考点10 数列的综合应用

合集下载

高中数学数列数列的综合应用

高中数学数列数列的综合应用


第 2 年投入为 800×(1-15)万元,…,

第 n 年投入为 800×(1-15)n-1 万元,
例 探
所以,n 年内的总投入为
课 后

· 提 知
an=800+800×(1-15)+…+800×(1-15)n-1
作 业

=4 000×[1-(45)n].
菜单
新课标 ·文科数学(安徽专用)

自 主
课 后
究 ·
∵q∈R,∴q=2,a1=1.
提 知
∴数列{an}的通项公式为 an=2n-1.
作 业

菜单
新课标 ·文科数学(安徽专用)

自 主
(2)由(1)知,an=2n-1.
考 体
落 实
· 固
∴Sn=1×(1-1-2 2n)=2n-1,

· 明 考



∴2aSn+n 1=22nn+-11=1+2n-2 1.
.
典 例 探 究
故该企业每年上缴资金 d 的值为1 000(3m3-m-2m2m+1)时,

∵n≥1,∴2n-1≥1.∴1+2n-2 1≤3,
例 探 究 ·
∴当 n=1 时,2aSn+n 1的最大值为 3.
课 后 作 业



菜单
新课标 ·文科数学(安徽专用)



主 落
从社会效益和经济效益出发,某旅游县区计划投入 体 验
实 ·
资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,
· 明


解之得 10≤k≤ 10+1,且 k∈N*,

《数列综合应用举例》教案

《数列综合应用举例》教案

《数列综合应用举例》教案第一章:数列的概念与应用1.1 数列的定义与表示方法引导学生了解数列的概念,理解数列的表示方法,如通项公式、列表法等。

通过实际例子,让学生掌握数列的性质,如项数、公差、公比等。

1.2 数列的求和公式介绍等差数列和等比数列的求和公式,让学生理解其推导过程。

通过例题,让学生学会运用求和公式解决实际问题,如计算数列的前n项和等。

第二章:数列的性质与应用2.1 数列的单调性引导学生了解数列的单调性,包括递增和递减。

通过实际例子,让学生学会判断数列的单调性,并运用其解决相关问题。

2.2 数列的周期性介绍数列的周期性概念,让学生理解周期数列的性质。

通过例题,让学生学会运用周期性解决实际问题,如解数列的方程等。

第三章:数列的极限与应用3.1 数列极限的概念引导学生了解数列极限的概念,理解数列极限的含义。

通过实际例子,让学生掌握数列极限的性质,如保号性、夹逼性等。

3.2 数列极限的计算方法介绍数列极限的计算方法,如夹逼定理、单调有界定理等。

通过例题,让学生学会运用极限计算方法解决实际问题,如求数列的极限值等。

第四章:数列的级数与应用4.1 数列级数的概念引导学生了解数列级数的概念,理解级数的特点和分类。

通过实际例子,让学生掌握级数的基本性质,如收敛性和发散性等。

4.2 数列级数的计算方法介绍数列级数的计算方法,如比较法、比值法、根值法等。

通过例题,让学生学会运用级数计算方法解决实际问题,如判断级数的收敛性等。

第五章:数列的应用举例5.1 数列在数学建模中的应用引导学生了解数列在数学建模中的应用,如人口增长模型、存货管理模型等。

通过实际例子,让学生学会运用数列建立数学模型,并解决实际问题。

5.2 数列在物理学中的应用介绍数列在物理学中的应用,如振动序列、量子力学中的能级等。

通过例题,让学生学会运用数列解决物理学中的问题,如计算振动序列的周期等。

第六章:数列在经济管理中的应用6.1 数列在投资组合中的应用引导学生了解数列在投资组合中的作用,如资产收益的序列分析。

数列的综合应用

数列的综合应用

高三数学(人教版)
第六章 ·专题研究二
专 题 讲
nf(n+1) 1 (3)由题知,bn= f n =3n,

1 n(n+1) n(n+1)
1
11

则Tn=3×
2

6

∴பைடு நூலகம்n=
6(n-n+
). 1

111
1
1111 1
11
训 练

T1+T2+
T3+…
+Tn

6(1-
2+2-
3+3

4+…
+n-n+
) 1

1 a=2,f(x)=
(12)x.
高三数学(人教版)
第六章 ·专题研究二
专 题
又点(n-1,
an n2
)(n∈ N*)(在函数f(x)= ax的图象上,
讲 解

