第二节 动量矩定理
动量矩定理
mO (F ) mAgr mB gr 0
LO const 0,
即：质点系对轴 O 的动量矩守恒， 且等于零。 vA mAvAar mBvBar 0
O
RO
vB
mAg mBg
见后续
v Aa vBa
即： 二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负！
二猴爬绳比赛分析 因为二猴的体力有差异，所以
所以得
n d (e) d M M ( m v ) ( 交换求导数与求和的次序 ) ( m ) oi v i ) i i M o ( Fi o dt dt i 1 i 1 i 1 n
n
质点系对定点的动量矩定理
(e) d M o (mi vi ) M o (Fi ) dt i 1 i 1 n n
动量对固定轴z的矩：
[Mo(mv)]z= M z(mv) =±2S△OA'B'
指向：按右手螺旋规则定。
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O 的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点对z轴的动量矩，即
质点对某轴的动量矩对时间的一 阶导数，等于作用力对于同一轴的矩。
d M ( mv ) M ( F ) x dt x d M ( mv ) M ( F ) y y dt d M ( mv ) M ( F ) z z dt
关于质点动量矩守 恒
• 当MO( F ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。
正确解法
Mf
O2 R2
理论力学课件-动量矩定理
mi m ,
mi yi myC 0 则 J z ' J zC m d 2
2
例如，对于例6中均质细杆对 z' 轴的转动惯量为
1 2 1 2 1 2 l J z ' J z m ml ml ml 4 3 2 12
五．计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一 部分(物体)的转动惯量, 然后加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
[例8] 图示钟摆，均质直杆：m1、l ； 均质圆盘：m2 、R 。求 JO 。
解：JO JO杆 J O盘
1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 (l R) 3 2
[例6]匀质细直杆长为l ，质量为m。求 ① 对z轴的转动惯量Jz ；
② 对z' 轴的转动惯量 Jz’ 。
m 1 2 解：J z l x d x ml l 12 2 l m 1 J z ' x 2 d x ml 2 0 l 3
2
l 2
[例7]设有均质圆薄板，如图所示。其质量为m，半径为R，求 它对中心轴的转动惯量。 解：在圆板上取任意半径 r 处宽为dr 之圆环为微元 。由于圆板匀质，故有
以上结论称为质点系的动量矩守恒定律。
[例3] 已知物重PA > PB ，定滑轮重 P ，半径为r，求 。
解: 取整个系统为研究对象，受力如图示。
运动分析： v = r
MO PAr PB r ( PA PB )r PA PB LO v r v r J O g g r 2 1P 2 由于
动量矩定理与动量矩守恒律.ppt
微商等于诸外力对同一点的力矩的矢量和.
分量式：
d
dt
n
mi ( yi zi
i 1
n
zi yi )
(
yi
F (e) iz
i 1
zi
F (e iy
)
)
d
dt
n
mi (zi xi
i 1
n
xi zi )
(
zi
F (e) ix
i 1
xi
F (e) iz
)
d
dt
n
mi (xi yi
i 1
n
i 1
i 1
i 1
n i 1
(ri mi
dri) dt
n i 1
(ri
Fi
(e)
)
质点组对质心的动量矩定理
dJ
M
dt
意义：质点组对质心c的动量矩对时间的微商等
于所有外力对质心的力矩之后.
注意：（1）形式与固定点动量矩定理相同.
惯性力力矩为0的物理意义？
（2）质心c是动点，对任一动点不成立.
