期末复习题—— 第七章 微分方程
高数A复习题
微分方程 向量代数 多元函数微分学 重积分 曲线积分 无穷级数
第七章 微分方程
1.定义：
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F(x, y, y',, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y',, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例1： 3y4 y5 6y'xy 0的阶数为：4
一. 数量积 向量积 混合积
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
2.
c
向 a b量 sain与 b(其的中向量为积a为与bc的 夹a 角b)
c
的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
(2)
a
//b
( 0 sin 0)
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
3.称定向为义量这设三的已个知混向三量合个的积向混量合a 积、b， 、记c 为，[a数bc量].(a
b)
c
设
a
n M0 M = 0 而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
z
n
M
0
M
O
x
y
得: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0 (1)
第七章微分方程练习题
第七章微分方程练习题一、选择题1.下列是微分方程的是 ( ) .A. dx x dy )14(-=；B.12+=x y ；C.0232=+-y y ；D.0sin =⎰xdx .2.微分方程0'3"22=+-xy yy xy 的阶数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.3.方程dt t dw w 2542=-是 ( )阶微分方程.A. 1；B.2；C.3；D.4.4.微分方程02=+'-''y y x y x 的通解中任意常数的个数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.5. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x6. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x7.微分方程xy y ='的一个解是( ) . A.3221+=x e y ； B.2221+=x e y ； C.1221+=x e y ； D.221x e y =.8.下列是齐次的线性微分方程的是（ ）. A.2x y dx dy +=； B.x y dxdy sin =； C.1cos '=+x y y ； D.1cos '=-y y .9.下列是齐次方程的是（ ）. A.y x dx dy +=10； B.x e y dxdy -=+； C.x y y x dx dy +=； D.x x x y dx dy sin =+.10.微分方程23x y ='的通解是（ ）；A.33x y =B. C x y +=33C. 3x y =D. C x y +=3 二、填空题1.微分方程0222=+x k dtx d 通解中任意常数的个数是 ； 2.表示未知函数、未知函数的_______与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程；3.满足初值条件50==x y的函数C y x =-22中的C 等于 ；4. 微分方程02'12=++xy y x ）（满足初值条件10==x y 的特解是_______； 5.微分方程12+='x y 的通解是 ；三、判断题1.04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）2.)(])()(2[022x xy dt t y t t y x =++⎰是齐次方程.（ ） 3.0522=++x y y 不是微分方程.（ ）4.微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 可分离变量.（ ）5一阶微分方程1cos '=+x y y 是齐次的.（ ） 四、计算题1.求微分方程0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x 的通解.2.求微分方程dx dy xy dx dy xy =+22的通解. 3.求微分方程23=+y dxdy 的通解. 五、证明题1.函数kt kt x sin C cos C 21+=是微分方程0222=+x k dxy d 的解.六、综合题1.一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A 成正比，比例系数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少时间？ 2.设有联结点O （0，0）和A （1，1）的一段向上凸的曲线弧OA ︵,对于OA ︵上任一点P （x,y ），曲线弧OP ︵与直线段OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA ︵的方程。
第七章 一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。
1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1） 方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。
令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2， 解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。
方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(， 解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。
因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。
2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2， 变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。
给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--， 易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--， 通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。
高等数学-第七章-微分方程
制动时
常微分方程
偏微分方程
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容)
( n 阶显式微分方程)
微分方程的基本概念
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
的阶.
分类
或
— 使方程成为恒等式的函数.
通解
— 解中所含独立的任意常数的个数与方程
于是方程化为
(齐次方程)
顶到底的距离为 h ,
说明:
则将
这时旋转曲面方程为
若已知反射镜面的底面直径为 d ,
代入通解表达式得
一阶线性微分方程
第四节
一、一阶线性微分方程
*二、伯努利方程
第七章
一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式:
若 Q(x) 0,
若 Q(x) 0,
称为非齐次方程 .
