2019-2020学年宁夏青铜峡市高级中学高二期末考试数学(理)试题及答案解析

2019-2020学年宁夏青铜峡市高级中学高二期末考试数学（理）试题及答案解析一、单选题1．已知i是虚数单位，复数52i =-（）A．i﹣2 B．i+2 C．﹣2 D．2【答案】B【解析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值．【详解】解：()()()525222ii i i+=--+10524(1)ii+==+--，故选：B．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题．2．“0x>”是“1x>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为“0x>”不能推出“1x>”；“1x>”能推出“0x>”，所以，“0x >”是“1x >”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 3．抛物线214x y =的准线方程为（ ） A ．y ＝14-B ．y ＝18 C ．y ＝116D ．y ＝116-【答案】D【解析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p ，再直接代入即可求出其准线方程． 【详解】解：∵抛物线的标准方程为214x y =， ∴其焦点在y 轴上且124p =， ∴18p =，∴抛物线的准线方程为116y =-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，属于基础题． 4．已知命题:p π是无理数;命题:q 34>,则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】先对命题p 和命题q 的真假性做出判断，然后根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案. 【详解】π是无理数，故命题p 是真命题，p ⌝是假命题；34<，故命题q 是假命题，q ⌝是真命题，所以p q ∧⌝是真命题. 故选：C 【点睛】本题主要考查复合命题的真假性判断，属于基础题.5．已知椭圆221259x y +=，12,F F 分别为其左、右焦点，椭圆上一点M 到1F 的距离是2，N 是1MF 的中点，则||ON 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果. 【详解】 由椭圆定义得21210MF MF a +==，因为12MF =，所以28MF =因为N 是1MF 的中点，所以22MF ON ==4，选D.【点睛】本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题.6．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =± B ．13y x =± C ．12y x =± D ．y x =±【答案】C 【解析】【详解】2c e a ===，故2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±. 【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.7．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若1233a a a ，a 4＋a 5＋a 6＝6，则S 12等于( )A ．45B ．60C ．35D ．50【答案】A【解析】由等比数列的性质，可知123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，101112a a a ++也构成等比数列，再由等比数列求和公式计算12S ． 【详解】解：∵数列{}n a 是等比数列，∴123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，101112a a a ++也构成等比数列， 又1233a a a ，4566a a a ++=，∴该数列的公比623q ，且项数为4，∴4123(12)4512S ，故选：A ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质与求和，熟记等比数列的有关性质可简化计算，属于基础题．8．过抛物线2y 4x =的焦点作直线交抛物线于()()1122A x ,y B x ,y 两点，如果12x x 6+=，那么AB (= )A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为12AB x x p =++．【详解】抛物线24y x =中，2p =，∴12628AB x x p =++=+=，故选B ．【点睛】AB 是抛物线的焦点弦，1122(,),(,)A x y B x y ，0p >，抛物线22y px=的焦点弦长为12AB x x p =++，抛物线22y px =-的焦点弦长为12()AB x x p =-++，抛物线22x py =的焦点弦长为12AB y y p =++，抛物线22x py =-的焦点弦长为12()AB y y p =-++．9．在如图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点,则异面直线AC 和MN 所成的角为( )A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】C【解析】将,AC MN 平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小. 【详解】连接1111,,AC BC A B 如下图所示，由于,M N 分别是棱BC 和棱1CC 的中点，故1//MN BC ，根据正方体的性质可知11//AC A C ，所以11AC B ∠是异面直线,AC MN 所成的角，而三角形11A BC 为等边三角形，故1160A C B ∠=. 故选：C.【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.10．若椭圆2212516x y +=和双曲线22-145x y =的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为 ( )A ．212B ．84C ．3D ．21【答案】D【解析】根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解。

【详解】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程2212516x y +=可得：2125a =，15a =由椭圆定义可得：121210PF PF a +==…（1），由双曲线方程22145x y -=可得：224a =，22a =，由双曲线定义可得：12224PF PF a -==…（2） 联立方程（1）（2），解得：127,3PF PF ==，所以123721PF PF ⋅=⨯=故选：D. 【点睛】本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题。

