+8kb1+4k 24b 2−41+4k 2=8k(b−1)4(b+1)(b−1)=−1，又b ≠1，∴b =−2k −1，此时△=−64k ，存在k ，使得△>0成立， ∴直线l 的方程为y =kx −2k −1， 当x =2时，y =−1， ∴l 过定点(2, −1)．【解析】(1)根据椭圆的对称性，得到P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)三点在椭圆C 上．把P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)代入椭圆C ，求出a 2=4，b 2=1，由此能求出椭圆C 的方程．; (2)当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l:y =kx +b ，(b ≠1)，联立{y =kx +b x 2+4y 2−4=0，得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点(2, −1)．【解答】解：(1)根据椭圆的对称性，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 1(1, 1)， ∴P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)，P 4(1, √32)三点在椭圆C 上．把P 2(0, 1)，P 3(−1, √32)代入椭圆C ，得：{1b 2=11a 2+34b 2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．证明：; (2)①当斜率不存在时，设l:x =m ，A(m, y A )，B(m, −y A )， ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为−1， ∴k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l:y =kx +b ，(b ≠1)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，联立{y =kx +b x 2+4y 2−4=0，整理，得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0， x 1+x 2=−8kb 1+4k 2，x 1x 2=4b 2−41+4k 2，则k P 2A +k P 2B =y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+b)−x 2+x 1(kx 2+b)−x 1x 1x 2=8kb 2−8k−8kb 2+8kb1+4k 24b 2−41+4k 2=8k(b−1)4(b+1)(b−1)=−1，又b ≠1，∴b =−2k −1，此时△=−64k ，存在k ，使得△>0成立， ∴直线l 的方程为y =kx −2k −1， 当x =2时，y =−1， ∴l 过定点(2, −1)．21. 【答案】解：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=−2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =ln 1a ， 当f′(x)>0，解得：x >ln 1a ， 当f′(x)<0，解得：x <ln 1a ，∴x ∈(−∞, ln 1a )时，f(x)单调递减，x ∈(ln 1a , +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数；; (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当a >0时，f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ， 当x →−∞时，e 2x →0，e x →0， ∴当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →∞，e 2x →+∞，且远远大于e x 和x ， ∴当x →∞，f(x)→+∞，∴函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可， 由f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数， ∴f(x)min =f(ln 1a )=a ×(1a 2)+(a −2)×1a −ln 1a <0， ∴1−1a −ln 1a <0，即ln 1a +1a −1>0， 设t =1a ，则g(t)=lnt +t −1，(t >0)， 求导g′(t)=1t +1，由g(1)=0， ∴t =1a >1，解得：0<a <1，∴a 的取值范围(0, 1)．方法二：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =−lna ， 当f′(x)>0，解得：x >−lna ， 当f′(x)<0，解得：x <−lna ，∴x ∈(−∞, −lna)时，f(x)单调递减，x ∈(−lna, +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立，∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, −lna)是减函数，在(−lna, +∞)是增函数； (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，②当a >0时，由(1)可知：当x =−lna 时，f(x)取得最小值，f(x)min =f(−lna)=1−1a −ln 1a， 当a =1，时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点， 当a ∈(1, +∞)时，由1−1a −ln 1a >0，即f(−lna)>0， 故f(x)没有零点，当a ∈(0, 1)时，1−1a −ln 1a <0，f(−lna)<0， 由f(−2)=ae −4+(a −2)e −2+2>−2e −2+2>0， 故f(x)在(−∞, −lna)有一个零点，假设存在正整数n 0，满足n 0>ln(3a −1)，则f(n 0)=e n 0(ae n 0+a −2)−n 0>e n 0−n 0>2n 0−n 0>0， 由ln(3a −1)>−lna ，因此在(−lna, +∞)有一个零点． ∴a 的取值范围(0, 1)．【解析】(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；; (2)由(1)可知：当a >0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f(x)最小值，由f(x)min <0，g(a)=alna +a −1，a >0，求导，由g(a)min =g(e −2)=e −2lne −2+e −2−1=−1e 2−1，g(1)=0，即可求得a 的取值范围．(1)求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f(x)单调性；(2)分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a 的取值范围．【解答】解：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=−2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =ln 1a ， 当f′(x)>0，解得：x >ln 1a ， 当f′(x)<0，解得：x <ln 1a ，∴x ∈(−∞, ln 1a )时，f(x)单调递减，x ∈(ln 1a , +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数；; (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，当a >0时，f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ， 当x →−∞时，e 2x →0，e x →0， ∴当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →∞，e 2x →+∞，且远远大于e x 和x ， ∴当x →∞，f(x)→+∞，∴函数有两个零点，f(x)的最小值小于0即可， 由f(x)在(−∞, ln 1a )是减函数，在(ln 1a , +∞)是增函数， ∴f(x)min =f(ln 1a )=a ×(1a 2)+(a −2)×1a −ln 1a <0， ∴1−1a −ln 1a <0，即ln 1a +1a −1>0， 设t =1a ，则g(t)=lnt +t −1，(t >0)，求导g′(t)=1t +1，由g(1)=0， ∴t =1a >1，解得：0<a <1，∴a 的取值范围(0, 1)．方法二：(1)由f(x)=ae 2x +(a −2)e x −x ，求导f′(x)=2ae 2x +(a −2)e x −1， 当a =0时，f′(x)=2e x −1<0， ∴当x ∈R ，f(x)单调递减，当a >0时，f′(x)=(2e x +1)(ae x −1)=2a(e x +12)(e x −1a )， 令f′(x)=0，解得：x =−lna ， 当f′(x)>0，解得：x >−lna ， 当f′(x)<0，解得：x <−lna ，∴x ∈(−∞, −lna)时，f(x)单调递减，x ∈(−lna, +∞)单调递增； 当a <0时，f′(x)=2a(e x +12)(e x −1a )<0，恒成立，∴当x ∈R ，f(x)单调递减，综上可知：当a ≤0时，f(x)在R 单调减函数，当a >0时，f(x)在(−∞, −lna)是减函数，在(−lna, +∞)是增函数； (2)①若a ≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，②当a >0时，由(1)可知：当x =−lna 时，f(x)取得最小值，f(x)min =f(−lna)=1−1a−ln 1a ， 当a =1，时，f(−lna)=0，故f(x)只有一个零点， 当a ∈(1, +∞)时，由1−1a −ln 1a >0，即f(−lna)>0， 故f(x)没有零点，当a ∈(0, 1)时，1−1a −ln 1a <0，f(−lna)<0， 由f(−2)=ae −4+(a −2)e −2+2>−2e −2+2>0， 故f(x)在(−∞, −lna)有一个零点，假设存在正整数n 0，满足n 0>ln(3a −1)，则f(n 0)=e n 0(ae n 0+a −2)−n 0>e n 0−n 0>2n 0−n 0>0， 由ln(3a −1)>−lna ，因此在(−lna, +∞)有一个零点． ∴a 的取值范围(0, 1)．22. 【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ（θ为参数），化为标准方程是：x 29+y 2=1；a =−1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y −3=0； 联立方程{x 29+y 2=1x +4y −3=0，解得{x =3y =0或{x =−2125y =2425， 所以椭圆C 和直线l 的交点为(3, 0)和(−2125, 2425)．; (2)l 的参数方程{x =a +4t y =1−t （t 为参数）化为一般方程是：x +4y −a −4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ∈[0, 2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =√17=√17，φ满足tanφ=34，且的d 的最大值为√17．①当−a −4≤0时，即a ≥−4时，|5sin(θ+4)−a −4|≤|−5−a −4|=5+a +4=17 解得a =8≥−4，符合题意． ②当−a −4>0时，即a <−4时|5sin(θ+4)−a −4|≤|5−a −4|=5−a −4=1−a =17 解得a =−16<−4，符合题意．【解析】(1)将曲线C 的参数方程化为标准方程，直线l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标；; (2)曲线C 上的点可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ∈[0, 2π)，运用点到直线距离公式可以表示出P 到直线l 的距离，再结合距离最大值为√17进行分析，可以求出a 的值．【解答】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =sinθ（θ为参数），化为标准方程是：x 29+y 2=1；a =−1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y −3=0；联立方程{x 29+y 2=1x +4y −3=0，解得{x =3y =0或{x =−2125y =2425， 所以椭圆C 和直线l 的交点为(3, 0)和(−2125, 2425)．; (2)l 的参数方程{x =a +4t y =1−t （t 为参数）化为一般方程是：x +4y −a −4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P(3cosθ, sinθ)，θ∈[0, 2π)， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =√17=√17，φ满足tanφ=34，且的d 的最大值为√17．①当−a −4≤0时，即a ≥−4时，|5sin(θ+4)−a −4|≤|−5−a −4|=5+a +4=17 解得a =8≥−4，符合题意． ②当−a −4>0时，即a <−4时|5sin(θ+4)−a −4|≤|5−a −4|=5−a −4=1−a =17 解得a =−16<−4，符合题意．23. 【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=−x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1，当x ∈(1, +∞)时，令−x 2+x +4=2x ，解得x =√17−12，g(x)在(1, +∞)上单调递增，f(x)在(1, +∞)上单调递减，∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1, √17−12]；当x ∈[−1, 1]时，g(x)=2，f(x)≥f(−1)=2．当x ∈(−∞, −1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(−1)=f(−1)=2． 综上所述，f(x)≥g(x)的解集为[−1, √17−12]；; (2)依题意得：−x 2+ax +4≥2在[−1, 1]恒成立，即x 2−ax −2≤0在[−1, 1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得−1≤a ≤1，故a 的取值范围是[−1, 1]．【解析】(1)当a =1时，f(x)=−x 2+x +4，g(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1，分x >1、x ∈[−1, 1]、x ∈(−∞, −1)三类讨论，结合g(x)与f(x)的单调性质即可求得f(x)≥g(x)的解集为[−1, √17−12]；; (2)依题意得：−x 2+ax +4≥2在[−1, 1]恒成立⇔x 2−ax −2≤0在[−1, 1]恒成立，只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解之即可得a 的取值范围．【解答】解：(1)当a =1时，f(x)=−x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g(x)=|x +1|+|x −1|={2x,x >12,−1≤x ≤1−2x,x <−1，当x ∈(1, +∞)时，令−x 2+x +4=2x ，解得x =√17−12，g(x)在(1, +∞)上单调递增，f(x)在(1, +∞)上单调递减，∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1, √17−12]；当x ∈[−1, 1]时，g(x)=2，f(x)≥f(−1)=2．当x ∈(−∞, −1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(−1)=f(−1)=2． 综上所述，f(x)≥g(x)的解集为[−1, √17−12]；; (2)依题意得：−x 2+ax +4≥2在[−1, 1]恒成立，即x 2−ax −2≤0在[−1, 1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得−1≤a ≤1，故a 的取值范围是[−1, 1]．。
【河北省邯郸市】2017年高考一模数学试卷(文科)(附答案)
河北省邯郸市2017年高考一模数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．已知全集}5{|U x x =∈≤N ,若2{|}50A x x =∈-<N ,则U A =ð（ ）A ．{3,4}B ．{3,4,5}C ．2,3,{4,5}D ．{4,5}2．已知a b ∈R ，,i 为虚数单位,当()i i 2i a b +=-时,则i i b a a b +=-（ ） A ．i B ．i - C ．1i +D ．1i - 3．已知向量,a b 满足()2,3,1a b a b a ==-=,则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π34．《九章算术》是研究比率方面应用十分丰富,其中有著名的“米谷粒分”问题：粮仓收粮,粮农运来米1 520石,为验其米内夹谷,随机取米一把,数得144粒内夹谷18粒,则这批米内夹谷约为（ ） A ．170石 B ．180石 C ．190石 D ．200石5．已知ABC △的三个内角,,A B C 依次成等差数列,BC 边上的中线2AD AB ==,则ABC S =△（ ）A ．3B ．C ．D ．66．执行如图所示的程序框图,则输出的结果是（ ）A ．8B ．13C ．21D ．347．函数cos sin y x x x =-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）ABCD． 9．设{}n a 是公差为2的等差数列2,n n b a =,若{}n b 为等比数列,则12345b b b b b ++++=（ ） A ．142 B ．124 C ．128 D ．14410．已知函数()f x ax b =+,若()()012,111f f <<<<--,则2a b -的取值范围是（ ）A ．35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭-B ．35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭-D ．57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知点(),0A a ,点P 是双曲线22:14x C y -=右支上任意一点,若||PA 的最小值为3,则满足条件的A 点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312ABCD （四个面都是正三角形）,在侧棱AB 上任取一点P （与,A B 都不重合）,若点P 到平面BCD 及平面ACD 的距离分别为,a b ,则41a b +的最小值为（ ） A ．72 B ．4 C ．92D ．5 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分）．13．已知函数()41,05log ,0x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩,则()3f f ⎡-⎤=⎣⎦__________．14．已知圆M 与y 轴相切,圆心在直线12y x =上,并且在x轴上截得的弦长为．则圆M 的标准方程为___________．15．已知三个命题,,p q m 中只有一个是真命题,课堂上老师给出了三个判断： A p ：是真命题；B p q ∨：是假命题；C m ：是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的,那么三个命题,,p q m 中的真命题是___________．16．设()()()(),e x f x f x g x h x ==-,且()g x 为偶函数,()h x 为奇函数,若存在实数m ,当,1[]1x ∈-时,不等式()()0mg x h x +≥成立,则m 的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题,共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且2(n n S a -=λλ是非零常数）．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()221log nn n n b a a =+-,当11a =时,求数列{}n b 的前2n 项和．18．某校为指导学生合理选择文理科的学习,根据数理综合测评成绩,按6分为满分进行折算后,若学生成绩小于m 分别建议选择文科,不低于m 分则建议选择理科（这部分学生称为候选理科生）．现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合成绩作为样本,整理得到分数的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）求直方图中的t 值；（Ⅱ）根据此次测评,为使80%以上的学生选择理科,整理m 至多定为多少？（Ⅲ）若4m =,试估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩？