2017届黑龙江省牡丹江一中高三(上)9月月考数学试卷+(理科)解析版

【点评】本题主要考查命题的真假判断，考查对替代定义的理解，根据函数导数判断函数单调性、求函数在闭区间上最值的方法，综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016?荆州模拟）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【分析】（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．18．（12分）（2016秋?牡丹江校级月考）（1）设不等式（x﹣a（）x+a﹣2）＜0的解集为N，，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．2（2）已知命题：“?x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x﹣x﹣m=0成立”是真命题，求实数m的取值范围．【分析】（1）∈N是x∈M的必要条件，所以M?N，当a=1时，解集N为空集，不满足，当a＞1时，求得解集，列不等式组即可求得a的取值范围；2（2）方程x﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，m的取值集合就是函数y=x 2﹣x=（x﹣）2﹣在（﹣1，1）上的值域，根据二次函数性质，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为x∈N是x∈M的必要条件，所以M?N，当a=1时，解集N为空集、不满足题意；当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a＜x＜a}，则，所以；2（2）由题意得，方程x﹣x﹣m=0在（﹣1，1）上有解，∴m的取值集合就是函数y=x2﹣x=（x﹣）2﹣在（﹣1，1）上的值域，值域为[﹣，2），∴实数m的取值范围[﹣，2）．【点评】本题考查充分条件和必要条件的判断，考查集合的运算，一元二次函数的性质，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2014春?阿勒泰市校级期末）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）用单调性的定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；2（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【分析】（1）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，再结合联解，可得a、b的值，从而得到函数f（x）的解析式．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，经过讨论可得f（x1）＜f（x2），由定义知f（x）是（﹣1，1）上的增函数．2（3）根据f（x）是奇函数且在（﹣1，1）上是增函数，得原不等式可化为t﹣1＜﹣t⋯①，再根据函数2的定义域得﹣1＜t﹣1＜1且﹣1＜t＜1⋯②，联解①②可得原不等式的解集．【解答】解：（1）∵函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（0）=0，得b=0．又∵，∴=，解之得a=1；因此函数f（x）的解析式为：．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则∵﹣1＜x1＜x2＜1，22∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，1+x1＞0，1+x2＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）∵f（x）是奇函数，22∴f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），又∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，22∴f（t﹣1）＜f（﹣t）即为t﹣1＜﹣t，解之得：⋯①又∵，解之得﹣1＜t＜1且t≠0⋯②对照①②，可得t的范围是：．所以，原不等式的解集为．【点评】本题给出含有字母参数的分式函数，在已知奇偶性的前提下求函数的解析式，并且讨论的函数的单调性，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．220．（12 分）（2015?涪城区校级模拟）已知函数f（x）=2cos x+2 sinxcosx +a，且当时，f（x）的最小值为2．（1）求a 的值，并求f（x）的单调增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2 在区间上的所有根之和．【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，x∈[ 0，] 时f（x）的最小值为2，可求得a，利用正弦函数的单调性可求f（x）的单调增区间；（2）利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，可求得g（x）=2sin （4x﹣）+1，依题意，g（x）=2 得sin（4x﹣）= ，x∈[ 0，] ，可求得x= 或，从而可得答案．2【解答】解：（1）f（x）=2cosx+2 sinxcosx +a=cos2x+1+ sin2x +a=2sin（2x+ ）+a+1，∵x∈[ 0，] ，∴2x+ ∈[ ，] ，∴f（x）min=a+2=2，故a=0，∴f（x）=2sin（2x+ ）+1，由2kπ﹣≤2x+ ≤2kπ+ （k∈Z），解得：kπ﹣≤x≤kπ+ （k∈Z），故f（x）的单调增区间是[ kπ﹣，kπ+ ] （k∈Z），（2）g（x）=2sin [ 4（x﹣）+ ]+ 1=2sin（4x﹣）+1，由g（x）=2 得sin（4x﹣）= ，则4x﹣=2kπ+ 或2kπ+ （k∈Z），解得x=+或+，（k∈Z）；∵x∈[0，]，∴x=或，故方程所有根之和为+=．【点评】本题考查：三角函数中的恒等变换应用，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，突出考查正弦函数的单调性，考查综合运算能力，属于难题．21．（12分）（2011?湖南模拟）如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，（1）按下列要求写出函数的关系式：①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；②设∠P OB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．【分析】（1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值．【解答】解：（1）①因为ON=，OM=，所以MN=，（2分）所以y=x（）x∈（0，）．（4分）②因为PN=sinθ，ON=，OM=，所以MN=ON﹣O M=（6分）所以y=sinθ，2即y=3sinθcosθ﹣s inθ，θ∈（0，）（8分）2（2）选择y=3sinθcosθ﹣s inθ=sin（2θ+）﹣，（12分）∵θ∈（0，）∴（13分）所以．（14分）【点评】本题是中档题，考查函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运应，考查计算能力，课本题目的延伸．如果选择①需要应用导数求解，麻烦，不是命题者的本意．22．（12分）（2016?锦州一模）设函数f（x）=mlnx+（m﹣1）x．（1）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．（2）当m=1时，试问方程xf（x）﹣=﹣是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，可得函数的最大值，M＞0，所以有mln﹣m ＞0，解之得m＞．即可求m的取值范围．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．构造函数h（x）=xlnx，g（x）=﹣，证明h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即可得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．当m≤0时，由x＞0知f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．当m≥1时，由x＞0知f′（x）＞0恒成立，此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜，由f'（x）＜0，得x＞，此时f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（，+∞）内单调递减．所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M=f（）=mln﹣m．因为M＞0，所以有mln﹣m＞0，解之得m＞．所以m的取值范围是（，1）．（2）m=1时，方程可化为xlnx=﹣．设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，∴x∈（0，），h′（x）＜0，x∈（，+∞），h′（x）＞0，∴h（x）min=h（）=﹣，设g（x）=﹣．g′（x）=，0＜x＜1时，g′（x）＞0，x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）max=g（1）=﹣，∵≠1，∴h（x）＞g（x）在区间（1，+∞）上恒成立，∴方程xf（x）﹣=﹣没有实数根．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查构造函数方法的运用，有难度．。