2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷含详解

2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B=．2．（4分）不等式＜1的解集为．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q 是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．015．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．3316．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B={1，3} ．【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（4分）不等式＜1的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）．【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之．3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=3．【考点】4R：反函数．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】令f﹣1（5）=a，则f（a）=5．解得答案．【解答】解：令f﹣1（5）=a，则f（a）=2a﹣1=5，解得：a=3，故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是反函数，熟练掌握反函数性质，原函数过（a，b）点，反函数过（b，a）点，是解答的关键．4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为﹣1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞=，代值计算即可【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣1【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=．【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式即可得出，【解答】解：∵复数z满足，∴z=，化为4z=，即z=，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的模的计算公式，属于基础题．6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是80．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．=C5r（2x）5﹣r，【解答】解：设求的项为T r+1今r=2，∴T3=23C52x3=80x3．∴x3的系数是80．故答案为：80【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，由此能求出其中恰好有1个二等品的概率．【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，基本事件总数n==495，其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，∴其中恰好有1个二等品的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是[﹣5，3] ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f （4），可得|a+1|≤4，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，可得f（x）=f（|x|），则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），可得|a+1|≤4，即﹣4≤a+1≤4，解得﹣5≤a≤3，则实数a的取值范围是[﹣5，3]．故答案为：[﹣5，3]．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9．（5分）已知等比数列前n项和为S n，则使得S n＞2018的n的最小值为10．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，由数列分析可得该等比数列的首项与公比，计算可得其前n项和S n==（3n﹣1），解不等式3n﹣1＞18×2018，解可得n的值．【解答】解：根据题意，等比数列为{a n}，其首项a1=，公比q==3，其前n项和S n==（3n﹣1），若S n＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*，则n≥10，故答案为：10．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式，注意分析该数列的首项与公比．10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为36π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得l=9，由此能求出此圆锥的表面积．【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2π×3=×l，解得l=9，∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．故答案为：36π．【点评】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥结构特征等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是基础题．11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为π．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再利用三角函数的周期性，求得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（ωx+）=cosωx的图象，令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，∴•≤1，∴ω≥π，则ω的最小值为π，故答案为：π．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的周期性，属于基础题．12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为2．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设动点P（x，y），M（x1，y1）、N（x2，y2），由直线OM与ON的斜率之积为2，得：2x1x2﹣y1y2=0，由向量的坐标运算、向量相等得到x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，把M、N代入双曲线方程化简，结合式子的特点化简2x2﹣y2，得到点P的轨迹方程，根据双曲线的定义即可得到所求定值．【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1）、N（x2，y2），∵直线OM与ON的斜率之积为2，∴•=2，所以2x1x2﹣y1y2=0，①，∵动点P满足，∴（x，y）=（2x1﹣x2，2y1﹣y2），则x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，∵M、N是双曲线上的点，∴2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4．∴2x2﹣y2=2（2x1﹣x2）2﹣（2y1﹣y2）2=4（2x12﹣y12）+（2x22﹣y22）﹣4（2x1x2﹣y1y2）=4×4+4﹣4（2x1x2﹣y1y2）=20﹣4（2x1x2﹣y1y2），把①代入上式得：2x2﹣y2=20，即﹣=1，所以点P是双曲线﹣=1上的点，因为﹣=1的两个焦点为：F1（﹣，0）、F2（，0），所以||PF1|﹣|PF2||为定值2．故答案为：2．【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，双曲线的定义，两个向量坐标形式的运算，解题时要认真审题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，由乙可推出甲，是必要条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题．14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q 是AC边上的动点，则的最小值为（）A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．0【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，1）设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，故的最小值为﹣2，故选：B．【点评】本题考查了向量的坐标运算以及向量的数量积，属于中档题15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（）小时．A．22B．23C．24D．33【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】由该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，列出方程组，求出，由此能出该食品在33°C的保鲜时间．【解答】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，∴，解得e11k=，∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×e b=（）3×192=24（小时）．故选：C．【点评】本题考查该食品在33°C的保鲜时间的求法，考查待定系数法等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（）A．