2017年福建省初中数学竞赛试题及解析

2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1

．设a =1

a a

+

的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2．方程2

2(

)32

x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7

3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）

A ．3 B

． C

．± D

．

4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=?，D 为线段BC 的中

点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。若A

E E

F =，且7AC =，

3FC =，则cos ACB ∠的值为（ ）

A ．37 B

．7 C ．314 D

．7

5．如图，O 为ABC △的外接圆的圆心，R 为外接圆半径，且

4R =。直线AO 、BO 、CO 分别交ABC △的边于D 、E 、F ，则

111AD BE CF

++的值为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．23

B

A E

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．记函数223y x x =-+（12x -≤≤）的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 。

7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a >）的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ， C 为二次函数图像的顶点，2AB =。若ABC △是边长为2的等边三角形，则a = 。

8．如图，在ABC △中，AD 为BC 边上的高，M 为线段

BC 的中点，且BAD DAM MAC ∠=∠=∠。若2AB =，则ABC △内切圆的半径为 。

【答案】

1

9．若二次函数2(43)3y x a x a =+-+（2

3

a ≥

）的图像与直线2y x =-在y 轴左侧恰有1个交点，则符合条件的所有a 的值的和为 。

10．若正整数n 恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在n 的正因数中有7个连续整数，则正整数n 的最小值为 。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分） 11．求方程2220172018x y x +=的正整数解。

B

12．如图，在等腰三角形ABC 中，90ACB ∠=?，M 是边AC 的中点，D 是边BC 上一点，直线AD 、BM 交于点E ，且ME MA =。求证：

（1）BE CD =； （2）AC DE

AD DB

=。

13．若存在正整数n ，p （6p >）使得3246n n n n p ??

??????+++=????????????????

成立，其中

{}[]x x x =-，[]x 为不超过x 的最大整数。

（1）求p 的最小值；

（2）当p 取最小值时，求使3246n n n n p ??

??????+++=????????????????成立，且2017n ≤的正整数n

的个数。

14．将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明：

（1）对任意正数a ，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为a 的线段； （2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；

（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形？

2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设a =1

a a

+

的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B

【解答】由2226a =+-=，知a =

于是1

a a +

=2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。

因此，1

a a

+

的整数部分为2。

（注：

a ==== 2．方程2

2(

)32

x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程2

2(

)32

x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。 即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。经检验1x =是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。

3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）

A ．3

B ．

C ．±

D ．【答案】 D

【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22

1212

()22

t t t t ++，。 （第3题）

由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为22

1212

(2)22t t t t ++-，。 由点B 在抛物线2

y x =上，知22

212122()22

t t t t

++-=。 整理，得2222

121122

2282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。 结合21t t >

，得21t t -=

4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=?，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。若A E E F =，且7AC =，3FC =，则c o s A C B ∠的值为（ ）

A ．37 B

． C ．314 D

【答案】 B

【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。 则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE ∠=∠=∠=∠。 ∴ EK EB =。

又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。 ∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。 ∴

BC === ∴

cos 7

BC ACB AC ∠=

=

。 或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得，

1BD CF EA

DC FE AB

??=。 由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。 又AE EF =，因此，3AB CF ==。

结合7AC =，90ABC ∠=?

，利用勾股定理得，BC =

所以，cos 7

BC ACB AC ∠==。

D

B

A E

（第4题）

K

5．如图，O 为ABC △的外接圆的圆心，R 为外接圆半径，且4R =。直线AO 、BO 、CO 分别交ABC △的边于D 、E 、F ，则

111

A D

B E

C F

++的值为（ ）

A ．14

B ．13

C ．12

D ．2

3

【答案】 C

【解答】由条件及等比定理，得

OAB OAC OAB OAC OAB OAC

ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S OA AD S S S S S ++====

+△△△△△△△△△△△， 同理，OAB OBC

ABC

S S OB BE S +=△△△，OBC OAC ABC S S OC CF S +=△△△。 ∴

()()()

2OAB OAC OAB OBC OBC OAC ABC

S S S S S S OA OB OC AD BE CF S +++++++==△△△△△△△。 又4OA OB OC R ====， ∴ 11121

2

AD BE CF R ++==。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．记函数223y x x =-+（12x -≤≤）的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 。

【答案】 8

【解答】∵ 2223(1)2y x x x =-+=-+，12x -≤≤，

∴ 1x =时，y 取最小值，即2m =；1x =-时，y 取最大值，即6M =。 ∴ 8M m +=。

7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a >）的图像与x 轴交于不同的两点A 、B ， C 为二次函数图像的顶点，2AB =。若ABC △是边长为2的等边三角形，则a = 。

【答案】

【解答】依题意20ax bx c ++=有两个不同的实根，设为1x ，2x ，则122AB x x =-=。

∵ 12b x x a +=-，12c

x x a

=，

∴ 22

2

21212122

4()()4()44b c b ac x x x x x x a a a

--=+-=--?==，即22

44b ac a -=。 （第5题）