（精确到0.01）19．如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,PA ⊥平面,5ABCD BC AP ==,3,4,,AB AC M N ==分别在线段,AD CP 上,且4AM PN MD NC==． （Ⅰ）求证：MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）求三棱锥P AMN -的体积．20．在平面直角坐标系xOy 中,已知圆()22111O x y ++=:和()22219O x y -+=:,动圆P 与圆1O 外切,与圆2O 内切．（Ⅰ）求圆心P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过()2,0A -作两条互相垂直的直线12,l l 分别交曲线E 于,M N 两点,设1l 的斜率为()0k k AMN >,△的面积为S ,求S k的取值范围． 21．已知函数()()21ln 2f x x ax x m m =+--∈Z ． （Ⅰ）若()f x 是增函数,求a 的取值范围；（Ⅱ）若0a <,且()0f x <恒成立,求m 最小值．从22、23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线12,C C 的极坐标方程分别为π2sin ,cos 4⎛⎫=- ⎪⎝⎭ρθρθ （Ⅰ）求1C 和2C 交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,直线l 与x 轴的交点为P ,且与1C 交于,A B 两点,求||PA PB +．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2||f x ax =-．（Ⅰ）当2a =时,解不等式()1f x x >+；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x f x m+-<有实数解,求m 的取值范围．河北省邯郸市2017年高考一模数学试卷（文科）答 案1~5.BACCC6~10.BCABA11~13.32-14.()()22214x y -+-=或()()22214x y +++=15.m16.117．解：（Ⅰ）当2n ≥时,2n n S a λ=-．112n n n S a λ-=﹣﹣①,,② ①﹣②可得()122n n a a n =≥-,当1n =时1,a λ=,当2n =时2122a a λ==，,故数列{}n a 的通项公式为12n n a λ-=．（Ⅱ）由11a =时,知12n n a -=,故()()211nn n b n =+--,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T , ()()()()22102212322221[]n T n n =-+++-+⋯++-()()2322222012321n n =+++⋯+++-+-⋯+--()()22121211...12212n n n +-=++++=-+-．故数列{}n b 的前2n 项和为2122n n ++﹣．18．解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中,频率和为1,得0.15110.30110.1511t t ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,解得0.2t =；（Ⅱ）使80%以上的学生选择理科,则0.150.20.30.80.150.20.30.2++<<+++,满足条件的m 值为2；…（Ⅲ）4m =时,计算4.50.21500 5.50.151500 4.930.215000.151500⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈⨯⨯+⨯⨯,估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为4.93．19．（Ⅰ）证明：在AC 上取一点Q ,使得4AQ QC=,连接,MQ QN , 则AM AQ PN MD QC NC==,,QN AP MQ CD ∴∥∥, 又CD AB ∥,MQ AB ∴∥．又AB ⊂平面,PAB PA ⊂平面,PAB MQ ⊂平面MNQ ,NQ ⊂平面MNQ∴平面PAB ∥平面MNQ , 又MN ⊂平面,MNQ MN ⊄平面PAB , MN ∴∥平面PAB ．（Ⅱ）解:3,5,4AB BC AC ===,AB AC ∴⊥．过C 作CH AD ⊥,垂足为H ,则341255CH ⨯==, PA ⊥平面ABCD ,CH ⊂平面ABCD ,PA CH ∴⊥,又CH AD ⊥,,PAAD A PA =⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD , CH ∴⊥平面,224PN PC PA NC===, N ∴到平面PAD 的距离448525h CH ==, 111483254332255P AMN N PAM PAM V V S h --∴==∙=⨯⨯⨯⨯=△．20．解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ,则121,|3|||PO r PO r =+=-,所以12||4PO PO +=,所以P 的轨迹为椭圆,24,22a c ==,所以2,1,a c b ===所以椭圆的方程为()221243x y x +=≠-． （Ⅱ）设M 点坐标为()00,x y ,直线1l 的方程为()2y k x =+,代入22143x y +=, 可得,()2222341616120k x k x k +++=-, ()2021612234k x k -⨯-=+,所以2026834k x k-=+,所以2268234k AM k ⎫-=+=⎪+⎭同理AN =所以1122S AM AN =⨯=, ()()()2227213443k S k k k +=++ 令211k t +=＞,()()()()()2227217272141313443121k S t k t t k k t t+===-++++- 所以()0,6S k∈ 21．解：（Ⅰ）()1'1f x ax x =+-, 依题设可得2max11a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭, 而22111111244x x x ⎛⎫-=--+≤ ⎪⎝⎭,当2x =时,等号成立． 所以a 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()211'1ax x f x ax x x-+=+-=设()21g x ax x -=+,则()()010,10g g a =>=<,()211124g x a x a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在()0,+∞内单调递减． 因此()g x 在()0,1内有唯一的解0x ,使得2001ax x =- 而且当00x x <<时(),0f x '>,当0x x >时()0f x '<所以()()()2000000011ln ln 122f x f x x ax x m x x x m ≤=+--=+--- 0011ln 22x x m =--- 设()11ln 22r x x m =-⨯--,则()112'022x r x x x-=-=> 所以r x （）在()0,1内单调递增．所以()()11r x r m <=--, 由已知可知10m --≤,所以1m ≥﹣,即m 最小值为1- 22．解：（Ⅰ）由12,C C极坐标方程分别为π2sin ,cos 4⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ρθρθ化为平面直角坐标系方程分为()2211,20x y x y +-=+-=．得交点坐标为()()0,2,1,1． 即1C 和2C交点的极坐标分别为ππ2,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）把直线l的参数方程：12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入()2211x y +-=,得221112t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即212430,4t t t t +=+=﹣, 所以|4|PA PB +=．23．解：（Ⅰ）当2a =时,不等式为：||221x x -+＞,当1x ≥时,不等式化为：221x x ->+,解得3x >当1x ＜时,不等式化为：221x x ->+,解得13x <综上所述,解集为()1,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）因为()()22224||||f x f x ax ax ax ax +-=-+-≥---=-,所以()()f x f x +-的最小值为4,因为()()1f x f x m +-<有实数解, 所以114,m 0,4m ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭即河北省邯郸市2017年高考一模数学试卷（文科）解析1．【考点】补集及其运算．【分析】先求出集合U和A,由此利用补集定义能求出∁UA．【解答】解：∵全集U={x∈N|x≤5}={0,1,2,3,4,5},A={x∈N|2x﹣5＜0}={0,1,2},∴∁UA={3,4,5}．故选：B．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：a+bi=i（2﹣i）=2i+1,解得a=1,b=2．则====i,故选：A．3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算公式,代入计算即可求出、的夹角．【解答】解：向量,满足||=2,||=3,且（﹣）•=1,∴﹣•=1,∴22﹣3×2×cos＜,＞=1,解得cos＜,＞=,∴与的夹角为．故选：C．4．【考点】模拟方法估计概率．【分析】由条件“数得144粒内夹谷18粒”即可估计这批米内夹谷约多少．【解答】解：由题意可知：这批米内夹谷约为1520×≈190石,故选C．5．【考点】正弦定理．【分析】由于△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且内角和等于180°,故B=60°,ABD中,由余弦定理可得BD的长,进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵由于△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且内角和等于180°,∴B=60°,∵△ABD中,由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB,即：7=4+BD2﹣2BD,∴BD=3或﹣1（舍去）,可得：BC=6,∴S△ABC===3．故选：C．6．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是利用循环计算变量a,b,c的值,并输出满足退出循环条件时的b的值,模拟程序的运行,对程序运行过程中各变量的值进行分析,即可得解．【解答】解：模拟执行程序,可得a=1,b=1,i=1执行循环体,c=2,a=1,b=2,i=2不满足条件i＞5,执行循环体,c=3,a=2,b=3,i=3不满足条件i＞5,执行循环体,c=5,a=3,b=5,i=4不满足条件i＞5,执行循环体,c=8,a=5,b=8,i=5不满足条件i＞5,执行循环体,c=13,a=8,b=13,i=6满足条件i＞5,退出循环,输出b的值为13．故选：B．7．【考点】函数的图象．【分析】分析出函数的奇偶性,及f（π）=﹣π＜0,利用排除法可得答案．【解答】解：函数y=f（x）=xcosx﹣sinx满足f（﹣x）=﹣f（x）,即函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除B；当x=π时,y=f（π）=πcosπ﹣sinπ=﹣π＜0,故排除A,D,故选：C8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得,直观图为圆锥的与圆柱的组合体,由图中数据可得该几何体的体积．【解答】解：由三视图可得,直观图为圆锥的与圆柱的组合体,由图中数据可得几何体的体积为=,故选A．9．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得an=a1+（n﹣1）×2=a1+2n﹣2,且（a4）2=a2•a8,从而a1=2,=2+2×2n﹣2=2n+1,由此能求出b1+b2+b3+b4+b5的值．【解答】解：∵{an}是公差为2的等差数列,bn=a,∴an=a1+（n﹣1）×2=a1+2n﹣2,∵{bn}为等比数列,∴．∴（a4）2=a2•a8,∴=（a1+4﹣2）（a1+16﹣2）,解得a1=2,∴=2+2×2n﹣2=2n+1b1+b2+b3+b4+b5=22+23+24+25+26=124．故选：B．10．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：函数f（x）=ax+b,若0＜f（1）＜2,﹣1＜f（﹣1）＜1,可得：的可行域如图：令z=2a﹣b,结合可行域可知：z=2a﹣b经过A,B两点时,z取得最值,由可得A（,）,由可得B（,）,2a﹣b的最大值为：3﹣=,最小值为：=﹣．因为A,B都不在可行域,所以2a﹣b的范围是（,）．故选：A．11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质即可求出．【解答】解：点A（a,0）在x轴上,点P是双曲线C：﹣y2=1右支上任意一点,|PA|的最小值为3,点P是双曲线的右顶点,故a的值有2个,故选：C．12．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得：+=,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD 的高,可得h=2,a+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：+=,其中S△BCD=S△ACD,h为正四面体ABCD的高．h==2,∴a+b=2．∴+==≥=,当且仅当a=2=时取等号．故选：C．13．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（﹣3）==,从而f[f（﹣3）]=f（）,由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=,∴f（﹣3）==,f [f （﹣3）]=f （）====﹣． 故答案为：32-．14．【考点】圆的标准方程．【分析】设出圆的方程,利用圆心在直线y =x 上,且与y 轴相切,在x 轴上截得的弦长为2,列出方程组,求出圆的相关系数,得到圆的方程．【解答】解：设圆M 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r2, 由题意可得,解得或,∴圆M 的标准方程为22214x y +=（﹣）（﹣）或()()22214x y +++=． 故答案为：()()22214x y -+-=或()()22214x y +++=．15．【考点】复合命题的真假．【分析】根据已知中老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的,逐一分析论证,可得答案．【解答】解：由已知中三个命题p ,q ,m 中只有一个是真命题,①若A 是错误的,则：p 是假命题；q 是假命题；m 是真命题．满足条件；②若A 是错误的,则：p 是真命题；q 的真假不能确定；m 是真命题．不满足条件；③若C 是错误的,则：p 是真命题；p ∨q 不可能是假命题；不满足条件；故真命题是m ,故答案为：m16．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由F （x ）=g （x ）+h （x ）及g （x ）,h （x ）的奇偶性可求得g （x ）,h （x ）,进而可把mg （x ）+h （x ）≥0表示出来,分离出参数后,求函数的最值问题即可解决．【解答】解：由f （x ）=g （x ）﹣h （x ）,即ex =g （x ）﹣h （x ）①,得e ﹣x =g （﹣x ）﹣h （﹣x ）, 又g （x ）,h （x ）分别为偶函数、奇函数,所以e ﹣x =g （x ）+h （x ）②,联立①②解得,g （x ）=（ex +e ﹣x ）,h （x ）=（ex ﹣e ﹣x ）． mg （x ）+h （x ）≥0,即m •（ex +e ﹣x ）+（ex ﹣e ﹣x ）≥0,也即m ≥,即m ≥1﹣∵1﹣＜1,∴m ≥1．∴m 的最小值为1．故答案为：117．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）运用数列的递推式：当n =1时,a1=S1,n ＞1时,an =Sn ﹣Sn ﹣1,化简计算即可得到所求通项公式；（Ⅱ）由a1=1时,知,求得,运用数列的求和方法：分组求和,结合等比数列的求和公式,化简计算即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）当2n ≥时,2n n S a λ=-．112n n n S a -=﹣﹣①,②λ①﹣②可得()122n n a a n =≥-,当1n =时1a λ=，,当2n =时2122a a λ==，,故数列{}n a 的通项公式为12n n a λ-=．（Ⅱ）由11a =时,知12n n a -=, 故()()211nn n b n =+--,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T , ()()()()22102212322221[]n T n n =-+++-+⋯+++-()()2322222012321n n =+++⋯+++-+-⋯+--()()22121211...12212n n n +-=++++=-+-．故数列{}n b 的前2n 项和为2122n n ++﹣．18．【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率和为1,列方程求出t 的值；（Ⅱ）计算频率和大于0.8时对应的m 值即可；（Ⅲ）计算4m =时对应的平均成绩即可．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中,频率和为1, 得0.15110.30110.1511t t ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,解得0.2t =；…（Ⅱ）使80%以上的学生选择理科,则 0.150.20.30.80.150.20.30.2++<<+++,满足条件的m 值为2；…（Ⅲ）4m =时,计算4.50.215000.151500 4.930.215000.151500⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈⨯⨯+⨯⨯, 估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为4.93．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I ）在AC 上取一点Q ,使得,则MQ ∥AB ,NQ ∥PA ,故平面MNQ ∥平面PAB ,于是MN ∥平面PAB ；（II ）过C 作CH ⊥AD ,垂足为H ,计算CH ,则N 到平面PAD 的距离h =,代入棱锥的体积公式V =计算即可． 【解答】（Ⅰ）证明：在AC 上取一点Q ,使得4AQ QC=,连接,MQ QN , 则AM AQ PN MD QC NC==,,QN AP MQ CD ∴∥∥, 又CD AB ∥,MQ AB ∴∥．又AB ⊂平面,PAB PA ⊂平面,PAB MQ ⊂平面MNQ ,NQ ⊂平面MNQ∴平面PAB ∥平面MNQ , 又MN ⊂平面,MNQ MN ⊄平面PAB , MN ∴∥平面PAB ．（Ⅱ）解:3,5,4AB BC AC ===, AB AC ∴⊥．过C 作CH AD ⊥,垂足为H ,则341255CH ⨯==, PA ⊥平面ABCD ,CH ⊂平面ABCD ,PA CH ∴⊥,又CH AD ⊥,,PAAD A PA =⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD , CH ∴⊥平面,224PN PC PA NC===, N ∴到平面PAD 的距离448525h CH ==, 111483254332255P AMN N PAM PAM V V S h --∴==∙=⨯⨯⨯⨯=△．20．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义,即可求圆心P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）求出,利用换元法,即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ,则121,|3|||PO r PO r =+=-, 所以12||4PO PO +=,…所以P 的轨迹为椭圆,24,22a c ==,所以2,1,a c b ===所以椭圆的方程为()221243x y x +=≠-．