第4章 锐角三角形 4.1 正弦和余弦
锐角三角函数正弦与余弦PPT课件
驶向胜利 的彼岸
结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大,梯子越陡; cosA越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾斜 程度与sinA和cosA 有关吗?
.
6
例题欣赏
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
例 如图:在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6.
求:BC的长.
解:在Rt△ABC中,
3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且 sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而 与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函 数值相等,则这两个锐角相等.
.
5
想一想
生活问题数学化
驶向胜利 的彼岸
则sinA＝____， cosB＝____，tanB＝____;
sinB＝____；cosB＝____，tanB＝____.
B
3
53
┐
C 120
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，
BC=3，sinA=0.6，则AC＝_____. A
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，
cosA=0.8，那么BC＝______.
B
∠A的对边 ┌ C
.
3
想一想
正弦与余弦
驶向胜利 的彼岸
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,Байду номын сангаас
记作sinA,即 sinA= A的对边
A的斜边
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,
记作cosA,即
九年级数学(湘教版)上册课件：正弦和余弦
2.若是普通直角三角形，当一个锐角的度数固定时，这个 角的对边与斜边的比值是否也是固定值呢?
学生组内讨论探索 (学生画图并运用三角形类似知识加以证明) 规律：(1)直角三角形中，锐角大小确定后，这个角的对边与 斜边的比值随之确定； (2)直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比 值越大.
动手实践，寻找规律
• 由推理可得：角度不变，比值不变
• 由动态演示：角度改B变’，比值改变
B D D’
A
αβ C C’
类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三 角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．
定义
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正
弦，记作: sin
即:
sin
角的对边
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
35° 68°
88° 9° 30°18′
76°18′ 9°38′ 81°53′
cos
0.3746 0.3746 0.0349 0.9877 0.8634
0.2368 0.9859 0.1409
65角的对边
斜边
的值，
与同桌和邻近桌的同学交流，计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？
结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与 斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．
课件锐角三角形复习.ppt
3．证明： △ABC 的面积 S 1 AB AC sin A 2
（其中∠A为锐角）．
4．某商场营业大厅从一层到二层的电梯长为11.65m，坡 角为31º，求一层和二层之间的高差（精确到0.01m）．
5．一艘轮船由西向东航行到B处时，距A岛有30海里，且 A岛在船的北偏东62º的方向，A岛周围10海里的水域有暗 礁，如果轮船不改变航向，那么轮船有触礁的危险吗？
2、 30º 45º 60º 的正弦
tanα
30º
1 2
3 2 3 3
45º
2 2
2 2
1
60º
3 2
1 2
3
3、同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系．
（1） sin2 cos2 1.
（2） tan A sin A . cos A
4、互为余角的正弦、余弦的关系． 设α为锐角，则
解直角三角形依据下列关系式：如图
B
a2 b2 c2. 勾股定理 a
c
∠A+∠B=90º.
sin
A
A的对边 斜边
.
cos
A
A的邻边 斜边
.
