高三数学9月月考试题 理6
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案． 【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点， 即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解， 又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<， 解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立， 故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减， 在（-2，0）上单调递增， 故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（ ）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =， 所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩， 可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减， 所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 因为a 为整数，故a 可取2101--，，， 故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增， 所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >， 所以c b >， 综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解； 所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______． 【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=， 所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______． 【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解； （2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-， 当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<， 因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥， 因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解． 【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ， 由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v， 则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=， 国道上行驶30km ，所用时间为30h v， 则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-， 由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增， 又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ， 此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<， 当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增； 当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减； 当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。
重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。
湖北省沙市2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含解析
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合{}215=∈<N M x x ，若{}05⋃=≤<M N x x ，则集合N 可以为（）A.{}4 B.{}45≤<x x C.{}05<<x x D.{}5<x x 2．若复数232022202320241i i i i +i i z =-+-++- ，则z =（）A.B.C.1D.23．已知2b a = ，若a 与b 的夹角为60︒，则2a b - 在b 上的投影向量为（）A ．12br B ．12b- C ．32b- D ．32b4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.155．已知,(0,π)αβ∈，且cos 5α=，sin()10αβ+=，则αβ-=（）A ．4πB ．34πC ．4π-D ．34π-6．已知函数2()()ln 0f x x ax b x =++≥恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．函数()ln 1f x x =-与函数()πsin 2g x x =的图象交点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{}n a 为斐波拉契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为1122n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n是2log1(14(xx x⎡⎤⎣-⎦-<+的正整数解，则n的最大值为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确命题为（）A．已知数据12310x x x x、、、、，满足：()12210i ix x i--=≤≤，若去掉110x x、后组成一组新数据，则新数据的方差为168B．随机变量X服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P xσ>=，若()0.34P x a<=，则0.5a=C．一组数据()(),1,2,3,4,5,6i ix y i=的线性回归方程为 23y x=+，若6130iix==∑，则6163iiy==∑D．对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱1DD的中点，F为正方形11C CDD内一个动点（包括边界），且1//B F平面1A BE，则下列说法正确的有（）A．动点FB．1B F与1A B不可能垂直C．三棱锥11B D EF-体积的最小值为13D．当三棱锥11B D DF-的体积最大时，其外接球的表面积为25π211．已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于,A B 两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MN NF=，则（）A．lB．ABD△是锐角三角形C．四边形MNDF2D．2||BF FA FD⋅>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“[]1,4x∃∈使20040x ax-+>”为假命题，则实数a的取值范围为___________.13．在ABC∆中，BC=，∠3Aπ=，D为线段AB靠近点A的三等分点，E为线段CD的中点，若14BF BC=，则AE AF⋅的最大值为________.14．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为()1,2,,7ia i= ，若47a=，123567a a a a a a++<++，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()4sin sin sin -=-A b B c A B .（1）求a 的值；（2）若ABC △的面积为()22234+-b c a ，求ABC △周长的取值范围.16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n a a n S +-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21na nb =-，若数列{}nc 满足11n n n n b c b b ++=⋅，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，若()12n T n λ-+≤恒成立，求λ的取值范围．17．如图所示，半圆柱1OO 与四棱锥A BCDE -拼接而成的组合体中，F 是半圆弧BC 上（不含,B C ）的动点，FG 为圆柱的一条母线，点A 在半圆柱下底面所在平面内，122,22OB OO AB AC ====.(1)求证：CG BF ⊥；(2)若//DF 平面ABE ，求平面FOD 与平面GOD 夹角的余弦值；(3)求点G 到直线OD 距离的最大值.18．已知双曲线E 的中心为坐标原点，渐近线方程为y =，点(2,1)-在双曲线E 上.互相垂直的两条直线12,l l 均过点()(,0n n P p p >，且)*n ∈N ，直线1l 交E 于,A B 两点，直线2l 交E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点.(1)求E 的方程；(2)若直线MN 交x 轴于点()()*,0n Q t n ∈N ，设2nn p =.①求n t ；②记n a PQ =，()*21n b n n =-∈N ，求211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑.19．如果函数的导数为()()F x f x '=，可记为()()d f x x F x ⎰=，若()0f x ≥，则()()()baf x dx F b F a =-⎰表示曲线=op ，直线x a x b ==，以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积.如：22d x x x C ⎰=+，其中C 为常数；()()2202204xdx C C =+-+=⎰，则表0,1,2x x y x ===及x 轴围成图形面积为4.(1)若()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，，求()f x 的表达式；(2)求曲线2y x =与直线6y x =-+所围成图形的面积；(3)若()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，，其中Rm ∈，对[)0,a b ∞∀∈+，，若a b >，都满足()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰，求m 的取值范围.1．C2．C 【详解】()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++C6．B 【详解】∵()0f x ≥恒成立，设2()g x x ax b =++，则当1x >时()0g x ≥，01x <<时()0g x <，∴(1)0g =⎧⎨≤，即101a b a b++=⇒=--⎧⎨≤，∴1a ≥-11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为x 则11,,0,242xy p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝可知MNF 为等边三角形，即且MN ∥x 轴，可知直线则直线:32p l y x ⎛⎫=- ⎪12．【详解】因为“0使00”为假命题，所以“[]1,4x ∀∈，240x ax -+≤”为真命题，其等价于4≥+a x x在[]1,4上恒成立，又因为对勾函数()4f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，而()()145f f ==，所以()max 5f x =，所以5a ≥，即实数a 的取值范围为[5,)+∞.13．11814．360【解析】∵12345621+++++=，∴310S ≤，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5）有2个；故共有10个组合，∴共计有333310360A A ⨯⨯=个这样的数列。
安徽省六安第一中学2025届高三上学期第二次月考(9月)数学试卷
安徽省六安第一中学2025届高三上学期第二次月考（9月）数学试卷一、单选题1．已知集合(){}ln 4A x y x ==-，{}1,2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{5}B ．{1,2,3}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}2．已知31cos(),cos()55αβαβ-=-+=，则sin sin αβ=（ ）A ．35-B ．25-C ．25D ．353．已知命题p ：“tan 2α=”，命题q ：“3cos25α=-”，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α，β的顶点均为坐标原点，始边均为x 轴正半轴，终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，则tan2αβ+=（ ）A ．3-或13B ．3或13- C ．3- D ．135．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．40,3⎛⎤⎥⎝⎦ C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭6．当x θ=时，()26sin 2sin cos 3222x x xf x =+-取得最大值，则tan θ=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-7．已知23ln 2,2ln3,3ln a b c πππ===,则( ) A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()()()2,42f x g x f x g x ''+=--=，若()g x 为偶函数，则()()20222024f g '+=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4二、多选题9．先将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再把图象向右平移π12个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数()g x 的图象，则关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．最小正周期为πB ．在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()2g x ⎤∈⎥⎝⎦D ．其图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称10．设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A ．1x =是()f x 的的极小值点B ．(2)(2)4f x f x ++-=-C ．