而ann2=21n-
1,即
an=
n2 2n-
1.
专 题
(n+ 1)2 n2 2n+ 1 (2)由 bn= 2n -2n= 2n 得,


111
1
Tn,试比较T1+T2+T3+…+Tn与 6的大小.
高三数学(人教版)
第六章 ·专题研究二
专 题
∴f(n+ 1)=
1 3
f(n)(n∈ N*),∴数列{f(n)}(n∈ N*)是以


1
1
f(1)=3为首项,3为公比的等比数列,
专 题
∴f(n)=13×(13)n- 1,即f(n)=(13)n(n∈ N*).
=6(1- 1 ). n+ 1

n∈

数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案

数列的综合应用知识点总结、经典例题解析、高考练习题带答案

数列的综合应用【考纲说明】1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和; 2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题; 3 .理解数列作为函数的特性,能够抽象出数列的模型;【知识梳理】考点一:通项公式的求解技巧1. 归纳、猜想数列的通项.2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.3. 用等差(等比)数列的通项公式求数列的通项公式.4. 已知数列{a n }前n 项和S n ,则⎩⎨⎧-=-11n nn S S S a 21≥=n n .5. 已知a n -a n-1=f(n)(n ≥2),则可用叠加法求a n .6. 已知a na n-1=f(n)(n ≥2),则可用叠乘法求a n .7. 已知数列{a n }前n 项之积T n ,一般可求T n-1,则a n =111 n 2n n T n T T -=⎧⎪⎨≥⎪⎩.8. 已知混合型递推式f(a n ,S n )=0,可利用a n =S n -S n-1(n ≥2)将关系式转化为只含有a n 或S n 的递推式,再求a n 或先间接求出S n 再求出a n .9. 已知数列{a n }的递推关系,研究它的特点后,可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(a n )}为等差或等比数列.例如:形如a n+1=Aa n +f(n)或a n+1=Aa n +q n ,均可以两边同时除以A n+1后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如a n =a n-1ka n-1+b 的递推数列可以两边同时倒数来求通项.考点二:数列求和的技巧 一、公式法1、等差数列的前n 项和公式2)1(2)(11dn n na a a n S n n -+=+=2、等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n3、常用几个数列的求和公式 (1))1(213211+=+⋯+++==∑=n n n k S nk n (2))12)(1(61321222212++=+⋯+++==∑=n n n n k S nk n (3)2333313)]1(21[321+=+⋯+++==∑=n n n k S nk n二、错位相减法用于求数列}{n n b a ⨯的前n 项和,其中}{n a ,}{n b 分别是等差数列和等比数列。

高三数学二轮复习数列的综合应用课件

高三数学二轮复习数列的综合应用课件

P2
P1
Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,
求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1
所围成的区域的面积Tn.
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.
(1)求数列{xn}的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2),…,
(1)求S1,S2及数列{Sn}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn =
1
7
≤|Tn|≤ .
3
9
−1

,且{bn}的前n项和为Tn,求证:当n≥2时,
已知数列{an}满足a1=1,Sn=2an+1,其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*).
(1)求S1,S2及数列{Sn}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn =
Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=
xn+1所围成的区域的面积Tn.
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2:数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1=1,Sn=2an+1,其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*).
1
7
≤|Tn|≤ .
3
9
−1

,且{bn}的前n项和为Tn,求证:当n≥2时,

高中数学-数列综合应用

高中数学-数列综合应用

数列综合应用知识精要一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法(1)直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和;①等差数列的前n 项和公式:②等比数列的前n 项和公式:(2)一些常见的数列的前n 项和:○1(1)12342n n n ++++++=; ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=; ○32462(1)n n n ++++=+; ○4213521n n ++++-=; ○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。

2、倒序相加法如果一个数列{}n a ,首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和就是用此法推导的;4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和;注:用裂项相消法求数列前n 项和的前提是:数列中的每一项均能分裂成一正一负两项,这是用裂项相消法的前提。

5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减;6、并项求和法一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和。

形如(1)()n n a f n =-类型,可采用两项合并求解。

二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤:(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的特征、要求是什么;(3)求解——求出该问题的数学解;(4)还原——将所求结果还原到实际问题中。

2、数列应用题常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差;(2)等比数列:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比。

