辽宁省沈阳市2018届高三上学期第二次模拟考试数学(文)(附答案精品)-学术小金刚系列
2018年辽宁省沈阳市第二高级中学高三数学文月考试卷含解析
2018年辽宁省沈阳市第二高级中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程=0.67x+54.9，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）参考答案：C考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9，代入样本中心点求出该数据的值．解答：解：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：=30，=，由于由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9，将=30，=，代入回归直线方程，得m=68．故选：C．点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．2. 椭圆+=1的焦点坐标为（）A．（±3，0）B．（0，±3）C．（±9，0）D．（0，±9）参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得其焦点在y轴上，且a2=25，b2=16，由椭圆的几何性质可得c的值，结合焦点的位置即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为：+=1，则其焦点在y轴上，且a2=25，b2=16，必有c==3，则其焦点坐标为（0，±3）；故选：B．3. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角，有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是( )A.若，则B.C. D.参考答案：D略4.如图在等腰中，AB=AC，D为BC中点，条件：向量且。
是点P在内的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要参考答案：答案:B5. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．参考答案：D略6. 已知数列{a n}满足???…?=（n∈N*），则 a10=（）A．e30 B．e C．e D．e40参考答案：B【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】利用作差法求出lna n=，n≥2，进行求解即可【解答】解：∵???…?=（n∈N*），∴???…?=（n∈N*），∴lna n=，n≥2，∴a n=e，∴a10=e，故选B．7. 设集合M={x|x2≤4}，N={x|log2x≤1}，则M∩N=（）A．[﹣2，2] B．{2} C．（0，2] D．（﹣∞，2]参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】通过求解二次不等式和对数不等式化简集合M与集合N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：集合M={x|x2≤4}=[﹣2，2]，N={x|log2x≤1}=（0，2]，则M∩N=（0，2]，故选：C．8. 已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如右图），若它的主视图与左视图都是边长为2的正方形，则这个四棱锥的体积为( )A. B. C. D.参考答案：D9. 设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（）A．(－∞,－6)∪(6,+∞) B．(－∞,－4)∪(4,+∞)C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D．(－∞,－1)∪(4,+∞)参考答案：C10. 学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（）A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演参考答案：C【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，即可得出结论．【解答】解：由题意，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，定义，，…，，.经计算，，，…，照此规律，则 .12. 已知实数满足，则的最大值为．参考答案：13. 的展开式中的系数为____________.参考答案：7二项展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为7.14. 等比数列前n项的乘积为，且，则=__________．参考答案：512略15. 如图所示是一个中国古代的铜钱，直径为3.6cm，中间是边长为0.6cm的正方形，现向该铜钱上任投一点，则该点恰好落在正方形内的概率为．由圆的直径为知圆的面积，正方形面积，所以现向该铜钱上任投一点，则该点恰好落在正方形内的概率为，故填.16. 设实数满足，则目标函数的最小值为．参考答案：217. 函数的最小正周期与最大值的和为.参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
辽宁省沈阳市高三数学上学期第二次模拟考试试题 文
辽宁省沈阳市2018届高三数学上学期第二次模拟考试试题 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2|540,0,1,2,3M x x x N =-+≤=则集合MN 中元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 2．己知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b -=（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -33．）11a b > C. ()ln 0a b -> D. 31a b -<4． 若将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴为（ ）5．若实数,x y yx =的取值范围为（ ）A.()1,+∞ B. [)1,+∞ C. ()2,+∞ D. ()0,16. 在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时，AD 的值为（ ）A. 72B. 3C. 125D. 527. 在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2620xx ++=的根，则3159a a a 的值为（）A.22+-B. D. 8．给出下列4个命题①“若πθ=，则1cos θ=”的否命题是“若3πθ≠p ⌝为真命题；③“平面向量,a b 夹角为锐角，则0a b ⋅>”的逆命题为真命题；④“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的充要条件.其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 9．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373159517114192 3⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 1110．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()2f x x =，则关于x在[]3,3-上根的个数是（ ）A. 10个B. 8个C. 6个D. 4个11．如图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧AP 的长为l ,弦AP 的长为d ,则函数()d f l =的图像大致是( )12．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y，使得()220x yy x e y x ae----=成立，则实数a 的取值范围为 （ ）1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13．已知向量(,2)a m =，(2,1)b =-，且()2a b b +⊥，则m =__________． 14．已知()242,aba b R +=∈,则2a b +的最大值为__________．15．如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD BD 和为底的等腰三角形，其中14AD BC ==，，ADB CDB ∠=∠，则AC =_________．16．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足①()00f =；②当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当12x x ≠，且()()12f x f x =时， 120x x +<，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：② ()()()1102(0)n x x f x xx ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩；④()1x f x e x =--． 则其中是“偏对称函数”的函数为__________．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知集合A 是函数()2lg 208y x x=+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，p x A q x B ∈∈：，：．（Ⅰ）若AB =∅，求a 的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2f x x x x x R ππ=+-+-∈，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知()13f A a =-=，，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积．19.（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中， 12314a a a ++=， 42·=64a a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20. （本小题满分12分） 已知函数()()()21212ln ,2f x ax a x x a R =-++∈． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．21. （本小题满分12分） 已知()2x f x e ax =-，()g x 是()f x 的导函数．（Ⅰ）求()g x 的极值；（Ⅱ）若()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数，直线2C 的方程为以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求23. （本小题满分10分） 已知不等式36x x x +-<+的解集为(),m n .（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）若0,0,0x y nx y m >>++=，求证：16x y xy +≥．2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学文科 试卷答案1-12题CDADB DBABC CA14． 0 15. 16． ②④三、解答题 （以下给分仅供参考） 17. （本小题满分12分） 已知集合A 是函数()2lg 208y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，p x A q x B ∈∈：，：.（Ⅰ）若AB =∅，求a 的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．解：（Ⅰ），． ………………….(3分)若，则必须满足解得,所以的取值范围是． ………..………………….(6分)（Ⅱ）易得或．∵是的充分不必要条件，∴是的真子集，………………….(8分)即 且不同时取等 ………………….(10分) 解得，∴的取值范围是． ………………….(12分)18. （本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2f x x x x x R ππ=+-+-∈，.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知()13f A a =-=，，，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）最小正周期，对称轴方程为；（Ⅱ）.解（1）原式可化为，，， ………………….(2分)故其最小正周期， ………………….(4分) 令，解得，即函数图象的对称轴方程为，. ………………….(6分)（2）由（1），知， 因为，所以.又，故得，解得. ………………….(8分) 由正弦定理及，得. ………………….(10分)故. ………………….(12分)19.（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中， 12314a a a ++=， 42·=64a a . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()21nn b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ) 2n na =； (Ⅱ) ()12326n n T n +=-⋅+.解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，且0q >， ∵243648a a a ⋅=⇒= ………………….(2分)∴218a q =，又12314a a a ++=∴()2344002q q q q --=>⇒= ………………….(4分)∴2n na = ………………….(6分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知()21n n b n a =-得()212n n b n =-⋅ 故()()12112+1232232212n n nn T b b b n n -=++=⋅+⋅++-⋅+-⋅ (1)∴()()23121232232212n n nT n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅ (2)()()12-得： ()()123122222212n n nTn +-=++++--⋅，∴()12326n nT n +=-⋅+ ………………….(12分)20. （本小题满分12分）已知函数()()()21212ln ,2f x ax a x x a R =-++∈ .（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.解： 函数()f x 的定义域为()0+∞，．且()()221f x ax a x'=-++ (0)x > .………………….(2分) （Ⅰ）因为曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，所以()()13f f '='．即()()22123213a a a a -++=-++，解得23a =. ………………….(4分) （Ⅱ）()()()12ax x f x x--=' (0)x >.①当0a ≤时， 0x >， 10ax -<， 在区间()0,2上， ()0f x '>；在区间()2,+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减区间是()2,+∞ ………………….(6分)②当102a <<时， 12a>， 在区间()0,2和1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上， ()0f x '>；在区间12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是()0,2和1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭…………….