… （Ⅱ）设M 点坐标为()00,x y ,直线1l 的方程为()2y k x =+,代入22143x y +=, 可得,()2222341616120k x k x k +++=-, ()2021612234k x k -⨯-=+,所以2026834k x k -=+,…所以2268234k AM k ⎫-=+=⎪+⎭同理AN =…所以1122S AM AN =⨯=, ()()()2227213443k S k k k +=++… 令211k t +=＞,()()()()()2227217272141313443121k S t k t t k k t t+===-++++- 所以()0,6S k∈ 21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数,问题转化为,求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x ）的导数,设g （x ）=ax2﹣x +1,根据函数的单调性求出m 的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）()1'1f x ax x=+-,… 依题设可得2max11a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭,… 而22111111244x x x ⎛⎫-=--+≤ ⎪⎝⎭,当2x =时,等号成立．… 所以a 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭… （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()211'1ax x f x ax x x-+=+-= 设()21g x ax x -=+,则()()010,10g g a =>=<,()211124g x a x a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在()0,+∞内单调递减． 因此()g x 在()0,1内有唯一的解0x ,使得2001ax x =-… 而且当00x x <<时(),0f x '>,当0x x >时()0f x '<…所以()()()2000000011ln ln 122f x f x x ax x m x x x m ≤=+--=+--- 0011ln 22x x m =---… 设()11ln 22r x x m =-⨯--,则()112'022x r x x x-=-=> 所以r x （）在()0,1内单调递增．所以()()11r x r m <=--, 由已知可知10m --≤,所以1m ≥﹣,即m 最小值为1- 22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出C1和C2的直角坐标方程,得出交点坐标,再求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）利用参数的几何意义,即可求|PA |+|PB |．【解答】解：（Ⅰ）由12,C C极坐标方程分别为π2sin ,cos 4⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ρθρθ化为平面直角坐标系方程分为()2211,20x y x y +-=+-=．…得交点坐标为()()0,2,1,1．… 即1C 和2C交点的极坐标分别为ππ2,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．… II （）把直线l的参数方程：12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入()2211x y +-=,得221112t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,… 即2124304t t t t +=+=﹣，,… 所以|4|PA PB +=．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）把a =2代入不等式化简后,对x 分类讨论,分别去掉绝对值求出每个不等式的解集,再取并集即得不等式的解集；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出f （x ）+f （﹣x ）的最小值,结合题意列出不等式,求出实数m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）当2a =时,不等式为：||221x x -+＞, 当1x ≥时,不等式化为：221x x ->+,解得3x >…当1x ＜时,不等式化为：221x x ->+,解得13x <… 综上所述,解集为()1,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；…II （）因为()()22224||||f x f x ax ax ax ax +-=-+-≥---=-…, 所以()()f x f x +-的最小值为4,…,因为()()1f x f x m+-<有实数解,所以114,m 0,4m ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭即。
河北省邯郸市第一中学2017届高三上学期第二次模拟考试(理数)
河北省邯郸市第一中学2017届高三上学期第二次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|230}A x x x =--≥，2{|log (1)2}B x x =-<，则()R C A B = （ ）]A ．(1,3) B ．(1,3)- C ．(3,5) D ．(1,5)- 2．命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题为（ ）A ．若220x y +=，则0x ≠且0y ≠B ．若220x y +=，则0x ≠或0y ≠C ．若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠D ．若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠3．欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-⎩>则52f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．12-B ．1-C ．5-D ．125．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且20162015120162015S S =+，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．2015 D ．20166．若ln 2a =，125b -=，01sin 4c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<7．已知1sin cos 63παα⎛⎫--=⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．518 B ．518- C ．79 D ．79- 8．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A． B． C． D． 9．已知函数21()sin ()2f x x ω=-，(0)ω>的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．πB ．34π C ．2π D ．4π 10．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点P 是CDE ∆内（包括边界）的一个动点，设(,)AP AF AB R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是（ ）A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（ ） A ．3 B． C． D． 12．关于函数2()ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） A ．2x =是()f x 的极小值点B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>C第10题第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知平面直角坐标系中，(3,4)b = ，3a b ⋅=- ，则向量a 在向量b的方向上的投影是 ．14．若函数1,02()1,20x x f x x -<≤⎧=⎨--≤≤⎩，[]()(),2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．15．设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 ．16．如图所示，已知ABC ∆中，90C ∠=，6AC =，8BC =，D 为边AC 上的一点，K 为BD 上的一点，且ABC KAD AKD ∠=∠=∠，则DC = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，332a =，392S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2216log n n b a +=，且{}n b 为递增数列，若11n n n c b b +=⋅，求证：12314nc c c c ++++< ．D第16题图18. (本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的中心为O,四边形ODEF 为矩形，平面ODEF ⊥平面ABCD ，DE=DA=DB=2 （I ）若G 为DC 的中点，求证：EG//平面BCF; （II ）若HC DH 2=,求二面角O EH D --的余弦值.19. (本小题满分12分)甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得0分.已知甲每次投中的概率为54，乙每次投中的概率为43；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求： （I ）“火星队”至少投中3个球的概率；（II ）“火星队”两轮游戏得分之和X 的分布列和数学期望EX.20. (本小题满分12分)已知椭圆C :()012222>>=+b a b y a x 的左焦点为F,⎪⎪⎭⎫⎝⎛221，A 为椭圆上一点,AF 交y 轴于点M,且M 为AF 的中点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A ，平行于OA 的直线交l 于P ,交椭圆C 于不同的两点D,E ，问是否存在常数λ，使得PE PD PA ⋅=λ2，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.21. (本小题满分12分)设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点,其中m n <,a R ∈. (Ⅰ) 求()()f m f n +的取值范围; (Ⅱ)若2a ≥-,求()()f n f m -的最大值.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1 几何证明选讲如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．(Ⅰ)证明：AE BE =；(Ⅱ)若9AG =，7GC =，求圆O 的半径．23．（本小题满分10分）选修4-4 极坐标与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32x xy y '=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ．(Ⅰ)求曲线2C 的参数方程；(Ⅱ)若点M 在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．24．（本小题满分10分）选修4-5 不等式证明选讲已知函数()1020f x x x =-+-，且满足()1010f x a <+()a R ∈的解集不是空集． (Ⅰ)求实数a 的取值集合A ；(Ⅱ)若,b A a b ∈≠，求证：a bb aa b a b >．数学（理科）参考答案1-12.ADBAB DCCDB AC 13.35- 14.12- 15.10 16.7317.（2）由题意知：116()2n n a -=⋅- ………………6分∴2116()4nn a +=⋅∴2n b n = ………………8分 ∴111111()2(2n 2)4(n 1)41n c n n n n ===-⋅+⋅++ ………………10分∴123111(1)414n c c c c n ++++=-<+ ………………12分 18.解: (1) 证明：连接OE,OG ,由条件G 为中点∴ OG//BC 又EF//OB EF=OB ∴四边形EFBO 为平行四边形 ∴ EO//FB 平面 EOG//平面FBC ∴ EG//平面BCF …………5分 (2) ABCD 为菱形，所以OB ⊥OC ，又平面ODEF ⊥平面ABCD ，四边形ODEF 为矩形 所以OF ⊥平面ABCD 可建立如图的空间直角坐标系， ………6分设O （0，0，0），B （1，0，0），C （0，3， 0），E(-1,0,2)F （0，0，2），H （31-，332，0）， D （-1，0，0）， 2((0,0,2)3DH DE ==设),,(111z y x n =是面DEG 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00即⎪⎩⎪⎨⎧==+0033232111z y x ，取)0,1,3(-=. …………8分 同理取平面OEH 的一个法向量是)1,33,2(=m , …………10分所以85131423332=++⋅-=, ∴二面角D —EH —O 的余弦值为85. ………12分19.解：（Ⅰ）设事件i A 为“甲第i 次投中”,事件i B 为“乙第i 次投中”由事件的独立性和互斥性)()()()()(321212121212121212121B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P P ++++=球）（至少投进5039)4341545443435451(243435454=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 答：“星队”至少投中3个球的概率为5039. （每一种情形给1分）………5分 （Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，2,4，6，8， ……………6分400151415141)0(=⋅⋅⋅==X P , ,20074001451415441514151432)2(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P ,40073544154415143514351435441514154432)4(=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P502140016854415443514354432)6(==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==）（X P25940014454435443)8(==⋅⋅⋅==X P …………………………………………10分∴X 的分布列为…………11分5314001448400168640073440014240010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX …………12分 20.解:（Ⅰ）设椭圆的右焦点是1F ， 在1AFF ∆中，1//AF OM ,1=∴c ……2分12222==∴=∴b a a b 所以椭圆的方程为1222=+y x …………4分 （Ⅱ）设直线DE 的方程为t x y +=22，解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=122222y x t x y 消去y 得到01222=-++t tx x 若()()2211,,y x E y x D 则1,222121-=⋅-=+t x x t x x ，其中02-42>=∆t …………6分()21212212223))22(1(x x x x x x x x x x PE PD P P P P ++-=-⋅-+=⋅ 又直线l 的方程为1222=+y x ,直线DE 的方程为t x y +=22， …………8分 所以P 点坐标2222,222ty t x P P +=-=, 22222432222221222,43t t t AP t PE PD =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅∴ 所以存在常数1=λ使得PD PE PA ⋅=λ2…………12分21. 解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 2,1m n a mn +=+=.所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解:当2a ≥-时,21(2)2a e e +≥++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+==++≥++.于是有 111()(1)0t e t e t e t e te +≥+⇒--≥⇒≥222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t-'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+.故()()f n f m -的最大值是1122e e-+22.（2）由ABG ACB ∆∆ 知2916AB AG AC =⋅=⨯12AB = …8分直角ABC ∆中由勾股定理知20BC = …9分 圆的半径为10 10分23.24.试题解析：（1）要10201010x x a -+-<+的解集不是空集，则min (1020)1010x x a -+-<+…2分()101010,0,0,a a A ∴<+∴>=+∞…5分（2） 不妨设a b >，则 a ba b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭……7分0,a b >> 1,0,1a baa ab b b -⎛⎫∴>->> ⎪⎝⎭a b b a a b a b ∴>………10分。
河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科)(解析版).docx
河北省邯郸市2016年高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题（每小题5分，共60分）1．若z=，则z =（ ）A ．﹣ +iB ． +iC ．D ．2．已知集合A={x |﹣3＜x ＜2}，B={x |3x ＞1}，则A ∩（∁R B ）=（ ） A ．（﹣3，1]B ．（1，2）C ．（﹣3，0]D ．[1，2）3．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y 2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（ ）A ．x 2﹣y 2=1B ．﹣y 2=1C ．x 2﹣=1D ．﹣=14．现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（ ） A ．90B ．115C ．210D ．3855．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表： 单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （件） 9084 83 807568根据如表可得线性回归方程=x +．其中=﹣20， =﹣b ，那么单价定为8.3元时，可预测销售的件数为 （ ） A ．82B ．84C ．86D ．886．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则f（﹣）、f（1）、f（）的大小关系为（）A．f（﹣）＜f（1）＜f（）B．f（1）＜f（﹣）＜f（）C．f（﹣）＜f（）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（﹣）7．在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3=1，则a12+a22+…+a102=（）A．1 B．10 C．32 D．1008．执行如图所示的程序框图，则输出结果a的值为（）A．2 B．C．D．﹣19．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．2（1++）B．2（1+2+）C．4+2D．4（1+）11．已知函数f（x）=e x（x≥0），当x＜0时，f（﹣x）=4f（x）．若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（，e）C．（，e）D．（，1）12．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2+a4=a p+a q，记+的最小值为m，若数列{b n}满足b1=m，2b n+1﹣b n b n+1=1，则b1+++…+=（）A． B． C． D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为．15．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA=PB=PC=2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为．16．已知直线y=x与椭圆C： +=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e=．三、解答题（共5小题，70分）17．（12分）（2016潮南区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．18．（12分）（2016邯郸一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E为棱PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P﹣BC﹣E的余弦值．