高考数学《数列求和及综合应用》复习

1010
C. 2019
2020
√D. 2020 2021

a1
1 2
,an1
1 2 an
,得 a2
1 2 a1
2 3
,a3
3 4
,归纳可得
an
n
n
1
.当
n
1
时,a1
1 2
满足
an
n.
n 1
假设当 n k 时满足,即 ak
k
k 1
,当
n
k
1 时,
ak 1
1 2 ak
1 2 k
k 1 ,满足该式,故
an
SS1n,
n
1 Sn1, n
2, n N
只有 a1 S1 ,满足 n 2 的情形,通项公式才可以统一写成 an Sn . Sn1
1.已知数列an
满足
a1
1 2

an1
2
1 an
n N*
,则 a1
a2 22
a3 32
a2020 的值是(
20202
)
A. 2018
2019
B. 1009
3.以等差(比)数列为命题背景,考查等差(比)的前n项和公式、 分组求和 4.以递推数列、等差(比)数列为命题背景, 考查错位相减、裂项相消、倒序相加等求和方法
考点解读
5.等差(比)数列的求和、分组求和、错位相减求和及裂项相消求和 6.常与不等式、函数、解析几何相结合考查数列求和函数、 不等式的性质等
2.已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 2n1 2 ,
则数列
log
2
an
1 log2
an1

数列的综合应用

数列的综合应用数列是数学中重要的概念之一,它在各个领域中都有着广泛的应用。

数列的综合是数列中各个数值的求和运算,可以帮助我们解决很多实际问题。

本文将探讨数列的综合应用,从数学角度分析其在现实生活中的具体应用。

一、数列的定义和性质在介绍数列的综合应用之前,我们首先需要了解数列的基本定义和性质。

数列是按照一定规律排列的一组数,其中每个数称为数列的项。

根据数列的性质,我们可以将数列分为等差数列和等比数列两种常见类型。

1. 等差数列:等差数列中的任意两个相邻项之差都相等,这个固定的差值称为公差。

等差数列的一般形式为an = a1 + (n-1)d,其中an表示第n项,a1表示首项,d表示公差。

2. 等比数列:等比数列中的任意两个相邻项之比都相等,这个固定的比值称为公比。

等比数列的一般形式为an = a1 * r^(n-1),其中an表示第n项,a1表示首项,r表示公比。

二、数列的综合应用数列的综合应用广泛存在于日常生活和各个学科领域中,下面将从几个具体问题场景中介绍数列的应用。

1. 汽车里程计算假设一辆汽车从起点出发,每小时行驶的里程数分别是12公里、15公里、18公里、21公里...... 如果想知道5个小时内总共行驶了多少公里,我们可以使用等差数列的综合公式来计算。

首先确定首项a1=12,公差d=3(每小时增加3公里),然后带入数列综合公式Sn =(n/2)[2a1+(n-1)d],代入n=5进行计算得出结果为75公里。

因此,这辆汽车在5个小时内共行驶了75公里。

2. 学生成绩评估假设某学生在数学考试中的成绩分别是80分、85分、90分、95分......,如果想知道前10次考试的总分,我们可以使用等差数列的综合公式进行计算。

首先确定首项a1=80,公差d=5(每次考试分数增加5分),然后带入数列综合公式Sn = (n/2)[2a1+(n-1)d],代入n=10进行计算得出结果为875分。

因此,这名学生前10次数学考试的总分为875分。

数列的综合应用总结

数列的综合应用总结数列作为数学中常见的一种数学对象,在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将对数列的综合应用进行总结和分析,包括数列的定义、数列求和的方法以及数列在实际问题中的应用等方面。

一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。

一般用an表示数列中的第n个数,其中n为正整数,称为项号。

数列的通项公式表示了数列中任意一项与项号之间的关系。

二、数列求和的方法1.等差数列求和等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d,其中a1为首项,d为公差。

等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列求和公式来计算,即Sn =(a1 + an) * n / 2。