第七章
一、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
令
代入原方程得
两边积分, 得
积分后再用
代替 u,
便得原方程的通解.
解法:
分离变量:
例1. 解微分方程
解:
代入原方程得
分离变量
两边积分
得
故原方程的通解为
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
( C 为任意常数 )
此处
例2. 解微分方程
例4
例5
例6
思考与练习
求下列方程的通解 :
提示:
(1) 分离变量
(2) 方程变形为
作业
P 298 5(1); 6 P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6
第七章 微分方程
第七章 微分方程基础题一．选择题1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( ). A ．3 B ．4 C ．5 D ．22．关于微分方程222x d y dy y e dx dx++=的下列结论： ⑴该方程是齐次微分方程 ⑵该方程是线性微分方程⑶该方程是常系数微分方程 ⑷该方程为二阶微分方程 其中正确的是( ).A ．⑴ ⑵ ⑶B ．⑴ ⑵ ⑷C ．⑴ ⑶ ⑷D ．⑵ ⑶ ⑷ 3．方程x y dxdy cos 2=的通解是（ ） A ．C x y +-=sin ； B ．C x y +-=cos ；C ．C x y +=cos 1；D ．Cx y +-=sin 1及特解0y =. 4．下列方程中有一个是一阶微分方程，它是( ).A ．22()y xy x yy '''-=B ．2457()5()0y y y x '''+-+=C ．2222()()0x y dx x y dy -++=D ．0xy y y '''++=5．下列方程中是线性微分方程的为( ).A ．x y x y ='+'2）（B ．x y y y =-'2C ．x e xy y x y =+'-''222 D ．y xy y y cos 3=+'-''． 6．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( ).A ．x y 2=B ．2x y =C ．x y 2-=D ． x y -=7．方程22xy x y y '=+是( ).A ．齐次方程B ．一阶线性方程C ．伯努利方程D ．可分离变量的方程8．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( ).A ．0=+'y yB ．02=+'y yC ．0=+y y nD ． x y y cos =+''9．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数.A ．通解B ．特解C ．是方程所有的解D ． 上述都不对10．y y ='满足2|0==x y 的特解是( ).A ．1+=x e yB ．x e y 2=C ．22x y e =D ． 3x y e =11．下列微分方程中( ) 是二阶常系数齐次线性微分方程.A ．02=-''y yB ．032=+'-''y y x yC ．045=-''x yD ． 012=+'-''y y12．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( ).A ．1=yB ．x y =C ．x y sin =D ． x e y =13．下列微分方程中，可分离变量的是( ).A ．e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dxdy --=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dxdy =-sin D ． 2x y xy y e '+= 14．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( ). A ．x y 2=' B ．x y 2=''C ．x y 2='，()31=yD ． x y 2=''，()31=y15．微分方程044=+'-''y y y 的两个线性无关解是( ).A ．x e 2与22x eB ．x e 2-与2x xe -C ．x e 2与2x xeD ． x e 2-与24x e -二．填空题1．xy y dx dy x ln ⋅=是 方程.2． x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数.3．x e y 2-=''的通解是 .4．0)(24=+'+'''xy y y 是 阶微分方程.5．x y y 2='的通解为 . 6．0=+xdy y dx 的通解为 . 7．220d Q dQ Q L R dt dt c++=是______阶微分方程. 8．3阶微分方程3x y ='''的通解为 .9．052=+'-''y y y 的特征方程是 .10．x y cos 1=与x y sin 2=是方程0=+''y y 的两个解，则该方程的通解为 .三．计算题1．验证：函数12cos sin x C kt C kt =+是微分方程2220(0)d x k x k dt+=≠的通解，并求满足初始条件00,0t t dxx A dt ====的特解.2．