(8分)③当12a =时， 因为()()2202x f x x'-=≥， 故()f x 的单调递增区间是()0,+∞ . …………….(10分)④当12a >时， 102a<<， 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上， ()0f x '>；在区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……….(12分)21. （本小题满分12分） 已知()2x f x e ax =-， ()g x 是()f x 的导函数．（Ⅰ）求()g x 的极值；（Ⅱ）若()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围．解： （Ⅰ）()2x f x e ax =-， ()()'2x g x f x e ax ==-， ()'2x g x e a =-，当0a ≤时， ()'0g x >恒成立， ()g x 无极值； …………….(1分) 当0a >时， ()'0g x =，即()ln 2x a =，由()'0g x >，得()ln 2x a >；由()'0g x <，得()ln 2x a <，所以当()ln 2x a =时，有极小值()22ln 2a a a - ,无极大值 .…………….(4分)（Ⅱ）令()21x h x e ax x =---，则()'12x h x e ax =--，注意到()()0'00h h ==，令()1x k x e x =--，则()'1x k x e =-，且()'0k x >，得0x >； ()'0k x <，得0x <，∴()()00kx k ≥=，即1xex ≥+恒成立，故()()'212h x x ax a x ≥-=-，当12a ≤时， 120a -≥， ()'0h x ≥， 于是当0x ≥时， ()()00h x h ≥=，即()1f x x ≥+成立. .…………….(8分)当12a >时，由1x e x >+（0x ≠）可得1x e x ->-（0x ≠）. ()()()()'12112x x x x x h x e a e e e e a --<-+-=--，故当()()0,ln 2x a ∈时， ()'0h x <，于是当()()0,ln 2x a ∈时， ()()00hx h <=， ()1f x x ≥+不成立.综上， a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． .…………….(12分)22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数，直线2C 的方程为以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11.OA OB+ 解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为()()22221x y -+-=, 则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=, .…………….(2分)由于直线2C 过原点,且倾斜角为3π,故其极坐标为()3R πθρ=∈ (或tan θ=. .…………….(5分)得()2270ρρ-+=,. (7)) 121211OA OB OA OB OA OB ρρρρ++∴+===⋅ .…………….(10分)23. （本小题满分10分） 已知不等式36x x x +-<+的解集为(),m n . （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）若0.0,0x y nx y m >>++=，求证： 16x y xy +≥ 解：（Ⅰ）由36x x x +-<+,得336x x x x ≥+-⎧<⎩+⎨或3360x x <<⎧<⎩+⎨或036x x x x ≤-+-⎧<⎩+⎨, 解得19,1,9,x m n -<<∴=-= …………….(5分) （Ⅱ）由（Ⅰ）知0,0,91,x y x y >>+= ()1199101016,y x x y x y x y ⎛⎫∴++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =即11,124x y ==时取等号, 1116x y∴+≥,即16.x y xy +≥ …………….(10分)。
辽宁省沈阳市2017-2018学年高三数学二模试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x |﹣1＜x ＜3}，集合B={x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．（1，2） B ．（﹣1，2） C ．（1，3） D ．（﹣1，3）2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则z 2=（ ） A ．2+i B ．﹣2+i C ．2﹣i D ．﹣2﹣i 3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（ ）A ．2B ．C ．2D ．44．已知函数，则=（ ）A ．4B ．C ．﹣4D ．5．某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x （元）与销售整该产品的价格到10.2元，预测批发市场中该产品的日销售量约为（ ） A ．7.66万件 B ．7.86万件 C ．8.06万件 D ．7.36万件6．已知tan α=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P ﹣A 1B 1A 的左视图可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C． D．9．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．4510．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC 的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，）B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为．14．在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．15．设集合S，T满足S⊆T且S≠∅，若S满足下面的条件：（ⅰ）∀a，b∈S，都有a﹣b∈S且ab∈S；（ⅱ）∀r∈S，n∈T，都有rn∈S．则称S是T的一个理想，记作S＜T．现给出下列3对集合：①S={0}，T=R；②S={偶数}，T=Z；③S=R，T=C，其中满足S＜T的集合对的序号是（将你认为正确的序号都写上）．16．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．18．某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD上一点，且．（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求三棱锥F﹣AMN的体积．20．动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设点S（﹣4，4），过点N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2016年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，2），故选：B．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则z2=（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1得到z1在复平面内对应的点的坐标，结合题意求得z2在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2+i，∴z1在复平面内对应点的坐标为（2，1），由复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知z2在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，1），∴z2=﹣2+i，选：B．3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2B．C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．故选：B．4．已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．【考点】函数的值．【分析】由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．【解答】解：f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．5．某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x（元）与销售y整该产品的价格到10.2元，预测批发市场中该产品的日销售量约为（）A．7.66万件 B．7.86万件 C．8.06万件 D．7.36万件【考点】线性回归方程．【分析】根据线性回归方程过样本中心点（，），求出回归直线方程，利用回归方程求出x=10.2时y的值即可．【解答】解：由题意可知，=（9+9.5+10+10.5+11）=10，=×（11+10+8+6+5）=8，所以8=b×10+40，即b=﹣3.2，∴回归直线方程为y=﹣3.2x+40，当x=10.2时，y=﹣3.2×10.2+40=7.36．故选：D．6．已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：由tanα=2=，α为第一象限角，sin2α+cos2α=1，∴，，所以，故选：C．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A ．B ．C ．D ．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．【解答】解：在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，三棱锥P ﹣A 1B 1A 的左视图中，B 1、A 1、A 的射影分别是C 1、D 1、D ． 故选D ．8．将函数f （x ）=sin （2x +φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y 轴对称，则函数f （x ）在上的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换． 【分析】由函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换可得，又图象关于y 轴对称，结合范围|φ|＜，解得φ，可得函数解析式，又由已知可得，利用正弦函数的图象和性质即可解得f （x ）在上的最小值．【解答】解：∵由题，又∵图象关于y 轴对称，∴依题，∴结合范围|φ|＜，解得．这样，又∵x ∈，∴，∴可得：， 故选：D ．9．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（ ）A．51 B．49 C．47 D．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC 的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，）B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为定义在R上的奇函数便可得到，从而由原不等式可得到|f（lnx）|＜f（1），进一步便得到f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1），可以说明f （x）在R上单调递增，从而便得到﹣1＜lnx＜1，这样便可得出原不等式的解集．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数；∴=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；∴由得，|f（lnx）|＜f（1）；∴﹣f（1）＜f（lnx）＜f（1）；即f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0]上为增函数；∴f（x）在R上为增函数；∴﹣1＜lnx＜1；∴；∴原不等式的解集为．故选：C．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．14．在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，运用两点的距离公式，配方运用余弦函数的值域，即可得到所求最小值．【解答】解：M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，由K（2，0），可得2=||2=（6cosα﹣2）2+（3sinα）2=27cos2α﹣24cosα+13=27（cosα﹣）2+，当cosα=时，2取得最小值，故答案为：．15．设集合S，T满足S⊆T且S≠∅，若S满足下面的条件：（ⅰ）∀a，b∈S，都有a﹣b∈S且ab∈S；（ⅱ）∀r∈S，n∈T，都有rn∈S．则称S是T的一个理想，记作S＜T．现给出下列3对集合：①S={0}，T=R；②S={偶数}，T=Z；③S=R，T=C，其中满足S＜T的集合对的序号是①②（将你认为正确的序号都写上）．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用新定义逐一核对三个得答案．【解答】解：对于①，满足（ⅰ），且r=0∈S，n为实数∈T，则rn=0∈S，∴S＜T，满足（ⅱ），故①满足；对于②，满足（ⅰ），且r为偶数∈S，n为整数∈T，则rn为偶数∈S，∴S＜T，满足（ⅱ），故②满足；对于③，不妨取实数1，复数i，两者相乘后得复数i，不属于实数集，故③不满足．∴满足S＜T的集合对的序号是①②．故答案为：①②．16．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；球内接多面体．【分析】画出图形，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，表示出三棱柱的体积为，0＜h＜2．利用导数求解三棱柱的体积最大时，三棱柱的高．【解答】解：如图所示，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，则由题意可知，A'O=B'O=C'O=1，，，，此时三棱柱的体积为，其中0＜h＜2．令y=﹣h3+4h（0＜h＜2），则y′=﹣3h2+4，令y′=0，则，当时，y′＞0，函数y增，当时，y′＜0，函数y减．故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．故答案为：．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）通过令等差数列{a n}的公差为d，联立S4=4（a3+1）、3a3=5a4，计算可得首项和公差，进而可得a n=11﹣2n；通过令数列{b n}的公比为q，联立b1b2=b3、2b1=a5，计算可知首项和公比，进而可得；（2）通过（I）知，，分n≤5与n≥6两种情况讨论即可．【解答】解：（I）令等差数列{a n}的公差为d，∵S4=4（a3+1），3a3=5a4，∴，解得，则a n=11﹣2n；令数列{b n}的公比为q，∵b1b2=b3，2b1=a5，∴，解得，则；（2）通过（I）知，，于是．18．某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．22（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表可得表中的数据；（Ⅱ）求出χ2值，查表，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，由古典概型求概率．（Ⅱ）假设：是否喜欢运动与性别无关，由已知数据可求得：χ2=≈1.1575＜3.841．