19．（12分）（2016邯郸一模）某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行．每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立．（1）若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数．（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的槪率小于0.6．试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由．20．（12分）（2016邯郸一模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F 交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．21．（12分）（2016邯郸一模）设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为x+y﹣2=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：＜1．选做题（请考生从22,23,24三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑）22．（10分）（2016邯郸一模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．【选项4-4：坐标系与参数方程】23．（2016邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．【选项4-5：不等式选讲】24．（2016邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．2016年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．若z=，则z=（）A．﹣ +i B． +i C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z，再由求得答案．【解答】解：∵z==，∴z=|z|2==．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|3x＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，1]B．（1，2） C．（﹣3，0]D．[1，2）【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：3x＞1=30，解得：x＞0，即B=（0，+∞），∴∁R B=（﹣∞，0]，∵A=（﹣3，2），∴A∩（∁R B）=（﹣3，0]，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1【分析】求得椭圆的焦点和顶点坐标，设双曲线的方程为﹣=1（a ，b ＞0），可得a ，c ，进而得到b 的值，可得双曲线的方程．【解答】解：椭圆+y 2=1的焦点为（±1，0）和顶点（±，0），设双曲线的方程为﹣=1（a ，b ＞0），可得a=1，c=，b==1，可得x 2﹣y 2=1． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．4．现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（ ） A ．90B ．115C ．210D ．385【分析】根据黑球的个数分为三类，根据根据分类计数原理可得． 【解答】解：分三类，两个黑球，有C 42C 62=90种， 三个黑球，有C 43C 61=24种， 四个黑球，有C 44=1种，根据分类计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115， 故选：B ．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．5．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表： 单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （件） 9084 83 807568根据如表可得线性回归方程=x +．其中=﹣20， =﹣b ，那么单价定为8.3元时，可预测销售的件数为 （ ） A ．82B ．84C ．86D ．88【分析】根据题意，计算、，利用线性回归方程过样本的中心点，求出线性回归方程，再计算x=8.3时的值，从而得出预测结果．【解答】解：根据题意，计算=×（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，=×（90+84+83+80+75+68）=80，线性回归方程=x+中=﹣20，=﹣b=80﹣（﹣20）×8.5=250，所以线性回归方程=﹣20x+250，当x=8.3时，=﹣20×8.3+250=84，可预测单价定为8.3元时，销售件数为84．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，也考查了利用线性回归方程进行预测的应用问题，是基础题目．6．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则f（﹣）、f（1）、f（）的大小关系为（）A．f（﹣）＜f（1）＜f（）B．f（1）＜f（﹣）＜f（）C．f（﹣）＜f（）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（﹣）【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化，结合函数单调性的性质进行比较即可得到结论．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），∴由f（x+1）=f（x﹣1），得f（x+2）=f（x），则f（﹣）=f（﹣+2）=f（），f（）=f（﹣2）=f（﹣）=f（），∵f（x）在区间[0，1]内单调递增，∴f（﹣）＜f（）＜f（1），即f（）＜f（）＜f（1），故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性，周期性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．7．在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3=1，则a12+a22+…+a102=（）A．1 B．10 C．32 D．100【分析】由题意列关于等比数列的首项和公比的方程组，求解方程组得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，公比q≠1，由a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，且a1+a2+a3=1，得，即：，解得．∴数列{}是常数列1，1，1，…，则a12+a22+…+a102=10．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查方程组的解法，是基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出结果a的值为（）A．2 B．C．D．﹣1【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，n的值，观察规律可得a的取值以3为周期，从而有当i=2017时，不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为﹣1，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，n=1，满足条件n≤2016，a=，n=3满足条件n≤2016，a=﹣1，n=4满足条件n≤2016，a=2，n=5…观察规律可知，a的取值以3为周期，由2016=672×3，从而有：满足条件n≤2016，a=，n=2016满足条件n≤2016，a=﹣1，n=2017不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为﹣1．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．9．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得ω的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin2（ωx+）=2=1﹣cos（2ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，故y=cos（2ωx+）在区间[，]内单调递减，∴2ω+≤π，∴ω≤，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的单调性，属于基础题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．2（1++）B．2（1+2+）C．4+2D．4（1+）【分析】根据三视图知几何体是三棱锥P﹣ABC是棱长为2的正方体一部分，由正方形的性质求棱长、判断位置关系，由三角形的面积公式求出该四面体的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是三棱锥P﹣ABC是棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，PC=PA=AC=2，PB=，∴BC⊥PC，AB⊥PA，∴该四面体的表面积：S=+=2（1+2+），故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图冰借助于正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．11．已知函数f（x）=e x（x≥0），当x＜0时，f（﹣x）=4f（x）．若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（，e）C．（，e）D．（，1）【分析】由题意得，y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．由f'（x）=e x（x≥0），得切线方程为y﹣e m=e m（x﹣m），由此能求出结果．【解答】解：由题意得，∵函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，∴y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．由图可得a1＜a＜a2，由题意得，，∵f'（x）=e x（x≥0），设切点横坐标为m，∴切线斜率k=f'（m）=e m=a2，切线方程为y﹣e m=e m（x﹣m），且过点（﹣1，0）解得m=0，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和数形结合思想的合理运用．12．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2+a4=a p+a q，记+的最小值为m，若数列{b n}满足b1=m，2b n+1﹣b n b n+1=1，则b1+++…+=（）A． B． C． D．【分析】根据题意，求出+的最小值m，从而求出b1与通项公式b n，再求出以及b1+++…+的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4=a p+a q得，p+q=6，因为+=（+）（p+q）=（1+9++）=+（+）≥+2=，当且仅当q=3p时取得最小值，此时p=，q=（不合题意，舍去）；应取p=2，q=4，此时+取得最小值是，所以m=，b1=；又由2b n+1﹣b n b n+1=1，可归纳出b n=，所以=；所以b1+++…+=+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与数列求和的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是综合性题目．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ=．【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．【解答】解：∵向量，夹角为120°，||=5，||=2，∴=||||cos120°=5×2×（﹣）=﹣5，∵=+λ，⊥，∴（+λ）=（+λ）（﹣）=0，即﹣+λ﹣λ=0，∴﹣5﹣25+4λ+5λ=0解得λ=，故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键．14．若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为5．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z=x2+y2的几何意义求出其最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，1），z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，故z=z=x2+y2=4+1=5，故答案为：5．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA=PB=PC=2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为12π．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：由题意三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，三棱锥P﹣ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：2所以球的直径是2，半径为，球的表面积：4π×=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．16．已知直线y=x与椭圆C： +=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e=．【分析】联立直线y=x和椭圆方程，求得A，B的坐标，以及|OA|2，将直线OP方程为，代入椭圆方程，求得P的坐标及|OP|2，再由|OP|2=3|OA|2，结合离心率公式，可得e．【解答】解：因为，所以；由题设直线OP方程为，所以，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的对称性和等边三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，70分）17．（12分）（2016潮南区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．【分析】（I）根据正弦定理将边化角，化简得出cosC；（II）根据三角形的面积公式列方程解出CD．【解答】解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，因为0＜C＜π，所以，故；（Ⅱ）在△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴．∵S△ABC=S△ACD+S△BCD，∴2=a+=（a+b）CDsin．解得．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）（2016邯郸一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E为棱PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P﹣BC﹣E的余弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接EF、DF，则EF∥PB，由∠CBD=∠FDB=30°，得DF∥BC，从而平面DEF∥平面PBC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点F，连接EF、DF，…（1分）∵E为棱PA的中点，∴EF∥PB，∵∠CBD=∠FDB=30°∴DF∥BC∵EF、DF⊂平面DEF，PB、BC⊂平面PBC∴平面DEF∥平面PBC，…（4分）∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面PBC．…（6分）解：（2）∵PA=PB=2，∴PF⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，∴PF⊥平面ABCD，且PF=1，连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．…（7分）则点，B（，0，0），，D（0，3，0），P（0，0，1），E（﹣，0，），…（8分）设平面BCP的法向量为则，∴，即，∴y=0，x=1，即…（10分）设平面BCE的法向量为，，则，∴，∴…（11分）∴cos＜＞==，∴二面角P﹣BC﹣E的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2016邯郸一模）某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行．每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立．（1）若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数．（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的槪率小于0.6．试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由．【分析】（Ⅰ）用X表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X服从二项分布B（4，），由此能求出在同一时刻需用人操控的平均台数．（Ⅱ）设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数，当n=1时，X服从两点分布；当n=2时，P（X）=，k=0，1，2；当n=3时，，k=0，1，2，3．由此得到一个工作人员操控2台机器符合要求．【解答】解：（Ⅰ）用X表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X服从二项分布：，k=0，1，2，3，4，∴在同一时刻需用人操控的平均台数EX==1．…．（4分）（Ⅱ）设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数．①当n=1时，X服从两点分布：X 0 1P此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为＞0.60．…（6分）②当n=2时，P（X）=，k=0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=（）2=，即X的分布列为：X 0 1 2P此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为，故一人操控的2台机器正常运行的概率为．工作人员待工而闲的概率为（）2=0.526＜0.60．…．（8分）③当n=3时，，k=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）3=，即X的分布列为：X 0 1 2 3P此时，一人操控3台机器，出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为：3×（）2×+（）3=，故一人操控的3台机器正常运行的概率为．工作人员待工而闲的概率为（）3==0.421875＜0.60．…（10分）综上所述，一个工作人员操控2台机器符合要求．…．（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．20．（12分）（2016邯郸一模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F 交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．【分析】（1）利用梯形的中位线定理和抛物线的性质列出方程解出p即可；（2）设l斜率为k，联立方程组解出AB的中点即M的坐标，根据切线的性质列方程解出k即可得出l的方程和圆的圆心与半径．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=y1+y2+p，又∵以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切，∴|AB|=y1+y2+2，故p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y．（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y中，化简整理得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∴，∴圆心的坐标为M（2k，2k2+1），∵圆M与直线相切于点Q，∴|MQ|=|MN|，∴，解得，此时直线l的方程为，即x﹣2y+2=0，圆心，半径，∴圆M的方程为．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，切线的性质，属于中档题．21．