求解下列一阶线性微分方程的通解或特解(1) 2y x y '= (2)21x y xy -'= (3) 2(1)arctan x y x '+= (4) ln ln 0y xdx x ydy += (5) 2dy xy dx =，01x y == (6) 011x y dx dy y x-=++， 0|1x y == (7) ()()0y x dy x y dx ++-= (8) y x dy x xe y dx=+(9) xy x y dx dy tan += (10) 0xy y '-= (11)x y y y x '=+，12x y == (12) 22()0x y dx xydy +-=，1|0x y == (13)20y y x x '--= (14) 02d d )6(2=+-y xy x y (15) x e x y y sin cos -=⋅+' (16) 1sin x y y x x'+= (17) 32x dy x y x e dx-=，1|0x y == (18) cos 2cot 5,|4x x dy y x e y dx π=+==- 3．用降阶法解下列微分方程(1) sin y x x ''=+ (2) 0xy y x '''++=(3) y y y '=''2 0|1x y ==，0|2x y ='=(4) sin 2y x ''=，01x y ==，01x y ='=4．求下列微分方程的通解或特解(1) 560y y y '''-+= (2) 6130y y y '''++=(3) 20y y y '''++=(4) 430y y y '''-+=，02x y ==，04x y ='=(5) 690y y y '''-+=，0|2x y ='=，0|0x y ==(6) 320y y y '''++=，0|1x y ='=，0|1x y ==提高题一．选择题1．方程x e y x y x =++')1(的通解是（ ）．A .x e C y x -=；B .)21(2C e x e y x x +=； C .)21(2C e x e y x x +=-； D .)2(2C e xe y x x+=-. 2．已知方程()()0y P x y Q x y '''++=的一个特解1y ,则另一个与它线性无关的特解为( ).A .()21211P x dx y y e dx y -⎰=⎰； B . ()21211P x dx y y e dx y ⎰=⎰； C .()2111P x dx y y e dx y -⎰=⎰； D .()2111P x dx y y e dx y ⎰=⎰. 3．已知1()y x 是微分方程()()y P x y Q x '+=的一个特解，C 是任意常数，则该方程的通解( ).A ．()1P x dx y y e -⎰=+B ．()1P x dx y y Ce -⎰=+C ．()1P x dx y y e C -⎰=++D ．()1P x dx y y e ⎰=+4．若连续函数()f x 满足30()()ln 33xt f x f dt =+⎰，则()f x 的表达式为( ). A ．ln 3x e B ．3ln3x e C ．ln 3x e + D ．3ln 3x e +5．已知ln x y x =是微分方程()y y y x x ϕ'=+ 的解，则()y xϕ 的表达式为( ). A ． 22y x - B ．22y xC ．22x yD ．22x y - 6．微分方程22()0yy y '''-=的通解是( ).A ． 1y C x =-B ．2121y C C x =-C ． 121y C C x =-D ．11y Cx=-二．填空题1．过点1(,0)2且满足关系式arcsin 1y x '+=曲线方程为 . 2．微分方程30xy y '''+=的通解为 .3．设()y y x =是二阶常微分方程sin cos y ay by x x '''++=+满足初始条件(0)(0)0y y '==，则0()lim 1cos x y x x→=- . 4．设()y y x =满足()y x o x ∆=+∆，且(0)0y =，则10()y x dx =⎰.三．综合应用与证明题1．验证二元方程C y xy x =+-22所确定的函数为微分方程()y x y y x -='-22的解．2．验证x y ωcos 1=，x y ωsin 2=都是02=+''y y ω的解，并写出该方程的通解．3．试求x y =''的经过点()1,0M 且在此点与直线12+=x y 相切的积分曲线． 4．设:()L y y x =在点(,)x y 处切线的斜率211y k x +=+，且曲线过点(1,0)，试求曲线L 的方程．5．求微分方程430y y y '''-+=的一条积分曲线，使其在点0(0,2)M 处与直线20x y -+=相切．6．设函数()f x 连续，且满足20()2()(2)x x f x tf t dt x e -+=-⎰，求()f x ．。
高等数学微分方程第七章练习题答案
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
B2第7章-第七章8高阶非齐次线性微分方程
（C1, C2为任意常数）
⑤,⑥ 目录 上页 下页 返回 结束
例8.2 已知齐次方程 ( x 1) y x y y 0 的通解为
Y
解:
C1x C2ex , 求 (
将所给方程化为:
x
1) y x y y (x
y x y 1 x 1 x 1
y
1)2 的通解.
x 1
常数变易法 令 y xC1( x) e xC2( x),
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故 y Y ( x) y *( x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 .