因此，我们认为喜欢运动与性别无关．（Ⅲ）喜欢运动的女志愿者有6人，设分别为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，其中两人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A，则P（A）==．19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD上一点，且．（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求三棱锥F﹣AMN的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．利用中位线定理得出四边形MPQN是平行四边形，故MN∥PQ，于是MN∥平面ADFE；（II）延长DA，FE，CB交于一点H，利用平行线等分线段成比例得出MN与DH的比值，得出△AMN与△CDH的面积比，则三棱锥F﹣AMN与三棱锥F﹣CDH的体积比等于其底面积的比．【解答】解：（Ⅰ）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．则MP∥CE，．，∴NQ=2，∴MP NQ，∴四边形MPQN是平行四边形，∴MN∥PQ，又PQ⊂平面ADFE，MN⊄平面ADFE，∴MN∥平面ADFE．（Ⅱ）延长DA，FE，CB交于一点H，∵，∴BE=，∴，∵，∴PQ∥DH，且．∵MN=PQ，MN∥PQ，∴MN．∴=，∴．∵，=1．∴V F﹣AMN20．动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设点S（﹣4，4），过点N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设M的坐标，根据中点坐标公式，将P点坐标代入整理可求得M的轨迹方程；（II）直线l过点N，设l的方程为：y=k（x﹣4）+5，与E联立，整理得：x2﹣4kx+16k﹣20=0，根据韦达定理，分类讨论l是否经过点S，并分别求得直线的斜率，即可求得k1k2的值．【解答】解：（I）设点M（x，y），P（x0，y0），则由，得，因为点P在抛物线x2=2y上，所以，x2=4y..（II）：由已知，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=k（x﹣4）+5，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则联立，整理得：x2﹣4kx+16k﹣20=0，由韦达定理，得，当直线l经过点S即x1=﹣4或x2=﹣4时，当x1=﹣4时，直线SA的斜率看作抛物线在点A处的切线斜率，则k1=﹣2，，此时；同理，当点B与点S重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）直线l不经过点S即x1≠﹣4且x2≠﹣4时，∵，∴，=，=．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性，分离参数a，问题转化为：当x＞1时恒成立，解出即可；（Ⅱ）求出个零点x1，x2，得到．构造函数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣ax，则，若函数f（x）=lnx﹣ax在（1，+∞）上单调递减，则1﹣ax≤0在（1，+∞）上恒成立，即当x＞1时恒成立，所以a≥1．（II）证明：根据题意，，因为x1，x2是函数的两个零点，所以，．两式相减，可得，即，故．那么，．令，其中0＜t＜1，则．构造函数，则．因为0＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即．可知，故x1+x2＞1．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．2016年8月1日。
辽宁省沈阳市18届高三数学上学期第二次模拟考试试题理18010902110
辽宁省沈阳市2018届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42．设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，则12z z ⋅=（ ） A. i 34+- B. i 34- C. i 43-- D. i 43-3．已知52log 2a =， 1.12b =，0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B. b c a <<C.a b c <<D. a c b <<4．设a ，b 是实数，则“0||||>>a b ”是“1>ab”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为2x π=，则a =（ ）A ．1 BC ．2D ．36．现有3个命题.1:p 函数()lg 2f x x x =--有2个零点.2:,,sin 62p x x x ππ⎛⎫∃∈+= ⎪⎝⎭3:p 若2,4,a b c d ac bd +=+=+>则,,,a b c d 中至少有1个为负数.那么,这3个命题中,真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 37．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： 3331373159517114192 3⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为( )A. 43B. 44C. 45D. 46 8．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1cos 4B =，2b =，sin 2sin C A =，则ABC ∆的面积为（ ）A.6B. 4C. 29．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，()1xf x =-⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()log 200a f x x a -+=>有四个零点，则a 的取值范围是（ ）A.1,14⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,4C.()1,8D.()8+∞ 10．如图圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播．若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设(0)OD x x a =≤≤，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y （图中阴影部分），则函数()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()2f x x =，则关于x 的在[]3,3-上根的个数是（ ）A. 10个B. 8个C. 6个D. 4个12．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得()2220x y y x x y e y ae xe ---+-=成立，则实数a 的取值范围为( )1,12e ⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13．函数()cos22sin ()f x x x x R =-∈的值域为 .14.若正实数,m n 满足2221x dx m n -⎛+=+ ⎝⎰，则()2log 2m n +的最小值_____.15.已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若存在实数[]1,2a ∈，对任意[]1,2x ∈，都有()1f x ≤，则75b c +的最大值是________.16.设G 是一个非空集合，*是定义在G 上的一个运算.如果同时满足下述四个条件： （ⅰ）对于,a b G ∀∈，都有a b G *∈；（ⅱ）对于,,a b c G ∀∈，都有()()a b c a b c **=**； （iii ）对于,a G e G ∀∈∃∈，使得a e e a a *=*=；（iv ）对于,'a G a G ∀∈∃∈，使得''a a a a e *=*=（注：“e ”同（iii ）中的“e ”）. 则称G 关于运算*构成一个群.现给出下列集合和运算：①G 是整数集合，*为加法；②G 是奇数集合，*为乘法；③G 是平面向量集合，*为数量积运算；④G 是非零复数集合，*为乘法. 其中G 关于运算*构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知集合A 是函数2lg(208)y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，:p x A ∈，:q x B ∈.（1）若A B φ⋂=，求a 的取值范围； （2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2f x x x x ππ=-+-，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50， 722a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ， 11b =， 131n n b S +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n c 满足12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅⋅+=, *n N ∈，求122017c c c ++⋅⋅⋅+的值. 20．（本小题满分12分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ， G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ． （1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．21.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和直线l ：1x ya b -=，椭圆的离心率e =l. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点()1,0E -，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数22111()(1)ln ()2f x x x x a R a a a=-++∈. （1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当12a =时，设()()6g x f x x =+，若正实数1x ，2x ，满足12()()4g x g x +=，求证：122x x +≥2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学理科 答案1—12：C C D B B D C B D A C A.13. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,3 14. 2 15. 6- 16. ①④17. （1），．………………2分若，则必须满足解得, ………………………………4分所以的取值范围是． …………………………………………………………5分 （2）易得或．……………………………………………………6分 ∵是的充分不必要条件， ∴是的真子集， ……………7分即解得，……………………………………………………9分∴的取值范围是．………………………………………………………10分 18.（1）原式可化为，，，， …………………………………………………2分故其最小正周期，………………………………………………3分 令，解得，……………………………………………………5分即函数图象的对称轴方程为，. …………………………………………………………6分（2）由（1），知，因为，所以. ………………………………8分又，故得，解得. ……………………………………………10分由正弦定理及，得.故.…………………………………………………12分19.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．依题意得1154550,{2622,a d a d ⨯+=+= 解得14a =， 3d =， 所以()1131na a n d n =+-=+. …………………………………………3分当1n =时， 21314b b =+=，当2n ≥时， 131n n b S +=+， 131n n b S -=+，以上两式相减得13n n n b b b +-=，则14n n b b +=，又214b b =，所以14n n b b +=， *n N ∈. ……………………………………5分所以{}n b 为首项为1，公比为4的等比数列，所以14n nb -=． ……………………………………………………………6分（Ⅱ）因为12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅⋅+=， *n N ∈ 当2n ≥时，112121n n n c c c a b b b --++⋅⋅⋅⋅+=， 以上两式相减得13nn n nc a a b +=-=， 所以1334n n n c b -==⨯， 2n ≥.……8分 当1n =时，121c a b =，所以1217c a b ==，不符合上式，……………………9分 所以122017c c c ++⋅⋅⋅+ ()2201673444=+++⋅⋅⋅+ ()20162017414734314-=+⨯=+- …………………………………………………12分20.（1）过点O 作OH FG ⊥于点H ，则OFH EOF θ∠=∠=， 所以sin sin OH OF θθ==，cos cos FH OF θθ==．……………………………………………3分所以1442sin cos 4sin222OFHOEF S SS θθθθθ⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪⎝⎭扇形，因为12AB AD ≥，所以1sin 2θ≥，所以定义域为ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭．………………………6分 （2）矩形窗面的面积为22sin 4sin S AD AB θθ=⋅=⨯=矩形．则透光区域与矩形窗面的面积比值为2sin cos 2cos 4sin 22sin θθθθθθθ+=+．……7分设()cos 22sin f θθθθ=+， ππ62θ≤<． 则()322221sin cos sin cos sin sin cos cos 'sin 22sin 2sin 2sin f θθθθθθθθθθθθθθθθ----=-+== 21cos sin222sin θθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，…………………………………………………………9分因为ππ62θ≤<，所以11sin222θ≤，所以1sin202θθ-<，故()'0f θ<， 所以函数()fθ在ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调减．……………………………………………11分所以当π6θ=时， ()f θ有最大值π6+，此时2sin 1AB θ== (m)……………12分 21.