11．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．121 B ．123 C ．231 D ．211【答案】B【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解． 【详解】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…， 其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项；继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…， 第十项为123，即1010123a b +=， 故答案为：123． 【点睛】本题主要考查数列中的规律问题，要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理． 12．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么2222[log 1][log 2][log 3][log 64]+++的值为( ) A ．21 B ．76 C ．264 D ．642【答案】C【解析】利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知各项的值，再求和即可． 【详解】解：由题意有，2[log 1]0=，22[log 2],[log 3]两个数都是1， 2[log 4]到2[log 7]四个数都是2， 2[log 8]到2[log 15]八个数都是3， 2[log 16]到2[log 31]十六个数都是4，2[log 32]到2[log 63]三十二个数都是5，2[6log 4]6=，∴2222[log 1][log 2][log 3][log 64]+++0214283=+⨯+⨯+⨯1643256+⨯+⨯+264=．故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算，正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题13．已知ABC ∆ 的三个顶点为(3,3,2)A ，(4,3,7)B - ，(0,5,1)C ，则BC 边上的中线长为 ． 【答案】3【解析】试题分析：线段BC 中点的坐标为2,1,4D ，因此BC边上的中线长2223231243AD【考点】空间中两点间的距离公式；14．双曲线221y x m -=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =_________ .【答案】4【解析】根据双曲线的几何性质求得实轴长、虚轴长，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意有，实轴长为2，虚轴长为2m ，∴222m =⨯，得4m =，故答案为：4． 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．15．直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是 【答案】(—32, 31)【解析】略 16．已知数列中，，则数列通项公式为_____． 【答案】【解析】试题分析：为等比数列，公比为3，首项为，所以通项公式为【考点】构造法求数列通项公式三、解答题17．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．【答案】（1）a n ＝2n －9（2）S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，最小值为－16【解析】(1)由等差数列通项公式可得：29n a n =-； (2)由等差数列前n 项和公式可得：2(729)82n n nS n n -+-==-，再结合二次函数求最值即可. 【详解】解：(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得1315,a d +=-由17a =- 得2d =，所以{}n a 的通项公式为29n a n =-；(2)由(1)得22(729)8(4)162n n nS n n n -+-==-=--，所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为－16. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和，属基础题.18．（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为()F -，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的标准方程； （2）已知双曲线焦点在y 轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为20x y ±=，求双曲线的方程．【答案】(1)221164x y +=(2) 221520y x -=【解析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组，解出即可； （2）根据双曲线的几何性质列出方程组，解出即可． 【详解】解：（1）由题意，该椭圆的焦点在x 轴，设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，∴(222222a b a b =⋅⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，∴该椭圆的标准方程为221164x y +=；（2）由题意，设双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，设焦距为2c ，∴22212210a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得5a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴该双曲线的方程为221520y x -=． 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的简单性质的应用，是对圆锥曲线基础知识的考查，属于基础题．19．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos sin C c B =．（1）求角C 的大小 （2）若c =ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得tan C 值，结合范围()0,C π∈，即可得解C 的值．（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得ab ，再利用余弦定理化简可得a b +值，联立得,a b 从而解得ABC ∆周长． 【详解】（Ⅰ）由正弦定理sin sin b cB C =，得3sin cos sin sin B C B C =，在ABC 中，因为sin 0B ≠，所以3cos sin C C =故tan 3C =，又因为0＜C ＜π，所以3C π=． （Ⅱ）由已知，得1sin 632ab C =.又3C π=，所以24ab =. 由已知及余弦定理，得222cos 28a b ab C +-=， 所以22=52a b +，从而()2100a b +=.即10a b +=又27c =，所以ABC ∆的周长为1027+.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =.设AB 的中点D ，11B CBC E =.求证：（1）DE 平面11AAC C ； （2）11BC AB ⊥.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E 为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明1BC ⊥平面1B AC 即可，显然可证111B C B C AC B C ⊥⊥，，因此原命题得证. 试题解析：⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，且1BC CC = ∴矩形11BB C C 是正方形，E ∴为1B C 的中点，又D 为1AB 的中点， //DE AC ∴， 又DE ⊄平面11AA CC ， AC ⊂平面11AA CC ，//DE ∴平面11AA CC⑵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC , AC ⊂平面ABC ,1AC CC ∴⊥又AC BC ⊥， 1CC ⊂平面11BCC B ， BC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C ⋂=，AC ∴⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ， 1AC B C ∴⊥矩形11BCC B 是正方形， 11BC B C ∴⊥，1,AC B C ⊂平面1B AC ， 1C C C A ⋂B =， 1BC ∴⊥平面1B AC又1AB ⊂平面1B AC ， 11BC AB ∴⊥.点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.21．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的一点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若2,1AB AC PA ===，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）22.【解析】（1）先证PA BC ⊥，AC BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理得到平面PAC ⊥平面PBC ． （2）作CM ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】（1）由AB 是圆的直径，得AC BC ⊥， 由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA BC ⊥， 又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ， BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC .（2）如图，作CM ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.在Rt ABC ∆中，2AB =，1AC =，3BC ∴.又1PA =，()0,1,0A ∴，()3,0,0B，()0,1,1P .故()3,0,0CB =，()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,n x y z =，则110,0,CB n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩令11y =，则()10,1,1n =-. ()0,0,1AP =，设直线PA 与平面PBC 所成角为θ， ∴11112sin cos ,22AP n AP n AP n θ⋅-=<>===.∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为22.【点睛】本题考查面面垂直的证明、线面角的正弦值，考查推理论证能力和运算求解能力，求解时要注意充分发挥空间想象能力，将定判定定理和性质定理的条件写完整． 22．设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b =1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列。