当π02x <<时，()2(sin )sin f x f x >D ．不等式4(21)0f x -<-<的解集为{}12x x <<11．在ABC V 中，7AB =，5AC =，3BC =，点D 在线段AB 上，下列结论正确的是（ ）A ．若CD 是高，则1514CD =B ．若CD 是中线，则CD =C ．若CD 是角平分线，则158CD =D ．若3CD =，则D 是线段AB 的三等分点三、填空题12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为． 13．已知a 、b 、c 分别为ABC V 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC V 面积的最大值为．14．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点且212x x ≥，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<），函数()f x 和它的导函数f ′ x 的图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式； (2)已知()65f α=，求π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'的值.16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B ． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin cos sin2cos sin 1cos2A A BA A B+=-+．(1)若π3C =，求A 的大小； (2)求222c a b+的取值范围．18．设函数2π()(sin cos )22f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 单调递减区间. (2)已知函数21π()()1sin 26g x f x x ⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦， ①证明：函数()g x 是周期函数，并求出()g x 的一个周期； ②求函数()g x 的值域.19．已知函数()ln(1)sin f x x x λ=+-． (1)求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)当1λ=时，判断函数()f x 在π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上零点的个数；(3)已知()()21e xf x ≥-在[0,π]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．。
云南2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含答案
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B = （）A.(2,3] B.[1,2)C.(,4)-∞ D.[1,4)【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，再利用交集含义即可得到答案.【详解】{(2)(4)0}{24}B xx x x x =--<=<<∣∣，而{|13}A x x =≤≤，则(2,3]A B ⋂=.故选：A.2.已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（）A.2,10z z ∀∈+<CB.2,10z z ∀∈+≥C C.2,10z z ∃∈+<C D.2,10z z ∃∈+≥C 【答案】B 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知：2:,10p z z ∃∈+<C 的否定为2,10z z ∀∈+≥C .故选：B3.正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（）A.7B.5C.3D.1【答案】C【解析】【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可；【详解】由题意可得()23152a a a -=，又正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，所以()()2111224a d a a d +-=+，即()()222444d d +=+，解得3d =或1-（舍去），故选：C.4.若sin160m ︒=，则︒=sin 40（）A.2m -B.2-C.2-D.2【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式求出sin 20︒，然后结合平方公式和二倍角公式可得.【详解】因为()sin160sin 18020sin 20m ︒=︒-︒=︒=，所以cos 20︒==，所以sin 402sin 20cos 202︒=︒︒=故选：D5.已知向量(1,2),||a a b =+= ，若(2)b b a ⊥- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.10-C.10D.5【答案】C 【解析】【分析】联立||a b += 和(2)0b b a ⋅-=求出,b a b ⋅ 即可得解.【详解】因为(1,2)a = ，所以a =，所以222||27a b a b a b +=++⋅=，整理得222b a b +⋅=①，又(2)b b a ⊥- ，所以2(2)20b b a b a b ⋅-=-⋅=②，联立①②求解得11,2b a b =⋅= ，所以12cos ,10a b a b a b⋅〈〉=== .故选：C 6.函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（）A.{}1-B.{0}C.{1}D.{1,1}-【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的定义得()))()222()ln lnln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=得1k =±，即可验证单调性求解.【详解】)()lnf x kx =+是奇函数，故()))()222()ln ln ln 10f x f x kx kx x k x -+=-+=+-=，则22211x k x +-=，210k -=，解得1k =±，当1k =-时，)()lnf x x ==，由于y x =在0,+∞为单调递增函数，故()lnf x =0,+∞单调递减，不符合题意，当1k =时，)()lnf x x =+，由于y x =在0,+∞为单调递增函数且()00f =，故)()ln f x x =为0,+∞单调递增，根据奇函数的性质可得)()ln f x x =+在上单调递增，符合题意，故1k =，故选：C7.函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（）A.16 B.76C.136D.16或76【答案】B【解析】【分析】根据()2π3,2π2f T T =≤<求解即可.【详解】由题知，当2πx =时()f x 取得最大值，即π(2π)3sin 2π36f ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π2π,Z 62k k ω+=+∈，即1,Z 6k k ω=+∈，又()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，所以13ππ2π266T T ≤-=<，所以2π12T ω≤=<，所以76ω=.故选：B8.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC = ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，则E 的离心率为（）A.9B.7C.5D.3【答案】D 【解析】【分析】设(),A m n ，表示出,,,OA OC AF BF，根据0,0AB OC AC BF ⋅=⋅= 列方程，用c 表示出,m n ，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得.【详解】设(),A m n ，则()(),,,0B m n F c --，则()()(),,,,,OA m n AF c m n BF c m n ==--=+，因为23AF FC = ，所以()555,222n AC AF c m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以()()55533,,,22222n c n OC OA AC m n c m m ⎛⎫⎛⎫=+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=，所以222253302220c OA OC m m n AF BF c m n ⎧⎛⎫⋅=--=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=--=⎩ ，得34,55m c n c ==，又(),A m n 在椭圆上，所以222291625251c ca b+=，即()()222222229162525c a c a c a a c -+=-，整理得4224255090a a c c -+=，即42950250e e -+=，解得259e =或25e =（舍去），所以3e =.故选：D【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A 坐标与c 的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（）A.{}n a 为等差数列B.{}n a 不可能为常数列C.若{}n a 为递增数列，则0k >D.若{}n S 为递增数列，则1k >【答案】AC 【解析】【分析】根据,n n a S 的关系求出通项n a ，然后根据公差即可判断ABC ；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D .【详解】当1n =时，112a S k ==-，当2n ≥时，()()()221212122n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=-----=-+⎣⎦，显然1n =时，上式也成立，所以()22n a kn k =-+.对A ，因为()()()1222122n n a a kn k k n k k -⎡⎤-=-+---+=⎣⎦，所以是以2k 为公差的等差数列，A 正确；对B ，由上可知，当0k =时，为常数列，B 错误；对C ，若为递增数列，则公差20k >，即0k >，C 正确；对D ，若{}n S 为递增数列，由函数性质可知02322k k >⎧⎪⎨<⎪⎩，解得23k >，D 错误.故选：AC10.甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（）A.甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B.甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C.甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D.若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB ；作差比较，结合自变量范围即可判断C ；作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，结合图象可判断D .【详解】对AB ，由题知()()1215E y E y ====，因为110.820y x =+，220.7525y x =+，所以()()120.82060,0.752515E x E x +=+===，解得()()1250,20E x E x =≈==，所以()()12E x E x >=，故A 正确，B 错误；对C ，因为111200.2y x x -=-，[]10,100x ∈，所以10200.220x ≤-≤，即110y x -≥，所以C 正确；对D ，作出函数0.820,0.7525y x y x =+=+的图象，如图所示：由图可知，当12100y y =<时，有21x x <，又因为0.820y x =+单调递增，所以当12y y >时必有12x x >，D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（）A.(1)0f '=B.4是()f x '的一个周期C.(2024)0f =D.()f x 的图象关于点(2,1)对称【答案】ABD 【解析】【分析】注意到()f x '为偶函数则()()2f x f x -+=，由()(1)1f x f x -+=+两边求导，令0x =可判断A ；()()11f x f x --='+'结合导函数的奇偶性可判断B ；利用()f x 的周期性和奇偶性可判断C ；根据()()2f x f x -+=和()(1)1f x f x -+=+可判断D .【详解】因为()f x '为偶函数，所以()()f x f x -'='，即()()f x f x c --=+，而(1)(1)2f f -+=，故2c =-，故()()2f x f x +-=，又(1)f x +为偶函数，所以()(1)1f x f x -+=+，即()()2f x f x =-，所以()2()2f x f x -+-=，故()(2)2f x f x ++=即()2(4)2f x f x +++=，()()4f x f x =+，所以4是()f x 的周期，故B 正确.对A ，由()(1)1f x f x -+=+两边求导得()()11f x f x --='+'，令0x =得()()11f f -'='，解得()10f '=，A 正确；对C ，由上知()()2f x f x +-=，所以()01f =，所以()()(2024)450601f f f =⨯==，C 错误；对D ，因为()()2f x f x +-=，()()2f x f x =-，故()2(2)2f x f x -++=，故()f x 的图象关于2,1对称，故选：ABD【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数的奇偶性关系，以及对()(1)1f x f x -+=+两边求导，通过代换求导函数的周期.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为______．【答案】1y =##10y -=【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.【详解】因为()e xf x x =-，则()01f =，又()e 1xf x '=-，所以()00f '=，所以曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为1y =．故答案为：1y =13.若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为__________．【答案】1-##1-+【解析】【分析】根据复数对应的点cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在y x =得212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.