解：（Ⅰ）由直线:1x y l a b -=，∴2=，即2222433a b a b =+——①又由3e =2223c a =，即2223c a =，又∵222a b c =+，∴2213b a =——②将②代入①得，即42443a a =，∴23a =，22b =，21c =， ∴所求椭圆方程是2213x y +=；…………………………………………………4分 （Ⅱ）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为0x =， 则直线m 与椭圆的交点为(0,1)±，又∵(1,0)E -，∴90CED ∠=，即以CD 为直径的圆过点E ；………………………………6分②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为2y kx =+，11(,)C x y ，22(,)D x y ，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(13)1290k x kx +++=，由2214449(13)k k ∆=-⨯+23636k =-0>，得1k >或1k <-，…………8分 ∴1221213k x x k -+=+，122913x x k=+， ∴1212(2)(2)y y kx kx =++212122()4k x x k x x =+++∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ED ⊥，即0EC ED ⋅=，………………9分 由11(1,)EC x y =+，22(1,)ED x y =+，得1212(1)(1)0x x y y +++=，∴21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=，∴2229(1)12(21)501313k k k k k+-++⋅+=++，解得716k =>，即7:26m y x =+；………11分 综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为0x =或726y x =+. …12分22.解：（1）①0＜a ＜1时，a ﹣＜0，即0＜a，则f （x ）在（0，a ）和（，+∞）上单增，在（a ，）上单减………………………………………………2分 ②a=1时，a==1，f′（x ）≥0，则f （x ）在（0，+∞）上单增…………4分③a ＞1时，a ﹣＞0即0＜＜a ，则f （x ）在（0，）和（a ，+∞）上单增，在（，a ）上单减 ………………………………………………………………………6分（2）法一：由12()()4g x g x +=得：221112222ln 2ln 4x x x x x x +++++=；[]212121212()()42ln()x x x x x x x x +++=+- ；………………………8分设函数()ln (0)x x x x ϕ=->.因为'11()1x x x xϕ-=-=，所以在区间(0,1)上'()0x ϕ<，()x ϕ单调递减，在区间(1,)+∞上'()0x ϕ>，()x ϕ单调递增；因而函数()ln (0)x x x x ϕ=->的最小值为(1)1ϕ=.……………………………10分由函数()ln 1x x x ϕ=-≥知21212()()6x x x x +++≥，即1212(3)(2)0x x x x +++-≥， 又120x x +>，故122x x +≥.……………………………………………12分法二：因为 '2()210g x x x=++>，所以函数()g x 在区间(0,)+∞上递增，(1)2g =，12()()4g x g x +=，不妨设1201x x <≤≤.………………………………8分构造函数()()(2)4(01)F x g x g x x =+--<≤；则3'''224(1)()()(2)(21)2(2)102(2)x F x g x g x x x x x x x -⎡⎤=--=++--++=≥⎢⎥--⎣⎦，得()F x 在(]0,1上单增，……………………………………………………………10分有()(1)0F x F ≤=；所以1()0F x ≤， 即112(2)4()()g x g x g x -≤-=，由()g x 在(0,)+∞上单增，得122x x -≤，即122x x +≥. …………………………………12分。
辽宁省沈阳市2018届高三数学上学期第二次模拟考试试题理2018010902110
辽宁省沈阳市2018届高三数学上学期第二次模拟考试试题 理第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 2．设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，则12z z ⋅=（ ）A. i 34+-B. i 34-C. i 43--D.i 43-3．已知52log 2a =， 1.12b =，0.812c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A.c b a << B. b c a << C.a b c << D.a cb <<4．设a ，b 是实数，则“0||||>>a b ”是“1>ab”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为2x π=，则a =（ ）A ．1BC ．2D ．36．现有3个命题.1:p 函数()l g 2f xx x =--有2个零点.2:,,sin 62p x x x ππ⎛⎫∃∈+=⎪⎝⎭3:p 若2,4,a b c d ac bd +=+=+>则,,,a b c d 中至少有1个为负数.那么,这3个命题中,真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 37．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373159517114192 3⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩ ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为( )A. 43B. 44C. 45D. 468．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1cos 4B =，2b =，sin 2sin C A =，则ABC ∆的面积为（ ）A.6B. 4C.9．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，()1xf x =-⎝⎭，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()()l o g 200a f x x a -+=>有四个零点，则a 的取值范围是（ ）A.1,14⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,4C.()1,8D.()8+∞ 10．如图圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播．若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设(0)OD x x a =≤≤，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y （图中阴影部分），则函数()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()2f x x=，则关于x 的方程在[]3,3-上根的个数是（ ） A. 10个 B. 8个 C. 6个 D. 4个12．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得()2220x y y x x ye y a e x e ---+-=成立，则实数a 的取值范围为( )D. 1,12e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13．函数()cos22sin ()f x x x x R =-∈的值域为 .14.若正实数,m n 满足2221x dx m n -⎛+=+ ⎝⎰，则()2l o g2m n +的最小值_____.15.已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若存在实数[]1,2a ∈，对任意[]1,2x ∈，都有()1f x ≤，则75b c +的最大值是________.16.设G 是一个非空集合，*是定义在G 上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于,a b G ∀∈，都有a b G *∈；（ⅱ）对于,,a b c G ∀∈，都有()()a b c a b c **=**； （iii ）对于,a G e G ∀∈∃∈，使得a e e a a *=*=；（iv ）对于,'a G a G ∀∈∃∈，使得''a a a a e *=*=（注：“e ”同（iii ）中的“e ”）.则称G 关于运算*构成一个群.现给出下列集合和运算：①G 是整数集合，*为加法；②G 是奇数集合，*为乘法；③G 是平面向量集合，*为数量积运算；④G 是非零复数集合，*为乘法. 其中G 关于运算*构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合A 是函数2lg(208)y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，:p x A ∈，:q x B ∈. （1）若A B φ⋂=，求a 的取值范围； （2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求的取值范围. 18.（本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2f x x x x ππ=-+-，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50， 722a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ， 11b =， 131n n b S +=+.（Ⅰ）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅⋅+=, *n N ∈，求12201c c c ++⋅⋅⋅+的值.20．（本小题满分12分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F ， G 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m ，且12AB AD ≥．设EOF θ∠=，透光区域的面积为S ． （1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边AB 的长度．21.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>和直线l ：1x y a b -=，椭圆的离心率e =l（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点()1,0E -，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数22111()(1)ln ()2f x x x x a R a a a=-++∈. （1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当12a =时，设()()6g x f x x =+，若正实数1x ，2x ，满足12()()4g x g x +=，求证：122x x +≥2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学理科 答案1—12：C C D B B D C B D A C A.13. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,3 14. 2 15. 6- 16. ①④17. （1），．………………2分若，则必须满足解得, ………………………………4分所以的取值范围是． …………………………………………………………5分 （2）易得或．……………………………………………………6分 ∵是的充分不必要条件， ∴是的真子集， ……………7分即解得，……………………………………………………9分∴的取值范围是．………………………………………………………10分 18.（1）原式可化为，，，， …………………………………………………2分故其最小正周期，………………………………………………3分 令，解得，……………………………………………………5分即函数图象的对称轴方程为，. …………………………………………………………6分（2）由（1），知，因为，所以. ………………………………8分又，故得，解得. ……………………………………………10分由正弦定理及，得.故.…………………………………………………12分19.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．依题意得1154550,{2622,a d a d ⨯+=+= 解得14a =， 3d =， 所以()1131na a n d n =+-=+. …………………………………………3分当1n =时， 21314b b =+=，当2n ≥时， 131n n b S +=+， 131n n b S -=+，以上两式相减得13n n n b b b +-=，则14n n b b +=，又214b b =，所以14n n b b +=， *n N ∈. ……………………………………5分所以{}n b 为首项为1，公比为4的等比数列，所以14n nb -=． ……………………………………………………………6分（Ⅱ）因为12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅⋅+=， *n N ∈ 当2n ≥时， 112121n n n c c c a b b b --++⋅⋅⋅⋅+=， 以上两式相减得13nn n nc a a b +=-=， 所以1334n n n c b -==⨯， 2n ≥.……8分 当1n =时，121c a b =，所以1217c a b ==，不符合上式，……………………9分 所以122017c c c ++⋅⋅⋅+ ()2201673444=+++⋅⋅⋅+ ()20162017414734314-=+⨯=+- …………………………………………………12分20.（1）过点O 作OH FG ⊥于点H ，则OFH EOF θ∠=∠=， 所以sin sin OH OF θθ==，cos cos FH OF θθ==．……………………………………………3分所以1442sin cos 4sin222OFH OEF S S S θθθθθ⎛⎫=+=+⨯=+ ⎪⎝⎭扇形，因为12AB AD ≥，所以1sin 2θ≥，所以定义域为ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭．………………………6分 （2）矩形窗面的面积为22sin 4sin S AD AB θθ=⋅=⨯=矩形．则透光区域与矩形窗面的面积比值为2sin cos 2cos 4sin 22sin θθθθθθθ+=+．……7分设()cos 22sin f θθθθ=+， ππ62θ≤<． 则()322221sin cos sin cos sin sin cos cos 'sin 22sin 2sin 2sin f θθθθθθθθθθθθθθθθ----=-+==21cos sin222sin θθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，…………………………………………………………9分因为ππ62θ≤<，所以11sin222θ≤，所以1sin202θθ-<，故()'0f θ<， 所以函数()fθ在ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调减．……………………………………………11分 所以当π6θ=时， ()f θ有最大值π62sin 1AB θ== (m)……………12分 21.解：（Ⅰ）由直线:1x y l a b -==，即2222433a b a b =+——①又由e =2223c a =，即2223c a =，又∵222a b c =+，∴2213b a =——②将②代入①得，即42443a a =，∴23a =，22b =，21c =， ∴所求椭圆方程是2213x y +=；…………………………………………………4分 （Ⅱ）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为0x =， 则直线m 与椭圆的交点为(0,1)±，又∵(1,0)E -，∴90CED ∠=，即以CD 为直径的圆过点E ；………………………………6分②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为2y kx =+，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(13)1290k x kx +++=， 由2214449(13)k k ∆=-⨯+23636k =-0>，得1k >或1k <-，…………8分 ∴1221213k x x k -+=+，122913x x k =+， ∴1212(2)(2)y y kx kx =++212122()4k x x k x x =+++∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ED ⊥，即0EC ED ⋅= ，………………9分由11(1,)EC x y =+ ，22(1,)ED x y =+ ，得1212(1)(1)0x x y y +++=，∴21212(1)(21)()50k x x k x x +++++=， ∴2229(1)12(21)501313k k k k k +-++⋅+=++，解得716k =>，即7:26m y x =+；………11分 综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为0x =或726y x =+. …12分 22.