证毕
例如, 方程 对应齐次方程
有特解 有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
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定理 8.2
二、f ( x) eλ x[Rl ( x)cos ωx Rn( x)sin ωx]
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二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f ( x) ( p, q 为常数)
① 根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
再积分得 C1( x), C2( x), ,Cn( x) 从而得①得通解：
y( x) C1( x) y1( x) C2( x) y2( x) Cn( x) yn( x)
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*** 二阶常系数非齐次线性微分方程
y p y q y f ( x)
一、 f ( x) e λ x Rm ( x)
C1 y1 C2 y2 Cn yn
习题册第七章微分方程答案-复制
第七章 微分方程第37次 微分方程的概念 分离变量法一、指出下列微分方程的阶数，并验证括号中的函数是否为微分方程的解，若是解，说明该解是通解还是特解：1．330()xy y y Cx -'+==解 一阶 43y Cx -'=-433(3)30xy y x Cx Cx --'+=⋅-+=， 所以3y Cx -=为微分方程的解又3y Cx -=中只含有一个任意常数，故其为通解．2．21d d 0()2kx x y y kx -==解 一阶 d d y kx x =d d d d 0kx x y kx x kx x -=-=， 所以212y kx =为微分方程的解 又212y kx =中不含有任意常数，故其为特解． 3．0(sin )y y y C x ''+==解 二阶cos y C x '=，sin y C x ''=-sin sin 0y y C x C x ''+=-+=， 所以sin y C x =为微分方程的解又sin y C x =中只含有一个任意常数，故其既不是通解，也不是特解．4．220()xy y y y x e '''-+==解 二阶 22x x y xe x e '=+，222(2)22224x x x x x x x x x y xe x e e xe xe x e e xe x e '''=+=+++=++ 2222242(2)20x x x x x x x y y y e xe x e xe x e x e e '''-+=++-++=≠，所以2xy x e =不是微分方程的解二、求下列微分方程的通解：1．22()d (1)d 0xy x x x y +++=解 22d d 11y x x y x -=++⎰⎰21arctan ln(1)2y x C =-++ 2．()d ()d 0x y x x y y e e x e e y ++-++=解 e e d d e 1e 1y xy x y x =--+⎰⎰ ln e 1ln e 1ln y x C -=-++即 (e 1)(e 1)y x C -+=3．d 2d y xy x x+= 解 d d 21y x x y =--⎰⎰211ln 2122y x C -=-+22e 121e 2x x C y C y --+⇒-=⇒= 4．sin ln y x y y '=解 d csc d ln y x x y y=⎰⎰ ln ln ln csc cot ln y x x C =-+ln (csc cot )y C x x =-三、求下列微分方程满足初始条件的特解：1．52,(0)0x y y ey -'== 解 25e d e d y x y x =⎰⎰2511e e 25y x C =+ 又(0)0y =，310C = 微分方程的特解：25113e e 2510y x =+2．2d (1)tan ,(0)2d y y x y x=-= 解2d tan d 1y x x y =-⎰⎰2111ln ln sec ln sec 211y y x C C x y y++=+⇒=-- 又(0)2y =，3C =- 微分方程的特解：213sec 1y x y+=-- 四、镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量0R 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的关系.