三、对质心的动量矩定理
在 cxyz 动系中：
mi
d2 dt
左矢乘
ri
2
Fi
ri
(i)
F (e)
i
(mirc
并对i求和：
)
n
(ri miri) (i
)
)
n
(ri
Fi
(
e)
)
n
ri(mirc )
i 1
i 1
i 1
i 1
其中：
n ri(mirc ) n rc miri rc n miri 0
理论力学_12.动量矩定理
故：
d dt
(r m v ) r F ,
d dt
[ m O ( m v )] m O ( F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
例3 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。
r
i
i
m iv
C
ri ) m i v
i
rC m i v i
ri m i v i
i
rC m v C
ri m i v
其中 L C ri m i v i 为质点系相对质心C的动量矩。 （注意：vi为质点的绝对速度。） 即 质点系对任意定点O的动量矩，等于质点系对质心的动量矩， 与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。
L z J z m 2 vr 1 2 ( m1r
2
J ，z
1
m1r ；
2
v r
m 2 vr
1 2
m 1 m 2 ) rv
系统所受外力对转轴z的矩为
M z ( Fi
(e)
) M
(e)
O
Fr M
O
f m 2gr
dL dt
z
M z (Fi
)
d 1 ( m m 2 ) rv M 2 1 dt
例如：试计算圆盘对轴O的 动量矩。质点的质量均为m。
O1 B C
vr vr
vr
L O L O 1 rO 1 m v O 1 3 mv r R l 3 m l 0 3m (vr R l 0 )
13动量矩定理
O
r1
M
B
m2 g
mg
A
m1 g
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
解:取系统为研究对象进行受力分析和运动分析 1、受力分析
2、运动分析
Foy
FN
B
v1 r1
v2 r2
v2
M
r2
O
r1
系统对O轴的动量矩和外力矩：
LO J O m1r12 m2 r22
F1 F1
解得主动轮与从动轮的角加速度分别为：
MR 2 1 J1 R 2 J 2 r 2
MRr 2 J1 R 2 J 2 r 2
理论力学 第十三章 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
理论力学
第十三章
动量矩定理
第四节 刚体的平面运动微分方程
若平面运动刚体具有质量对称平面，且其运动平 面与该质量对称平面平行，则有:
第十三章
动量矩定理
三、质点系的动量矩定理
设质点系中有n个质点，其中第 i 个质点： d [M z mi vi ] = M z Fi e M z Fi i dt
n n d e [M z mi vi ] M z Fi M z Fi i dt i 1 i 1 i 1 n
O
A
B
理论力学 第二节 动量矩定理
第十三章
动量矩定理
FO y
O
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。 运动分析： v =ｒ
FO x
M F m gr m gr
e z i 1 2
第12章-动量矩定理
旳乘积： J z m z2
细直杆 均质圆环 均质圆板
J z /m 1 / 3 l2 z 0.5774 l
J z /m R2 z R
J z /m 1 / 2 R2 z 0.7071R
z 假如把刚体旳质量全部集中在与 轴相距为ρ z 旳点
上，则此质点对 z 轴旳转动惯量与原刚体相同。
四、平行轴定理
J z J z md 2
定理：刚体对任意轴旳转动惯量，等于刚体对 于经过质心、并与该轴平行旳轴旳转动惯量， 加上刚体旳质量与两轴间距离平方旳乘积。
z
O
z
d
ri
ri
C
O
mi
zi
y( y)
C点为质心；
O z 为质心轴，O z
为与之平行旳任
xi
一轴，距离为 d 。
x d x yi J z mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
d dt
(
J
z
)
Jz
Mz
dω dt
(Fi