解：（1）①0＜a ＜1时，a ﹣＜0，即0＜a ，则f （x ）在（0，a ）和（，+∞）上单增，在（a ，）上单减………………………………………………2分②a=1时，a==1，f′（x ）≥0，则f （x ）在（0，+∞）上单增…………4分③a ＞1时，a ﹣＞0即0＜＜a ，则f （x ）在（0，）和（a ，+∞）上单增，在（，a ）上单减 ………………………………………………………………………6分（2）法一：由12()()4g x g x +=得：221112222ln 2ln 4x x x x x x +++++=；[]212121212()()42ln()x x x x x x x x +++=+- ；………………………8分设函数()ln (0)x x x x ϕ=->.因为'11()1x x x xϕ-=-=，所以在区间(0,1)上'()0x ϕ<，()x ϕ单调递减，在区间(1,)+∞上'()0x ϕ>，()x ϕ单调递增；因而函数()ln (0)x x x x ϕ=->的最小值为(1)1ϕ=.……………………………10分由函数()ln 1x x x ϕ=-≥知21212()()6x x x x +++≥，即1212(3)(2)0x x x x +++-≥，又120x x +>，故122x x +≥.……………………………………………12分法二：因为 '2()210g x x x=++>，所以函数()g x 在区间(0,)+∞上递增，(1)2g =，12()()4g x g x +=，不妨设1201x x <≤≤.………………………………8分构造函数()()(2)4(01)F x g x g x x =+--<≤； 则3'''224(1)()()(2)(21)2(2)102(2)x F x g x g x x x x x x x -⎡⎤=--=++--++=≥⎢⎥--⎣⎦，得()F x 在(]0,1上单增，……………………………………………………………10分有()(1)0F x F ≤=；所以1()0F x ≤， 即112(2)4()()g x g x g x -≤-=，由()g x 在(0,)+∞上单增，得122x x -≤，即122x x +≥. …………………………………12分。
辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题
2021-2021 学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学文科试卷时间 :120 分钟 总分值 :150 分命题人 : 庞德艳 校对人 : 刘芷欣第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，总分值 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．集合 Mx | x 2 5x 4 0 , N0,1,2,3 那么集合 M N 中元素个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 42．己知a2i b i a,bR ，其中 i 为虚数单位，那么 a b 〔〕iA. -1B. 1C. 2D. -33． log 1 alog 1 b ，那么以下不等式一定成立的是〔〕221ab1 1A.1 B.C.ln abD.a b143ab34． 假设将函数fx2sin x6 的图象向右平移 个单位，再把所得图象 上的点的横坐标扩大到原来4的 2 倍，得到函数 gx 的图象，那么函数g x 图象的一条对称轴为〔〕A. xB.x7 C.x7D.x71224126x y 3y的取值范围为〔5．假设实数 x, y 满足xy，那么z〕2x y 3xA. 1,B.1,C.2,D.0,16.在Rt ABC中，A900，点 D 是 边BC 上 的 动 点 ，且AB3 , AC4 , ADABAC(0,0) ，那么当取得最大值时，AD 的值为〔〕A.7B. 3C.12 D.52527. 在等比数列a n 中， a 3, a 15 是方程 x 26x20的根，那么a 3a 15的值为〔〕a 9A.22B.2C.2D.2或 228．给出以下 4 个命题①“假设，那么 cos 1，那么 cos 13〞的否命题是“假设〞；232②假设命题p :x0, 44 ，那么p 为真命题；,si n xsinx③“平面向量 a, b 夹角为锐角，那么 a b0 〞的逆命题为真命题；④“函数 y2x m 1 有零点〞是“函数 y log m x 在 0,上为减函数〞的充要条件 .其中正确的命题个数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 49．对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂〞：7 133315，3 9 ，3, 仿此，假设m 3 的“分裂数〞中有一个是73，那么 m 的值为〔〕175 1119A. 8B. 9C. 10D. 1110 ． 已 知 偶 函数 f x 满 足 f x 1 f x 1 ，且 当 x[0,1]时 ， f x x 2 ， 那么 关 于 x 的 方程f x10 x 在3,3 上根的个数是〔〕A. 10 个B. 8个C. 6个D. 4 个11．如图 , 设点 A 是单位圆上的一定点 , 动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周 , 点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l , 弦 AP 的长为 d , 那么函数 df (l ) 的图像大致是 ()12．对任意的实数 x ，都存在两个不同的实数 y ，使得 e 2x y y xae 2 y x0 成立，那么实数 a 的取值范围为 〔〕A.0,1B.0,1C.1 , D.1,13e2e 2e3e第二卷二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共20 分 . 把答案填在答题纸上.13．向量a(m,2) ， b( 2,1)，且(ab)2b，那么m__________．14．2a4b 2 a, b R ,那么a2b 的最大值为__________．15 ．如图，四边形中，ABD 、BCD 分别是以 AD和 BD 为底的等腰三角形，其中A B C DAD 1， BC4， A D B C D B，那么AC_________．16．对于定义域为R 的函数f x ，假设满足① f 00 ；②当x R ，且 x0 时，都有xf x0 ；③当 x1 x2，且 f x1f x2时， x1 x20 ，那么称f x为“偏对称函数〞．现给出四个函数：①f x x2x ； f x 1n x 1x 0②2x( x；0)③ f x2x 11x2x 0e x x 1 ．12；④f x0x0那么其中是“偏对称函数〞的函数为__________ ．三、解答题〔本大题共70 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17.〔本小题总分值 12 分〕集合 A 是函数y lg 20 8x x2的定义域，集合 B 是不等式x22x1a20(a0) 的解集，p：x A，q：x B ．〔Ⅰ〕假设A B，求 a 的取值范围；〔Ⅱ〕假设p 是 q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围．18.〔本小题总分值 12 分〕函数 f ( x)cos2x 3 sin(x)cos(x) 1， xR ．2〔Ⅰ〕求函数f (x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；〔 Ⅱ 〕 在锐 角ABC中 ，内角A ，B ， C的 对 边分 别 为a ，b ，c ， 已 知f ( A)，1a ，b s 3i nCas ，i 求AABC的面积．19. 〔本小题总分值 12 分〕各项均为正数的等比数列a n 中， a 1 a 2 a 3 14 ， a 2·a 4=64 ．〔Ⅰ〕求数列a n 的通项公式；〔Ⅱ〕设 b n2n 1 a n ，求数列 b n 的前 n 项和 T n ．20. 〔本小题总分值 12 分〕函数fx1 ax 22a 1 x2lnx, aR．2〔Ⅰ〕假设曲线yf x在 x1 和 x3处的切线互相平行，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数fx 的单调区间．21. 〔本小题总分值 12 分〕fxe x ax 2 ， g x 是f x 的导函数．〔Ⅰ〕求 g x 的极值；〔Ⅱ〕假设 f xx 1在 x 0 时恒成立，求实数 a 的取值范围．请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答 . 注意：只能做所选定的题目 . 如果多做，那么按所做的第一个题目计分．22. 〔本小题总分值 10 分〕x 2 cos 为参数 ) ，直线 C 2 的方程为 y3x , 以 O在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 1 的参数方程为2 (ysin为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 〔Ⅰ〕求曲线 C 1 和直线 C 2 的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线 C 2 与曲线C 1交于 A, B 两点，求1 1OA ．OB23.〔本小题总分值 10 分〕不等式x x 3 x 6的解集为m, n .〔Ⅰ〕求 m, n 的值；〔Ⅱ〕假设 x 0, y 0, nx y m 0 ，求证： x y 16xy ．2021-2021 学年度上学期高中学段高三合考高三年数学文科卷答案1-12CDADB DBABC CA13714． 0 15.16 ．②④2三、解答〔以下分供参考〕17.〔本小分 12 分〕集合 A 是函数y lg 20 8x x2的定域，集合 B 是不等式x22x 1 a20(a0)的解集，p： x A， q： x B .〔Ⅰ〕假设A B，求 a 的取范；〔Ⅱ〕假设p 是 q的充分不必要条件，求 a 的取范.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．解：〔Ⅰ〕，．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(3分 )假设，必足所以的取范是．〔Ⅱ〕易得或∵是的充分不必要条件，∴是．解得,⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯的真子集，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(8.(6分 )分 )即解得，∴且不同取等的取范是．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(10.(12分 )分 )18.〔本小分 12 分〕函数 f ( x )cos2 x3 sin(x) cos(x)1， x R . 2〔Ⅰ〕求函数 f ( x ) 的最小正周期及其象的称方程；〔Ⅱ 〕在角ABC 中，内角 A， B， C 的分a， b， c，已知 f ( A)1， a，3，b sin C a sin A ，求ABC 的面.【答案】〔Ⅰ〕最小正周期，称方程；〔Ⅱ〕.解〔 1〕原式可化，，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(2分)故其最小正周期，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(4分)令，解得，即函数象的称方程，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(6分)〔 2〕由〔 1〕，知，因，所以. 又，故得由正弦定理及，解得.，得.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(8⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(10分)分 )故.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(12分) 19.〔本小分 12 分〕各均正数的等比数列a n中，a1a2a314a2·a4=64，.( Ⅰ ) 求数列a n的通公式；( Ⅱ )b n n a n，求数列b n的前n n2 1和 T .【答案】 ( Ⅰ ) a2n； (Ⅱ )T n2n 3 2n 1 6 .n解：〔Ⅰ〕等比数列的公比q q0，，且∵ a2 a4 64a38⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(2 分 )∴ a1q28，又a1a2a314∴ 3q24q 40 q0q2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(4 分 )∴ a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(6 分 ) n〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知b n2n1 a n得b n 2n 1 2n故 T n b1 b2+b n 1 21 3 222n 3 2n 12n 1 2n⋯〔1〕∴ 2T 1 22 3 232n 3 2n2n 1 2n 1⋯〔2〕n1 2 得：T n21 2 22232n2n 1 2n 1，∴ T2n 32n 16⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(12 分 ) n20.〔本小分 12 分〕函数 f x 1 ax2 2 a 1 x2ln x, a R .2〔Ⅰ〕假设曲y f x 在x 1 和 x 3 的切互相平行，求的；a〔Ⅱ〕求函数f x的区 .解：函数 f x 的定域0，+．且f x ax 2a 120). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(2 分 )( xx〔Ⅰ〕因曲y f x在 x1和 x 3 的切互相平行，所以 f1f 3 ．即a2a123a2a1 2 ，3解得a2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分.(4) 3〔Ⅱ〕f x ax1x 2( x0) .x①当 a 0 ， x0 ， ax 10 ，在区0,2上， f x0；在区2,上 f x0 ，故 f x 的增区是0,2，减区是2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(6 分)②当 0a 1，1 2 ，2a在区0,2和 1 ,上， f x0 ；在区2,1上 f x0 ，a a故 f x 的增区是0,2和 1 ,，减区是2, 1⋯⋯⋯⋯⋯ .(8分 )a a③当 a1，2x22因 f x0 ，故f x 的增区是0,. ⋯⋯⋯⋯⋯ .(10 分 ) 2x④当a1，012，2a在区0,1和 2,上， f x0；在区1,2上 f x0，a a故 f x 的增区是0, 1和 2,，减区是1, 2. ⋯⋯⋯ .(12分 ) a a21.〔本小分 12 分〕f x e x ax2，g x 是 f x 的函数．〔Ⅰ〕求 g x的极；〔Ⅱ〕假设 f x x 1在x0 恒成立，求数a的取范．解：〔Ⅰ〕 f x e x ax2， g x f ' x e x2ax， g ' x e x 2a ，当 a 0 ，g ' x0恒成立， g x 无极；⋯⋯⋯⋯⋯ .(1 分 )当 a0 ，g ' x0，即 x ln 2a ，由 g 'x0 ，得 x ln 2a ；由 g ' x0，得 x ln2a，所以当 x ln2a，有极小2a2aln2a, 无极大. ⋯⋯⋯⋯⋯ .(4分 )〔Ⅱ〕令h x e x ax2x 1， h' x e x12ax ，注意到 h 0h' 00 ，令 k x e x 1 x， k ' x e x1，且 k ' x0 ，得x0 ；k ' x0 ，得x0 ，∴ k x k 00，即e x1x 恒成立，故h' x x2ax 1 2a x ，当a 1， 1 2a0 ，h' x0 ，2于是当 x0 ，h x h 00，即 f x x 1成立.. ⋯⋯⋯⋯⋯ .(8 分 )当a 1，由 e x1x〔 x0 〕可得ex1 x 〔x0 〕. 2h ' x e x 1 2a e x 1 e x e x 1 e x2a，故当 x0,ln2a， h ' x0 ，于是当 x0,ln 2a， h x h 00，f x x1不成立.上， a 的取范,1．. ⋯⋯⋯⋯⋯ .(12分) 222.〔本小分10 分〕x2cos为参数 ) ，直C的方程y3x,以O 在直角坐系 xOy 中, 曲C的参数方程(1y2sin2极点 , x的正半极建立极坐系.〔Ⅰ〕求曲 C1和直 C2的极坐方程；〔Ⅱ〕假设直 C2与曲 C1交于A, B两点，求1 1 .OA OB解：〔Ⅰ〕曲 C1的普通方程x221, 2y2C1的极坐方程2 4 cos 4 sin70, .⋯⋯⋯⋯⋯ .(2分 )由于直 C2原点,且斜角, 故其极坐3R (或tan3)3..⋯⋯⋯⋯⋯.(5分)24 cos 4 sin7 0〔Ⅱ〕由, 得 22 3 27 0 ,3故1 22 3 2, 127,.1 1 OA OB 122 3OAOBOA OB1 2723. 〔本小 分 10 分〕不等式x x 3 x 6 的解集 m,n .〔Ⅰ〕求 m,n 的 ；〔Ⅱ〕假设 x 0. y 0, nx y m 0 ，求 ：解：〔Ⅰ〕由xx 3 x 6 ,得x3 或0 x 3 x x3 x 3 x或66解得1 x 9, m1, n 9,〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知x0, y0,9 xy 1,⋯⋯⋯⋯⋯.(7分 )2, . ⋯ ⋯⋯⋯⋯ .(10 分 )x y 16 xyx 0 ,x 3 x x 6⋯⋯⋯⋯⋯ .(5 分)11 y 9 x y 9 x x9x y 10x10 2x16,yyyy 9x1 , y 1取等号 ,当且 当即 xx y1241 1, 即 xy 16 xy .⋯⋯⋯⋯⋯ .(10 分)x 16 y。
