幂级数在近似计算中的应

论文4 幂级数在近似计算中的应用

谢文清 江权霞 (指导老师:陈引兰)

数学与统计学院1001班

摘要：形如200102000()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞

=-=+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑的函数

项级数称为幂级数,幂级数可以看成是一个“无限次多项式”，它无论在理论上还是实践上都是一个有力的工具.本文主要运用幂级数的展开式,对无理数,,ln 2e π等，利用计算机相关软件，进行近似计算.

关键词：幂级数、近似计算

1.理论依据

以某个幂级数展开式为基础，然后把所需要求的量表达成级数的和，并依据要求，选取部分和作这个量的近似值，误差用余项()n r x 估计.

我们先给出一些基本初等函数的幂级数展开式及它们对应的余项

23012

12135121

1

211

!

2!3!! r (1)!(2)!

(1)(1)213!5!21(1) r 2n n

x

n n n n n n n n n n n n x x x x e x n n x x n n x x x x x n n x n ∞

=++----∞

=+==++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅

++--==-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

---=+∑∑①②arctanx 123

21

=1

2123

12311

1(1)

123

(2n 1)!!=+(2)!!21(21)!!(23)!! r

(22)!!23(24)!!25

(1)(1)23(1) r n n n n n n n n n n n

n n n n x n x n n n x n x n n n n x x x x x n n x n ++-∞

++--∞

=+-++⋅⋅⋅+-⋅

+++=⋅+⋅+⋅⋅⋅++++--=-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅

-=+∑∑③arcsinx x ④ln(1+x)=12

(1)12

n n x n ++-+

+

2．π的近似计算

本节利用两个函数的幂级数展开式来近似计算π，在相同的误差条件下，取不同的x ，若取级数的前n 项和作为π的近似值，对应的n 值不一样，这就为幂级数在近似计算中的应用提供了很大的空间.

⑴由函数arctan y x =的幂级数展开式知121

1

(1)21n n n x n --∞

=-=-∑arctanx

①若取1x =时，

111

1(1)43521

n n π

=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅

- （1） 111

4(1+(-1))3521

n n π⇒=-++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-

等式的右端是一个交错级数且是收敛的，实际计算时，我们只能使用有限项。如果取级数前n 项之和作为π的近似值

即111

4(1+(-1))3521

n n π≈-++⋅⋅⋅+，其误差为

4

2+1

n r n ≤

， 为了保证误差不超过410-，就要取级数（1）的前20000项进行计算，计算量之大可以想象.它的收敛速度很慢.对于arctan x 展开式而言，当x 越小收敛越快，恰恰在端点1x =收敛最慢. 以下取的求和的级数相应它的收敛速度要稍快些.

②现若取3

x =

带入展开式得

35121111(1)6

3521n n n π

--=

-⋅+⋅+-+⋅⋅⋅- （2）

123111111111

(1))335373213

n n n π--⇒=-⋅+⋅-⋅+-⋅+⋅⋅⋅-

若取级数的前n 项和作为π的近似值，其误差为

1

231

11111111

(1))

335373213

n

n n

r

n

π-

-

⎡⎤

=--⋅+⋅-⋅+-⋅+⋅⋅⋅

⎢⎥

-

⎣⎦

≤

下面实现(2)式的计算，若要求误差小于4

10-(计算π的程序见附录1)

当n=8

时，4

8

10

r-

=<

237

11111111

) 3.14167

335373153

π=-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅=

③现取

1

2

x=，

1

arctan

2

α=，显见0

4

π

α

<<，记

4

π

βα

=-，而

1

tan tan()

43

π

βα

=-=，所以

1

tan

3

arc

β=，就是

11

tan tan

423

arc arc

π

=+

3513

1

3513

111111

4(...

23252132

111111

...(1))

33353133

n

π

-

=-⋅+⋅++⋅

⋅

+-⋅+⋅++-⋅

⋅

(3)

下面实现(3)的计算，若要求误差小于4

10-(计算π的程序见附录2)

当n=7时，

1

35133513 111111111111

4(......(1)) 3.14156 2325213233353133

n

π-

=-⋅+⋅++⋅+-⋅+⋅++-⋅=

⋅⋅对于arctan

y x

=，误差一样（如要求误差小于4

10-），取不同的x，对应部分和的项数n与近似计算的π值如下表

⑵对于sin

arc x的展开式而言，取

1

2

x=

1

1(21)!!1

62(2)!!21

n

n

n n

π∞

=

-

=

+

∑

+ (4)