数学的建模+灰色预测模型+MATLAB

§12.5 灰色预测

我们通常所说的系统是指：由客观世界中相同或相似的事物和因素按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的一个整体．例如：工程技术系统、社会系统、经济系统等．如果一个系统中具有充足的信息量，其发展变化的规律明显、定量描述方便、结构与参数具体，则这种系统通常称为白色系统．如果一个系统的内部特征全部是未知的，则称此系统为黑色系统．如果系统内部信息和特征是部分已知的，另一部分是未知的，这种系统称为灰色系统．例如：社会系统、农业系统、经济系统、气象系统、生物系统等．对于这类系统，内部因素难以辨识，相互之间的关系较为隐蔽，人们难以准确了解这类系统的行为特征．因此，对于这类问题进行定量描述，即建立模型难度较大．区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系．

灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系，建立相应的数学模型．目前，灰色系统理论在实际中已得到了广泛的应用，例如：在工程技术、经济管理、气象预报以及政治、社会、工业、农业等领域都取得了一定的应用成果．

我们往往要对农业问题、商业问题等做未来的预测工作，另外，进行军事战争以及治理生态环境也需对未来的发展情形做一可靠的分析，这就产生了灰色预测．灰色预测是对灰色系统问题进行未来的预测，实际问题中，应用最多的灰色预测模型是以GM(1,1)（即GM(1,N)当N=1时的特例）模型为基础的．

12.5.1 GM(1,1)模型的建立

设X(0)=(X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(n))，做1－AGO，得

(1)(1)(1)(1)((1),(2),,())

X X X X n =

(1)(1)(0)(1)(0)((1),(1)(2),

,(1)())X X X X n X n =+-+

则GM(1,1)模型相应的微分方程为：

(1)

(1)dX aX u dt

+= （1） 式中：a 称为发展灰数；μ称为内生控制灰数．

设ˆα

=(a ,μ)T ，按最小二乘法得到 11ˆ()T T B B B Y α

-= （2） 其中

(1)(1)

(1)(1)(1)(1)1((1)(2))121((2)(3))12

1((1)())12X X X X B X n X n ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪

-+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭

(0)(0)1(0)(2)(3)()X X Y X n ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

易求得，方程（1）的解为

(1)(0)ˆ(1)((1))ak u u X

k X e a

a

-+=-+ （3） 例4 100m 成绩预测

1983～1990年世界男子和中国女子100m 最好成绩如表6．

表6 各年度最好成绩

记世界男子100m 成绩的原始数列为

(0)(9.93,9.96,9.98,9.95,9.93,9.92,9.94,9.93)X =

建立GM(1,1)模型，即按式（1）、（2）、（3）得到预测模型为

(1)0.0007185266ˆ(1)(9.9313884.61)13884.61k X

k e -+=-+ 由预测模型得预测值为

年份 模型预测值/s

1991 9.92 1992 9.91 2000 9.85

记中国女子的原始数列为

(0)(11.95,11.66,11.63,11.65,11.35,11.32,11.58,11.32)X =

同样建立GM(1,1)模型，得到预测模型为

(1)0.00451067ˆ(1)(11.952602.187)2602.187k X

k e -+=-+ 从而得到中国女子100m 成绩的预测值

年份 模型预测值/s

1991 11.30 1992 11.24 2000 10.85

12.5.2 模型检验

灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验．

（1）残差检验

按预测模型计算(1)

ˆ()X i ，并将(1)ˆ()X

i 累减生成(0)ˆ()X i ，然后计算原始序列X (0)(i ) 与(0)

ˆ()X

i 的绝对误差序列及相对误差序列．

(0)(0)(0)ˆ()|()()|1,2,

,i X i X

i i n ∆=-=

(0)(0)()

()100%

1,2,,()

i i i n X i ∆Φ=⨯=

（2）关联度检验 定义1 选取参考数列

00000{()|1,2,,}((1),(2),,())X X k k n X X X n ===

其中k 表示时刻．假设有m 个比较数列 {()|1,2,,}((1),(2),,())

1,2,,i i i i i X X k k n X X X n i m ====

则称 0000min min |()()|max max |()()|

()|()()|max max |()()|

i i i

k

i

k

i i i i

k

X k X k X k X k k X k X k X k X k ρξρ-+-=

-+- （1）

为比较数列X i 对参考数列X 0在k 时刻的关联系数，其中ρ∈[0,1]为分辨系数，一般取ρ=0.5．称式（1）中min min i

k

| X 0(k )-X i (k )|、max max i

k

| X 0(k )-X i (k )|分别为两级最小差和两

级最大差．由（1）式易看出，ρ越大，分辨率越大；ρ越小，分辨率越小．

式（1）定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出以下定义

定义2 称

1

1()n

i i k r k n ξ==∑ （2）

为数列X i 对参考数列X 0的关联度．