解d d R R tλ=- d d R t R λ=-⎰⎰ ln ln e t R t C R C λλ-=-+⇒=又0(0)R R =，0C R =；所以0e t R R λ-= 又0(1600)2R R =， 160000e 2R R λ-=，所以ln 21600λ=；故ln 216000e t R R -=第38次 变量代换法 一阶线性微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．22()d d 0x y x xy y +-=解 d d y x y x y x=+ （1） 令,y u x=则,y u xu ''=+ 代入（1）得：1u xu u u'+=+ 分离变量 1d d u u x x= 两边积分 1d d u u x x =⎰⎰得 2ln ln ln 2u x C Cx =+= 22222y u x Cx eCx e =⇒= 2．,(1)0y x y y e y x '=+= 解 令,y u x= 则,y u xu ''=+ 代入原方程得：u u xu e u '+=+分离变量 1d d u e u x x-=两边积分 1d d u e u x x -=⎰⎰ 得 ln u e x C --=+ln yxe x C --=+ 又(1)0y =，得1C =- 原方程特解：ln 1y x ex --=- 3．d 11d y x x y=+- 解 令,u x y =-d d 111d d y u x x u=-=+ d 1d d d u u u x x u-=⇒=- d d u u x =-⎰⎰ 22()22u x y x C x C -=-+⇒=-+ 4．21tan (2)2y x y '=+ 解 令2,u x y =+ 2d 1d 11tan d 2d 22y u u x x =-= 22d 1tan sec d u u u x=+= 2cos d d u u x =⎰⎰ 积分得11sin 224u u x C +=+ 原方通特解：1111(2)sin 2(2)sin 2(2)2424x y x y x C y x x y C +++=+⇒-++=二、求下列微分方程的通解或特解：1．d d x y y e x-+= 解 ()1,()x P x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为d x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为()x y C x e -=，将,y y '代入原方程整理得 ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+故原方程的通解为()x y x C e -=+2．sin cos ,(0)2x y y x e y -'+==解 sin ()cos ,()x P x x Q x e -==对应齐次微分方程的通解为cos d sin x x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为sin ()x y C x e-=，将,y y '代入原方程整理得 sin sin ()()1x x C x e e C x --''=⇒= ()C x x C =+故原方程的通解为sin ()x y x C e-=+ 又(0)2y =，得2C =故原方程的特解为sin (2)x y x e -=+3．23d d 1y x x y x x++=-+ 解 22d d d 1d 1y y y y x x x x x x=--⇒+=-++ 21(),()1P x Q x x x==-+ 对应齐次微分方程的通解为1d ln(1)11x x x C y C e C e x --++⎰===+ 令原方程的通解为1()1y C x x=⋅+，将,y y '代入原方程整理得 221()()(1)1C x x C x x x x ''=-⇒=-++ 3411()34C x x x C =--+故原方程的通解为34111341y x x C x⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭ 4．226y y x y '=- 解 d 3d 3d 2d 2x y x y x x y y y y ⎛⎫=-⇒+-=- ⎪⎝⎭ 3(),()2y P y Q y y =-=- 对应齐次微分方程的通解为33d ln 3y y y x C eC e Cy --⎰=== 令原方程的通解为3()x C y y =，将,x x '代入原方程整理得321()()22y C y y C y y ''=-⇒=- 1()2C y C y=+ 故原方程的通解为312y C y y ⎛⎫=+⎪⎝⎭三、已知连续函数()f x 满足条件320()()d 3x x t f x f t e =+⎰，求()f x ． 