（12分）（2016邯郸一模）设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为x+y﹣2=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：＜1．【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求y=f（x）的解析式；（2）将不等式进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值即可证明：＜1．【解答】解：（1）因为，所以f′（1）=1+a=﹣1，所以a=﹣2又点（1，f（1））在切线x+y﹣2=0上，所以1+b﹣2=0，所以b=1所以y=f（x）的解析式为f（x）=（x﹣2）lnx+1．…．（4分）（2）令g（x）=x﹣e x，（x＞0）因为g′（x）=1﹣e x所以当x＞0时，g′（x）＜0所以g（x）在区间（0，+∞）内单调递减，所以g（x）＜g（0）=﹣1＜0所以等价于f（x）﹣1＞g（x）．…．（6分）我们如果能够证明f（x）﹣1＞﹣1，即f（x）＞0即可证明目标成立．下面证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．由（1）知，令则，所以h（x）在（0，+∞）内单调递增，又h（1）=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0，所以存在x0∈（1，2）使得h（x0）=0．当0＜x＜x0时，h（x）＜0即f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x＞x0时，h（x）＞0即f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；所以f（x）≥f（x0）=（x0﹣2）lnx0+1．由f′（x0）=0得所以f（x）≥f（x0）=（x0﹣2）lnx0+1=（x0﹣2）（﹣1）+1=5﹣（x0+）．令，则r′（x）=1﹣=＜0所以r（x）在区间（1，2）内单调递减，所以r（x）＜r（1）=5所以f（x）＞5﹣（x+）＞5﹣5=0．综上，对任意x∈（0，+∞），．…．（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．选做题（请考生从22,23,24三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑）22．（10分）（2016邯郸一模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．【分析】（1）证明∠BAD=∠EAD，即可证明：=；（2）证明△EAD∽△FED，利用比例关系求DF的长．【解答】（1）证明：∵EB=BC∴∠C=∠BEC∵∠BED=∠BAD∴∠C=∠BED=∠BAD…（2分）∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C，AE=EB∴∠EAB=∠EBA=2∠C，又∠C=∠BAD∴∠EAD=∠C∴∠BAD=∠EAD…（4分）∴．…（5分）（2）解：由（1）知∠EAD=∠C=∠FED，又∠EDA=∠EDA∴△EAD∽△FED…（8分）∴又∵DE=4，AD=8，∴DF=2．…（10分）【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，考查等角对等弧，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选项4-4：坐标系与参数方程】23．（2016邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．【分析】（1）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，把，代入即可得出直角坐标方程．根据（t为参数），消去t得普通方程．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2=2x中，整理得．由参数的几何意义，可知：|PM|2+|PN|2==﹣4t1t2即可得出．【解答】解：（1）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，∵，∴y2=2x；根据（t为参数），消去t得，x﹣y﹣3=0，故曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2x，x﹣y﹣3=0．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2=2x中，整理得．设t1，t2是该方程的两根，则，由参数的几何意义，可知．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选项4-5：不等式选讲】24．（2016邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据x的范围，去掉绝对值号，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）≥﹣3，可得|x﹣2|﹣|2x﹣1|≥﹣3，①或②或③，解①得；解②得；解③得x=2，综上所述，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，即|x﹣a|≤3+|2x﹣1|=2x+2，故﹣2x﹣2≤x﹣a≤2x+2，即：﹣3x﹣2≤﹣a≤x+2，∴﹣x﹣2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，∴a∈[﹣3，5]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
(word完整版)2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2 •作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4 •考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
X1.已知集合A={x|x<1} , B={x|3 1}，则A. AI B {x|x 0}B. AUB RC. AUB {x|x 1}D. AI B2 .如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是3.设有下面四个命题P1 :若复数z满足丄 R，则z R ;zP2:若复数z满足z2R，则z R ;P3:若复数N,Z2满足Z1Z2 R，则zi Z2 ;P 4:若复数z R ，则z R .其中的真命题为1 6 2—)(1 x)6展开式中X 2的系数为 X7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A . A>1 000 和 n=n+1A . P l , P 3B . P l , P 4C . P 2,P 3D . P 2, P 44 •记S 为等｛a n ｝的前n 项和.若a 4a524，Ss 48，则｛a n ｝的公差为C . 45.函数f (X )在()单调递减，且为奇函数.若 f(1)1，则满足 1 f(x 2) 1的X 的取值范围[2,2]B .[ 1,1]C •[0,4]D . [1,3]6 . (1A . 15B . 20C . 30D . 352，俯视图为等腰直角三角形A . 10B . 12 8 .右面程序框图是为了求出满足C . 14D . 163n -2n >1000的最小偶数n ,那么在號「詞和=两个空白框中，可以分别填入B . A>1 000 和n=n+2C . A 1 000 和n=n+1D . A 1 000 和n=n+29.已知曲线C1: y=cos x，C2：2 ny=s in (2x+ )，则下面结论正确的是到曲线C 2到曲线C 2到曲线C 2得到曲线C 2x y z11.设xyz 为正数，且23 5，则二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。
2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）A．（2，3]B．[2，3]C．（2，3） D．[2，3）2．已知a，b∈R，i为虚数单位，当a+bi=i（1﹣i）时，则=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，则与的夹角为（）A．B．C． D．4．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为B，若直线y=x与FB平行，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．5．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=，AB=2，则S△ABC=（）A．3 B．2 C．3 D．66．从5种主料职工选2种，8种辅料中选3种烹制菜肴，烹制方式有5种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（）A．18 B．200 C．2800 D．336007．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．13 C．21 D．348．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（）A．B．C．D．9．设{a n}是公差为2的等差数列，b n=a，若{b n}为等比数列，则b1+b2+b3+b4+b5=（）A．142 B．124 C．128 D．14410．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．已知棱长为的正四面体ABCD（四个面都是正三角形），在侧棱AB上任取一点P（与A，B都不重合），若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则+的最小值为（）A．B．4 C．D．512．设f（x）=e x，f（x）=g（x）﹣h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=．14．已知函数f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，则2a﹣b的取值范围是．15．已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A：p是真命题；B：p∨q是假命题；C：m是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题p，q，m中的真命题是．16．已知点A（a，0），点P是双曲线C：﹣y2=1右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A=acosAsinB，函数f（x）=sinAcos2x﹣sin2sin 2x，x∈[0，]．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．18．如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG上．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；=，点（Ⅱ）已知AB=2，BC=，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°，S△PBEM在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．19．某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如图柱状图．（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X表示两人打分之和，求X的分布列和E（X）．（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为Y（单位：元），求E（Y）．20．已知F为抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，直线l：y=kx+交抛物线E于A，B两点．（Ⅰ）当k=1，|AB|=8时，求抛物线E的方程；（Ⅱ）过点A，B作抛物线E的切线l1，l2，且l1，l2交点为P，若直线PF与直线l斜率之和为﹣，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）的最小值是1．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若关于x的方程f2（x）e x﹣6mf（x）+9me﹣x=0在区间[1，+∞）有唯一的实根，求m的取值范围．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|ax﹣2|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞x+1；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）＜有实数解，求m的取值范围．2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）A．（2，3]B．[2，3]C．（2，3） D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≥2}，∴A∩B={x|2≤x＜3}=[2，3）．故选：D．2．已知a，b∈R，i为虚数单位，当a+bi=i（1﹣i）时，则=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由a+bi=i（1﹣i）=1+i，求出a，b的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由a+bi=i（1﹣i）=1+i，得a=1，b=1．则=．故选：A．3．已知向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，则与的夹角为（）A．B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得•=﹣3，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求角．【解答】解：向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，可得2﹣•=4﹣•=7，可得•=﹣3，cos＜，＞===﹣，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=．故选：C．4．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为B，若直线y=x与FB平行，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线FB的斜率，利用直线y=x与FB平行，建立方程，求出b=c，即可求出椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，，∴b=c，∴a=c，∴e==，故选B．5．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=，AB=2，则S△ABC=（）A．3 B．2 C．3 D．6【考点】正弦定理．【分析】由于△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，故B=60°，ABD中，由余弦定理可得BD的长，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵由于△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，∴B=60°，∵△ABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，即：7=4+BD2﹣2BD，∴BD=3或﹣1（舍去），可得：BC=6，===3．∴S△ABC故选：C．6．从5种主料职工选2种，8种辅料中选3种烹制菜肴，烹制方式有5种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（）A．18 B．200 C．2800 D．33600【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、从5种主料之中选2种，②、从8种辅料中选3种烹制菜肴，③、从5种烹制方式选一种，分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、从5种主料之中选2种，有C52=10种选法；②、从8种辅料中选3种烹制菜肴，有C83=56种选法；③、从5种烹制方式选一种，有C51=5种选法；则最多可以烹制出不同的菜肴种数为10×56×5=2880；故选：C．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．13 C．21 D．34【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a，b，c的值，并输出满足退出循环条件时的b的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=1，i=1执行循环体，c=2，a=1，b=2，i=2不满足条件i＞5，执行循环体，c=3，a=2，b=3，i=3不满足条件i＞5，执行循环体，c=5，a=3，b=5，i=4不满足条件i＞5，执行循环体，c=8，a=5，b=8，i=5不满足条件i＞5，执行循环体，c=13，a=8，b=13，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出b的值为13．故选：B．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意，建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积即可．【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，则D（2，1），设抛物线方程为y2=2px，代入D，可得p=，∴y=，∴S===，故选D．9．设{a n}是公差为2的等差数列，b n=a，若{b n}为等比数列，则b1+b2+b3+b4+b5=（）A．142 B．124 C．128 D．144【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a n=a1+（n﹣1）×2=a1+2n﹣2，且（a4）2=a2•a8，从而a1=2，=2+2×2n﹣2=2n+1，由此能求出b1+b2+b3+b4+b5的值．【解答】解：∵{a n}是公差为2的等差数列，b n=a，∴a n=a1+（n﹣1）×2=a1+2n﹣2，∵{b n}为等比数列，∴．∴（a4）2=a2•a8，∴=（a1+4﹣2）（a1+16﹣2），解得a1=2，∴=2+2×2n﹣2=2n+1b1+b2+b3+b4+b5=22+23+24+25+26=124．故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，由图中数据可得该几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，由图中数据可得几何体的体积为=，故选A．11．已知棱长为的正四面体ABCD（四个面都是正三角形），在侧棱AB上任取一点P（与A，B都不重合），若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则+的最小值为（）A．B．4 C．D．5【考点】基本不等式．=S△ACD，h 【分析】由题意可得： +=，其中S△BCD为正四面体ABCD的高，可得h=2，a+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．=S△ACD，【解答】解：由题意可得： +=，其中S△BCDh为正四面体ABCD的高．h==2，∴a+b=2．∴+==≥=，当且仅当a=2=时取等号．故选：C．12．设f（x）=e x，f（x）=g（x）﹣h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由F（x）=g（x）+h（x）及g（x），h（x）的奇偶性可求得g（x），h（x），进而可把mg（x）+h（x）≥0表示出来，分离出参数后，求函数的最值问题即可解决．【解答】解：由f（x）=g（x）﹣h（x），即e x=g（x）﹣h（x）①，得e﹣x=g（﹣x）﹣h（﹣x），又g（x），h（x）分别为偶函数、奇函数，所以e﹣x=g（x）+h（x）②，联立①②解得，g（x）=（e x+e﹣x），h（x）=（e x﹣e﹣x）．mg（x）+h（x）≥0，即m•（e x+e﹣x）+（e x﹣e﹣x）≥0，也即m≥，即m≥1﹣∵存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，1﹣≥，∴m≥．∴m的最小值为．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=﹣．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（﹣3）==，从而f[f（﹣3）]=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣3）==，f[f（﹣3）]=f（）====﹣．故答案为：．14．已知函数f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，则2a﹣b的取值范围是．【考点】不等式的基本性质．【分析】由题意可得0＜a+b＜2，﹣1＜﹣a+b＜1，作出可行域如图，设z=2a﹣b，利用z的几何意义，利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解．