【详解】cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭对应的点为cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故cos 21sin sin 2θλθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，由于()0,πθ∈，故sin 0θ>，则2sin 1111sin sin sin 122sin θλθθθθ==≤++++，当且仅当1sin 2sin θθ=，即2sin 2θ=，解得π3π,44θθ==时等号成立，114.过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =__________．【答案】【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得223332122k AB k +=+=，解得213k =，即可求解()111:AM y x x y k=--+得11M x ky x =+，即可代入求解.【详解】2:3C y x =0，根据题意可知直线l 有斜率，且斜率不为0，根据对称性不设直线方程为34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立直线34y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与23y x =可得22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，故2121223392,16k x x x x k ++==，故21223332122k AB x x p k +=++=+=，解得213k =，直线()111:AM y x x y k=--+，令0y =，则11M x ky x =+，同理可得22N x ky x =+，如下图，故()()()211221212121M N MN x x ky x ky x k y y x x k x x =-=+--=-+-=+-，()()22221212233192141483316k MN k x x x x k ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=++-=+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故答案为：83四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．（1）求角C ；（2）若AB 边上的高为1，ABC V 的面积为33，求ABC V 的周长．【答案】（1）π3C =；（2）23.【解析】【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面积公式求出c ，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得a b +，可得周长.【小问1详解】由余弦定理角化边得，2222202b c a a b c bc +--+⨯=，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，因为()0,πC ∈，所以π3C =.【小问2详解】由题知，13123c ⨯=，即233c =，由三角形面积公式得1πsin 233ab =，所以43ab =，由余弦定理得()222π42cos 333a b ab a b ab +-=+-=，所以()2416433a b +=+=，所以3a b +=，所以ABC V 的周长为33a b c ++=+=16.如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==．（1）证明：AB PC ⊥；（2）若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）19.【解析】【分析】（1）转化为证明AB ⊥平面12O O CP ，利用圆台性质即可证明；（2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】由题知，因为AB 为圆2O 的直径，所以AC BC ⊥，又4,AB AC ==AB ==，因为2O 为AB 的中点，所以2O C AB ⊥，由圆台性质可知，12O O ⊥平面ABC ，且12,,,O O P C 四点共面，因为AB ⊂平面ABC ，所以12O O AB ⊥，因为122,O O O C 是平面12O O CP 内的两条相交直线，所以AB ⊥平面12O O CP ，因为PC ⊂平面12O O CP ，所以AB PC ⊥.【小问2详解】圆台12O O的体积(2211ππ237π3V r =⋅+⋅⨯=，其中11r PO =，解得11r =或13r =-(舍去).由（1）知122,,O O AB O C 两两垂直，分别以2221,,O B O C O O 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3)A B C P -，所以(4,0,0),(2,1,3),(2,2,0)AB BP BC ==-=-.设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则230,220,n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩解得,3,x y x z =⎧⎨=⎩于是可取(3,3,1)n =.设直线AB 与平面PBC 的夹角为θ，则sin cos ,19AB n θ===，故所求正弦值为19.17.已知函数()ln f x x ax =+．（1）若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）若()1,()e()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．【答案】（1）1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数()ln xh x x=-，利用导数求最值即可；（2121内，利用零点方程代入()0g x ，使用放缩法即可得证.【小问1详解】()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，等价于ln xa x≤-在(0,)+∞上恒成立，记()ln x h x x =-，则()2ln 1x h x x='-，当0e x <<时，ℎ′<0，当e x >时，ℎ′>0，所以ℎ在()0,e 上单调递减，在()e,∞+上单调递增，所以当e x =时，ℎ取得最小值()ln e 1e e eh =-=-，所以1a e≤-，即a 的取值范围1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【小问2详解】当1a =时，()()e()eln ,0xxg x f f x x x =-=->，则1()e x g x x'=-，因为1e ,xy y x==-在(0,)+∞上均为增函数，所以()g x '在(0,)+∞单调递增，又()121e 20,1e 102g g ⎛⎫=-''=- ⎪⎝⎭，1存在0x ，使得当∈0,0时，()0g x '<，当∈0,+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，所以()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.因为01e 0x x -=，即00ln x x =-，所以00000()e ln =e x x g x x x =-+，因为01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且=e x y x+1上单调递增，所以012001()=e e 2x g x x +>+，又9e 4>，所以123e 2>，所以00031()=e 222xg x x +>+=.18.动点(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x <．记点M 的轨迹方程为Γ．（1）求Γ的方程；（2）过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值；（3）已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++= ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（2）2（3）3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得PT =，即可由二次函数的性质求解，（3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，将其代入双曲线方程即可求解.【小问1详解】根据(,)M xy 到直线1:l y=与直线2:l y =的距离之积等于3434=，化简得2233x y -=，由于|||y x <，故2233x y -=，即2213y x -=.【小问2详解】设(,)P x y，PT ====故当3y =时，PT 最小值为2【小问3详解】联立:2(0)l y kx k =+>与2233x y -=可得()223470k x kx ---=，设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则12122247,33k x x x x k k-+==--，故()212122444,3k y y k x x k+=++=+-设存在点C 满足0GA GB GC ++= ，则1201200433x x x y y y ++=⎧⎪⎨++=⨯⎪⎩，故()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩，由于()00,C x y 在2233x y -=，故22222443333k k k k ⎛⎫-⎛⎫--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，化简得421966270k k -+=，即()()2231990k k --=，解得2919k =或23k =（舍去），由于()22Δ162830k k =+->，解得27k<且23k ≠，故2919k =符合题意，由于0k >，故31919k =，故022024,344334k x k k y k ⎧=-=-⎪⎪-⎨-⎪==-⎪-⎩,故3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故存在3,44C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得0GA GB GC ++= 19.设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ．（1）写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；（2）证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；（3）设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解，1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭；（3）21113929nn E n ⎛⎫=+--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）列出所有()11,a b 和()22,a b 的情况，再利用古典概型公式计算即可；（2）构造得1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用等比数列公式即可；（3）由（2）得()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，再分n n a b >，n n a b =和n n a b <讨论即可.【小问1详解】当抛掷一次硬币结果为正时，()()11,1,0a b =；当抛掷一次硬币结果为反时，()()11,0,1a b =.当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，()()22,2,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，()()22,1,1a b =；当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，()()22,1,2a b =.所以，12210,42P P ===.【小问2详解】由题知，1n n a b -≤，当n n a b >，且掷出反面时，有()()11,,1n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，当n n a b <，且掷出正面时，有()()11,1,n n n n a b a b ++=+，此时11n n a b ++=，所以()()()()()1111112222n n n n n n n n n n P P a b P a b P a b P a b P +⎡⎤=>+<=>+<=-⎣⎦，所以1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11133P -=-为首项，12-为公比的等比数列，所以1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，所以1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.【小问3详解】设n n a b >与n n a b <的概率均为n Q ，由(2)知，()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦显然，111110222E =⨯+⨯=.若n n a b >，则1n n a b =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b =，则当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，1n n a a +=;若n n a b <，则1n n b a =+，当下次投掷硬币为正面朝上时，11n n a a +=+，当下次投掷硬币为反面朝上时，11n n a a +=+.所以1n n a a +=时，期望不变，概率为111122262nn n Q P ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦;11n n a a +=+时，期望加1，概率为1111111124226262n nn n Q P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以()11111112144626262nn nn nn n E E E E +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-++⨯--=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故12112111111444626262n n n n n n E E E -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+--+--⎢⎥⎢⎥⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1111111446262n E -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--++--⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦011111111444626262n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111241612n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21113929nn ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.经检验，当1n =时也成立.21113929nn E n ⎛⎫∴=+-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分1n n a a +=和11n n a a +=+时讨论，最后再化简n E 的表达式即可.。