解 2()3()2x f x f x e '=+且(0)1f = 2d (3)2d x y y e x+-= 2()3,()2x P x Q x e =-=对应齐次微分方程的通解为3d 3x x y C e C e --⎰==令原方程的通解为3()x y C x e =，将,y y '代入原方程整理得 32()2()2x x x C x e e C x e -''=⇒= ()2x C x e C -=-+故原方程的通解为3(2)x x y e C e -=-+又(0)1f =，得3C =，故3()(23)x x f x e e -=-+第39次 可降阶的高阶微分方程一、求下列微分方程的通解或特解：1．sin 1y x x '''=++解 ()211sin 1d cos 2y x x x x x x C ''=++=-++⎰ 321211sin 62y x x x C x C '=-+++ 432123111cos 2462y x x x C x C x C =+++++ 2．y y x '''=+解 设()y p x '=，则,y p '''= 代入方程得p p x '=+ 变形得(1)p p x '+-= （1）对应齐次方程的通解为d x x p Ce C e --⎰==令原方程的通解为()xp C x e =，将,p p '代入（1）整理得 ()()x x C x e x C x xe -''=⇒= 1()d d d x x x x x x C x xe x x e e x xe e xe C ------==-=-=--+⎰⎰⎰故（1）的通解为11()1x x x x p e xe C e x C e --=--+=--+即 11x y x C e '=--+ 故21212x y x x C e C =--++ 3．20yy y '''+=解 设()y p y '=，则d ,d p y p y''= 代入方程得 2d 0,d p y p p y += 即d d p y p y=-⎰⎰ 两端积分得1ln ln ln ,p y C =-+ 1py C =1y y C '= 即 1d d y y C x =⎰⎰ 故所求通解为2122y C x C =+ 4．21y y '''=+解 设()y p x '=，则21,p p '=+ 即21d d 1p x p =+⎰⎰ 两端积分得1arctan ,p x C =+ 1tan()p x C =+1tan()y x C '=+ 112tan()d ln cos()y x C x x C C =+=-++⎰ 故所求通解为12ln cos()y x C C =-++5．20020,0,1x x y y y y ==''''-===-解 设()y p x '=，则220,p p '-= 即21d 2d p x p =⎰⎰ 两端积分得112,x C p-=+ 112,x C y -=+'又 01x y ='=-，11C ∴= 121x y -=+'，即1d d 21y x x =-+⎰⎰ 故所求通解为21ln 212y x C =-++ 又00x y ==，故20C = 故所求特通解为1ln 212y x =-+。
第七章微分方程练习题
第七章 微分方程一、选择题1. 表示未知函数、未知函数的( )与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.A. 极限B. 连续C. 导数或微分D. 积分2. 微分方程02)(2=+'-'x y y y x 的阶数是 ( ) .A. 1B. 2C. 3D. 43. 方程0)()67(=++-dy y x dx y x 是 ( )阶微分方程.A. 1B. 2C. 3D. 4. 4. 微分方程0222=+-y dx dy x dx y d x 的通解中任意常数的个数是 ( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5. 微分方程y xy ='的一个解是( ) . A. x y 5=； B. 15+=x y C. 25x y = D. 152+=x y 6. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x7. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x8. 下列微分方程是齐次方程的是（ ）.A. 012=+dx xydy B. x e y dx dy -=+ C. xy y x dx dy += D. y x e dx dy += 9. 