2018年东北三省四市高考数学二模试卷
2018年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁U B）=（）A．（0，2]B．（﹣1，2]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）2．若复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．i3．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）=满足f（x）=1的x值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．1或﹣15．已知||=1，||=2，向量与的夹角为60°，则|+|=（）A．B．C．1 D．26．已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．7．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（）A．B．C．D．8．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．10．若正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，则x+2y的最小值（）A．3 B．4 C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．4+2πD．4+π12．函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的k级“理想区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）=x2（x∈R）存在1级“理想区间”B ．函数f （x ）=e x （x ∈R ）不存在2级“理想区间”C ．函数f （x ）=（x ≥0）存在3级“理想区间”D ．函数f （x ）=tanx ，x ∈（﹣，）不存在4级“理想区间”二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为 ． 14．若函数f （x ）=e x •sinx ，则f'（0）= ．15．等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3=8a 1+3a 2，a 4=16，则S 4= ． 16．F 为双曲线（a ＞b ＞0）的左焦点，过点F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ，B 两点，若=，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．已知点P （，1），Q （cosx ，sinx ），O 为坐标原点，函数f （x ）=•．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若A 为△ABC 的内角，f （A ）=4，BC=3，△ABC 的面积为，求△ABC的周长．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表： 女性用户：男性用户（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率．19． 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD ，AD=AP=2，AB=2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣PBD 外接球的体积．20．已知函数f （x ）=ax ﹣lnx ．（1）过原点O 作函数f （x ）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x ∈[1，+∞），不等式f （x ）≥a （2x ﹣x 2）恒成立，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆C ：+y 2=1（a ＞1），B 1，B 2分别是其上、下顶点，椭圆C 的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2018年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2018届高三数学上学期第二次模拟考试试题文
辽宁省沈阳市2018届高三数学上学期第二次模拟考试试题 文第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2|540,0,1,2,3M x x x N =-+≤=则集合MN 中元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42．己知()2,a ib i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b -=（ ）A. -1B. 1C. 2D. -3 3．）11a b > C. ()ln 0a b -> D. 31a b-<4． 若将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴为（ ）5．若实数,x y yx =的取值范围为（ ）A.()1,+∞ B. [)1,+∞ C. ()2,+∞ D. ()0,16. 在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D是边BC上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时，AD 的值为（ ）A. 72B. 3C. 125D. 527. 在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2620x x++=的根，则3159a a a 的值为（）A. B. 8．给出下列4个命题①“若πθ=，则1cos θ=”的否命题是“若3πθ≠p ⌝为真命题； ③“平面向量,a b 夹角为锐角，则0a b ⋅>”的逆命题为真命题；④“函数21xy m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的充要条件.其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 9．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373159517114192 3⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 1110．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()2f x x =，则关于x在[]3,3-上根的个数是（ ）A. 10个B. 8个C. 6个D. 4个11．如图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧AP 的长为l ,弦AP 的长为d ,则函数()d f l =的图像大致是( )12．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y，使得()220x yy x e y x ae----=成立，则实数a 的取值范围为 （ ）1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13．已知向量(,2)a m =，(2,1)b =-，且()2a b b +⊥，则m =__________． 14．已知()242,aba b R +=∈,则2a b +的最大值为__________．15．如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD BD 和为底的等腰三角形，其中14AD BC ==，，ADB CDB ∠=∠，则AC =_________．16．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足①()00f =；②当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当12x x ≠，且()()12f x f x =时， 120x x +<，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：② ()()()1102(0)n x x f x xx ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩；④()1x f x e x =--． 则其中是“偏对称函数”的函数为__________．三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知集合A 是函数()2lg 208y x x=+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，p x A q x B ∈∈：，：．（Ⅰ）若AB =∅，求a 的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2f x x x x x R ππ=+-+-∈，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A BC ，，的对边分别为a b c ，，，已知()13f A a =-=，，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积．19.（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中， 12314a a a ++=， 42·=64a a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20. （本小题满分12分） 已知函数()()()21212ln ,2f x ax a x x a R =-++∈． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．21. （本小题满分12分） 已知()2x f x e ax =-，()g x 是()f x 的导函数．（Ⅰ）求()g x 的极值；（Ⅱ）若()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数，直线2C 的方程为以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求23. （本小题满分10分） 已知不等式36x x x +-<+的解集为(),m n .（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）若0,0,0x y nx y m >>++=，求证：16x y xy +≥．2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级数学文科 试卷答案1-12题CDADB DBABC CA14． 0 15. 16． ②④三、解答题 （以下给分仅供参考） 17. （本小题满分12分） 已知集合A 是函数()2lg 208y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，p x A q x B ∈∈：，：.（Ⅰ）若AB =∅，求a 的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．解：（Ⅰ），． ………………….(3分)若，则必须满足解得,所以的取值范围是． ………..………………….(6分)（Ⅱ）易得或．∵是的充分不必要条件，∴是的真子集，………………….(8分)即 且不同时取等 ………………….(10分) 解得，∴的取值范围是． ………………….(12分)18. （本小题满分12分）已知函数21()cos )cos()2f x x x x x R ππ=+-+-∈，. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知()13f A a =-=，，，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）最小正周期，对称轴方程为；（Ⅱ）.解（1）原式可化为，，， ………………….(2分)故其最小正周期， ………………….(4分) 令，解得，即函数图象的对称轴方程为，. ………………….(6分)（2）由（1），知， 因为，所以.又，故得，解得. ………………….(8分) 由正弦定理及，得. ………………….(10分)故. ………………….(12分)19.（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中， 12314a a a ++=， 42·=64a a . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()21nn b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ) 2n na =； (Ⅱ) ()12326n n T n +=-⋅+.解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，且0q >， ∵243648a a a ⋅=⇒= ………………….(2分)∴218a q =，又12314a a a ++=∴()2344002q q q q --=>⇒= ………………….(4分)∴2n na = ………………….(6分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知()21n n b n a =-得()212n n b n =-⋅ 故()()12112+1232232212n n nn T b b b n n -=++=⋅+⋅++-⋅+-⋅ (1)∴()()23121232232212n n nT n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅ (2)()()12-得： ()()123122222212n n nTn +-=++++--⋅，∴()12326n nT n +=-⋅+ ………………….