)M
M z (Fi )
z
(
FN
i
)
Fi
或
Jz
d2
dt2
M z (Fi )
或 J z M z (Fi )
FNi
与 m a Fi 比较
例：已知滑轮半径为 R ，转动惯量为 J ，带动滑轮
旳皮带拉力分别为 F1 和 F2 。求滑轮旳角加速度 。
F2 解：根据定轴转动微分方程
d(ri
mivi ) dt
ri
F (e) i
ri
Fi(i)
(i 1,2,, n)
相加得
工程力学 2动量矩定理
投影式:
r ( e) dLx = ∑ M x (Fi ) dt
dLy dt dt r ( e) = ∑ M y (Fi )
r ( e) dLz = ∑ M z (Fi ) dt
内力不能改变质点系的动量矩. 内力不能改变质点系的动量矩
若在运动过程中， 若在运动过程中，作用在质点系上的合力对某固定轴 的矩恒为0 则该质点系对该轴的动量矩守恒。 的矩恒为0，则该质点系对该轴的动量矩守恒。
注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致 计算动量矩与力矩时，
d d d m x ( mv ) = m x ( F ), m y ( mv ) = m y ( F ), m z ( mv ) = m z ( F ) dt dt dt
上式称质点对固定轴的动量矩定理 质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 质点对固定轴的动量矩定理 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。 若 mO ( F ) = 0 ( m z ( F ) = 0) 则 mO ( mv ) = 常矢量 ( m z ( mv ) =常量) 称为质点的动量矩守恒 质点的动量矩守恒。 质点的动量矩守恒
= ∑ miω ri ri = ω ∑ mi ri引入转动惯量 Nhomakorabea2
J z = ∑ mi ri2
Lz = J zω
转动刚体对转轴的动量矩为其对 该轴的转动惯量与角速度的乘积
§11-2 11§1. 质点的动量矩定理
动量矩定理
dv 牛顿第二定律有： m = F dt d (m v ) = F 变形为： dt
2、质点系的动量矩定理
对于第i个质点应用质点的动量矩定理，有:
r r (i ) r r ( e) d r r MO (mi vi ) = MO ( Fi ) + MO ( Fi ) dt r r (i ) s r ( e) d r r ∑ MO (mi vi ) = ∑ MO (Fi ) + ∑ MO ( Fi ) dt r r (i ) 由于 ∑ MO (Fi ) = 0 r r dLO d r d r r ∑ MO (mi vi ) = ∑ MO (mi vi ) = dt dt dt x
动量矩定理
z
F
mv
o
在等式两边同时叉 乘矢径 r
r
y
x
d r (mv ) r F dt
左式：
d d dr r (mv ) r mv mv dt dt dt dr mv v mv 0 dt
其中：
－－质点系对固定点的动量矩定理 即：质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于 质点系的外力对该点之矩的矢量和。
上式向轴投影后的：
dLz (e) M z(Fi ) dt
－－质点系对固定轴的动量矩定理
即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于 质点系的外力对该轴之矩的矢量和。
三、动量矩守恒定理
v e vc
y
vi
v i vC v ir －－－（2）
x
v
C
z
1、质点系相对固定 点运动的动量矩
o
A
vir
r
r
C
i
C
i
v e vc
y
vi
v
LO M O mi vi ri mi vi
LC M C mi vi i mi vi
x
C
－－－（3）
dx 2 m l m glsin dt
即
g sin 0 l
g sin 并令 l
2 n
——（1）
则（1）式化为
0
2 n
解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时
0
0 0
0 cosnt
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思 考 题