微分方程23x y ='的通解是（ ），其中C 是任意常数.A. C x y +-=3B. C x y +=3C. C x y +-=33D. C x y +=3310. 下列微分方程可以转化成一阶非齐次线性方程的是（ ）.A. x e xy yy +=2'B. y x e xy y e +=2'C. x y e xy y e +=2'D. xe xy xy +='''2 二、填空题1．微分方程02=+''-'''xy y x y x 的阶数是 .2．微分方程02=+'-''y y x y x 通解中任意常数的个数是 . 3．满足初值条件50==x y 的函数C y x =-22中的=C .4．一阶微分方程x e y 2='的通解是 .5．微分方程02=+ydx xdy 满足初值条件12==x y 的特解是 .三、判断题1．方程022233=-+-xy y x y x 不是微分方程.（ ）2．04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）3．微分方程0=+-dy y x ydx )(有解0=y .（ ）4．方程0)1-22()(=+++dy y x dx y x 是可分离变量的微分方程.（ ）5．0=x 不是微分方程0=-xdy ydx 的解.（ ）6．微分方程的通解中一定含有任意常数C .（ ）7．方程)(xy g dx dy =是一阶齐次微分方程.（ ） 8．方程)()(x Q y x P dxdy +=是一阶非齐次线性微分方程.（ ） 9．方程),(y x f dxdy =不是一阶微分方程.（ ） 10．拉格朗日微分中值定理的结论a b a f b f f --=)()()('ξ不是一阶微分方程.（ ） 四、计算题1．验证函数x C x C y ωωsin cos 21+=（ω,,21C C ＞0都是常数）是微分方程02=+y y ω''的通解,2．求微分方程y x e dxdy -=2满足初值条件00==x y |的特解, 3．求微分方程23=+y dx dy 的通解. 4．方程xdx x y dx dy =++（x y x -≠≠,0）的通解. 5．求微分方程242y x x y +-='与微分方程2422y y x x x y --++='的公共解.五、综合题1．求曲线方程，已知这条曲线通过原点，并且它在点）（y x ,处的切线斜率等于y x +2.2．放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含量M成正M随时间t变化的规律.比。
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dy e 2 x y e 2 x e y ，可分离变量 dx
←→
解：
dy e2 x e y dx
e y dy e 2 x dx
→
e dy e
y
2x
dx
→ 通解：
1 e y e2 x C ' 2
又
y
x 0
0 ，带入得： C ' e2 x 1 e 2
4.确定初值条件：已知 y (0) 2, y(0) 5
得：
C1 2,
C2
119 120 119 1 2cos5 x sin 5 x sin x 120 24
原非齐次微分方程的特解：故： y
23.求微分方程 y 2 y
y xe x 的通解
y0
解：1.解对应齐次微分方程： y 2 y 特征方程： 特征根：
2
2 1 0
（二重实根）
1
故二阶齐次微分方程通解： y
(C1 C2 x)e x y xe x
2.解二阶非齐次微分方程： y 2 y 由于：
f ( x) xe x
《高等数学》复习题
第一套 21.求微分方程 ( xy
分析：一阶微分方程
2
第七章
微分方程
x)dx ( y x 2 y )dy 0 的通解
dy xy 2 x dx x 2 y y x( y 2 1) y ( x 2 1)
解：
非齐次微分方程
可分离变量的微分方程
dy x( y 2 1) dx y ( x 2 1)
sin x 满足条件 y (0) 2, y(0) 5 的特解 y 25 y 0
→
解：1.解二阶齐次微分方程： 特征方程：
2
25 0
5i
（共轭虚根）
故二阶齐次微分方程通解： Y 2.解二阶非齐次微分方程： 由于 参见 P344，设特解为： y
*
C1 cos5 x C2 sin 5 x
—— 二阶常系数线性非齐次微分方程， 变元为 t=f(x)
解：1.解二阶齐次微分方程： 特征方程： 特征根：
2
f ( x) f ( x) 0
1 0
（共轭虚根）
i
故二阶齐次微分方程通解： 2.解二阶非齐次微分方程： 由于： F ( x ) 3e 设特解为：
x
f ( x) C1 cos x C2 sin x