【解答】解：∵f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，∴0＜a+b＜2，﹣1＜﹣a+b＜1，作出可行域如图设z=2a﹣b，得b=2a﹣z，则平移直线b=2a﹣z，则由图象可知当直线经过点B时，直线b=2a﹣z得截距最小，由可得a=，b=此时z最大为z=2×﹣=，当直线经过点A时，直线b=2a﹣z得截距最大，由可得a=﹣，b=，此时z最小为z=2×（﹣）﹣=﹣，∴2a﹣b的取值范围是，故答案为：，15．已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A：p是真命题；B：p∨q是假命题；C：m是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题p，q，m中的真命题是m．【考点】复合命题的真假．【分析】根据已知中老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，逐一分析论证，可得答案．【解答】解：由已知中三个命题p，q，m中只有一个是真命题，①若A是错误的，则：p是假命题；q是假命题；m是真命题．满足条件；②若A是错误的，则：p是真命题；q的真假不能确定；m是真命题．不满足条件；③若C是错误的，则：p是真命题；p∨q不可能是假命题；不满足条件；故真命题是m，故答案为：m16．已知点A（a，0），点P是双曲线C：﹣y2=1右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a=﹣1或2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（x，y）（x≥2），则|PA|2=（x﹣a）2+y2=+﹣1，分类讨论，利用|PA|的最小值为3，求出a的值．【解答】解：设P（x，y）（x≥2），则|PA|2=（x﹣a）2+y2=+﹣1，a＞0时，x=a，|PA|的最小值为﹣1=3，∴，a＜0时，2﹣a=3，∴a=﹣1．故答案为﹣1或2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A=acosAsinB，函数f（x）=sinAcos2x﹣sin2sin 2x，x∈[0，]．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理，求出tanA的值，从而求出A的值；（II）由A化简函数f（x）为正弦型函数，求出x∈[0，]时f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，bsin2A=acosAsinB，由正弦定理得，sinBsin2A=sinAcosAsinB，∴tanA==，…又A∈（0，π），∴；…（II）由A=，∴函数f（x）=sinAcos2x﹣sin2sin 2x=cos2x﹣sinxcosx=•﹣•sin2x=﹣（sin2x﹣cos2x）+，=﹣sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，…∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴≤﹣sin（2x﹣）+≤，所以f（x）的值域为．…18．如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG上．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；=，点（Ⅱ）已知AB=2，BC=，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°，S△PBEM在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，过点P 作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE，推导出BE⊥PO，BE⊥AG，由此能证明平面PBE⊥平面APG．（II）连接PF，推导出O点与F点重合，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，过点P作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE∵BE⊂平面ABCDE，∴BE⊥PO，∵△ABE是等边三角形，∴BE⊥AG…∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面APG．…解：（II）连接PF，∵又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，∴PF⊥底面ABCDE．…∴O点与F点重合．如图，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．底面ABCDE的一个法向量…∵，∴，设平面ABM的法向量，∵，∴，∴，∴，取则，∴，…∵二面角的法向量分别指向二面角的内外，即为二面角的平面角，∴cos＜＞==．∴二面角M﹣AB﹣D的余弦值为．…19．某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如图柱状图．（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X表示两人打分之和，求X的分布列和E（X）．（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为Y（单位：元），求E（Y）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）计算“从样本中任意选取2名学生，恰好有一名学生的打分不低于4分”的概率值；（Ⅱ）由X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；（Ⅲ）根据表格写出Y的分布列，计算对应的数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）设“从样本中任意选取2名学生，求恰好有一名学生的打分不低于4分”为事件A，则P（A）==≈0.51；…（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，9，10；则P（X=4）=0.2×0.2=0.04，P（X=5）=2×0.2×0.3=0.12，P（X=6）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，P（X=7）=2×0.3×0.3+2×0.2×0.2=0.26，P（X=8）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，P（X=9）=2×0.2×0.3=0.12，P（X=10）=0.2×0.2=0.04；X的分布列如下：X的数学期望为E（X）=4×0.04+5×0.12+6×0.21+7×0.26+8×0.21+9×0.12+10×0.04=7；…..（Ⅲ）Y的分布列为Y的数学期望为E（Y）=﹣1000×0.16+2000×0.68+3000×0.16=1680．…20．已知F为抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，直线l：y=kx+交抛物线E于A，B两点．（Ⅰ）当k=1，|AB|=8时，求抛物线E的方程；（Ⅱ）过点A，B作抛物线E的切线l1，l2，且l1，l2交点为P，若直线PF与直线l斜率之和为﹣，求直线l的斜率．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据弦长公式即可求出p的值，问题得以解决，（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理，即可求出过点A，B作抛物线E的切线l1，l2方程，再求出交点坐标，根据斜率的关系即可求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）联立，消去x得，题设得，∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y．（II）设联立，消去y得x2﹣2pkx﹣p2=0，∴，由得，∴直线l1，l2的方程分别为，联立得点P的坐标为，∴，∴或，∴直线l的斜率为k=﹣2或．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）的最小值是1．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若关于x的方程f2（x）e x﹣6mf（x）+9me﹣x=0在区间[1，+∞）有唯一的实根，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的最小值，问题转化为﹣ln﹣1=0，记g（a）=﹣ln﹣1，（a ＞0），根据函数的单调性求出a的值即可；（Ⅱ）由条件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）e x+9m=0，令g（x）=f（x）e x=（x2﹣2lnx）e x，原问题等价于方程t2﹣6mt+9m=0在区间[e，+∞）内有唯一解，通过讨论△的符号，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣=，（x＞0），所以，当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故f（x）min=f（）=﹣ln，由题意可得：﹣ln=1，即﹣ln﹣1=0，记g（a）=﹣ln﹣1，（a＞0），则函数g（a）的零点即为方程﹣ln=1的根；由于g′（a）=﹣ln，故a=2时，g′（2）=0，且0＜a＜2时，g′（a）＞0，a＞2时，g′（a）＜0，所以a=2是函数g（a）的唯一极大值点，所以g（a）≤g（2），又g（2）=0，所以a=2．（II）由条件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）e x+9m=0，令g（x）=f（x）e x=（x2﹣2lnx）e x，则g′（x）=（x2+2x﹣﹣2lnx）e x，令r（x）=x2+2x﹣﹣2lnx（x≥1），则，r（x）在区间[1，+∞）内单调递增，∴g（x）≥g（1）=e；所以原问题等价于方程t2﹣6mt+9m=0在区间[e，+∞）内有唯一解，当△=0时可得m=0或m=1，经检验m=1满足条件，当△＞0时可得m＜0或m＞1，所以e2﹣6me+9m≤0，解之得：m≥，综上，m的取值范围是{m|m=1或m≥}．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出C1和C2的直角坐标方程，得出交点坐标，再求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）由C1，C2极坐标方程分别为ρ=2sinθ，’化为平面直角坐标系方程分为x2+（y﹣1）2=1，x+y﹣2=0．…得交点坐标为（0，2），（1，1）．…即C1和C2交点的极坐标分别为．…（II）把直线l的参数方程：（t为参数），代入x2+（y﹣1）2=1，得，…即t2﹣4t+3=0，t1+t2=4，…所以|PA|+|PB|=4．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|ax﹣2|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞x+1；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）＜有实数解，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）把a=2代入不等式化简后，对x分类讨论，分别去掉绝对值求出每个不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出f（x）+f（﹣x）的最小值，结合题意列出不等式，求出实数m的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式为：|2x﹣2|＞x+1，当x≥1时，不等式化为：2x﹣2＞x+1，解得x＞3…当x＜1时，不等式化为：2﹣2x＞x+1，解得…综上所述，解集为；…（II）因为f（x）+f（﹣x）=|ax﹣2|+|﹣ax﹣2|≥|ax﹣2﹣ax﹣2|=4…，所以f（x）+f（﹣x）的最小值为4，…，因为f（x）+f（﹣x）＜有实数解，所以…2017年4月1日。
河北省邯郸市2017-2018学年高三上学期摸底数学试卷(理科) Word版含解析
河北省邯郸市2017-2018学年高三上学期摸底数学试卷（理科）一．选择题1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4} 2．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从2014-2015学年高一600人、2014-2015学年高二780人、2017-2018学年高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知2014-2015学年高二被抽取的人数为13人，则n等于（）A．660 B．720 C．780 D．8004．（5分）设a=log23，b=log46，c=log89，则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b5．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．756．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．67．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1cm，粗实线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm38．（5分）函数f（x）=2x﹣tanx在上的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣510．（5分）将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC 的距离为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．36πD．20π12．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2B．4C．6D．8二．填空题13．（5分）在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为．14．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有种．15．（5分）在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则•的取值范围为．16．（5分）如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数：①y=﹣x3+1，②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y=④y=．以上函数为“Z函数”的序号为．三．解答题17．（10分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．18．（12分）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且三角形的面积为S=accosB．（1）求角B的大小（2）若=4，求的值．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B 上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．20．（12分）某商场组织有奖竞猜活动，参与者需要先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金25元，正确回答问题B可获奖金30元，活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，只能用蒙猜的办法答题．（1）如果参与者先回答问题A，求其获得奖金25元的概率；（2）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a=时，求函数f（x）在区间[m，m+1]（m＞0）上的最小值．河北省邯郸市2017-2018学年高三上学期摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题1．（5分）已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（）A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：列举出N中的元素，求出M与N的交集即可做出判断．解答：解：∵M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}，∴N⊆M，M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：复数z===1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．3．（5分）某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从2014-2015学年高一600人、2014-2015学年高二780人、2017-2018学年高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知2014-2015学年高二被抽取的人数为13人，则n等于（）A．660 B．720 C．780 D．800考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义，建立条件关系即可得到结论．解答：解：∵2014-2015学年高一600人、2014-2015学年高二780人、2017-2018学年高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知2014-2015学年高二被抽取的人数为13人，∴，解得n=720，故选：B．点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立分层是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设a=log23，b=log46，c=log89，则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b考点：对数值大小的比较．专题：常规题型．分析：根据换底公式变为同底的对数再比较大小．解答：解：log 46==；log89==∵3＞＞∴故选A点评：本题考查了换底公式，和对数函数的单调性．当给出的对数不同底时，往往要转化为同底的进行大小比较．5．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75考点：等比数列．分析：先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．解答：解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．点评：本题主要考查等差数列的运算．6．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．解答：解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i=1，a=2；经第二次循环得到i=2，a=5；经第三次循环得到i=3，a=16；经第四次循环得到i=4，a=65满足判断框的条件，执行是，输出4故选B点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．7．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1cm，粗实线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，两个这样的几何体以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=×（2+4）×2=6，高h=2，故体积V=Sh=×6×2=4cm3，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．8．（5分）函数f（x）=2x﹣tanx在上的图象大致为（）A．B．C．D．考点：奇偶性与单调性的综合；函数的图象．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意判断函数的奇偶性以及函数在x大于0时的单调性即可推出正确结果．解答：解：因为函数f（x）=2x﹣tanx在上满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数是奇函数，故A，B不正确；又x=→0+，函数f（x）=2×﹣tan=＞0，故C正确，D不正确．故选C．点评：本题考查函数的奇偶性与函数的单调性的应用，特值法是解答选择题的好方法．9．（5分）设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：确定不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，及z的最大值为6，即可求得z的最小值．解答：解：由题意，构成一个三角形区域，三个顶点的坐标为（0，0），（k，k），（﹣2k，k）∵z=x+y的几何意义是直线y=﹣x+z的纵截距∴在（﹣2k，k）处函数取得最小值，在（k，k）处函数取得最大值∵z的最大值为6，∴k+k=6，解得k=3∴z的最小值为﹣2k+k=﹣k=﹣3故选B．