11-1 质点系的动量按下式计算：
∑∑==c v M v m K ϖϖϖ
质点系的动量矩可否按下式计算？
()()c z z z v M m v m m L ϖ
ϖ∑==
11-2 人坐在转椅上，双脚离地，是否可用双手将转椅转动？ 为什么？
11-3 图示两轮的转动惯量相同。
在图（a ）中绳的一端受拉力G ，在图（b ）中绳的一端挂一重物，重量也等于G 。
问两轮的角加速度是否相同？为什么？
11-4 问在什么条件下，图示定滑轮（设为匀质圆盘）两侧绳索的拉力大小才能相等？
11-5 如图所示的传动系统中，轮1的角加速度按下式计算对吗？
2
11
1J J M +=ε
11-6 如图示，已知3/2Ml J z =，按下列公式计算'
z J 对吗？
思考题 11-3 图
思考题 11-4 图
G
M 2
思考题 11-5 图 思考题 11-6 图
I
22
9732Ml l M I I z z =
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=' 11-7 质量为M 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示。
试说明圆盘将如何运动？设开始时，圆盘静止，图中2R r =
11-8 一半径为R 的轮在水平面上只滚动而不滑动。
如不计滚动摩阻，试问在下列两种情况下，轮心的加速度是否相等？接触面的摩擦力是否相同？（1）在轮上作用一顺
时针转向的力偶，力偶矩为M ;（2）在轮心作用一水平向右的力P ϖ,R
M
P =
习 题
11-1 计算各质点系的动量对O 点的动量矩，已知a 、b 、c 、d 各均质物体重Q ，物
体尺寸与质心速度或绕转轴的角速度如图示。
（e ）、(f )中设物体A 和B 的重量均为P ϖ
，
速度为 v ϖ
，均质滑轮的重量为Q ϖ。
11-2 如图示，均质圆盘，半径为R ，质量为m 。
细杆长l ，绕轴O 转动，角速度为ω。
求下列三种情况下对固定轴O 的动量矩。
（1）圆盘固结于杆；（2）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω-；（3）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度也为ω。
11-3 小锤系于线MOA 的一端，此线穿过一铅垂小管。
小锤绕管轴沿半径MC ＝R 的圆周运动，每分钟120转。
现将线段OA 慢慢向下拉，使外面的线段缩短到OM 1的长度，
(a )
(b )
(c )
思考题11-7
图
思考题11-8
此时小锤沿半径C 1M 1=R /2的圆周运动。
求小锤沿此圆周每分钟的转数。
11-4 一半径为R ，重P 的均质圆盘，可绕通过其中心的铅垂轴无摩擦地旋转。
另一重P 的人由B 点按规律22at s = 沿到O 轴半径为r 的圆周行走。
开始时，圆盘与人静止，求圆盘的角速度和角加速度。
11-5 飞轮在力矩t M ωcos 0作用下绕定轴转动。
沿飞轮的轮幅有重量为P ϖ
的两等重
物体，各作周期性运动。
问：距离r 应满足什么条件才能使飞轮以角速度ω匀速转动。
11-6 图示均质杆AB 长l ，重P 。
杆的B 端固连一重Q 的小球，大小不计。
杆上点
D 连一弹簧，刚性系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。
设初速度v 0＝0，求给小球B 一
(a
)
(b) (c)
(d )
(e )
(f )
题 11-1图
A
C O
题11-3图
题11-4图
题 11-2图
个铅直方向的微小位移0δ后，杆AB 的运动规律。
11-7 一框架AA ，以细绳悬挂如图，它对竖直轴线OO 的转动惯量为J 1，在框架中间支承一转子，它对轴的转动惯量为J 2，开始时框架不动，转子有一角速度0ω，由于有摩擦，框架被带着转动。
若通过t 秒，转子与框架的角速度相同。
细绳的阻力扭矩可略去不计，求转子支承处的摩擦力矩。
11-8 图示离心式空气压缩机的转速为n =8600r/min ,每分钟容积流量为
min /m Q 3370=,第一级叶轮气道进口直径为D 1＝0.355m ，出口直径为D 2＝0.6m 。
气流进
口绝对速度v 1＝109m/s ，与切线成角︒=901α；气流出口绝对速度v 2＝183m /s ,与切线成
角13212'=οα。
设空气密度ρ＝1.6kg/m 3