设特解为：
f * ( x) (a bx)e x
1 1 y xe x ，得： a , b 4 4
带入原方程： y 2 y
故：特解为
1 f * ( x) ( x 1)e x 4 1 f ( x) (C1 C2 x)e x ( x 1)e x 4
分析：一阶非齐次微分方程—— 常数变易法 解：1. 对应齐次微分方程
dy 2 xy 0 dx
1 dy 2 xdx y
→
←→
y dy 2 xdx
ln y x 2 C '
y Ce x
2
1
→ →
2 dy 2 xy 2 xe x dx
2.非齐次微分方程
2
0
→
1 0, 2 1
C1e0 x C2e x C1 C2e x
f ( x) x 1 ( x 1)e0 x
*
设特解： y
x1 (ax b)e0 x x(ax b)
y x 1 ：
带回原方程 y
y y x 1
f ( x) sin x
a sin x b cos x
1 , b0 24
带入原方程：
y 25 y sin x ，得： a
1 sin x 24
故：特解为 y
*
3.原非齐次微分方程通解：
y Y y*
C1 cos5 x C2 sin 5 x 1 sin x 24
C ( x) x 2 C
2 2
y C ( x )e x x 2 C e x
23. 求微分方程 y 3 y 4 y
0 的通解
分析：二阶常系数齐次微分方程—— 特征方程求解 解：1. 对应特征方程： 2.求解特征根： 1
2
3 4 0
（*）
设通解为：
y C ( x )e x
2
（C(x)待定，带入原方程求解）
上述通解带入(*)：
C ( x)e x (2 x)C ( x)e x 2 x C ( x)e x 2 xe x
2 2 2
2
→ → 带入通解表达式得：
C ( x) 2 x
3.原非齐次微分方程通解：
故：
两个初值条件
得：
C1
5 3 3 f ( x) sin x cos x e x 2 2 2
第三套 21.求微分方程 xy
y sin x 满足条件 y
y0
←→
x
2
1的特解
解：1.对应齐次微分方程 xy
dy y dx x C ( x) x
y
1 2←→Fra bibliotek→ 特解：
e2 x 1 y ln 2
22.微分方程 4 y 4 y
解：1. 对应特征方程： 4 2.求解特征根： 1
2
y 0 的通解
4 1 0
1 2
x 2
2
（二重实根）
3.微分方程通解： y
C1 C2 x e
f * ( x) ae x
f ( x) f ( x) 3e x ，得： a
带入原方程：
3 2
故：特解为
3 f * ( x) e x 2 3 f ( x) C1 cos x C2 sin x e x 2
3.原非齐次微分方程通解：
4.确定初值条件：已知 令方程
y x dy dx y2 1 x2 1
→
←→
y x dy x 2 1 dx y2 1
→
1 1 ln( y 2 1) ln( x 2 1) C ' 2 2
→
y 2 1 C ( x 2 1)
22. 求微分方程
2 dy 2 xy 2 xe x 的通解 dx
→
y
C x
2.常数变易法：设非齐次微分方程的解 y 带回原方程得： C ( x ) cos x C 故非齐次微分方程通解： y
1 ( cos x C ) x
3.带入初值条件 y
1 ， 推得特解： y ( cos x) 1 x x 2 2
22.求微分方程 y 25 y
* *
→
2ax (2a b) x 1
→
1 a , b0 2
故特解为：
x2 y 2
* * x
x2 3.原非齐次方程通解： y Y y C1 C2e 2
第二套 21.微分方程 y e
分析：一阶微分方程
2 x y
的满足初始条件 y
x 0
0 的特解
（不等实根）
4, 2 1
C1e 4 x C2e x
3.微分方程通解： y
24. 设有微分方程 y
y x 1 。
y 0 的通解 Y；
（2）求原方程的特解 y ；
*
（1）求对应齐次方程 y （3）原方程的通解。
分析：二阶常系数非齐次微分方程 解：1.求解对应齐次微分方程： 对应齐次微分方程通解： Y 2.根据
f (0) 0
x
0
f '( x) 1 (3e t f (t ))dt , x=0 ,得： f (0) 1 3 f (0) 0 、 f (0) 1 带入 f ( x) C1 cos x C2 sin x e x ， 2 3 5 , C2 , 2 2
23.若二阶可导函数 f(x)满足方程：f '( x ) 1 求 f(x)
分析： →
x
x
0
且 f (0) 0 ， (3e t f (t ))dt ，
f '( x) 1 (3e t f (t ))dt ——微分、积分方程
0
f ( x) 3e x f ( x)