点评：本题考查简单线性规划的应用，解题的关键是确定不等式对应的平面区域，明确目标函数的几何意义．10．（5分）将半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型，求出阴影部分的面积，即可得到结论．解答：解：将图形平均分成四个部分，则每个图形空白处的面积为=，阴影部分的面积为，∴根据几何概型的概率公式可得点落在星形区域内的概率为：，故选：D．点评：本题主要考查几何概型的概率计算，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC 的距离为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．36πD．20π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由∠BAC=90°，AB=AC=2，得到BC，即为A、B、C三点所在圆的直径，取BC的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，则OA可求．解答：解：如图所示：取BC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，∴OA=，即球的半径为，∴球O的表面积为12π．故选：A．点评：本题考查球的有关计算问题，点到平面的距离，是基础题．12．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2B．4C．6D．8考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值．解答：解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查学生的计算能力，属于基础题．二．填空题13．（5分）在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为﹣10．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据题意，可得（x2﹣）5的通项为T r+1，令x的幂指数等于1，可得r=3，将r=3代入通项可得x的系数．解答：解：根据二项式定理（x2﹣）5的通项为T r+1=C5r•（x）10﹣2r•（﹣）r=（﹣1）r C5r•（x）10﹣3r，令10﹣3r=1，可得r=3，将r=3代入通项公式，可得含x项的系数为：（﹣1）3C53=﹣10，故答案为：﹣10．点评：本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．14．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有10种．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42种，根据分类计数原理得到结果解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C42=6种根据分类计数原理知共10种，故答案为：10．点评：本题考查分类计数原理问题，关键是如何分类，属于基础题，15．（5分）在边长为2的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则•的取值范围为[，3]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得和的夹角为60°，设||=x，x∈[0，2]，根据的向量的之间的关系得到•的表达式，借助于二次函数求出最值，即得它的取值范围．解答：解：由题意可得和的夹角为60°，设||=x，x∈[0，2]，∵•=（﹣）•（﹣）=﹣﹣+=2×1﹣2xcos60°﹣xcos60°+x2=x2﹣x+2=+，故当x=时，•取得最小值为，当x=2时，•取得最大值为3，故•的取值范围为，点评：本题题主要考查两个向量的加减法的法则、其几何意义、两个向量的数量积的定义以及二次函数配方求最值，属于基础题．16．（5分）如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”给出函数：①y=﹣x3+1，②y=3x﹣2sinx﹣2cosx③y=④y=．以上函数为“Z函数”的序号为②．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数y=﹣x3+1在定义域上单调递减．不满足条件．②y=3x﹣2sinx﹣2cosx，y′=3﹣2cosx+2sinx=3+2（sinx﹣cox）=3﹣2sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件．③f（x）=y=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．④y=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故答案为：②点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三．解答题17．（10分）已知递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S3=2S2+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），且{b n}的前n项和T n．求证：T n≥2．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设公比为q，由题意1+q+q2=2（1+q）+1，由此能求出．（2）由b n=2n﹣1+a n=2n﹣1+2n﹣1，=n2+2n﹣1，由此能证明T n≥2．解答：（1）解：设公比为q，由题意：q＞1，a1=1，则a2=q，，∵S3=2S2+1，∴a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，…（2分）则1+q+q2=2（1+q）+1，解得：q=2或q=﹣1（舍去），∴．…（4分）（2）证明：b n=2n﹣1+a n=2n﹣1+2n﹣1，…（6分）=+=n2+2n﹣1．…（8分）又∵在[1，+∞）上是单调递增的，∴T n≥T1=2，∴T n≥2．…（10分）点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．18．（12分）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且三角形的面积为S=accosB．（1）求角B的大小（2）若=4，求的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）在三角形ABC中，由条件可得S=，求得tanB的值，可得B的值．（2）由=4以及B=，可得b2=ac，由正弦定理可得sin2B=3sinAsinC，求出sinAsinC的值．再利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式把要求的式子化为，从而求得结果．解答：解：（1）在三角形ABC中，∵，由已知，可得，∴tanB=，再由0＜B＜π，∴．（2）∵，又∵，由正弦定理可得sin2B=3sinAsinC．∵，∴=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，属于基础题．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B 上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得A1A⊥平面ABC，A1A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A1B．（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B．（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt△ABD中，AD=，AB=2，sin∠ABD==，∠ABD=60°，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．在Rt△ABA1中，AA1=AB•tan60°=2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），P（1，1，0），A1（0，2，2），，=（0，2，2），，设平面PA1B的一个法向量，则，即，得，设平面CA1B的一个法向量，则，即，得，，∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是．…（12分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）某商场组织有奖竞猜活动，参与者需要先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金25元，正确回答问题B可获奖金30元，活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，只能用蒙猜的办法答题．（1）如果参与者先回答问题A，求其获得奖金25元的概率；（2）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）随机猜对问题A的概率，随机猜对问题B的概率．由此能求出参与者先回答问题A，且获得奖金25元概率．（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A再回答问题B，参与者获奖金额ξ可取0，25，55，②先回答问题B再回答问题A，参与者获奖金额η可取0，30，55．分别求出相应的期望能得到应该先答问题A，再答问题B能使该参与者获奖金额的期望值较大．解答：解：（1）随机猜对问题A的概率，随机猜对问题B的概率．设参与者先回答问题A，且获得奖金25元为事件M，则，即参与者先回答问题A，且获得奖金25元概率为．（5分）（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A再回答问题B，参与者获奖金额ξ可取0，25，55，则，，（8分）．②先回答问题B再回答问题A，参与者获奖金额η可取0，30，55则，，，．因为E（ξ）＞E（η），所以应该先答问题A，再答问题B．（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的期望的求法，是中档题，在历年2017-2018学年高考中都是必考题型．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；（2）设P（x0，y0），设出直线l：y=k（x﹣2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0，y0的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围．解答：解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=*，∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，则b=c，，代入*式得b=c=1即a=b=，故所求椭圆方程为+y2=1；（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0∴，设S（x1，y1），T（x2，y2）则，当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，成立，故t=0符合题意．当t≠0时得tx0=x1+x2=，ty0=y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，∴，，将上式代入椭圆方程得：，整理得：由知0＜t2＜4，所以t∈（﹣2，2）．点评：本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与圆相切的条件，考查联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，运用韦达定理，注意判别式大于0的条件，考查运算能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a=时，求函数f（x）在区间[m，m+1]（m＞0）上的最小值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）函数f（x）在上为增函数，故在[1，+∞）上恒成立，即可解得；（2）利用导数判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，注意对m的讨论．解答：解：（1）由题知：函数f（x）在上为增函数，故在[1，+∞）上恒成立，又由e ax＞0，x2＞0，则ax﹣1≥0，即在[1，+∞）上恒成立，又，故a≥1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）当时，，；当时，即x＞2时，f'（x）＞0；当时，即x＜0或0＜x＜2时，f'（x）＜0；则f（x）的增区间是（2，+∞），减区间是（﹣∞，0），（0，2）由于m＞0，则m+1＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当m+1≤2时，即0＜m≤1时，f（x）在[m，m+1]上单调递减，则；当m＜2＜m+1时，即1＜m＜2时，f（x）在[m，2]上单调递减，在（2，m+1]单调递增．则；当m≥2时，f（x）在[m，m+1]上单调递增．则，综上可知：当0＜m≤1时，；当1＜m＜2时，；当m≥2时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查学生分类讨论思想的运用能力及运算求解能力，综合性逻辑性强，属于难题．。
2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)(可编辑修改word版)
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1 }，则 A ． A B = {x | x < 0} C ． A B = {x | x > 1}B ． A B = R D ． A B = ∅2. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ． 14C． 123.设有下面四个命题B ． π8D ． π4p ：若复数 z 满足 1∈ R ，则 z ∈ R ； 1zp 2 ：若复数 z 满足 z 2 ∈ R ，则 z ∈ R ；p 3 ：若复数 z 1 , z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ；p4：若复数 z ∈R，则 z∈R .其中的真命题为A.p1 , p3B.p1 , p4C.p2 , p3D.p2 , p44.记S n 为等差数列{a n } 的前n 项和．若a4 +a5 = 24 ，S6 = 48 ，则{a n } 的公差为A．1 B．2 C．4 D．85.函数f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减，且为奇函数．若f (1) =-1，则满足-1 ≤f (x - 2) ≤ 1的x 的取值范围是A．[-2, 2]B．[-1,1]C．[0, 4]D．[1, 3]6．(1+ 1)(1+x)6展开式中x2的系数为x2A．15 B．20 C．30 D．357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．168.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000 和n=n+1B．A>1 000 和n=n+2C．A ≤1 000 和n=n+1D．A ≤1 000 和n=n+29.已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ 2π)，则下面结论正确的是1 23⎨ ⎩A. 把 C 1 π 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得6到曲线 C 2B. 把 C 1 π上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 12 到曲线 C 2C. 把 C 1 1 π 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得26到曲线 C 2D. 把 C 1 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2 π个单位长度，12得到曲线 C 210.已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A 、B 两点， 直线 l 2 与 C 交于 D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011.设 xyz 为正数，且2x = 3y = 5z ，则 A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4， 8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22， 依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数 N ：N >100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）A．（2，3]B．[2，3]C．（2，3） D．[2，3）2．已知a，b∈R，i为虚数单位，当a+bi=i（1﹣i）时，则=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，则与的夹角为（）A．B．C． D．4．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为B，若直线y=x与FB平行，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．5．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=，AB=2，则S△ABC=（）A．3 B．2 C．3 D．66．从5种主料职工选2种，8种辅料中选3种烹制菜肴，烹制方式有5种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（）A．18 B．200 C．2800 D．336007．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．13 C．21 D．348．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（）A．B．C．D．9．设{a n}是公差为2的等差数列，b n=a，若{b n}为等比数列，则b1+b2+b3+b4+b5=（）A．142 B．124 C．128 D．14410．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．已知棱长为的正四面体ABCD（四个面都是正三角形），在侧棱AB上任取一点P（与A，B都不重合），若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则+的最小值为（）A．B．4 C．D．512．设f（x）=e x，f（x）=g（x）﹣h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=．14．已知函数f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，则2a﹣b的取值范围是．15．已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A：p是真命题；B：p∨q是假命题；C：m是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题p，q，m中的真命题是．16．已知点A（a，0），点P是双曲线C：﹣y2=1右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A=acosAsinB，函数f（x）=sinAcos2x﹣sin2sin 2x，x∈[0，]．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．18．如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG上．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；=，点（Ⅱ）已知AB=2，BC=，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°，S△PBEM在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．19．某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如图柱状图．（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X表示两人打分之和，求X的分布列和E（X）．（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为Y（单位：元），求E（Y）．20．已知F为抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，直线l：y=kx+交抛物线E于A，B两点．（Ⅰ）当k=1，|AB|=8时，求抛物线E的方程；（Ⅱ）过点A，B作抛物线E的切线l1，l2，且l1，l2交点为P，若直线PF与直线l斜率之和为﹣，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）的最小值是1．