吉林大学2008级离散数学II试题(A)
2008考研数学二真题及答案
2008考研数学二真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y+=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()4sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题020xt dx te dtx --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得 （21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭OO O ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =L ，()1,0,,0B =L ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -. 参考答案 一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确.本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20x y x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x xx x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x yy xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-， 将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-=⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)z x ∂=-∂本题的难度值为0.575. (14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=Q 3|2|2||A A = 32648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+Q 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)xd ye x dx=+本题的难度值为0.742.(17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122220000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰ 121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524. (19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知20()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1ln(y t C =+， 即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =，故t y e =，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a a a a A r ar aaa a =-=O O L OO O OO O OO OO121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++O K O OO OO证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-OO O OO21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=L即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+L1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa a a a D na a a a a --⨯-⨯-===O O OO O OO O OO OO所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M O O M此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +L L为任意常数．本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)Q 11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。
离散数学试题(A)及答案
学 院： 专 业： 学 号： 姓 名：装 订 线考试试卷 ( A )课程名称: 离散数学 考试时间: 2007 年 1 月 26 日 (第 21 周 星期五 )题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分评卷得分评卷签名复核得分 复核签名一、单项选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)1、设p:天下大雨，q:小王乘公共汽车上班，命题“只有天下大雨，小王才乘公共汽车上班”的符号化形式为 [ ] A. p →q B. q →p C .p →┐q D. ┐p →q2、设解释I 如下，个体域D={a,b}, F(a,a)= F (b,b)=0, F(a,b)=F(b,a)=1，在解释I 下，下列公式中真值为1的是 [ ] A. Vx ヨyF(x,y) B. ヨxVyF(x,y) C. VxVyF(x,y) D. ┐ヨx ヨyF(x,y)3、设R 1、R 2为集合A 上的任意关系，下列命题为真的是 [ ] Ａ 若R 1、R 2反自反，则R 1 R 2反自反 B 若R 1、R 2传递，则R 1 R 2传递 C 若R 1、R 2自反，则R 1 R 2自反 D 若R 1、R 2对称，则R 1 R 2对称4、设G 为完全二部图K2,3，下面命题中为真的是 [ ] A. G 为欧拉图 B. G 为哈密尔顿图C. G 为平面图D. G 为正则图5、对于任意集合X, Y , Z ，则 [ ] A. X ∩Y=X ∩Z =>Y=Z B. X ∪Y=X ∪Z =>Y=ZC. X －Y=X －Z =>Y=ZD. X ⊕Y=X ⊕Z =>Y=Z6、下面等式中唯一的恒等式是 [ ] A. (A ∪B ∪C)-(A ∪B)=C B. A ⊕A=AC. A-(B×C)=(A-B)×(A-C)D. A×(B-C)=(A×B)-(A×C)7、设R 为实数集，定义* 运算如下：a*b=|a+b+ab|，则 * 运算满足 [ ]A. 结合律B. 交换律C. 有幺元D. 幂等律 8、对于集合A ＝｛0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10｝，不封闭的二元运算是[ ] A x*y=max(x,y) B x*y=x －y C x*y=(x+y)mod 9 D x*y=min(x,y)二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共24分)9、含n 个命题变项的重言式的主合取范式为_________________________。