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三(上)9月月考数学试卷(理科)(含解析)
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．54．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．06．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．29．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．610．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣5211．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝时取得最小值．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0≤x＜1}，B＝{x|1﹣x2≥0}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝[0，1）．故选：C．【点评】考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据复合命题真假关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复合命题真假关系是解决本题的关键．3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】求得抛物线的焦点F和准线方程，代入M的坐标，解得x0，再由抛物线的定义可得所求值．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，M（x0，2）在抛物线C上，可得8＝4x0，即x0＝2，由抛物线的定义可得|MF|＝2+1＝3．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】A根据线面平行的性质判断．B利用线面垂直的性质判断．C利用线面平行和面面平行的判定定理判断．D利用面面垂直的性质定理判断．【解答】解：A．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A错误．B．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B正确．C．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴C错误．D．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴D错误．故选：B．【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．0【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求的余弦值的和，n从1取到1009．【解答】解：通过分析知该算法是求和cos+cos+cos+cos+…+cos，在该和式中，从第一项起，每6项和为0，由于1009＝168×6+1，故cos+cos+cos+cos+…+cos＝168（cos+cos+cos+cos+…+cos）+cos＝．故选：C．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．6．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象【分析】求出f（x）的对称轴，将代入，根据φ的取值范围求得φ，进而得到函数解析式，根据正弦函数的性质作答；【解答】解：由题意得，2×+φ＝+kπ，φ＝﹣+kπ，∵∴φ＝﹣，A选项不正确；∴f（x）＝2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ得函数的单调增区间为﹣+kπ≤x≤+kπ，B选项不正确；f（x）＝2sin2（x﹣），D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数图象性质及图象变换，属于基础题．7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα的值，利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．【解答】解：∵tan＝＝3，∴解得tanα＝，∴＝＝＝＝＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】由已知可知，f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，从而可知函数的周期T＝4，然后代入可求．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，∴f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，∴函数的周期T＝4，∵当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝f（2﹣）＝f（）＝1，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数的性质求解函数值，解题的关键是灵活利用性质．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．6【分析】由三视图可知几何体是由直三棱柱和四棱锥组合而成，由三视图求出几何元素的长度，由分割法、换底法，以及柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积，【解答】解：由三视图可知几何体是由直三棱柱ABD﹣AFG和四棱锥C﹣BDGF组合而成，直观图如图所示：直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1、2，高是2，∴几何体的体积V＝V三棱柱ABD﹣EFG+V四棱锥C﹣BDGF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥C﹣DFG+V三棱锥C﹣BDF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥F﹣CDG+V三棱锥F﹣BDC＝＝2+＝，故选：A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣52【分析】根据中点的性质以及对称性，转化为三角形的中位线关系，结合双曲线的定义进行求解即可．【解答】解：设M，N的中点是P，∵点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，∴F1是AM的中点，F2是BM的中点，则PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，则|NA|＝2|PF1|，|NB|＝2|PF2|，则|NA|﹣|NB|＝2（|PF1|﹣|PF2|）＝﹣2×2a＝﹣4a，由双曲线的方程得a2＝169，得a＝13，即|NA|﹣|NB|＝﹣4a＝﹣4×13＝﹣52，故选：D．【点评】本题主要考查双曲线的定义的应用，结合三角形中位线的性质是解决本题的关键．注意数形结合．11．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种【分析】首先分析题意，将原题转化为“走3次向上，2次向右，2次向前且3次向上不连续的”排列组合问题，再由组合数得其数目．【解答】解：根据题意最近路线，那就是不走回头路，不走重复路线；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共七次；因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列共；因为2次向右没有顺序，所以再除以；同理还需在除以接下来就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排3个元素共；则共有；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原题转化为排列、组合问题，特别注意题干中“不连续向上攀登”的限制．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数【分析】根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），对其求导分析可得函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，进而分情况讨论可得f（x）＞0，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），g′（x）＝x2e x[（x+3）f（x）+xf′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）＝x2e x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，g（x）＝x3e x f（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）＝x3e x f（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+3）f（x）+xf'（x）＞0中取x＝0，得f（0）＞0．综上，f（x）＞0．故选：A．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造函数，并分析函数的单调性．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝﹣2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值．【解答】解：∵＝为实数，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为240．【分析】求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：若a＝＝e x＝e ln3﹣e0＝2，则＝，它的展开式通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，可得它的展开式的常数项为•16＝240，故答案为：240．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝1时取得最小值．【分析】根据条件可得＝，然后利用基本不等式求出的最小值，即可得到的值．【解答】解：∵m，n为正实数，∴＝≥＝5，当且仅当，即时取等号，∴当＝1时，取得最小值．故答案为：1．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是（，+∞）．【分析】由题意可得f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立可转化为，可令x＝cos2θ，则f（sin2θ）+f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）+f（1﹣cos2θ），可得f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，再由f（x）的单调性和参数分离，转化为求最值，即可得到所求范围．【解答】解：f（x+）＝x3+2017x﹣2017﹣x+1，可得f（﹣x）＝﹣x+2017﹣x﹣2017x+1，则f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（+x）+f（﹣x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x+）在R上递增，f（x+）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2﹣（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则m＝sin（θ+），则﹣≤m≤，则g（m）＝m2﹣m﹣2，其对称轴m＝，故当m＝﹣时，g（m）取的最大值，最大值为2+﹣2＝．则t＞，故答案为：（，+∞）【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性和对称性，考查化简整理的运算能力，属于难题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先确定周期，再确定ω，代入最值点求得φ值．（Ⅱ）观察角度之间的关系，根据二倍角公式、辅助角公式化简g（x），求得周期，并用整体法求函数在区间的最值．【解答】解：（Ⅰ）由图象知：A＝1，T＝，∴ω＝＝2．又∵2×+φ＝+2kπ，∴φ＝+2kπ，又，∴φ＝，即函数解析式为f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）g（x）＝sin（2x+）+2sin（x﹣）sin[（x﹣）+]＝sin（2x+）+2sin （x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x+）+sin（2x﹣）＝sin2x+cos2x﹣sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣）．∴g（x）的最小正周期为π，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝﹣，即x＝0时，g（x）的最小值为．【点评】本题考查根据函数图象求解析式，掌握二倍角公式，辅助角公式，属于基础题．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况列表，利用对立事件概率计算公式有求出所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．【解答】解：（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况如下表：∴所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率为：P1＝1﹣＝．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝．P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点G，连结DG，推导出四边形BCDG是平行四边形，AD⊥BD，AD⊥平面BFED，由此能证明平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）由于BFED是矩形，BD⊥DE，由AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最大值．【解答】解：（Ⅰ）如图，取AB的中点G，连结DG，则CD AB，∴CD DG，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝BC＝AB＝AG＝BG，∴AD⊥BD，又平面ABCD⊥平面BFED，且平面ABCD∩平面BFED＝BD，∴AD⊥平面BFED，又AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）解：由于BFED是矩形，∴BD⊥DE，由（Ⅰ）知AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），＝（2，0，0），设点P（0，t，2），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，t，2），平面P AB的法向量＝（x，y，z），∴，取y＝2，得平面P AB的一个法向量为＝（2，2，2﹣t），∴sinθ＝＝，当t＝2时，（sinθ）max＝，∴θmax＝．