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若关于x的方程f2（x）e x﹣6mf（x）+9me﹣x=0在区间[1，+∞）有唯一的实根，求m的取值范围．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|ax﹣2|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞x+1；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）＜有实数解，求m的取值范围．2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）A．（2，3]B．[2，3]C．（2，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x≥2}，∴A∩B={x|2≤x＜3}=[2，3）．故选：D．2．已知a，b∈R，i为虚数单位，当a+bi=i（1﹣i）时，则=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由a+bi=i（1﹣i）=1+i，求出a，b的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由a+bi=i（1﹣i）=1+i，得a=1，b=1．则=．故选：A．3．已知向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得•=﹣3，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求角．【解答】解：向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，可得2﹣•=4﹣•=7，可得•=﹣3，cos＜，＞===﹣，由0≤＜，＞≤π，可得＜，＞=．故选：C．4．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为B，若直线y= x与FB平行，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线FB的斜率，利用直线y=x与FB平行，建立方程，求出b=c，即可求出椭圆C的离心率．【解答】解：由题意，，∴b=c，∴a=c，∴e==，故选B．5．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=，AB=2，则S△=（）ABCA．3 B．2C．3D．6【考点】正弦定理．【分析】由于△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，故B=60°，ABD 中，由余弦定理可得BD的长，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵由于△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，∴B=60°，∵△ABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，即：7=4+BD2﹣2BD，∴BD=3或﹣1（舍去），可得：BC=6，∴S△ABC===3．故选：C．6．从5种主料职工选2种，8种辅料中选3种烹制菜肴，烹制方式有5种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（）A．18 B．200 C．2800 D．33600【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、从5种主料之中选2种，②、从8种辅料中选3种烹制菜肴，③、从5种烹制方式选一种，分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、从5种主料之中选2种，有C52=10种选法；②、从8种辅料中选3种烹制菜肴，有C83=56种选法；③、从5种烹制方式选一种，有C51=5种选法；则最多可以烹制出不同的菜肴种数为10×56×5=2880；故选：C．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．13 C．21 D．34【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a，b，c的值，并输出满足退出循环条件时的b的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=1，i=1执行循环体，c=2，a=1，b=2，i=2不满足条件i＞5，执行循环体，c=3，a=2，b=3，i=3不满足条件i＞5，执行循环体，c=5，a=3，b=5，i=4不满足条件i＞5，执行循环体，c=8，a=5，b=8，i=5不满足条件i＞5，执行循环体，c=13，a=8，b=13，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出b的值为13．故选：B．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由题意，建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积即可．【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，则D（2，1），设抛物线方程为y2=2px，代入D，可得p=，∴y=，∴S===，故选D．9．设{a n}是公差为2的等差数列，b n=a，若{b n}为等比数列，则b1+b2+b3+b4+b5=（）A．142 B．124 C．128 D．144【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a n=a1+（n﹣1）×2=a1+2n﹣2，且（a4）2=a2•a8，从而a1=2，=2+2×2n﹣2=2n+1，由此能求出b1+b2+b3+b4+b5的值．【解答】解：∵{a n}是公差为2的等差数列，b n=a，∴a n=a1+（n﹣1）×2=a1+2n﹣2，∵{b n}为等比数列，∴．∴（a4）2=a2•a8，∴=（a1+4﹣2）（a1+16﹣2），解得a1=2，∴=2+2×2n﹣2=2n+1b1+b2+b3+b4+b5=22+23+24+25+26=124．故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．πB ．πC ．πD ．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，由图中数据可得该几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，由图中数据可得几何体的体积为=，故选A ．11．已知棱长为的正四面体ABCD （四个面都是正三角形），在侧棱AB 上任取一点P （与A ，B 都不重合），若点P 到平面BCD 及平面ACD 的距离分别为a ，b ，则+的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．5【考点】基本不等式． 【分析】由题意可得：+=，其中S △BCD =S △ACD ，h 为正四面体ABCD 的高，可得h=2，a +b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：由题意可得： +=，其中S △BCD =S △ACD ，h 为正四面体ABCD 的高．h==2，∴a +b=2．∴+==≥=，当且仅当a=2=时取等号．故选：C．12．设f（x）=e x，f（x）=g（x）﹣h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，则m的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由F（x）=g（x）+h（x）及g（x），h（x）的奇偶性可求得g（x），h（x），进而可把mg（x）+h（x）≥0表示出来，分离出参数后，求函数的最值问题即可解决．【解答】解：由f（x）=g（x）﹣h（x），即e x=g（x）﹣h（x）①，得e﹣x=g（﹣x）﹣h（﹣x），又g（x），h（x）分别为偶函数、奇函数，所以e﹣x=g（x）+h（x）②，联立①②解得，g（x）=（e x+e﹣x），h（x）=（e x﹣e﹣x）．mg（x）+h（x）≥0，即m•（e x+e﹣x）+（e x﹣e﹣x）≥0，也即m≥，即m≥1﹣∵存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，1﹣≥，∴m≥．∴m的最小值为．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知函数f（x）=，则f[f（﹣3）]=﹣．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（﹣3）==，从而f[f（﹣3）]=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣3）==，f[f（﹣3）]=f（）====﹣．故答案为：．14．已知函数f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，则2a﹣b的取值范围是．【考点】不等式的基本性质．【分析】由题意可得0＜a+b＜2，﹣1＜﹣a+b＜1，作出可行域如图，设z=2a﹣b，利用z的几何意义，利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解．【解答】解：∵f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，∴0＜a+b＜2，﹣1＜﹣a+b＜1，作出可行域如图设z=2a﹣b，得b=2a﹣z，则平移直线b=2a﹣z，则由图象可知当直线经过点B时，直线b=2a﹣z得截距最小，由可得a=，b=此时z最大为z=2×﹣=，当直线经过点A时，直线b=2a﹣z得截距最大，由可得a=﹣，b=，此时z最小为z=2×（﹣）﹣=﹣，∴2a﹣b的取值范围是，故答案为：，15．已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：A：p是真命题；B：p∨q是假命题；C：m是真命题．老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题p，q，m中的真命题是m．【考点】复合命题的真假．【分析】根据已知中老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，逐一分析论证，可得答案．【解答】解：由已知中三个命题p，q，m中只有一个是真命题，①若A是错误的，则：p是假命题；q是假命题；m是真命题．满足条件；②若A是错误的，则：p是真命题；q的真假不能确定；m是真命题．不满足条件；③若C是错误的，则：p是真命题；p∨q不可能是假命题；不满足条件；故真命题是m，故答案为：m16．已知点A（a，0），点P是双曲线C：﹣y2=1右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a=﹣1或2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（x，y）（x≥2），则|PA|2=（x﹣a）2+y2=+﹣1，分类讨论，利用|PA|的最小值为3，求出a的值．【解答】解：设P（x，y）（x≥2），则|PA|2=（x﹣a）2+y2=+﹣1，a＞0时，x=a，|PA|的最小值为﹣1=3，∴，a＜0时，2﹣a=3，∴a=﹣1．故答案为﹣1或2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin2A=acosAsinB，函数f（x）=sinAcos2x ﹣sin2sin 2x，x∈[0，]．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理，求出tanA的值，从而求出A的值；（II）由A化简函数f（x）为正弦型函数，求出x∈[0，]时f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，bsin2A=acosAsinB，由正弦定理得，sinBsin2A=sinAcosAsinB，∴tanA==，…又A∈（0，π），∴；…（II）由A=，∴函数f（x）=sinAcos2x﹣sin2sin 2x=cos2x﹣sinxcosx=•﹣•sin2x=﹣（sin2x﹣cos2x）+，=﹣sin（2x﹣）+，∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，…∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴≤﹣sin（2x﹣）+≤，所以f（x）的值域为．…18．如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG上．（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；（Ⅱ）已知AB=2，BC=，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°，S△PBE=，点M在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，过点P作PO⊥AG 于O，则PO⊥底面ABCDE，推导出BE⊥PO，BE⊥AG，由此能证明平面PBE⊥平面APG．（II）连接PF，推导出O点与F点重合，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，过点P作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE∵BE⊂平面ABCDE，∴BE⊥PO，∵△ABE是等边三角形，∴BE⊥AG…∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，∵BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面APG．…解：（II）连接PF，∵又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，∴PF⊥底面ABCDE．…∴O点与F点重合．如图，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．底面ABCDE的一个法向量…∵，∴，设平面ABM的法向量，∵，∴，∴，∴，取则，∴，…∵二面角的法向量分别指向二面角的内外，即为二面角的平面角，∴cos＜＞==．∴二面角M﹣AB﹣D的余弦值为．…19．某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如图柱状图．（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X表示两人打分之和，求X的分布列和E（X）．（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为Y（单位：元），求E（Y）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）计算“从样本中任意选取2名学生，恰好有一名学生的打分不低于4分”的概率值；（Ⅱ）由X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望；（Ⅲ）根据表格写出Y的分布列，计算对应的数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）设“从样本中任意选取2名学生，求恰好有一名学生的打分不低于4分”为事件A，则P（A）==≈0.51；…（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，9，10；则P（X=4）=0.2×0.2=0.04，P（X=5）=2×0.2×0.3=0.12，P（X=6）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，P（X=7）=2×0.3×0.3+2×0.2×0.2=0.26，P（X=8）=2×0.2×0.3+0.3×0.3=0.21，P（X=9）=2×0.2×0.3=0.12，P（X=10）=0.2×0.2=0.04；X的分布列如下：X的数学期望为E（X）=4×0.04+5×0.12+6×0.21+7×0.26+8×0.21+9×0.12+10×0.04=7；…..（Ⅲ）Y的分布列为Y的数学期望为E（Y）=﹣1000×0.16+2000×0.68+3000×0.16=1680．…20．已知F为抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，直线l：y=kx+交抛物线E于A，B两点．（Ⅰ）当k=1，|AB|=8时，求抛物线E的方程；（Ⅱ）过点A，B作抛物线E的切线l1，l2，且l1，l2交点为P，若直线PF与直线l斜率之和为﹣，求直线l的斜率．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据弦长公式即可求出p的值，问题得以解决，（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理，即可求出过点A，B作抛物线E的切线l1，l2方程，再求出交点坐标，根据斜率的关系即可求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）联立，消去x得，题设得，∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y．（II）设联立，消去y得x2﹣2pkx﹣p2=0，∴，由得，∴直线l1，l2的方程分别为，联立得点P的坐标为，∴，∴或，∴直线l的斜率为k=﹣2或．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）的最小值是1．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若关于x的方程f2（x）e x﹣6mf（x）+9me﹣x=0在区间[1，+∞）有唯一的实根，求m 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的最小值，问题转化为﹣ln﹣1=0，记g（a）=﹣ln﹣1，（a＞0），根据函数的单调性求出a的值即可；（Ⅱ）由条件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）e x+9m=0，令g（x）=f（x）e x=（x2﹣2lnx）e x，原问题等价于方程t2﹣6mt+9m=0在区间[e，+∞）内有唯一解，通过讨论△的符号，求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣=，（x＞0），所以，当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，故f（x）min=f（）=﹣ln，由题意可得：﹣ln=1，即﹣ln﹣1=0，记g（a）=﹣ln﹣1，（a＞0），则函数g（a）的零点即为方程﹣ln=1的根；由于g′（a）=﹣ln，故a=2时，g′（2）=0，且0＜a＜2时，g′（a）＞0，a＞2时，g′（a）＜0，所以a=2是函数g（a）的唯一极大值点，所以g（a）≤g（2），又g（2）=0，所以a=2．（II）由条件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）e x+9m=0，令g（x）=f（x）e x=（x2﹣2lnx）e x，则g′（x）=（x2+2x﹣﹣2lnx）e x，令r（x）=x2+2x﹣﹣2lnx（x≥1），则，r（x）在区间[1，+∞）内单调递增，∴g（x）≥g（1）=e；所以原问题等价于方程t2﹣6mt+9m=0在区间[e，+∞）内有唯一解，当△=0时可得m=0或m=1，经检验m=1满足条件，当△＞0时可得m＜0或m＞1，所以e2﹣6me+9m≤0，解之得：m≥，综上，m的取值范围是{m|m=1或m≥}．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出C1和C2的直角坐标方程，得出交点坐标，再求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．【解答】解：（Ⅰ）由C1，C2极坐标方程分别为ρ=2sinθ，’化为平面直角坐标系方程分为x2+（y﹣1）2=1，x+y﹣2=0．…得交点坐标为（0，2），（1，1）．…即C1和C2交点的极坐标分别为．…（II）把直线l的参数方程：（t为参数），代入x2+（y﹣1）2=1，得，…即t2﹣4t+3=0，t1+t2=4，…所以|PA|+|PB|=4．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|ax﹣2|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞x+1；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）＜有实数解，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）把a=2代入不等式化简后，对x分类讨论，分别去掉绝对值求出每个不等式的解集，再取并集即得不等式的解集；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出f（x）+f（﹣x）的最小值，结合题意列出不等式，求出实数m的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式为：|2x﹣2|＞x+1，当x≥1时，不等式化为：2x﹣2＞x+1，解得x＞3…当x＜1时，不等式化为：2﹣2x＞x+1，解得…综上所述，解集为；…（II）因为f（x）+f（﹣x）=|ax﹣2|+|﹣ax﹣2|≥|ax﹣2﹣ax﹣2|=4…，所以f（x）+f（﹣x）的最小值为4，…，因为f（x）+f（﹣x）＜有实数解，所以…。