吉林大学2004离散数学I试题(A)
班级：学号：姓名：2004级本科《离散数学I》考试试题（A卷）【注：考试结束后请将此题签与答题纸一并交回，否则后果自负！（2005-07-08）】一、简答题【本大题共20小题，每小题2分，共40分】（1）令A={a,b,c,d}，B=Φ，求A×B。
（2）等价关系除了具有自反性，还具有哪两个性质？（3）设集合A={a,b,c,d,e,f}，请给出集合的A的一个具有4个划分块的划分，以及该划分对应的等价关系。
（4）设集合A={1,2,3,4,5,6,7}，R是A上模5合同关系，求商集A/R。
（5）在有限的全序集中一定存在极小元吗？一定存在最小元吗？（6）设集合A={a,b,c,d}，B={1,2,3,4}，σ＝{(a,1),(b,2),(c,2),(d,4)}是A到B内的映射，则σ是单射吗？是满射吗？（7）写出关于P、Q、R的4个极小项。
（8）命题公式G＝(⌝P∨⌝Q)→(P↔⌝Q)是恒真公式吗？若不是，请给出一个弄假G的解释。
（9）从命题公式的集合{⌝Q→S , ⌝P∨Q, P}能演绎出公式S吗？（10）请给出命题公式Q→R的真值表。
（11）设谓词公式G＝∀x∃yQ(x,y)，I是G的一个解释：D={a,b}, Q(a,a) Q(a,b) Q(b,a) Q(b,b)0 1 1 0试确定公式G在I下的真值。
（12）设谓词公式G＝∀y∃xP(x,y)，H＝∃x∀yP(x,y)，则G与H等价吗？（13）Euler图一定是连通图吗？Hamilton图一定是连通图吗？（14）任意两点间恰好有一条简单路的图一定是树吗？（15）有向图G是连通的，则G中一定存在根吗？有向树中一定有根吗？（16）有向回路中可以存在重复的点（除了首尾两点）吗？（17）合同式7x≡6(mod 37)有解吗？若有，有几个？（18）方程33x+34y =1在整数范围内一定有解吗? 为什么？（19）若a与b、c互质，则a与bc互质吗？（20）{-8,-34,5,27}能构成模4的一个完全剩余系吗？二、判断题【共10小题，每小题1分，共10分，正确答“ ”，错误打“ ”】（1）对于任意的集合A、B，若A⊆B，则ρ(A) ⊆ρ(B)。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案
（Ⅱ）记 则 可逆，
即 .
【难易度】★★
【详解】
解析：
则 。记 ，则
则 ，正、负惯性指数相同，故选
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数 连续，且 ，则
【答案】2
【考点】等价无穷小
【难易度】★★
【详解】
解析：利用等价无穷小因子替换有
.
（10）微分方程 的通解是 .
【答案】y＝Cx－xe－x，其中C为任意常数
2个无穷间断点
2个跳跃间断点
【答案】
【考点】函数间断点的类型
【难易度】★★
Hale Waihona Puke 【详解】解析： 的间断点为 ，而 ，故 是可去间断点；
， ，故 是跳跃间断点
故选 .
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
【详解】
解析：令
得方程组 即 ，解得 或
得 .
.
（22）（本题满分11分）
设 元线性方程组 ，其中 ， ， .
（Ⅰ）证明行列式 ；
（Ⅱ）当 为何值时，该方程组有唯一解，求 ；
（Ⅲ）当 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解.
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）证明：消元法．记
．
（Ⅱ）由克莱姆法则， 时方程组有唯一解，故 时方程组有唯一解.
由克莱姆法则，将 得第一列换成 ，得行列式为
所以， ．
（Ⅲ）当 时，方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ，其中 为任意常数．
吉林大学离散数学课后习题答案
吉林大学离散数学课后习题答案第二章命题逻辑§2.2 主要解题方法2.2.1 证明命题公式恒真或恒假主要有如下方法：方法一.真值表方法。
即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。
真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。
例2.2.1 说明 G= (P Q R)(P Q)(P R)是恒真、恒假还是可满足。
解：该公式的真值表如下：P Q R P QR PQ(P QR)(P Q)P R G0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 1 11 0 1 1 0 0 1 11 1 0 0 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1表2.2.1由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故G恒真。
方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。
例2.2.2 说明 G= ((P R) R) ( (Q P) P)是恒真、恒假还是可满足。
解：由(P R) R=P R R=1，以及(Q P) P= （Q P） P = Q PP=0知，((P R) R) ( (Q P) P)=0，故G恒假。
方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n 个极大项，则G是恒假的。
方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G恒假，若最终结果有1，有0，则是可满足的。
2008年数学二考研真题