∴θ的最大值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，求得NE的方程为y＝x﹣，由椭圆离心率把椭圆方程化为，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由抛物线方程利用导数求得抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1，由点P（x0，y0）在切线l1上，得，同理，则点B，C的坐标都满足方程，可得直线BC的方程为，再由点A（1，1）在直线BC上，得，可得点P的轨迹方程为y＝，进一步得到直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），可得直线y＝与椭圆C1有两个交点，则满足条件的P有两个．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则k NE＝1，NE的方程为y＝x﹣．∵椭圆C1的（a＞b＞0）的离心率为，即，则a＝2c，b＝，∴椭圆C1的方程：，联立，得．由△＝，得c＝1．∴椭圆C1的方程为；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由x2＝4y，得，y，∴抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1为，即，∵，∴y＝．∵点P（x0，y0）在切线l1上，∴，①同理，②综合①②得，点B，C的坐标都满足方程．∵经过B，C两点的直线是唯一的，∴直线BC的方程为．∵点A（1，1）在直线BC上，∴，∴点P的轨迹方程为y＝．又∵点P在椭圆C1上，又在直线y＝上，∴直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），∴直线y＝与椭圆C1有两个交点，∴满足条件的P有两个．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的综合，考查计算能力，属难题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．【分析】（Ⅰ）f（x）存在两个极值点x1，x2，关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a ＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，进而解出答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）知⇒，＝＝，只需确定它的最大值就可证明．【解答】解：由题意：f′（x）＝2x﹣（x＞﹣4），∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，令s（x）＝2x2+8x（x＞﹣4），t（x）＝a，则s（x）与t（x）的图象有两个不同的交点，结合图象可得a∈（﹣8，0），（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知⇒，＝，＝，令g（x）＝x++8﹣2（x+2）ln（﹣x）（﹣1＜x＜0），g′（x）＝1﹣﹣2ln（﹣x）﹣2（x+4）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），令F（x）＝g′（x）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），（﹣1＜x＜0），则F′（x）＝+﹣＝＜0，∴F（x）在（﹣1，0）单调递减，从而F（x）＜F（﹣1）＝﹣9＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，从而g（x）＜g（﹣1）＝﹣9，即，又x2∈（﹣1，0），∴f（x1）＞﹣9x2，故f（x1）+9x2＞0．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）首先利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用参数方程点的坐标公式，利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及函数的性质的应用求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为＝0，转换为直角坐标方程为．圆心坐标为（0，2），r＝．曲线C2的参数方程为，（θ为参数）转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）根据曲线C2的参数方程为，（θ为参数）设点Q（2cosθ，sinθ），则点Q与圆心的距离d＝＝＝，当时，，所以|PQ|的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得m＝4，然后解方程可得a＝﹣1．（2）结合（1）的结论，原不等式即p2+2q2+r2＝4，利用不等式的性质和均值不等式的结论即可证得题中的结论．【解答】解：（1）∵f（x）＝2|x+1|+|x+3|≥|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，当且仅当，即x＝﹣1时，f（x）min＝4，∴m＝4，a＝﹣1．（2）证明：由（1）知：p2+2q2+r2＝4，∵p2+q2≥2pq，q2+r2≥2qr，∴p2+2q2+r2≥2pq+2qr＝2q（p+r），即2q（p+r）≤4，∴q（p+r）≤2．【点评】本题考查了绝对值不等式的应用以及均值不等式的应用，属于中档题．。
四川省广元市川师大万达中学2025届高三上学期9月月考数学试卷
四川省广元市川师大万达中学2025届高三上学期9月月考数学试卷一、单选题1．8月20日《黑传说悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（ ） A ．游戏中会变身的妖怪B ．游戏中长的高的妖怪C ．游戏中能力强的妖怪D ．游戏中击败后给奖励多的妖怪 2．命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（ ）A ．x ∃∈R ，2210x x ++≥B ．x ∃∈R ，2210x x ++<C ．x ∀∈R ，2210x x ++>D ．x ∀∈R ，2210x x ++<3．若{}21A x x =<，(){}2ln 2B x y x x ==-+，则A B =I （ ） A ．()1,2- B ．[)0,1 C ．()0,1 D ．()1,0- 4．函数()sin ln f x x x =⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lg n P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,j k i i j k i aa a a k i j ++==+++∈∑N L ），则k 的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．96．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．()1,+∞ B ．()1,8 C ．()4,8 D ．[)4,87．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()f x 单调递增，若不等式2(4)(2)f t f mt m ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A．(,∞-B．() C ．()),0-∞+∞U D．(),-∞+∞U 8．若sin 2cos θθ=-，则sin (sin cos )θθθ+=（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65二、多选题9．下列各组函数是同一个函数的是（ ）A ．2()21f x x x =--与2()21g t t t =--B ．0()f x x =与()1g x =C ．1()f x x =与2()x g x x= D．()f x =()g x 10．下列命题为真命题的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“21,1x x ∀<<”的否定是“21,1x x ∃≥≥”C ．若0a b >>，则22ac bc >D ．若0,0a b >>，且41a b +=，则11a b+的最小值为9 11．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 在(1,0]-上单调递增，(1)(1)f x f x +=-，且图象关于点(2,0)对称，则下列结论正确的是（ ）A ．(0)(2)f f =B ．()f x 的最小正周期2T =C ．()f x 在(1,2]上单调递减D ．(2021)(2022)(2023)f f f >>三、填空题12．已知奇函数()f x 的定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 13．已知集合{}22|log ,|14x A x x m B x x -⎧⎫=<=≤⎨⎬-⎩⎭，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()2f x x =，则()()()()1232021f f f f ++++=L ．四、解答题15．求值：21032148()()29-++； (2)5log 33818185log 8log 9log 2log 9-⋅++．16．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知24314,15a a S +==．(1)求{}n a 的通项公式．(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面1111,ABB A BCC B 均为正方形，2AB BC ==，,AB BC D ⊥是AB 的中点.(1)求证：1BC ∥平面1A DC ；(2)求二面角1D AC A --的余弦值.18．（1）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足23100x x +->，且q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．（2）已知不等式210ax bx -->的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，求不等式20x bx a --≥的解集． 19．已知函数()21ax b f x x -=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)判断并证明()f x 在[]1,1-上的单调性；(3)解不等式()()210f t f t +->.。
忻州市2024年9月月考高三数学试题与答案
忻州市2024年9月月考高三数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{|lg 2,|A x y x B x y ==-=∈=N ，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}0,1 C.()2,2- D.()0,22.已知,a b 挝R R ，且()()2i 1i 2i a b +-=+，则a b +=（）A.1-B.0C.1D.23.已知命题:p 20,2x x x ∃>>，则p 的否定为（）A.20,2xx x ∀>≤ B.20,2xx x ∀>> C.20,2xx x ∃>≤ D.20,2xx x ∃≤≤4.在平行四边形ABCD 中，2AP PB = ，则PD =（）A.23+AB AD B.23AB AD-+C.13AB AD +D.13AB AD-+5.如果随机变量(),B n p ξ~，且()()4312,3E D ξξ==，则p =（）A.14B.13C.12D.236.已知0,0,24x y x y xy >>++=，则x y xy +-的最小值为（）A.32B.2C.12D.17.已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且12311,217a a a a ==+，则1003a =（）A.165 B.167C.169 D.1718.已知0a >，设函数()()2e 2ln ln xf x a x x a =+---，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则a 的取值范围是（）A.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]0,1 C.(]0,e D.(]0,2e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，则函数()2xf x a a =-的图象可能是（）A. B. C. D.10.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，且()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若12,x x 为方程()2f x =的两个解，则21x x -的最小值为2πD.若关于x 的方程()f x a =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解，则a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣11.已知函数()f x 的定义域为R ，设()()21g x f x =+-，若()g x 和()1f x '+均为奇函数，则（）A.()21f = B.()f x 为奇函数C.()f x '的一个周期为4D.20241()2024k f k ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个底面半径为()0r r >的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________.13.设π02α<<，若π5tan tan 42αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则sin α=______.14.设,a b 是正实数，若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点,A B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2，又OA OB ⊥，则椭圆的方程为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.（1）求证：1⊥BC 平面1AB C ；（2）求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.16.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,m 上的最大值和最小值互为相反数，求m 的最小值.17.已知函数()f x 是()(0xg x a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()()()()22F x fx f x f a =--.