2.等比数列求和等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1),其中a1为首项,q为公比。

等比数列的前n项和Sn可以通过等比数列求和公式来计算,即Sn =(a1 * (1 - q^n)) / (1 - q),当|q| < 1时成立。

3.其他数列求和方法除了等差数列和等比数列,还存在一些特殊的数列,它们的求和方法也各不相同。

比如斐波那契数列、调和数列等,它们的求和方法需要根据具体的问题和数列的规律来确定。

三、数列在实际问题中的应用数列的应用广泛存在于实际问题的建模和解决过程中。

下面以几个具体的应用场景来说明数列在实际问题中的应用。

1.金融领域在金融领域中,利率、投资回报率等与时间相关的指标可以使用数列进行建模。

比如等额本息还款方式下,每期的还款金额就可以通过等差数列求和来计算。

2.物理学领域在物理学中,许多物理现象的变化过程可以用数列进行描述。

比如自由落体运动的位移、速度、加速度等物理量随时间的变化可以用等差数列或等比数列来表示和推导。

3.计算机科学领域在算法设计和数据处理中,数列也有着重要的应用。

比如在排序算法中,快速排序、归并排序等算法利用了数列的递推和分治思想来实现高效的排序。

四、总结数列作为一种常见的数学对象,具有广泛的应用价值。

数列求和与数列的综合应用

数列求和与数列的综合应用 一、分组求和法:若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减。

1、已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ,22.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()n na n ab n 12-+=,求数列{}n b 的前n 2项和T 2n .2、已知{}n a 是等差数列,满足13a =,412a =,数列{}n b 满足14b =,420b =,且{}n n b a -是等比数列.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n b 的前n 项和S n .二、裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。

(2)常见的裂项技巧①1n (n +1)=1n -1n +1②1n(n+2)=12(1n−1n +2) ③1(2n −1)(2n+1)=12(12n−1−12n +1)④1n +n +1=n +1-n 3、设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-= .(1)求{}n a 的通项公式;n .4、已知数列{}n a 是递增的等比数列,且14239,8.a a a a +==(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,11n n n n a b S S ++=,求数列{}n b 的前n 项和n T .三、错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的。

5、已知 a n 是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=6,a 1a 2=a 3(1)求数列 a n 通项公式;(2) b n 为各项非零的等差数列,其前n 项和为S n ,已知S 2n +1=b n b n +1,求数列 b na n 的前n 项和T n .6、已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)求数列2{}n n a b 的前n 项和T n *()n ∈N .四、分奇数、偶数求和(课后作业)7、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知121,2a a ==,且(1)证明:23n n a a +=;(2)求n S8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若a 1=2,a n +1+a n =2n −1(1) 求数列{}n a 的通项公式(2) 求n S。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

温馨提示:此题库为Word 版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观 看比例,关闭Word 文档返回原板块。