C
A
b
tan
A
A的对边 ． A的邻边
其中∠A可以换成∠B．
２、在将解直角三角形应用到实际问题中时，首先要弄清楚 实际问题的情况，找出其中的直角三角形和已知元素；其次 要从已知元素和所求的未知元素，正确选用正弦，或余弦， 或正切；第三要会用计算器进行有关计算．
本章我们主要学习了锐角的正弦、余弦、正切的概念， 以及它们在求解直角三角形和实际生活中的广泛应用． 一、锐角三角形
１、概念． 在直角三角形中，一个锐角为α，则
sin
湘教版九年级数学上册 解直角三角形 三角函数的教案
三角函数教案4.1 正弦和余弦（1）教学设计教学内容教学分析教学重点1、理解和掌握锐角正弦的定义。
2、根据定义求锐角的正弦值。
教学难点探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程教学准备教具学具补充材料课件、计算器、量角器、刻度尺教学流程第1 课时教学环节教师活动预设学生活动预设设计意图执教者个性化调整一、创设情景引入新课[活动1]1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。
对章前图的说明和本章内容的简单介绍，明确本章研究的内容，让学生有个基本的了解。
通过实例创设情境，引入新课,体现了数学知识的实用性,也容易激发学生学习的兴趣和探索的热情。
二、师生互动探究新知[活动2]如图2一艘轮船从西向东航行到B学生观察，思考，建立几何模型，将实际问题转化为直角三角形中边角关让学生带着问题学习,激发探索欲望。
65°BAC⌒北东由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。
发现:在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.9。
的观点,激起疑问。
算结果大体一致，便于对后面知识的探究，故对教科书上要求的精确度进行了修改。
(3)为什么演扳的两位同学画的直角三角形大小不一样，但65°角的对边与斜边的比值：与相等呢？你能证明这个结论吗？∵∠D ＝∠D ′ ∠E ＝∠E ′ ∴△DEF ∽△D ′E ′F ′∴即： 因此：在有一个锐角等于65°的所有直角三角形中，65°角的对边与同桌之间将各自所画图形放在一起，合作探究。
锐角三角函数余弦正切资料.ppt
相等吗？
因为∠C=∠C′=90°, ∠ A =∠A′=a， 所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′
所以 AC ＝ AB A′C′ A′B′
即 AC AB
＝ AA′′BC′′
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形 的大小如何，∠A的邻边与斜边的比是一个定值。
探究二
当直角三角形的锐角A的度数确 定时，其对边与邻边比也是唯一 确定的吗？
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
sin
分别为
sin A a ，cos A b ，tan A a
B
c
c
b
则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c
sin A 2a a 2c c
C
A
B
cos A 2b b 2c c
tan A 2a a 2b b
C
A
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，
AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． B
a c
叫∠A的正弦.
A
b
C
cos A
A的邻边 斜边
b c
叫∠A的余弦.
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
叫∠A的正切.
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件4.1正弦和余弦(第3课时余弦)
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第3课时
余弦
学习目标
1 会利用相似直角三角形，探索并认识余弦.(重点）
2
会求特殊角的余弦值并熟记这些值.(难点）
3 会用计算器求锐角的余弦值及已知余弦值求对应的锐角.(难点）
新课导入
1.什么是锐角α的正弦？
在直角三角形中， 我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα
2.下列特殊角的正弦值分别是什么？
α
sinα
30°
1
2
45°
60°
2
3
2
2
知识讲解
如图， △ABC 和△DEF 都是直角三角形，
其中∠A ＝ ∠D ＝α ， ∠C =∠F = 90°， 则
成立吗？ 为什么？
∵ ∠A =∠D =α， ∠C =∠F = 90°，
∴ ∠B =∠E .
从而sinB = sinE.
知识讲解
2
cos
30
3
cos
60
2
cos
45
例2 计算：
解:
原式
3
1
2 2
3 2 ( )
2
2
2
2
.
2
知识讲解
例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA =
则AC和BC的长是多少？并求sinA的值.
解: 在△ABC 中， cosA= =
所以AC=6,BC= − =2
求.
例如求50°角的余弦值， 可以在计算器上依次按键cos 50 ,显示结果为
余弦与特殊角的余弦值PPT课件
课堂导练
5．(2020·自贡)一种试电笔的构造如图所示，下列说法 正确的是( D ) A．使用试电笔时 手可以接触笔尖 B．使用试电笔时手不要接触笔卡 C．试电笔中的电阻可以用铁丝代替 D．当氖管发光时有微弱电流通过人体
习题链接
1 见习题
提示：点击 进入习题
7
见习题
答案呈现
2B
8 火；切断
3 见习题 4 试电笔；发光
16．(1)如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定， 也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的 余弦值的变化规律；
解：在图中，cos ∠B1AC＝AABC1，cos ∠B2AC＝AABC2， cos ∠B3AC＝AABC3. ∵AB3<AB2<AB1，∴AABC1＜AABC2＜AABC3， 即 cos ∠B1AC＜cos ∠B2AC＜cos ∠B3AC.
45°，∴cos∠BAC＝ 22.本题易错点是没有先连接 BC 并判断
△ABC 是直角三角形，而直接运用 cos∠BAC＝AABC得出结论．
【答案】
2 2
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin
A＝
3 5
，则cos
B的值等
于( A )
3
4
3
4
A.5
B.5
C.4
D.3
【点拨】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos B＝sin A.