（1）若()()()41,6,3F f m g n =-==，求a 及3m n的值；（2）若函数()F x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，求a 的值.18.在ABC V 中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB λμ==.（i ）求11λμ+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN 和ABC V 周长之比的最小值.19.已知函数()()ln f x x x a =+.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <.（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()1240e f x -<<忻州市2024年9月月考高三数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{|lg 2,|A x y x B x y ==-=∈=N ，则A B = （）A.{}0,1,2 B.{}0,1 C.()2,2- D.()0,2【答案】B【分析】根据题意求集合,A B ，进而求交集即可.【详解】令20x ->，解得2x <，则{}|2A x x =<，令240x -≥，解得22x -≤≤，则{}{}|220,1,2B x x =∈-≤≤=N ，所以{}0,1A B = .2.已知,a b 挝R R ，且()()2i 1i 2i a b +-=+，则a b +=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C【分析】根据复数的乘法运算结合复数相等求,a b ，即可得结果.【详解】因为()()2i 1i 2i a b +-=+，则()212i 2i a a b ++-=+，可得2212a a b +=⎧⎨-=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以1a b +=.3.已知命题:p 20,2x x x ∃>>，则p 的否定为（）A.20,2xx x ∀>≤ B.20,2xx x ∀>> C.20,2xx x ∃>≤ D.20,2xx x ∃≤≤【答案】A【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断.【详解】由题意可知：20,2x x x ∃>>的否定为20,2x x x ∀>≤.4.在平行四边形ABCD 中，2AP PB = ，则PD =（）A.23+AB AD B.23AB AD-+C.13AB AD +D.13AB AD-+【答案】B【分析】借助平行四边形的性质及向量线性运算法则计算即可得.【详解】由2AP PB = ，则22AP AB AP =-，即23AP AB =uu u r uu u r ，则23PA AB =-，故23PD PA AD AB AD =+=-+.5.如果随机变量(),B n p ξ~，且()()4312,3E D ξξ==，则p =（）A.14B.13C.12D.23【答案】D【分析】根据期望的性质可得()4E ξ=，结合二项分布的期望和方差公式运算求解即可.【详解】因为()()3312E E ξξ==，即()4E ξ=，又因为随机变量(),B n p ξ~，且()43D ξ=，则()4413np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得623n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.6.已知0,0,24x y x y xy >>++=，则x y xy +-的最小值为（）A.32B.2C.12D.1【答案】D【分析】根据题意利用基本不等式可得2()422x y x y xy +--=≤，解得2x y +≥，结合题意整理即可得最小值.【详解】因为0,0,24x y x y xy >>++=，则2()422x y x y xy +--=≤，当且仅当1x y ==时，等号成立，解得2x y +≥或4x y +≤-（舍去），所以()342122x y x y x y xy x y +--+-=+-=-≥.7.已知数列{}n a 满足1122n n n n a a a a ++++=，且12311,217a a a a ==+，则1003a =（）A.165B.167C.169 D.171【答案】B【分析】由题意整理可得21112n n n a a a +++=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，结合题意求首项和公差，结合等差数列通项公式可得121n a n =+，即可得结果.【详解】因为1122n n n n a a a a ++++=，可得21112n n n a a a +++=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，又因为12121a a a =+，即121121112a a a a +==+，即21112a a -=，可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是2为公差的等差数列，且317a =，则131122743a a =-⨯=-=，可得()132121n n n a =+-=+，即121n a n =+，所有10031320167a ==.8.已知0a >，设函数()()2e 2ln ln xf x a x x a =+---，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则a 的取值范围是（）A.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]0,1 C.(]0,e D.(]0,2e 【答案】D【分析】根据题意同构可得()()22eln e ln xx ax ax +≥+，构建()ln ,0g x x x x =+>，结合单调性可得2e xax ≥，参变分析可得2e x a x ≤，构建()2e ,0xh x x x=>，利用导数求最值结合恒成立问题分析求解.【详解】由题意可知：()()2e2ln ln 0xf x a x x a =+---≥，整理可得()()22e ln e ln x x ax ax +≥+，设()ln ,0g x x x x =+>，则()110g x x=+>'，可知()g x 在0,+∞内单调递增，由题意可知：()()2exg g ax ≥，则2exax ≥对任意∈0,+∞内恒成立，可得2e xa x ≤对任意∈0,+∞内恒成立，设函数()2e ,0x h x x x =>，则()()2221exx h x x -'=，令ℎ'>0，解得12x >；令ℎ'<0，解得102x <<；可知ℎ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭内单调递增，可知ℎ的最小值为12e 2h ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得02e a <≤，所以a 的取值范围为(]0,2e .【点睛】关键点点睛：根据题意同构可得()()22e ln e ln xx ax ax +≥+，构建()ln ,0g x x x x =+>，结合单调性可得2e x ax ≥.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知0a >，则函数()2xf x a a =-的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过a 的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当1x =时，(1)20f a a a =-=-<，排除B ，C ，当2a =时，()24x f x =-，此时函数图象对应的图形可能为A ，当12a =时，1()(12xf x =-，此时函数图象对应的的图形可能为D.10.已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，且()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若12,x x 为方程()2f x =的两个解，则21x x -的最小值为2πD.若关于x 的方程()f x a =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个解，则a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣【答案】AD【分析】由题意可得π26f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，代入解出即可得A ；借助整体思想与正弦函数的单调性可得B ；由题意可得21x x -的最小值为原函数的最小正周期，即可得C ；结合原函数在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域及其性质可得D.【详解】对A ：由题得π26f ⎛⎫=± ⎪⎝⎭，所以()ππ2π62k k ϕ⨯+=+∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<，所以π6ϕ=，故A 正确；对B ：当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7ππ13π2666x ≤+≤，所以()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，故B 错误；对C ：21x x -的最小值为最小正周期π，故C 错误；对D ：当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，ππ2π2663x ≤+≤，所以a 的取值范围为{}2⎡⋃⎣，故D 正确.11.已知函数()f x 的定义域为R ，设()()21g x f x =+-，若()g x 和()1f x '+均为奇函数，则（）A.()21f =B.()f x 为奇函数C.()f x '的一个周期为4D.20241()2024k f k ==∑【答案】ACD【分析】对A ：结合奇函数的性质，负值0x =代入计算即可得；对B ：由()1f x '+为奇函数可得()1f x +为偶函数，再利用偶函数的性质结合A 中所得可得()()2f x f x +-=；对C ：由B 中所得()()22f x f x ++=，即可得()()4f x f x =+，对其左右求导后结合周期性即可得；对D ：由C 中所得可得()f x 的周期，结合赋值法计算出一个周期内的和即可得.【详解】对A ：由()g x 为奇函数，可得()()21210f x f x +-+-+-=，即()()222f x f x ++-+=，令0x =，解得()21f =，故A 正确；对B ：由()1f x '+为奇函数可得，则()1f x +为偶函数，所以1+=1−，所以()()2f x f x =-，又()()222f x f x -++=，所以()()22f x f x ++=，又()()2f x f x -=+，所以()()2f x f x +-=，故B 错误；对C ：由()()22f x f x ++=可得，()()242f x f x +++=，所以()()4f x f x =+，求导可得，()()4f x f x ''=+，故'的一个周期为4，故C 正确；对D ：由()()4f x f x =+，故()f x 的一个周期为4，因为()()222f x f x -++=，令1x =可得，()()132f f +=，令2x =可得，()()242f f +=，所以()()()()12344f f f f +++=，所以202412024()420244k f k ==⨯=∑，故D 正确.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数()f x 关于直线x a =轴对称，则()(2)f x f a x =-，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()2(2)f x b f a x =--，反之也成立；（2）关于周期：若()()f x a f x +=-，或1()()f x a f x +=，或1()()f x a f x +=-，可知函数()f x 的周期为2a .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个底面半径为()0r r >的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________.【答案】2【分析】根据题意关系可得R r=，再结合侧面积公式运算求解即可.【详解】设球的半径为R ，由题意可知：234ππ3r R ⨯=⨯，解得R r =，223622R r ⎫===⎪⎭.13.设π02α<<，若π5tan tan 42αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则sin α=______.【答案】【分析】借助两角差的正切函数公式化简并计算可得tan 3α=，然后利用正切函数定义即可得解.【详解】π1tan 5tan tan tan 41tan 2ααααα-⎛⎫+-=+=⎪+⎝⎭，整理得()()tan 32tan 10αα-+=，因为π02α<<，所以tan 0α>，所以tan 3α=，则310sin 10α==.14.设,a b 是正实数，若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点,A B ，点M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2，又OA OB ⊥，则椭圆的方程为__________.【答案】2242133x y +=【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，即可根据垂直关系的坐标运算以及两点斜率公式，即可求解4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可求解.【详解】由已知条件可知,,0,a b a b >≠，联立2211x y ax by +=⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得：()2210a b x bx b +-+-=，设1,1,2,2，则1212Δ021b x x a b b x x a b ⎧⎪>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩,则()()()1212121222111a y y x x a b a y y x x a b ⎧+=-+=⎪⎪+⎨-⎪=--=⎪+⎩，由OA OB ⊥，则0OA OB ⋅=，又因为2OM k =，所以1212121222220OM y y a k x x b a b x x y y a b +⎧⎪===⎪+⎪⎨⎪+-⎪+==⎪+⎩，解得4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以椭圆的方程为2242133x y +=.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.（1）求证：1⊥BC 平面1AB C ；（2）求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.【分析】（1）结合题目条件，借助线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面11BB C C ，即可得1AC BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理可得证；（2）建立适当空间直角坐标系后，可计算出直线的方向向量与平面的法向量，借助向量夹角公式即可得两向量夹角余弦值，即可得直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.