高三理科数学综合练习(9)

2017届高三数学（理科）综合练习（9）命题：孙宏坤 审核：班级 学号 姓名一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．若集合(,]A m =-∞，{}22B x x =-<≤，且B A ⊆，则实数m 的取值范围 是 ▲ . 2．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ 命题.（填“真”或“假”）3.设点(P m 是角α终边上一点，若cos 2α=，则m = ▲ .4．函数()x f x e x =-的单调递增区间为 ▲ .5．若函数()cos f x x x =-的零点在区间(1,)k k -（k Z ∈）内，则k = ▲ . 6．设函数()lg(f x x =是奇函数，则实数m 的值为 ▲ . 7．已知直线3x π=过函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中22ππϕ-<<）图象上的一个最高点，则5()6f π的值为 ▲ .8．在锐角ABC ∆中，2AB =，3BC =，ABC ∆的面积为2，则AC 的长为 ▲ . 9．设向量(5cos ,4sin )OA θθ=++ ，(2,0)OB = ，则||AB的取值范围是 ▲ .10．如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，4AD =，点P 是DC 边的中点，则PA PB ⋅的值为 ▲ . 11．若函数2()ln (2)f x x ax a x =+-+在12x =处取得极大值，则正数a 的取值范围是 ▲ .12．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，396,,S S S 成等差数列，且252m a a a +=， 则m = ▲ .13．已知数列{}n a 的前n 项和1(1)nn S n=-⋅，若存在正整数n ，使得1()()0n n a p a p +-⋅-<成立，则实数p 的取值范围是 ▲ .14. 设函数2()||x a f x e e =-，若()f x 在区间(1,3)a --内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)已知函数2()cos cos f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期； （2）若()1f x =-，求2cos(2)3x π-的值.16．(本小题满分14分)设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{}|||1B x x a =+<.（1）若3a =，求A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.PBCD 第10题图17. (本小题满分14分)在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，已知4A π=，a =（1）若3sin 5B =，求边c 的长； （2）若||CA CB +=CA CB ⋅ 的值.18．(本小题满分16分)如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，,,C E F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB km =，4BC km =，94DF km =，3FE km =，32EC km =. 若以,OA OD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是曲线x by x a +=+（其中,a b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y kx m =+（其中,k m 为常数）的一部分.（1）求,,,a b k m 的值；（2）现准备建一座桥MN ，其中,M N 分别在,DE AC 上，且MN AC ⊥，设点M 的横坐标为t .①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并注明定义域；②当t 为何值时，l 取得最小值？最小值是多少？19. (本小题满分16分) 已知函数()ln f x x =.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；（2）若函数()k y f x x =+在21[,)e+∞上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围； （3）是否存在实数k ，使得对任意的1(,)2x ∈+∞，都有函数()k y f x x =+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由.（参考数据：ln 20.6931=，121.6487e =）.20. (本小题满分16分)设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. （1）若1p =，0r =，求证：{}n a 是等差数列； （2）若13p =，12a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）若201512015a a =，求p r ⋅的值.第18题图综合练习（9）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. [2,)+∞2. 假3.4. (0,)+∞5. 16. 17. －18. 9. [4,6] 10. 7 11. (0,2) 12. 8 13. 3(1,)2- 14. 11(,)22-二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．解：（1）因为1cos 2()22xf x x +=-…………2分cos 2112sin(2)22262x x x π=--=--， …………6分 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. …………8分 （2）因为()1f x =-，所以1sin(2)162x π--=-，即1sin(2)62x π-=-， ………10分所以21cos 2cos (2)sin(2)32662x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………14分16．解：（1）解不等式2230x x +-<，得31x -<<，即()3,1A =-， ..............2分当3a =时，由31x +<，解得42x -<<-，即集合()4,2B =--， ..............4分 所以()4,1A B =- ； ..............6分（2）因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. ...............8分 又集合()3,1A =-，(1,1)B a a =---+， ..............10分 所以1311a a --≥-⎧⎨-+<⎩或1311a a -->-⎧⎨-+≤⎩， ..............12分解得02a ≤≤，即实数a 的取值范围是02a ≤≤. ...............14分17．解：（1）在ABC ∆中，因为3sin sin 5B A =<=4B A π<=， 所以4cos 5B =， ..............2分所以43sin sin()252510C A B =+=⋅+=...............4分 由正弦定理sin sin a c A C =210=，所以c =. ...............6分 （2）因CA CB +=23cos 6b C ++= ①， ...............8分由余弦定理，有223cos b C c +-= ②，①＋②，得c =， ...............10分再由余弦定理，有223b c +=，解得b c ==...............12分 所以222a b c +=，即2C π=，所以0CA CB ⋅=. ……………14分18．