(12分)20. （本小题满分12分）已知函数()()()21212ln ,2f x ax a x x a R =-++∈ .（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.解： 函数()f x 的定义域为()0+∞，．且()()221f x ax a x'=-++ (0)x > .………………….(2分) （Ⅰ）因为曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，所以()()13f f '='．即()()22123213a a a a -++=-++，解得23a =. ………………….(4分) （Ⅱ）()()()12ax x f x x--=' (0)x >.①当0a ≤时， 0x >， 10ax -<， 在区间()0,2上， ()0f x '>；在区间()2,+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减区间是()2,+∞ ………………….(6分)②当102a <<时， 12a>， 在区间()0,2和1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上， ()0f x '>；在区间12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是()0,2和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫⎪⎝⎭…………….(8分)③当12a =时， 因为()()2202x f x x'-=≥， 故()f x 的单调递增区间是()0,+∞ . …………….(10分)④当12a >时， 102a<<， 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞上， ()0f x '>；在区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭. ……….(12分)21. （本小题满分12分） 已知()2x f x e ax =-， ()g x 是()f x 的导函数．（Ⅰ）求()g x 的极值；（Ⅱ）若()1f x x ≥+在0x ≥时恒成立，求实数a 的取值范围．解： （Ⅰ）()2x f x e ax =-， ()()'2x g x f x e ax ==-， ()'2x g x e a =-，当0a ≤时， ()'0g x >恒成立， ()g x 无极值； …………….(1分) 当0a >时， ()'0g x =，即()ln 2x a =，由()'0g x >，得()ln 2x a >；由()'0g x <，得()ln 2x a <，所以当()ln 2x a =时，有极小值()22ln 2a a a - ,无极大值 .…………….(4分)（Ⅱ）令()21x h x e ax x =---，则()'12x h x e ax =--，注意到()()0'00h h ==，令()1x k x e x =--，则()'1x k x e =-，且()'0k x >，得0x >； ()'0k x <，得0x <，∴()()00kx k ≥=，即1xex ≥+恒成立，故()()'212h x x ax a x ≥-=-，当12a ≤时， 120a -≥， ()'0h x ≥，于是当0x ≥时， ()()00h x h ≥=，即()1f x x ≥+成立. .…………….(8分)当12a >时，由1x e x >+（0x ≠）可得1x e x ->-（0x ≠）. ()()()()'12112x x x x x h x e a e e e e a --<-+-=--，故当()()0,ln 2x a ∈时， ()'0h x <，于是当()()0,ln 2x a ∈时， ()()00h x h <=， ()1f x x ≥+不成立.综上， a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． .…………….(12分) 22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos ()2sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数，直线2C 的方程为以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11.OA OB+ 解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为()()22221x y -+-=, 则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=, .…………….(2分)由于直线2C 过原点,且倾斜角为3π,故其极坐标为()3R πθρ=∈ (或tan θ=. .…………….(5分)得()2270ρρ-+=,. (7))1212112,7OA OB OA OB OA OB ρρρρ++∴+===⋅ .…………….(10分)23. （本小题满分10分） 已知不等式36x x x +-<+的解集为(),m n . （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）若0.0,0x y nx y m >>++=，求证： 16x y xy +≥ 解：（Ⅰ）由36x x x +-<+,得336x x x x ≥+-⎧<⎩+⎨或3360x x <<⎧<⎩+⎨或036x x x x ≤-+-⎧<⎩+⎨, 解得19,1,9,x m n -<<∴=-= …………….(5分) （Ⅱ）由（Ⅰ）知0,0,91,x y x y >>+= ()1199101016,y x x y x y x y ⎛⎫∴++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =即11,124x y ==时取等号, 1116x y∴+≥,即16.x y xy +≥ …………….(10分)。
2018届辽宁省沈阳市大东区高三质量监测文科数学试题及答案 精品
2018年沈阳市大东区高三质量监测数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22-24题为选考题，其它为必考题。
共150分，考试时间为120分钟。
考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. {}{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-,则=N M IA.{}2,1,0B.{}2,1,0,1-C.{}3,2,0,1-D.{}3,2,1,0 2.在复平面内,复数i z i 2)1(=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l4. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用错误!未找到引用源。
列联表进行独立性检验，经计算错误!未找到引用源。
,则所得到的统计学结论是：有（ ）的把握说“学生性别”与“支持该活动”是有关的 .A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
附： 0.100 0.010 0.0012.7063.841 5.024 6.635 10.828 5.设数列{}n a ，1a =1，前n 项和为n S ，若13n n S S +=()*n N ∈，则数列{}n a 的第5项是 A . 81 B . 181C. 54D.1626. 在ABC ∆中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边，且c cb A 22sin 2+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π,则 ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形7.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则y x 2-最小值为A ．0B ．23C ． -1D ．48.在半径为R 球面上有A ，B ，C 三点，且AB= 38，∠ACB=60°，球心O 到平面ABC 的距离为6，则半径R=A.8B. 10 C .12 D.149.函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=1||,1||11||,1)(2x x x x x f 的大致图像是10.阅读如图所示的程序框图,若输入的10k =,则该算法的功能是A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n -的前9项和11.直线λ过抛物线2y ＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是 ( )A ．2y ＝12xB ．2y ＝8xC ．2y =6xD ．2y =4x12.给出下列四个命题：①“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”； ②对于任意实数x,有)()(),()(x g x g x f x f =--=-且0>x 时, ,0)(>'x f ,0)(>'x g )()(0x g x f x '>'<时，则 ③函数)1,0(33log )(≠>-+=a a xxx f a是偶函数；④已知0>a ，则0x 满足关于x的方程b ax =的充要条件是"2121,"0202bx ax bx ax R x -≥-∈∃,其中真命题的个数是为A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21为必考题，每个试题考生都必须做答，第22-24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中横线上.13. 某企业有三个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1:2:1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从三个分厂生产的电子产品中共抽取100件作为使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h ，1020h ，1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_____________14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______15.已知正方形ABCD 的边长为2，P 是正方形ABCD 的外接圆上的动点，则•的最大值为 _______________.16.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ，右顶点是A ，若双曲线C 右支上存在两点B 、C ，使ΔABC 为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ________________三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2018年东北三省三校(辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4} 3．（5分）已知平面向量，则向量＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜95．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣56．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．18．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．89．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接P A，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+4y的最大值为．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a﹣2c cos B．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）＝（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．2018年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数＝＝i在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．2．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|2＜x＜4}【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}．故选：B．3．（5分）已知平面向量，则向量＝（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，1）【解答】解：向量＝（，）﹣（，﹣）＝（﹣，+）＝（﹣1，2）．故选：B．4．（5分）设x∈R，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件是（）A．﹣1＜x＜9B．x＞﹣1C．x＞1D．1＜x＜9【解答】解：由lg（x+1）＜1得0＜x+1＜10，得﹣1＜x＜9，即不等式的等价条件是﹣1＜x＜9，则使lg（x+1）＜1成立的必要不充分条件对应范围要真包含（﹣1，9），则对应的范围为x＞﹣1，故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝﹣2，a11＝﹣8，则a7＝（）A．﹣4B．4C．±4D．﹣5【解答】解：由等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，∴a7＝﹣＝﹣＝﹣4．故选：A．6．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且，则弦AB的长为（）A．B．4C．D．【解答】解：抛物线y2＝4x，∴P＝2，且经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，则|F A|＝x1﹣（﹣）＝x1+1，|FB|＝x2﹣（﹣）＝x2+1，∴|AB|＝|F A|+|FB|＝（x1+x2）+2＝+2＝．故选：C．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．B．C．D．1【解答】解：s＝﹣1，i＝2≤4，a＝1+1＝2，s＝﹣1+2＝1，i＝3≤4，a＝1﹣＝，s＝1+＝，i＝3+1≤4，a＝1﹣2＝﹣1，s＝﹣1＝，i＝4+1＞4，输出s＝，故选：C．8．（5分）如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，侧棱P A⊥底面ABC，则该三棱锥的体积为．故选：B．9．（5分）“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为＝1﹣．故选：A．10．（5分）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：矩形ABCD中，∵AB＝4，BC＝3，∴DB＝AC＝5，设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O因此球半径R＝2.5，四面体ABCD的外接球的体积：V＝×π×（2.5）3＝．故选：C．11．（5分）双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，过点F作一条直线与双曲线C的右支交于点P，Q，连接P A，QA分别与直线l：交于点M，N，则∠MFN＝（）A．B．C．D．