9 火；断路；不能 10 D
5D
11 试电笔；大地
6 火线；220
12 见习题
课堂导练
8．漏电保护器的作用：如果站在地上的人不小心接触 ___火___线，电流经过人体流入大地，这时总开关上的 “漏电保护器”就要起作用了，它会迅速__切__断____电流 ，对人体起到保护作用。
《锐角的正弦函数和余弦函数》 知识清单
《锐角的正弦函数和余弦函数》知识清单一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，如果一个锐角为\（＼angle A\），它所对的直角边为\（a\），斜边为\（c\），邻边为\（b\）（＼（b\）为\（＼angle A\）的邻边），那么：正弦函数：＼（＼sin A ＝＼frac{a}｛c}＼）余弦函数：＼（＼cos A ＝＼frac{b}｛c}＼）二、正弦函数和余弦函数的取值范围对于锐角\（＼angle A\），其正弦函数和余弦函数的值都在\（0\）到\（1\）之间，即：＼（0 ＜＼sin A ＜ 1\）＼（0 ＜＼cos A ＜ 1\）当\（＼angle A\）的度数逐渐增大时，＼（＼sin A\）的值逐渐增大，＼（＼cos A\）的值逐渐减小。
三、特殊锐角的正弦值和余弦值1、＼（30°＼）角＼（＼sin 30°＝＼frac{1}｛2}＼）＼（＼cos 30°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼）2、＼（45°＼）角＼（＼sin 45°＝＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼）＼（＼cos 45°＝＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼）3、＼（60°＼）角＼（＼sin 60°＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼）＼（＼cos 60°＝＼frac{1}｛2}＼）这些特殊角的正弦值和余弦值需要牢记，在解题时经常会用到。
四、正弦函数和余弦函数的关系1、平方关系＼（＼sin^2 A ＋＼cos^2 A ＝ 1\）这是一个非常重要的关系式，通过它可以在已知一个函数值的情况下，求出另一个函数值。
2、商数关系＼（＼tan A ＝＼frac{＼sin A}｛＼cos A}＼）其中\（＼tan A\）为正切函数，不过在锐角的正弦函数和余弦函数的知识清单中，正切函数不是重点，了解即可。
五、正弦函数和余弦函数的应用1、解决直角三角形中的边长和角度问题已知一个锐角的正弦值或余弦值，以及一条边的长度，可以求出其他边的长度和角度。
4.1 正弦和余弦湘教版九年级上册
sinA=
A的对边 斜边
斜边
B
cosA=
A的邻边 斜边
A
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
名言警句
人生的白纸全凭自己的笔去描绘．每个人 都用自己的经历填写人生价值的档案． ——佚名
A. m sin 米 C. m cos 米 B. m tan 米
m D. 米 tan
A m C
B
5．（2010·巴中中考）已知如图所示， 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝8， ∠B＝60°，连结AC．
（1）求cos∠ACB的值 （2）若E、F分别是AB、DC的中点，连结 EF，求线段EF的长。
3 B. 4
C.
3 5
D.
4 5
4 3．（2010·怀化中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 5 则cosB的值等于（ B ）
A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4
5 D. 5
4．（2010·东营中考）如图，小明为了测量其所在位置A点
到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到 达点C，测得∠ACB＝α ，那么AB等于（ B ）
如图,梯子的倾斜 程度与sinA和cosA 有关吗?
【例1】如图:在Rt△ABC 中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6； 求BC的长. 【解析】在Rt△ABC中,
sin A BC BC 0.6, AC 200
C
200
BC 200 0.6 120.