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设2()(1)(2)f x x x x =--，求()f x '的零点个数（ ）()A 0()B 1 ()C 2()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'()axf x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A 440y y y y ''''''+--=.()B 440y y y y ''''''+++=.()C 440y y y y ''''''--+=.()D 440y y y y ''''''-+-=.（4）判断函数ln ()sin (0)1xf x x x x =>-间断点的情况( ) ()A 有1个可去间断点，1个跳跃间断点 ()B 有1个跳跃间断点，1个无穷间断点 ()C 有两个无穷间断点 ()D 有两个跳跃间断点（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛.()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设f 连续，221x y +=，222x y u +=，1u >，则()22,Df u v F u v +=，则Fu∂=∂（ ） ()A ()2vf u()B ()vf u()C ()2vf u u()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）()f x 连续，21cos(sin )lim1(1)()x x x e f x →-=-，则(0)f =（10）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （11）求函数23()(5)f x x x =-的拐点______________. （12）已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)_______z x ∂=∂. （13）矩阵A 的特征值是,2,3λ，其中λ未知，且2A =-48，则λ=_______.（14）设A 为2阶矩阵，12,a a 为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+，则A 的非零特征值为 .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (17)（本题满分10分）求积分21⎰(18)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(19)（本题满分10分）曲线()y f x =满足(0)1f =对于任意的t 曲线是严格递增，在x 轴上0t >，该曲线与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体，其体积为()V t ,侧面积为()S t .如果()f x 二阶可导,且()2()S t V t =，求曲线()y f x =.(20)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤ （21）（本题满分11分）证明(1)积分中值定理；(2)已知()x ϕ在[1,3]上连续且可导，32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰证明至少存在一点(1,3)ξ∈，()0ϕξ'=使得.（22）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0TB =，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解（23）（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，证明（1）123,,a a a 线性无关； （2）令()123,,P a a a =，求1P AP -。
吉林大学2004级离散数学II试题A
一、（30分）判断题（正确的在括号内打√号，错误的打⨯号）1、设（G，∙）是群，对任意的a,b,c∈G，若a∙b=a∙c，则b=c。
（）2、非循环群的每一子群也必是非循环群。
（）3、设群G和群G’同态，若G 是Abel群，则G’也是Abel群。
（）4、设H 是G的子群，则在H的所有陪集中，只有一个陪集是G的子群。
（）5、设（R ,+,∙）是一个环，则∙运算一定满足交换律和结合律。
（）6、设（R ,+,⨯）是整区,0为其加法单位元,则对任意a,b∈ R，若a⨯b=0，则a=0或b=0。
（）7、设F是q元有限域，则F的q-1个非零元素在乘法下一定做成一个循环群。
（）8、设（L,⨯,⊕,0,1）是有界格，则对任意的a∈L, a的余元素一定存在且唯一。
（）9、任意一个链都是有余格。
（）10、设S = {a，b，c}，则（ρ（S）,∩,∪,ˉ,φ,S）一共有5个子代数。
（）二、（20分）设M={1,2,3},（1）写出三次交代群H中的所有元素；（2）写出三次对称群G的所有子群；（3）写出三次对称群G对于三次交代群H的商群G/H中的所有元素；（4）设σ=（1 2 3），τ=（1 3），计算σ-1τσ。
三、（10分）设G=R⨯R，其中R为实数集，G上的一个二元运算⊕定义为：<x1,y1> ⊕ <x2,y2>=<x1+x2,y1+y2>，+是R上的加运算。
又设H={<x,y>|y=2x, x，y∈R}。
证明：（H，⊕）为（G，⊕）的子群。
四、（10分）设Z为整数集，定义a*b=a+b-2,其中+，-是Z上的加，减运算，a,b是任意整数，证明：(Z,*)是一个群。
五、（10分）环R中，若乘法满足等幂律，证明：（1）R中任意元素a在加法下的周期为2；（2）R是交换环。
六、（10分）判断下列两个多项式在有理域上是否可约，如果可约，给出其质因式分解，如果不可约，证明你的结论。
(07级)离散结构(2008a_v1.1)参考答案
期末考试试卷参考答案（ A 卷）2007学年第二学期考试科目：离散结构考试类型：（闭卷）考试时间：120 分钟学号姓名年级专业注意事项：1．考试时间120分钟，闭卷考试2．试卷共五大题，满分100分3．全部答案写在答题纸上，试卷纸上答题无效．．．．．．．．一、填空（每空2分，共30分）1、______P→Q___________；2、___________1___________；3、______ _ x____________；4、___________R3__________；5、________ R2___________；6、__________反对称_______；7、_________4____________；8、___________2__________；9、_________7____________；10、__________4__________；11、_________5____________；12、__________a___________；13、________ c_________ _ _；14、__________e___________；15、_____交换律和结合律___。