【解答】解：（一般方法）双曲线C：的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F（2，0），设直线PQ的方程为x＝ky+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立方程组可得，消x整理可得（3k2﹣1）y2+12ky+9＝0，且k2≠，∴y1+y2＝，y1•y2＝，∴x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，x1x2＝k2y1y2+2k（y1+y2）+4＝则直线P A的方程为y＝•（x+1），直线QA的方程为y＝•（x+1），分别令x＝，可得y M＝•，y N＝•，∴＝（，﹣•），＝（，﹣•），∴•＝+•＝+＝0，∴⊥，∴∠MFN＝，（特殊方法），不妨令直线PQ为直线x＝2，由，解得y＝±3，∴P（2，3），Q（2，﹣3），∴直线P A的方程为y＝3x+3，当x＝时，y＝，即M（，），同理可得N（，﹣），∴＝（，﹣），＝（，），∴•＝﹣＝0，∴⊥，∴∠MFN＝，故选：C．12．（5分）已知定义域为R的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）＞f（x）+1，则下列正确的是（）A．f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1B．f（2018）﹣ef（2017）＜e﹣1C．f（2018）﹣ef（2017）＞e+1D．f（2018）﹣ef（2017）＜e+1【解答】解：令g（x）＝+e﹣x，则g′（x）＝﹣＝＞0，故g（x）在R递增，故g（2018）＞g（2017），即+e﹣2018＞+e﹣2017，故f（2018）+1＞ef（2017）+e，即f（2018）﹣ef（2017）＞e﹣1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的值域为（0，+∞）．【解答】解：8x＞0；∴8x+1＞1；∴；∴f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+4y的最大值为18．【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，让如图：作直线3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大由可得A（2，3），此时z＝18．故答案为：18．15．（5分）写出下列命题中所有真命题的序号②④．①两个随机变量线性相关性越强，相关系数r越接近1；②回归直线一定经过样本点的中心；③线性回归方程，则当样本数据中x＝10时，必有相应的y＝12；④回归分析中，相关指数R2的值越大说明残差平方和越小．【解答】解：对于①，两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近1，∴①错误；对于②，回归直线一定经过样本点的中心，②正确；对于③，线性回归方程，当样本数据中x＝10时，则y＝0.2×10+10＝12，∴样本数据x＝10时，预测y＝12，∴③错误；对于④，回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越小，∴④正确．综上，正确的命题是②④．故答案为：②④．16．（5分）数列{a n}中，，，设数列的前n项和为S n，则S n＝．【解答】解：∵，，∴﹣＝1，∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴＝2+n﹣1＝n+1，∴a n＝，∴＝﹣，∴数列的前n项和为S n＝+……+﹣+……+＝﹣＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a﹣2c cos B．（1）求角C的大小；（2）求的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）△ABC中，b＝2a﹣2c cos B＝2a﹣2c•，整理得a2+b2﹣c2＝ab，即cos C＝＝＝，因为0＜C＜π，则C＝；（2）由（1）知，则B＝π﹣A﹣，于是＝cos A+sin（π﹣A）＝cos A+sin A＝2sin（A+），由，则0＜A＜，∴＜A+＜π，∴当时，取得最大值为2，此时B ＝．18．（12分）某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，将数学成绩进行分组，并根据各组人数制成如下频率分布表：（1）写出a，b，c，d的值，并估计本次考试全年级学生的数学平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从成绩在[90，100]内的学生中任选出两名同学，从成绩在[40，50）内的学生中任选一名同学，共三名同学参加学习习惯问卷调查活动．若A1同学的数学成绩为43分，B1同学的数学成绩为95分，求A1，B1两同学恰好都被选出的概率．【解答】解：（1）由频率分布表，得：，解得a＝2，b＝0.06，c＝12，d＝0.24，估计本次考试全年级学生的数学平均分为：45×0.04+55×0.06+65×0.28+75×0.3+85×0.24+95×0.08＝73.8．（2）设数学成绩在[90，100]内的四名同学分别为B1，B2，B3，B4，成绩在[40，50）内的两名同学为A1，A2，则选出的三名同学可以为：A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4、A1B2B3、A1B2B4、A1B3B4、A2B1B2、A2B1B3、A2B1B4、A2B2B3、A2B2B4、A2B3B4，共有12种情况．A1，B1两名同学恰好都被选出的有A1B1B2、A1B1B3、A1B1B4，共有3种情况，所以A1，B1两名同学恰好都被选出的概率为．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，，D，E分别是棱CC1、BB1的中点．（1）证明：A1E⊥AD；（2）求点A到平面A1B1D的距离．【解答】证明：（1）连接DE，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得CC1⊥BC，∵BC⊥AC又有CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1∵D，E分别为CC1，BB1的中点，则DE∥BC，∴DE⊥平面ACC1A1，∴DE⊥AD∵，∴AD⊥A1D，A1D∩DE＝D，AD⊥平面A1DE，∴A1E⊥AD．解：（2）设点A到平面A1B1D的距离为d，∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，CC1∩A1C1＝C1，∴B1C1⊥平面A1DA由知，，即，解得．点A到平面A1B1D的距离为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点M（x，y）总满足关系式．（1）点M的轨迹是什么曲线？并写出它的标准方程；（2）坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，直线l与M的轨迹交于不同的两点A，B，若，求△AOB的面积．【解答】解：（1）根据题意，动点M（x，y）总满足关系式，整理变形可得：，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，它的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由点O到直线l：y＝kx+m的距离为1，得，即m2＝1+k2，联立直线与椭圆的方程，可得消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（3+4k2﹣m2）＝48（3k2+2）＞0，，＝＝．∵，∴，解得，，∴，∴．21．（12分）已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）＝（x﹣m）e x（常数m∈R）．（1）若m＝2，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）+m+1＞0恒成立，求实数m的最大整数值．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝（x﹣2）e x（x∈（0，+∞）），∴f'（x）＝（x﹣1）e x，令f'（x）＞0，有x＞1，∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，令f'（x）＜0，有0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上为减函数，综上，f（x）在（0，1）上为减函数，f（x）在（1，+∞）上为增函数．（2）∵f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立，即f（x）＞﹣m﹣1对于x∈（0，+∞）恒成立，由（1）知①当m≤1时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝﹣m，∴﹣m＞﹣m﹣1恒成立∴m≤1②当m＞1时，在（0，m﹣1）上为减函数，f（x）在（m﹣1，+∞）上为增函数．∴，∴﹣e m﹣1＞﹣m﹣1∴e m﹣1﹣m﹣1＜0设g（m）＝e m﹣1﹣m﹣1（m＞1），∴g'（m）＝e m﹣1﹣1＞0（m＞1），∴g（m）在（1，+∞）上递增，而m∈Zg（2）＝e﹣3＜0，g（3）＝e2﹣4＞0，∴在（1，+∞）上存在唯一m0使得g（m0）＝0，且2＜m0＜3，∵m∈Z，∴m最大整数值为2，使e m﹣1﹣m﹣1＜0，即m最大整数值为2，有f（x）+m+1＞0对于x∈（0，+∞）恒成立．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2：．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的异于极点的交点为A，与曲线C2的交点为B，求|AB|．【解答】（1）曲线C1的参数方程（θ为参数）可化为普通方程x2+（y﹣1）2＝1，由，可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+cos2θ）＝2．（2）射线（ρ＞0）与曲线C1的交点A的极径为，射线（ρ＞0）与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x﹣1|．（1）设f（x）+f（x+1）＜5的解集为集合A，求集合A；（2）已知m为集合A中的最大自然数，且a+b+c＝m（其中a，b，c为正实数），设．求证：M≥8．【解答】解：（1）f（x）+f（x+1）＜5，即|2x﹣1|+|2x+1|＜5；当时，不等式化为1﹣2x﹣2x﹣1＜5，∴；当时，不等式化为1﹣2x+2x+1＜5，不等式恒成立；当时，不等式化为2x﹣1+2x+1＜5，∴；综上，集合；（2）证明：由（1）知m＝1，则a+b+c＝1；则；同理；则；即M≥8．。
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2017-2018学年度上学期高三第二次模拟考试
数学文科 试卷
时间:120分钟 满分:150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
{}2|540,0,1,2,3M x x x N =-+≤=则集合M N 中元素个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2．己知()2,a i b i a b R i
+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b -=（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -3
3．已知112
2log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 1143a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. 11a b >
C. ()ln 0a b ->
D. 31a b -< 4． 若将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g
x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴为（ ） A. 12x π
= B.724x π= C. 712x π= D. 76
x π= 5．若实数,x y 满足3 23x y x y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪+>⎩
，则y z x =的取值范围为（ ） A. ()1,+∞ B. [)1,+∞ C. ()2,+∞ D. ()0,1
6. 在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且
3AB = ,4AC = ,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>> ，则当λμ取得最大值时，
AD 的值为（ ）
A. 72
B. 3
C. 125
D. 52
7. 在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2620x x ++=的根，则
3159a a a 的值为（ ） A.222
+- B. 2- C.2 D. 22-或 8．给出下列4个命题
①“若3π
θ=，则1cos 2θ=”的否命题是“若3πθ≠，则1cos 2
θ=”； ②若命题():0,,si 4n 4sin p x x x
π∃∈+≤，则p ⌝为真命题； ③“平面向量,a b 夹角为锐角，则0a b ⋅> ”的逆命题为真命题；④“函数21x
y m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的充要条件.
其中正确的命题个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
333137315951711419
2 3⎧⎧⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩ ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
10．已知偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()2f x x =，则关于x 的方程()10x f x -=在[]
3,3-上根的个数是（ ） A. 10个 B. 8个 C. 6个 D. 4个
11．如图,设点A 是单位圆上的一定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋
转一周,点P 所旋转过的弧
AP 的长为l ,弦AP 的长为d ,则函数()d f l =的图像大致是( )
12．对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得()220
x y y x e
y x ae ----=成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A. 10,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D. 1,13e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.
13．已知向量(,2)a m = ，(2,1)b =- ，且()2a b b +⊥ ，则m =__________．
14．已知()242,a b
a b R +=∈,则2a b +的最大值为__________． 15．如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD BD 和为底的等腰三角形，其中14AD BC ==，，
ADB CDB ∠=∠，则AC =_________．
16．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足①()00f =；②当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当12x x ≠，且()()12f x f x =时， 120x x +<，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数： ①()2f x x x =+； ② ()()()1102(0)n x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩；。