1B．2C．D．2π2【考点】HV：反三角函数．【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，判断f（x）的奇偶性，由题意可得f（0）=0，求得a，再由反三角函数的定义和性质，化简函数，求得f（x）=0的解，即可得到所求和．【解答】解：令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，可得f（﹣x）=（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a=f（x），则f（x）为偶函数，∵f（x）=0有三个实数根，∴f（0）=0，即0++a=0，故有a=﹣，关于x的方程即x2+arcsin（cosx）﹣=0，∴x2 =0，且+arcsin（cosx1）﹣=0，x32+arcsin（cosx3）﹣=0，x1=﹣x3，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx），当x＞0，且0＜x＜π时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣arcsin（sin（﹣x））=﹣（﹣x））=x，则﹣π＜x＜0时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣x，由y=x2和y=﹣arcsin（cosx）的图象可得：它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），则x12+x22+x32=0+1+1=2．故选：B．【点评】本题考查反三角函数的定义和性质，以及函数方程的转化思想，以及化简整理的运算能力，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；35：转化思想；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）求出AD1∥BC1，∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角，由此能求出异面直线BC1与CD1所成的角．（2）由，能求出三棱锥B﹣D1AC的体积．【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1，∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．（2分）∵AB=2，AD=1，A1A=1．∴在等腰△ACD1中，∴cos∠CD1A===，…（4分）∴异面直线BC1与CD1所成的角．…（1分）（2）…（4分）==．…（3分）【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．（1）求C；（2）若c2=7b2，且，求b的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】（1）直接利用向量的数量积和三角函数的关系式的恒等变换求出C的值．（2）直接利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积求出结果．【解答】解：（1）由，∴2ccosC+acosB+bcosA=0，由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0，∴2sinCcosC+sin（A+B）=0；2sinCcosC+sinC=0；由sinC≠0，∴，∴；（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC，∴7b2=a2+b2﹣2abcosC，∴a2+ab﹣6b2=0，∴a=2b；由知，，∴，∴b=2．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．19．（14分）已知等差数列{a n}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p ∈R）．（1）求p的值及{a n}的通项公式；（2）在等比数列{b n}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据题意，由数列的前n项和公式分析可得a n=S n﹣S n﹣1=2pn﹣p+2，﹣a n=2p=2，结合题意可得p的值，代入a n=2pn﹣p+2中计算可分析可得a n+1得答案；（2）根据题意，表示出数列{C n}，分n为奇数、偶数两种情况分析，求和即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，当n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1=pn2+2n﹣[p（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2pn﹣p+2，则a n=2p（n+1）﹣p+2，+1﹣a n=2p=2，∴a n+1∴p=1，a n=3+（n﹣1）2=2n+1，（2）∵b2=a1=3，b3=a2+4=9，∴q=3，，当n=2k，k∈N*时，T n=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=（3+7+…+4k﹣1）+（3+27+…+32k﹣1）==；当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1是偶数，=，∴．【点评】本题考查数列的递推公式，涉及数列的求和，关键是求出数列的通项公式．20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP 面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】16：压轴题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知可得，且，联立可得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由斜率公式、根与系数的关系及k AB+k AC=﹣1，可得m=﹣2k﹣1，得到直线方程y=kx+m=kx﹣2k﹣1，由直线系方程可得直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）直线l AE：x+y﹣1=0，求得|AE|，设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，联立后由判别式等于0求得t值，求出两切线到l AE：x+y﹣1=0的距离，再求出△AEP面积S的不同取值范围，然后对面积分类分析△AEP的个数．【解答】（1）解：由，得，∴…①又△AF1F2周长为，∴…②联立①②，解得．∴椭圆方程为；（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．，，依题：k AB+k AC=﹣1，即：，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，得，则m=﹣2k﹣1．∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；（3）解：l AE：x+y﹣1=0，．设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，由，得．由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=．得两切线到l AE：x+y﹣1=0的距离分别为，∴，．当时，△AEP个数为0个；当时，△AEP个数为1个；当时，△AEP个数为2个；当时，△AEP个数为3个；当时，△AEP个数为4个．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，考查运算能力，属难题．21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足f x（D）⊊D，其中f n+1（x）=f（f n（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有D i（i=1，2，3，…，n）上封闭．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数封闭的定义封闭求出两个函数的值域即可判断f（x），g （x）是否在（0，1）上封闭；（2）根据封闭的定义以及反函数的定义得到关于k的不等式组，解出即可；（3）得到p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，因为f（x）是单射，就有了f（D1）⊊D1．接着令D n+1=f（D n），并重复上述论证证明D n+1⊊D n．【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分）t=x+1∈（1，2），g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分）（2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D．函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D），得到：D=f（D）．…（2分）在D=[a，b]单调递增．则f（a）=a，f（b）=b在[﹣1，+∞）两不等实根．，故，解得．另解：在[﹣1，+∞）两不等实根．令k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，故解得．（3）如果f（D）=D，则f n（D）=D，与题干矛盾．因此f（D）⊊D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1⊊D．接下来证明f（D1）⊊D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D﹣D1，则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）∉f（D1）．考虑到p∈D﹣D1，即D1⊆D，因为f（x）是单射，则f（D1）⊊f（D﹣{p}）=f（D）﹣{f（p）}=D1﹣{f（p）}⊊D1这样就有了f（D1）⊊D1．接着令D n=f（D n），并重复上述论证证明D n+1⊊D n．+1【点评】本题主要考查函数值域的求法，以及与函数有关的新定义，综合性较强，难度较大．。