考点10 数列的综合应用解答题1. (2011·湖北高考理科·T19)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足:1a a = (0)a ≠,1n n a rS += (n ∈N *,,1)r R r ∈≠-.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)若存在k ∈ N *,使得1k S +,k S ,2k S +成等差数列,试判断:对于任意的m ∈N *,且2m ≥,1m a +,m a ,2m a +是否成等差数列,并证明你的结论.【思路点拨】(1)利用11S ,1S S ,2-=⎧=⎨-≥⎩n n n n a n ,将1S +=n n a r 转化为21(1)n n a r a ++=+,再分0r =与 0r ≠两种情况求解.(2)0r =时易证明;0r ≠时,由“存在*N ,∈k 使得12S ,S ,S ++k k k 成等差数列”可得12S S 2S +++=k k k ,据此可求出r ,最后可证明122m m m a a a +++=,即对任意的*,m N ∈且2m ≥时,有12,,m m m a a a ++成等差数列.【精讲精析】⑴由已知1S +=n n a r ,可得21S ++=n n a r ,两式相减可得2111(S S )r ,++++-=-=n n n n n a a r a 即21(1)n n a r a ++=+,又21a ra ra ==,所以0r =时,数列{}n a 为:,0,,0;a当0r ≠且1r ≠-时,由已知0a ≠,所以*0()n a n N ≠∈, 于是由21(1)n n a r a ++=+,可得21(1)n n a r a ++=+*()n N ∈, 2,,∴ n a a 成等比数列,综上,数列{}n a 的通项公式为2,1,(1), 2.n n a n a r r a n -⎧=⎪=⎨⎪+≥⎩⑵对于任意的m ∈N *,且2m ≥,1m a +,m a ,2m a +成等差数列.证明如下 :当0r =时,由⑴知,,1,0, 2.n a n a n =⎧=⎨≥⎩∴对于任意的m ∈N *,,且2m ≥,1m a +,m a ,2m a +成等差数列. 当0r ≠,1r ≠-时,∵212S S +++=++k k k k a a ,11S S ++=+k k k a . 若存在*k N ∈,使得12S ,S ,S ++k k k 成等差数列,则12S S 2S +++=k k k , ∴122S 22S ++++=k k k k a a ,即212k k a a ++=-,由⑴知,2,, n a a 的公比12r +=-,于是对于任意的m ∈N *,,且2m ≥,12m m a a +=-,从而24m m a a +=,∴122m m m a a a +++=,即12,,m m m a a a ++成等差数列.综上,对于任意的*,m N ∈且2m ≥时,有12,,m m m a a a ++成等差数列. 2.(2011·湖北高考文科·T17)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的b ,b ,b .(1) 求数列{}n b 的通项公式. (2) 数列{}n b 的前n 项和为nS,求证:数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列. 【思路点拨】(1)设等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+,由已知条件可构造含有,a d 的方程组求解.(2)由n b 先求出S n ,再利用定义证明数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列. 【精讲精析】(1)设等差数列的三个正数分别为a-d ,a ,a+d. 依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5. 所以{}n b 中的b 3,b 4,b 5依次为7-d ,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去). 故{}n b 的第3项为5,公比为2. 由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,解得154b =.所以{}n b 是以54为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为: 1352524n n n b --=⋅=⋅.(2)数列{}n b 的前n 项和()251254S 52124n n n --==⋅--,即25S 524n n -+=⋅. 所以155S 42+=,1125S 5242552S 4n n n n -+-+⋅==⋅+. 因此数列5S 4n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以52为首项,公比为2的等比数列.3.(2011·全国高考理科·T20)设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--(1)求{}n a 的通项公式. (2)设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明:【思路点拨】解本题关键是由式子1111,11+-=--n n a a 得到1{}1na -是等差数列,进而可求出数列{}n a 的通项公式.(2)问先求出{}n b 的通项公式,注意观察能采用裂项相消的方式求和. 【精讲精析】 (1) 1{}1na -是公差为1的等差数列,所以111(1)1.11n n n a a =+-⨯=--所以1()*-=∈n n a n N n.(2)n b ===111nn k k S b ===+++=<∑ . 4.(2011·上海高考理科·T22)已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+,27n b n =+(*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列,构成数列123,,,,,n c c c c (1)写出1234,,,c c c c .(2)求证:在数列{}n c 中,但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a .(3)求数列{}n c 的通项公式.【思路点拨】本题考查数列有关知识,利用两个等差数列,组合成一个新的数列,进而考查新数列的性质,以及求其通项公式,紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键. 【精讲精析】(1)对数列36n a n =+,依次是9,12,15,18,21,…对数列27n b n =+,依次是9,11,13,15,17,19,21,…,所以19c =,211c =,312c =,413c =.