【小问1详解】侧面11BCC B 为正方形，11BC B C ∴⊥，直三棱柱1111,ABC A B C AC CC -∴⊥，111,,,,AC CC AC BC BC CC C BC CC ⊥⊥⋂=⊂ 平面11BB C C ，AC ∴⊥平面11BB C C ，1BC ⊂ 平面11BB C C ，1AC BC ∴⊥1111,,,BC B C AC B C C AC B C ⊥=⊂ 平面1AB C1BC ∴⊥平面1AB C ；【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系1C ABC -，则()()()()()110,0,0,1,0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2C A B B C .又由()()11,2,0,0,2,2AB BC =-=- ，设平面1ABC 的一个法向量为 =s s ，则有120220n AB x y n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，则2,1x z ==，于是()2,1,1n =，又由()1111,2,2,2,3,AB AB n AB n =-⋅=== 设直线1AB 与平面1ABC 所成的角为θ，所以1116sin cos ,9AB n AB n AB n θ⋅===⋅ ，故直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值为9.16.已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 的图象向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间[]0,m 上的最大值和最小值互为相反数，求m 的最小值.【分析】（1）根据周期求解2ω=，利用对称可得π3ϕ=，即可求解；（2）平移可得()πsin 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可利用整体法，结合三角函数的性质即可求解.【小问1详解】设()f x 的最小正周期为T ，则ππ22T ω==，所以2ω=，因为()π2π3k k ϕ⨯+=∈Z ，所以()2ππ3k k ϕ=-∈Z ，因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；【小问2详解】依题意，()ππππsin 2sin 2121236g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0x m ≤≤，所以πππ22666x m ≤+≤+，当π6m <时，()g x 的最大值为()g m ，最小值为()102g =，不符题意；当π6m ≥时，()g x 的最大值为1，所以()g x 的最小值为1-，所以π3π262m +≥，解得2π3m ≥，所以m 的最小值为2π3.17.已知函数()f x 是()(0x g x a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()()()()22F x f x f x f a =--.（1）若()()()41,6,3F f m g n =-==，求a 及3mn的值；（2）若函数()F x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，求a 的值.【分析】（1）由题意可得()log a f x x =，()()2log 2log 1a a F x x x =--，结合题意解得2a =，进而可得22log 6,log 3m n ==，结合换底公式运算求解；（2）换元令log a t x =，根据二次函数值域结合t 的值域特征分析可得[]2,2t ∈-，列式求解即可.【小问1详解】因为函数()f x 是()(0xg x a a =>且1)a ≠的反函数，则()log a f x x =，即()()2log 2log 1a a F x x x =--，则()()24log 42log 411a a F =--=-，解得log 42a =或log 40a =（舍），可得2a =，即()2log f x x =，()2x g x =，又因为()()26log 6,23nf mg n ====，即22log 6,log 3m n ==，所以232log 6log 6log 33336mn ===.【小问2详解】由（1）可知：()()2log 2log 1a a F x x x =--，且1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，令log a t x =，则[]log 2,log 2,(01a a t a ∈-<<时)或[]log 2,log 2,(1a a t a ∈->时），可得221y t t =--，若函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最小值2-，最大值7，可知221y t t =--的最小值2-，最大值7，令2212y t t =--=-，解得1t =；令2217y t t =--=，解得2t =-或4t =；且log 2a 与log 2a -互为相反数，可知[]2,2t ∈-，则log 22a -=或log 22a =，解得22a =或a =，综上所述，a =或.18.在ABC V 中，已知)tan tan tan tan 1A B A B +=-.（1）求C ；（2）记G 为ABC V 的重心，过G 的直线分别交边,CA CB 于,M N 两点，设,CM CA CN CB λμ== .（i ）求11λμ+的值；（ii ）若CA CB =，求CMN 和ABC V 周长之比的最小值.【分析】（1）借助三角形内角关系及两角和的正切公式化简并计算即可得；（2）（i ）设D 为AB 的中点，结合重心的性质及向量运算可得1133CG CM CN λμ=+ ，再利用三点共线定理即可得解；（ii ）由题意可得ABC V 为等边三角形，可设其边长为1，则可用,λμ表示两三角形周长之比，结合（i ）中所得与基本不等式即可得解.【小问1详解】由题可知()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A B C A B A B A B+=--=-+=-=-又()0,πC ∈，所以π3C =；【小问2详解】（i ）设D 为AB 的中点，则1122CD CA CB =+ ，又因为23CG CD = ，所以11113333CG CA CB CM CN λμ=+=+ ，因为,,M G N 三点共线，所以11133λμ+=，所以113λμ+=；（ii ）由CA CB =，π3C =，可得ABC V 为等边三角形，设ABC V 的边长为1，CMN 与ABC V 周长分别为12,C C ，则23C =，MN =，所以1C λμ=++，所以12C C =由113λμ+=可得，3λμλμ=+≥（当且仅当λμ=时等号成立），解得49λμ≥，所以124293C C λμ=++，所以CMN 和ABC V 的周长之比的最小值为23.19.已知函数()()ln f x x x a =+.（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <.（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()1240ef x -<<.【分析】（1）求导，利用导数求()f x 的单调性和极值；（2）（i ）求导可得()()()1ln f x x a x a x x a ⎡⎤=+++⎣⎦+'，构建()()()ln g x x a x a x =+++，由题意可知()g x 在(),a -+∞内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i ）可知，121e a x a -<<-，且()()()2111ln f x x a x a =-++，构建()221ln 0e h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，利用导数求最值即可.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =，可知()f x 的定义域为()0,∞+，且()1ln f x x ='+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，当()0f x '>；可知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 的极小值为11e ef ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值.【小问2详解】（i ）由题意可得：()f x 的定义域为(),a -+∞，且()()()()1ln ln x f x x a x a x a x x a x a⎡⎤=++=+++⎣⎦++'，设()()()ln g x x a x a x =+++，可知()g x 在(),a -+∞内有两个变号零点，则()()2ln g x x a =++'，当21,e x a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0g x '<；当21,e x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；可知()g x 在21,e a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在21,e a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内单调递增，则()g x 的最小值为2211e e g a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，当21,e x a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，则()0,ln 0x a x a +>+<，可得()()ln 0x a x a ++<，可得()()()ln g x x a x a x x a =+++<<-，即当x 趋近于a -时，()g x 趋近于a -，可得210e 0a a ⎧--<⎪⎨⎪->⎩，解得210e a -<<，所以实数a 的取值范围为21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（ii ）由（i ）可知，121ea x a -<<-，且()()111ln 0x a x a x +++=，所以()()()()211111ln ln f x x x a x a x a =+=-++，设()221ln 0e h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()()ln 2ln h x x x =-+'，因为210,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h x '<，可知210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，且2214e e h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()240e h x -<<，所以()1240e f x -<<.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解。
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2025届高三上学期9月月考数学试题
黑龙江省牡丹江市第三高级中学2025届高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}5A x x =>，{}21log 0B x x =-<，则（）A ．A B⊆B ．B A⊆C ．A B =∅D ．A B = R2．设0,0x y >>，则“22x y >”是“x y >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若角α满足sin 2cos 0αα+=，则tan 2α=A ．43-B ．34C ．34-D ．434．要使不等式2a bb a+≤-成立，a ，b 取值条件为（）．A ．同为正数B ．同为负数C ．同号D ．异号5．已知函数()1y f x =-的定义域是[]1,2-，则()13y f x =-的定义域为（）A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．当0,0x y >>，且满足220x y xy +-=时，有228x y k k +>+-恒成立，则k 的取值范围为（）A ．(4,3)-B ．[4,3]-C ．(3,4)-D ．[3,4]-7．已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()e e 43x xf x x --=-B ．()e e 34x xf x x--=-C ．()e e 43x xf x x -+=-D ．()1x f x x =-8．设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫=== ⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<二、多选题9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm ，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm ．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y （单位：ppm ）与排气时间t （单位：分钟）之间满足函数关系e Rt y a =（,a R 为常数，e 是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm ，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（）A ．128a =B ．1ln 24R =C ．排气12分钟后浓度为16ppmD ．排气32分钟后，人可以安全进入车库10．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>是在区间5,1836ππ⎛⎫⎝⎭上的单调减函数，其图象关于直线36x π=-对称，且0129f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A ．4B ．12C ．2D ．811．关于函数3π()42x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与性质，下列说法正确的是（）A ．5π2x =是函数()f x 图象的一条对称轴B ．π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．将函数2x y =的图象向右平移π2个单位长度可得到函数()y f x =的图象D ．当(0,2π)x ∈时，()(1,1)f x ∈-三、填空题12．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X ，则()E X =，()D X =.13．若函数()sin f x x x =-，[,]x m n ∈的值域为[1,2]-，则n m -的取值范围为.14．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，如图，A ，B ，C 是曲线=与坐标轴的三个交点，直线BC 交曲线=于点M ，若直线AM ，BM 的斜率分别为37，3，则ω=．四、解答题15．已知命题p ：1x ∃>，使得41m x x ≥+-成立；命题q ：正数a ，b 满足21a b +=，不等式12m a b≤+恒成立.(1)若命题p 真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围.16．已知函数()sin f x x x =-，(0,)x ∈+∞．(1)求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；(2)证明：2e ()cos e 1x x f x x ⋅+⋅>．17．已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin()sin()cos cos A B A C B C--=.(1)若角π3A =，求角B ；(2)若sin 1a C =，求2211a b +的最大值18．“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19]，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[)13,17的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[)15,17的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为a ､平均数的估计值为b （计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出,a b 的大小关系．19．已知()()1e 0xf a x x x -->=，1x =是()f x 的极值点（其中e 是自然对数的底数）.(1)求a 的值；(2)讨论函数()()sin h x f x x =-在()0,π的零点个数.（参考数据：12e 1.77π≈）.。