，试求这一级叶轮的转矩。
11-9 物体D 被装在转动惯量测定器的水平轴AB 上，这轴上还固连有半径为r 的鼓轮E ，缠在鼓轮上细绳的下端挂有质量为M 的物体C 。
已知物体C 被无初速地释放后，经过时间T 秒落下的距离是h ；试求被测物体对转轴的转动惯量J 。
已知轴AB 连同鼓轮对自身轴线的转动惯量是J 0。
设物体D 的质心在轴线AB 上，摩擦和空气阻力都可略去不计。
题 11-5 图
O
A
O
A
题 11-6 图 题 11-7 图
题 11-9 图
题 11-8 图
11-10 高炉运送矿石用的卷扬机如图示。
已知鼓轮的半径为R ，重量为P ，在铅直平面内绕水平的轴O 转动。
小车和矿石总重量为Q ，作用在鼓轮上的力 矩为M ，轨道的倾角为α。
设绳的重量和各处的摩擦均忽略不计，求小车的加速度。
11-11 电绞车提升一重m 的物体。
在其主动轴上有一不变的力矩M 。
已知：主动轴与从动轴和连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动惯量分别为J 1和J 2 ，传动比K Z Z =12:；吊车缠绕在鼓轮上，此轮半径为R 。
设轴承的摩擦以及吊索的质量均略去不计，求重物的加速度。
11-12 两个物体A 和B 的质量各为m 1和m 2，且m 1>m 2，分别挂在两条不可伸长的绳子上，此两绳分别绕在半径为r 1和r 2的塔轮上，物体受重力的作用而运动。
试求塔轮的角加速度及轴承的反力。
塔轮的质量与绳的质量均可忽略不计。
11-13 圆轮A 重P 1，半径为r 1，以角速度ω绕OA 杆的A 端转动，此时将轮放置在重P 2的另一圆轮B 上，其半径为r 2。
B 轮原为静止，但可绕其几何轴自由转动。
放置后，
A 轮的重量由
B 轮支持。
略去轴承的摩擦与杆OA 的重量，并设两轮间的摩擦系数为f 。
问自A 轮放在B 轮上到两轮间没有滑动为止，经过多少时间？
11-14 轮子的质量m ＝100kg ，半径R ＝1m ，可以看成均质圆盘。
当轮子以转速n ＝
120r/min 绕定轴C 转动时，在杆A 点垂直地施加常力P ϖ
，经过10s 轮子停转。
设轮与闸
块间的动摩擦系数f '＝0.1，试求力P ϖ
的大小。
轴承的摩擦和闸块的厚度忽略不计。
2
题 11-10 图
题 11-11 图
题 11-12 图
P
题11-13图 题11-14图
题11-15图
11-15 已知图示均质三角形薄板的质量为 m ，高为h ，求对底边的转动惯量x J 。
11-16 图示连杆的质量为m ，质心在点C 。
若AC ＝a ，BC ＝b ，连杆对B 轴的转动惯量为B J 求连杆对A 轴的转动惯量。
11-17 均质钢制圆盘如图示，外径D ＝60cm ，厚h ＝10cm 。
其上钻有四个圆孔，直径均为d 1＝10cm ，尺寸d ＝30cm 。
钢的密度取ρ＝7.9⨯10－3
kg/cm 3
,求此圆盘对过其中心
O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。
11-18 均质圆柱体A 的质量为m ，在外圆上绕一细绳，绳的一端B 固定不动，如图所示。
圆柱因解开绳子而下降，其初速为零。
求当圆柱体的轴心降落了高度h 时轴心的
速度和绳子的张力。
11-19 一个重为P 的物块A 下降时，借助于跨过滑轮D 而绕在轮C 上的绳子，使轮子B 在水平轨道上只滚动而不滑动。
已知轮B 与轮C 固连在一起，总重为Q ，对通过轮心O 的水平轴的回转半径为ρ，试求物块A 的加速度。
11-20 滑轮A 、B 重为Q 1、、Q 2，半径分别为R 、r , r ＝
2
R。
物体C 重P 。
作用于A 轮上的力矩M 为一常量。
试求C 上升的加速度。
A 、B 轮可视为均质圆盘。
11-21 图示均质杆AB 长为l ，质量为m ，放在铅直平面内，杆的一端A 靠在光滑的铅直墙上，另一端B 放在光滑的水平地板上，并与地板面成ϕ0角。
此后，令杆由静止状态倒下，求：（1）杆在任意位置时的角速度和角加速度。
（2）当杆脱离墙时，此杆与水平面的夹角。
11-22 长l ，重W 的均质杆AB 和BC 用铰链B 联结。
并用铰链A 固定，位于平衡位
置如图所示。
今在C 端作用一水平力F ϖ
，求此瞬时，两杆的角加速度。
题11-17图 题11-16图
题11-18图
题11-19图 题11-20图
题11-21图 题11-22图。