(2)266n a n =+表示的是从12开始的所有的能被6整除的数,当然能被2整除,而n b 表示的是从9开始的所有奇数,故2n a 均不在n b 中;再证明:21n a -项均在n b 中,2163n a n -=+,表示的是从9开始除以6余3的数,故都是奇数,而n b 表示的是从9开始的所有奇数,故21n a -项均在n b 中,这就证明了在数列{}n c 中但不在数列{}n b 中的n a 的项恰好是所有的偶数项2n a .(3)根据上面的讨论可知6是数列{}n c 在自然数中的截取周期,即在从9开始连续的6个自然数中,第一项一定是{}n a 与{}n b 的公共项,第二项不存在于{}n c 中,第三项一定是{}n b 中的项,第四项一定是{}n a 中的项,第五项是{}n b 中的项,第六项不在{}n c 中,这样的话数列{}n c 是以4为截取周期的,故{}n c 的通项公式是323123(43)(42)(41)(4)k k n k k b n k b n k c a n k b n k --=-⎧⎪=-⎪=⎨=-⎪⎪=⎩k 1,2,3,= ()5.(2011·上海高考文科·T23)已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+,27n b n =+(*)n N ∈.将集合{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列,构成数列123,,,,,n c c c c (1)求三个最小的数,使它们既是数列{}n a 中的项,又是数列{}n b 中的项. (2)数列12340,,,, c c c c 中有多少项不是数列{}n b 中的项?请说明理由. (3)求数列{}n c 的前4n 项和4(*)n S n N ∈.【思路点拨】本题考查数列的有关知识,利用两个等差数列,组合成一个新的数列,进而考查新数列性质,以及求其通项公式,紧紧围绕新数列的构成特点是解决本题的关键.【精讲精析】(1)显然36n a n =+表示的是从9开始能被3整除的所有的正整数,b n =2n+7表示从9开始的所有奇数,故最小的三个数为9,15,21.(2)可知6是数列{}n c 在自然数中的截取周期,即在从9开始连续的6项自然数中,第一项一定是{}n a 与{}n b 的公共项,第二项不存在于{}n c 中,第三项一定是{}n b 中的项,第四项一定是{}n a 中的项,第五项是{}n b 中的项,第六项不在{}n c 中,这样的话数列{}n c 是以4为截取周期的,故{}n c 的通项公式是323123(43)(42)(41)(4)k k n k k b n k b n k c a n k b n k --=-⎧⎪=-⎪=⎨=-⎪⎪=⎩*()k N ∈.∴c 1,c 2,c 3,…,c 40中有10项不是数列{}n b 中的项.(3)因为4342414323123-----+++=+++n n n n k k k k c c c c b b a b =636566672421k k k k k +++++++=+, 故241(1)(2421)242112332=+=+=⨯+=+∑nn k n n S k n n n . 6.(2011·四川高考文科·T20)已知{}n a 是以a 为首项,q 为公比的等比数列,n S 为它的前n 项和. (1)当134,,S S S 成等差数列时,求q 的值.(2)当,,m n l S S S 成等差数列时,求证:对任意自然数,,,m k n k l k k a a a +++也成等差数列. 【思路点拨】(1)直接利用4331S S S S -=-求公比q . (2)当=1q 时,,,m k n k l k a a a +++显然成等差数列.当1q ≠时,2m l n S S S +=即为(1)(1)(1)2.111m l n a q a q a q q q q ---+=---可得2.mlnq q q +=再证明2m k l k n k a a a ++++=成立. 【精讲精析】(1)由已知得1.n n a aq -=∴223134,(1),(1).S a S a q q S a q q q ==++=+++ 当134,,S S S 成等差数列时,4331S S S S -=-, 可得32.aq aq aq =+化简得210.q q --=解得q =(2)若=1q ,{}n a 的每项n a a =,此时,,m k n k l k a a a +++显然成等差数列.若1q ≠,由,,m n l S S S 成等差数列可得2m l n S S S +=.即(1)(1)(1)2.111m l n a q a q a q q q q ---+=---整理得2.m l n q q q +=∴11()22.k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==∴,,m k n k l k a a a +++成等差数列.7.(2011·重庆高考理科·T21)设实数数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n n S a S 11++=(n ∈N *) (1)若2212,,a S a -成等比数列,求2S 和3a . (2)求证:对,3≥k 有3401≤≤≤+k k a a . 【思路点拨】根据题目中的条件可以列出等式,求2S 和3a 的值,灵活运用题目中的条件,找到1+n a 与n S 的关系是求解第二问的关键.【精讲精析】(1)由题意⎩⎨⎧==-=,,2211222122a a S a S a a S 得2222S S -=,由2S 是等比中项知02≠S ,因此22-=S 由23332S a S a S ==+解得.321221223=---=-=S S a(2)由题设条件有n n 1n 1n S a a S +++=. 故1,11≠≠+n n a S 且,1,1111-=-=+++n n n n n n a a S S S a 故对3≥k 有k 1k 12k 1k 1k 2k 1k 1k 2k 1k 1k 1k 2k 1k 1k 1k 1a a S a S a a 1a a S 1a S 1a a 1a 1a 1---------------++-====-+--++-- ①因22k 1k 1k 113aa 1a 024---⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭且2k 1a 0-≥,由①得k k 1a 0,a 0.+≥≥要证,34≤k a 由①只要证2k 12k 1k 1a 4,a a 13---≤-+即证22k 1k 1k 13a 4(a a 1)---≤-+,即0)2(21≥--k a .此式明显成立.因此k 4a (k 3).3≤≥ 最后证k k a a ≤+1.假设2k k 1k 2k k a a a a a 1+=>-+,又因k a 0≥,故k 2k k a 1a a 1>-+,即0)1(2<-k a ,矛盾. 因此k k a a ≤+1)3(≥k . 综上,对,3≥k 有3401≤≤≤+k k a a . 关闭Word 文档返回原板块。

相关文档
最新文档