甘肃省靖远县2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含答案
高考模拟金典卷·数学（答案在最后）（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若3z z ⋅=，则z =（）A. B.3C.D.322.已知命题:p x ∀∈N N ；命题:q x ∃∈Z ，3x x <，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.在等差数列{}n a 中，388a a +=，则其前10项和10S =（）A.72B.80C.36D.404.已知向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，若a在b 上的投影向量为，则,a b = （）A.5π6B.3π4C.2π3D.7π125.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥6.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（）A.240B.270C.300D.3307.已知1sin 22cos 2αα+=，则tan 2α=（）A.3- B.43-C.13D.348.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是双曲线C 右支上一点，若222F B F A =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=，且2F B a =，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3C.12 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1x ，2x ，L ，10x 是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差变小10.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，则（）A.(0)1f =B.()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上有3个极值点D.将()f x 的图象向左平移5π12个单位长度，所得函数图象关于原点O 对称11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，当0x >时，()0f x >，则（）A.(0)0f = B.3(2)4f -=-C.()f x 在(0,)+∞上单调递增D.101()2024i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()2211x my m +=>的离心率为2，则m =_______.13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.14.记min{,,}a b c 为a ，b ，c 中最小的数.设0x >，0y >，则11min 2,,x y y x ⎧⎫+⎨⎩⎭中的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，sin 2cos 3B B =.（1）求A .（2）若5b c a +=，求ABC V 的面积.16.已知函数()2()e xf x x ax b =++的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为21x y +-0=.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极值.17.激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.原始信息的单光子的偏振状态012解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.（1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率.（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==122BC BB ==，P ，Q 分别为11B C ，1A B 的中点.（1）证明：1A B CP ⊥.（2）求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.（3）设点1C 到直线CQ 的距离为1d ，点1C 到平面CPQ 的距离为2d ，求12d d 的值.19.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点(0,1)的距离，记动点P 的轨迹为E .（1）求E 的方程.（2）设*n ∈N ，(),n n n A x y ，(),n n n B u v 是E 上不同的两点，且1n n x u ⋅=-，记n C 为曲线E 上分别以n A ，n B 为切点的两条切线的交点.（i ）证明：存在定点F ，使得n n n A B FC ⊥.（ii ）取2nn x =，记n n n n C A B α=∠，n n n n C B A β=∠，求111tan tan ni n n αβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.高考模拟金典卷·数学（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】4【13题答案】【答案】①.31π②.125π【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）3π；（2）20.【16题答案】【答案】（1）3a =-，1b =（2）增区间为(,1)∞--和(2,)+∞，减区间为(1,2)-，极大值为5e，极小值为2e -【17题答案】【答案】（1）23（2）分布列见解析，()1E X =【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3（3）14【19题答案】【答案】（1）2122x y =+（2）（i ）证明见解析；（ii ）1221n n +---。
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天津市宝坻区林亭口高级中学2017届高三数学9月月考试题 理
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.设集合U={x∈N|0<x≤8},S={1,2,4,5},T={3,5,7},则S∩(C U T)=( ) A.{1,2}
B.{1,2,3,4,5,7}
C.{1,2,4}
D.{1,2,4,5,6,8}
2.若函数1222)1()(----=m m x m m x f 是幂函数，在（0，+∞）是增函数,则实数=m （ ）
A.1-
B.2
C.2或1-
D.0或2或1-
3．设命题p ：2,2n n N n ∃∈>，则p ⌝为( )
（A ）2,2n n N n ∀∈> （B ）2,2n n N n ∃∈≤ （C ）2,2n n N n ∀∈≤ （D ）2,=2n n N n ∃∈
4.“1x >”是“12
log (2)0x +<”的（ ）
A 、充要条件
B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件
5.用二分法求方程x-2lg =3的近似解,可以取的一个区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4) 6.设a=20.3,b=0.32,c=log 20.3,则a,b,c 的大小关系为( )
A.a<b<c
B.b<c<a
C.c<b<a
D.c<a<b
7.)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，)1ln()(3x x x f ++=，则当x <0时，=)(x f （ ）
A. )1ln(3x x ---
B. )1ln(3x x -+
C. )1ln(3x x --
D. )1ln(3x x -+-
8.已知命题.,:,:2
2y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题 ①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）
④（③②);(;;中，真命题是（ ） A ①③ B .①④ C . ②④ D .②③
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中的横线上)
9. 函数f(x)=+lg(4-x)的定义域是 .
10、已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则=-)217(f . 11.若对于任意的x ∈(-∞,-1],不等式(3m-1)2x <1恒成立,则正实数m 的取值范围是 .
12．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12
≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 13、已知集合A ＝{x |x 2
－3x －10≤0}．B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，
求实数m 的取值范围 。
14.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2.若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k 有4个零点,则实数k 的取值范围为 .
二、填空题答案
9 10 11
12 13 14
三、解答题
15．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．
(1)若A ∩B ＝[1，3]，求实数m 的值；
(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
16、已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围
17已知函数.11lg )(x
x x f +-=（1）求函数的定义域； （2）讨论函数的奇偶性.
18、已知函数b ax x x f ++=22)(，且4
17)2(,25
)1(==f f 求：（1）a,b 的值；
（2）判断)(x f 的奇偶性并证明；
（3）判断并证明函数)(x f 在[)+∞,0上的单调性。
19、(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17， 求f (x )的解析式．
(2)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)， 求函数f (x )的解析式．
(3)已知f (2x ＋1)＝4x 2
＋8x ＋3，求f (x )的解析式．
林亭口高中第一次质量调查数学（理）试卷
CACB CCCD 9、[)4,2 10、-2 11、 ()1,∞- 12．(－1，3)．
13、(－∞，3]． 14.⎥⎦
⎤ ⎝⎛41,0 20
15．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[1，3]，∴⎩⎪⎨⎪
⎧m －2＝1，m ＋2≥3， 得m ＝3.
(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}，
∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，
解得m ＞5或m ＜－3.
∴实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
16、解：p 为真命题，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2
－4＞0，－m ＜0， 解得m >2. q 为真命题，有Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0，解得1<m <3.
由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假．
当p 真，q 假时，由⎩
⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， 得m ≥3； 当p 假，q 真时，由⎩
⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， 得1<m ≤2. 综上，实数m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 故填(1，2]∪[3，＋∞)． 17、
19、解：
(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
由题意得3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，5a ＋b ＝17， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7. ∴f (x )＝2x ＋7. (2）当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① －x ∈(－1，1)，以－x 代替x 得，
2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②
由①②消去f (－x )得，
f (x )＝23lg(x ＋1)＋13
lg(1－x )，x ∈(－1，1)．
(3)设2x ＋1＝t ，则x ＝12
(t －1)， ∴f (2x ＋1)＝f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（t －1）2
＋8⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12（t －1）＋3 ＝t 2＋2t ，
所以f (x )＝x 2＋2x .
20、。