高中数学必修1概念

高中数学必修1概念

第一章、集合与函数概念

1.1.1集合的含义与表示

1. 元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。元素常用小写字母a，b，c，…表示。

2. 集合：把一些元素组成的总体叫做集合，集合通常用大写字母A , B , C ,…表示。集合

依据所含元素的个数可分为有限集和无限集。

【注意：理解集合的定义要注意以下五点：

⑴注意组成集合的对象的广泛性，凡是看得见的、摸得着的、想得到的任何事物

都可以作为组成集合的对象。

⑵集合是一个原始的、不加定义的概念，如同点、直线、平面等也都是不加定义

的原始概念一样，要形象地理解，而不必记忆。

⑶集合是一个整体，已暗含“所有”、“全都”、“全体”的含义，因此一些对象一

旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象，

⑷构成集合的对象必须是“确定”的，其中“确定”是指构成集合的对象具有非

常明确的特征，这个特征不是模棱两可的。

⑸集合中的元素是互不相同的，即相同的元素归入一个集合时，该元素只能出现

一次。】

3. 元素与集合的关系（有两种）

⑴属于关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于集合A

⑵不属于关系：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A，读作a不属

于集合A。

【注意：对于元素与集合的关系要从以下四个方面理解：

⑴a∈A与a?A取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可

知对任何a与A，在a∈A与a?A这两种情况中必有一种且只有一种成立。

⑵集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的

元素必须符合条件。

⑶符合∈、?是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的

关系。

⑷∈、?的开口方向向着集合。

4. 集合中元素的三个特性：

⑴确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的

元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的唯一标准。

⑵互异性：是指给定一个集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，

不能重复出现同一个元素，元素中含参数的集合运算题，最终结果务必检验元

素的互异性，利用互异性将不适合题意的参数值舍掉。（这一点很容易被大家忽

视，在解题中切记这一性质）

⑶是指集合与其中元素的排列次序无关。

5. 集合的三种表示方法：

⑴自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法要注意叙述清楚即可。如

由所有正方形构成的集合。

⑵列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。

此法应注意以下五点：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；

④元素不能遗漏；⑤列举法可表示有限集，也可以表示无限集。

若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

⑶描述法：把集合中的元素的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法。它的一

般形式是{x∈I∣P(x)}，其中“x”是集合中元素的代表形式；I是x的范围；“P(x)”

是集合中元素x的共同特征；竖线不可省略。

描述法的语言形式有三种：文字语言，符号语言，图形语言。

描述法表示集合应注意以下六点：

①写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表达的元素符号）；

②说明该集合中元素的性质；

③不能出现未被说明的字母；

④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；

⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；

⑥用于描述条件的语句力求简明、准确。

6. 特定集合的表示：（下面是几种常见数集的字母表示，请牢记）

⑴全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N；

）；

⑵非负整数集内排除0的集合，也称正整数集，记作N*（或N

+

⑶全体整数的集合通常简称为整数集，记作Z；

⑷全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q；

⑸全体实数的集合通常简称为实数集，记作R。

【注意：这些集合的意义是约定俗成的，解题中作为已知使用，不必重述它们的意义】

数学思想方法

分类讨论思想

分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，它适用于从整体上难以解决的数学问题。运用分类讨论来解决问题时，把所给的已知条件的集合进行科学地划分十分必要，必须遵循不重不漏和最简的原则，其一般步骤是：

⑴考察分类讨论的原因和必要性；

⑵明确讨论对象，确定对象的范围；

⑶确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；

⑷逐类讨论，获得阶段性结果；

⑸归纳总结，得出结论。

1.1.2 集合间的基本关系

1. Venn图：用平面上封闭曲线的内部表示集合，如右图就为Venn图。

2. 数轴法：用数轴来表示集合的方法。

如{x︱x≤1或x≥2}的数轴表示如右图所示。

3. 子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说

集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A?B（或B?A），读作“A

包含于B”或“B包含A”。这时，我们也说集合A是集合B的子集。

【理解子集的定义要注意以下五点：

⑴“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由

x∈A，能推出x∈B.

⑵当A不是B的子集时，我们记作“A?B”（或B?A），读作“A不包含B”（或“B

不包含A”）。

⑶任何一集合是它本身的子集。即对与任何一个集合A，它的任何一个元素都属于集

合A本身，记作A?A。

⑷我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定：空集是任何集合的子集，

?A。

即对于人一集合A，有?

⑸在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合。因为若

A=?，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B的所有元素，但此时都说集

合A是集合B的子集。】

4. 集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都

是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B，读作“A等于B”。

【理解集合相等的定义要注意以下三点：

⑴若A?B，又B?A，则A=B；反之，如果A=B，则A?B，且B?A。这就给出

了证明两个集合相等的办法，即欲证A=B，只需证A?B与B?A都成立即可。

⑵两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关。

⑶要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，

看两集合中的元素是否完全相同；若是无限集，应从“互为子集”两方面入手进行

判断。】

5. 真子集：如果A?B，且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，

记作A?B，读作“A真包含于B”或“B真包含A”

它的图形如右图所示

【理解真子集的定义要注意以下四点：

⑴空集是任何非空集合的真子集。

⑵对于集合A、B、C，如果A?B，B?C，那么A?C。

⑷元素与集合的关系是属于与不属于的关系，用符号“∈”“?”表示；集合与集合之

间的关系是包含、真包含、相等的关系，用符号“?”“?”和“=”表示。】

6. 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定：空集是任何集合的子集。【理解空集应注意以下两点：⑴空集是一个特殊的集合，它的特殊有两点：①它不含任

何一个元素；②它既是任何一个集合的子集，也是任何一个非空集合的真子集。

⑵空集的描述法表示有多种。】

n个元素的集合有：2n个子集

（2n- 1）个真子集

（2n- 1）个非空子集

（2n- 2）个非空真子集

1.1.3 集合的基本运算

1. 并集：由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集。

【关于并集的概念，必须注意以下三点：

（1）记作：A B，读作A并B

（2）符号语言表达式为：A B={x∣x∈A，或x∈AB}；（3）Venn图表示右图中的阴影部分。】

2. 用Venn图表示A B不会超越以下五个图示：

高中数学必修4概念

第一章 三角函数

1.1 任意角和弧度制

1. 任意角的概念：角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所

成的图形。

2. 正角：我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。

3. 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。

4. 零角：如果一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。

5. 象限角：将角放在直角坐标系中，使角的顶点在原点，角的始边始终与x 轴非负半轴重

合，随着终边的旋转，角的大小在变化着。根据终边的位置特征，终边在第几象限，便称此角为第几象限角。

6. 轴线角：如果角的终边在坐标轴上，我们将这样的角称为轴线角。

7. 终边相同的角：在直角坐标系中，对于一个任意大小的角只有一条射线作为它的终边，

但反过来终边为某一条射线的角却可以表示无数多个角。我们把终边为

同一条射线的角叫做终边相同的角。

【注意】要表示终边在某一位置的角，可以先表示出终边在该位置的0°～360°间的一

个角，然后再加上k·360°(k ∈Z)。其集合为{β︱k =β·360°+a ，Z k ∈}

8. 角度值：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

9. 弧度制：为了使用方便，数学上还采用另一种用弧度度量角的单位制——弧度制。

10. 弧度：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作“弧

度”。

【注意】可以证明，一定大小的圆心角a 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与

半径的大小无关。

11. 弧度数：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数

是0.

弧度数的绝对值公式：