A
┌ B
第4章
4.1
锐角三角函数
正弦和余弦
1、理解锐角三角函数中正弦、余弦的意义，并能举
例说明；
2、能根据正弦、余弦的定义进行简单的计算．
北师大版锐角三角函数-正弦与余弦课件
# 北师大版锐角三角函数-正弦与余弦ppt课件 ## 简介 - 此PPT主要介绍锐角三角函数中的正弦与余弦 - 涵盖内容包括定义、性质、图像、公式及用等方面
定义与性质
定义
正弦函数用来描述直角三角 形中对边与斜边的比率。
性质
正弦函数具有周期性、对称 性和奇偶性。
3
题例
已知角A的正弦值为0.5，求角A的角度，解答：sin(A) = 0.5，因此A = 30°。
掌握正弦与余弦
1 定义
正弦描述对边与斜边的比 率
2 性质
周期性、对称性、奇偶性
3 图像
连续的波浪形
4 公式
y = sin(x) 和 y = cos(x)
5 应用
解题、物理、工程
通过本课件
掌握知识
正弦与余弦的定义、性质、 图像、公式及应用
深入学习
了解锐角三角函数的更多知 识和应用
走向成功
使用正弦与余弦解决实际问 题，迈向成功之路
图像
正弦函数的图像呈现连续的 波浪形。
图像与公式
图像
正弦函数的图像呈现连续的波浪 形。
图像
余弦函数的图像呈现连续的波浪 形。
公式
正弦函数的公式为y = sin(x)，余 弦函数的公式为y = cos(x)。
关系与应用
1
关系
正弦函数与余弦函数通过正弦公式和余弦公式建解题以及物理、工程领域中具有广泛的应用。
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湘教版数学九年级上册 第4章 锐角三角形 4.1 正弦和余弦
45°，60°角的正弦值及用计算器求任意锐角的正弦值 专题练习题
1．sin60°的相反数是( )
A ．－12
B ．－33
C ．－32
D ．－22
2．计算2sin45°的值等于( )
A. 2
B.22 C ．1 D.12
3．在△ABC 中，若sinA ＝12，sinB ＝22
，下列判断中，你认为最确切的是( ) A ．△ABC 是直角三角形
B ．△AB
C 是等腰直角三角形
C ．△ABC 是一般锐角三角形
D ．△ABC 是钝角三角形
4．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值等于( )
A.12
B.22
C.32
D. 3 5．若sin α＝0.286，用计算器求锐角α的按键顺序是( ) A.2ndF sin 0.286＝DMS
B.2ndF sin 0.286＝
C.sin 2ndF 0.286＝DMS
D.sin 2ndF 0.286＝ 6．利用计算器求sin45°时，依次按键，则计算器上显示的结果是( )(精确到0.001)
A ．0.500
B ．0.707
C ．0.866
D ．1.000
7．已知α是等腰直角三角形的一个锐角，则sin α的值为( )
A.12
B.22
C.32
D ．1 8．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶b ＝3∶4，运用计算器计算，∠A 的度数(精确到1°)( )
A ．30°
B ．37°
C ．38°
D ．39°
9．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( )
A.甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
10. 已知sin α2＝12
，则锐角α为( ) A ．30° B ．15° C ．45° D ．60°
11．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OC 的中点，则sin ∠OMN 的值为( )
A.12 B ．1 C.22 D.32
12．因为sin30°＝12
，所以sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°，sin210°＝－1
2；因为sin45°＝2
2，所以sin225°＝sin (180°＋45°)＝－sin45°，
sin225°＝－2
2，由此猜想，推理知：一般地，当α为锐角时有sin(180°＋
α)＝－sin α，由此可知：sin240°＝( )
A ．－1
2 B ．－22 C ．－3
2 D ．－ 3
13. 若∠α＝30°，则∠α的余角等于_______度，sin α的值为____．
14．已知锐角A 满足2sinA ＝1，则锐角A 的度数是______. 15．计算： sin30°sin45°－sin60°
16. 计算： 3sin60°－2sin45°＋38
17．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，S △ABC ＝30，BC ＝12，求sinA 和sinB 的值．
答案：
1---12 CCDCB BBBDD CC
14. 45°
15. 解：2－234
16. 解：52
17. 解：∵∠ACB＝90°，S △ABC ＝30，∴12BC·AC＝30，∴AC＝5，∴AB＝AC 2＋BC 2＝13，∴sinA＝BC AB ＝1213，sinB ＝AC AB ＝513。