解：（1）将7(0,),(3,4)4D E 两点坐标代入到x b y x a +=+中，得74343bab a ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，………2分解得47a b =-⎧⎨=-⎩. …………3分再将39(,0),(,4)22A C 两点坐标代入到y kx m =+中，得302942k m k m⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， …………5分解得432k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩. …………6分（2）①由（1）知直线AC 的方程为423y x =-，即4360x y --=. …………7分设点M 的坐标分别为7(,)4t M t t --，则利用点到直线的距离公式，得7|436|19|49|54t t l t t --⨯-==+--， …………9分 又由点向直线作垂线时，垂足都在线段AC 上，所以03t ≤≤，所以19()|49|54l f t t t ==+--，03t ≤≤.…………10分 ② 方法一：令9()49,034g t t t t =+-≤≤-，因为2(25)(211)()(4)t t g t t --'=-， 所以由()0g t '=，解得52t =或112t =（舍）， …………12分所以当5(0,)2t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；当5(,3)2t ∈时，()0g t '<，()g t 单调递减.从而当52t =时，()g t 取得最大值为5()52g =-，…………14分即当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分方法二：因为03t ≤≤，所以144t ≤-≤，则999494(4)77[4(4)]444t t t t t t+-=-++=--+---…………12分77265≤-=-⨯=-，当且仅当94(4)4t t -=-，即52t =时取等号，…………14分即当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分19. 解：（1）因为1()f x x'=，所以(1)1f '=，则所求切线的斜率为1，……………2分又(1)ln10f ==，故所求切线的方程为y x =. ...............4分（2）因为()ln k k f x x x x +=+，则由题意知方程ln 0k x x +=在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不同的根.由ln 0kx x+=，得ln k x x -=， ……………6分令()ln g x x x =，则()ln 1g x x '=+，由()0g x '=，解得1x e=.当211,x e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以当1x e =时，()g x 取得最小值为11()g e e =-.……………8分又2212()g e e =-，(1)0g =（图象如右图所示）， 所以212k e e -<-≤-，解得221k e e≤<. ……………10分（3）假设存在实数k 满足题意，则不等式ln xk e x x x+<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln xk e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln x h x e x x =-，则()ln 1xh x e x '=--，……………12分令()ln 1xr x e x =--，则1()x r x e x'=-，因为()r x '在1(,)2+∞上单调递增，121()202r e '=-<，(1)10r e '=->，且()r x '的图象在1(,1)2上不间断，所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0r x '=，即0010x e x -=，则00ln x x =-， 所以当01(,)2x x ∈时，()r x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()r x 单调递增， 则()r x 取到最小值000001()ln 11xr x e x x x =--=+-110≥=>，………14分 所以()0h x '>，即()h x 在区间1(,)2+∞内单调递增.所以11221111()ln ln 2 1.995252222k h e e ≤=-=+=，所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1. ……………16分 20．解：（1）证明：由1p =，0r =，得n n S na =，所以11(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减，得10(2)n n a a n --=≥，所以{}n a 是等差数列. ……………4分 （2）令1n =，得1p r +=，所以23r =，……………5分 则12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥，两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………7分 所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅- ，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅，所以2(2)n a n n n =+≥， ……………9分又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+.……………10分（3）由（2）知1r p =-，所以(1)n n S pn p a =+-，得11(12)(2)n n S pn p a n --=+-≥，两式相减，得1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥，易知0p ≠，所以1(2)12(1)n n a a n pn p p n -=≥+--. ……………12分①当12p =时，得1(2)1n n a a n n n -=≥-，所以201520141201520141a a a === ，满足201512015a a =； ……………14分②当12p >时，由1(1)(12)(2)n n p n a pn p a n --=+-≥，又0n a >，所以1(1)(2)n n p n a pna n --<≥，即1(2)1n n a a n n n -<≥-，所以2015120151a a<，不满足20152015a a =；③当12p <且0p ≠时，类似可以证明201512015a a =也不成立；综上所述，12p =，12r =，所以14pr =. ……………16分18（2）②方法三：因为点M 在直线AC 的上方，所以94904t t +-<-， 所以19()(49)54l f t t t ==-+--，03t ≤≤， …………12分 以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. …………16分方法四：平移直线AC 至11AC ，使得11AC 与曲线DE 相切， 则切点即为l 取得最小值时的M 点. …………12分由74x y x -=-，得23(4)y x '=-，则由234(4)3k t ==-，且03t ≤≤，解得52t =，……14分 故当52t =时，l 取得最小值，最小值为1km . …………16分。