二、选择题（每题2分，共30分）三、计算题（5分+6分+8分，共19分）1、解：首先将各边的权重按小到大排序：1,2,3,4,5,6,7,8,9然后使用避圈法得到如下最小生成树，其总权重为1+2+4+6+8=212、解：(1)用Huffman 算法求以频率(乘以100)为权的最优2元树. 将权按小到大顺序排列： w g =5,w f =5,w e =10,w d =10,w c =15,w b =20,w a =35.得到如下最优2元树：(2)如上图所示，得到各字母的前缀码：a:11,b:01,c:101,d:100,e:001,f:0001,g:0000 总权重W(T)＝255(3) W(T)＝255说明传输100个按给定比例出现的7个字母需要255个二进制数位，传输10000个需要25500个二进制数位；如果用等长的3个二进制传输一个字母，传输10000个需要30000个二进制数位。
2008-2离散结构(a)
华南农业大学期末考试试卷（ A 卷）2008 学年第 二 学期 考试科目： 离散结构考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业注意事项：1．考试时间120分钟，闭卷考试2．试卷共五大题，满分100分3．全部答案写在答题纸上，试卷纸上答题无效．．．．．．．．一、填空（每空2分，共30分）1、A B )B (A →⌝∧∨的真值= (1) 。
2、如果有一台计算机，它有一条加法指令，可计算四个数字的和，现求15个数的和，它至少要执行(2) 次这个加法指令。
3、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令)(x F ：x 为实数，y x y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 (3) 。
4、若解释I 的个体域D 仅包含一个元素，则公式 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 (4) 。
5、若关系R 具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角上元素 (5) 。
6、前缀表达式 + * 2 / 8 4 5 的值是 (6) 。
7、树高为5的二元正则树T 的顶点数为49，则树叶为 (7) 。
8、10个顶点的无向完全图10K 的边数为 (8) 。
9、以数1，4，5，8，11，15构造一棵最优二元树，其权值为 (9) 。
10、谓词))),(),(((y x Q z x P z y x →∃∀∀的前束范式为 (10) 。
11、完全二部图K r, s 中，度数和为 (11) 。
12、设G 为群，,2||,,,=≠∈y e x G y x 且31x yxy =-，则x 的阶为 (12) 。
13、设代数系统<A ，*>，其中A={a ，b ，c},运算表如下：则单位元是 (13) ， 是否满足幂等律 (14) (填是/否)，是否满足交换律 (15) (填是/否)。
二、单选题（请找出最符合题意的答案，每题2分，共30分）1、下列语句是命题的有_______。
A 、明年中秋节的晚上是晴天B 、0>+y xC 、下午有会吗D 、我正在说谎2、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有_______个。
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝_________________________; A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 =________________________,R2•R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B =__________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为__________________________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
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一、简答题（共50分）
1. （4分）设集合G={a,b,c}，试定义G上的“· ”运算，使得(G，·)构成一个群（给
出运算表）。并指出(G，·)中的单位元和每个元素的逆元素。
2. （2分）n（n>1）元有限群中，一共存在多少个幂等元？
3. （2分）设=(1 3 2 4)，=(1 3 4)，请把写成若干对换乘积的形式。
4. （2分）设G是3次对称群，H={I, (2 3)}是G的子群，求H的所有左陪集。
5. （2分）在4次对称群中，请写出由（1 3 4）生成的子群。
6. （2分）设S={1, 2, 3, 4, 5,6},是模7乘法运算，请指出群(S, )中每个元素的逆
元素。
7. （2分）设群G中的元素a的周期为8，则a6的周期是多少？
8. （2分）写出模12剩余环中所有的零因子。
9. （2分）在整数环Z中，包含主理想（21）的极大理想有哪些？
10. （2分）若子群H在群G中指数是2，则H一定是G的正规子群吗？
11. （2分）在12元循环群(a)中，求子群（a3）的所有陪集。
12. （2分）设G是由a生成的6元循环群，设σ（n）=an是整数加法群（Z，+）
到G内的映射，则σ是同态映射吗？如果是，求出σ的同态核。
13. （2分）（Q，+）为有理数加法群，（Q*，·）为非零有理数乘法群，请问（Q，
+）和（Q*，·）是否同构？
14. （2分）体是整区吗？整区中有零因子吗？
15. （2分）域F上的多项式f(x)有根，则f(x)一定可约吗？
16. （2分）在R5中求143
17. （2分）在R7上求x2+2x+1除3x4+x3+6x2+3的商式和余式。
18. （2分）设多项式f(x)=8x9+3x7+75x6+6x3+15，试判断65是否是f(x)的有理根？
19. （2分）试判断f(x)=8x10+3x8+12x6+6x5+12在有理域上是否可约？
20. （2分）GF(64)的特征是多少？其子域有哪些？
21. （2分）有余格一定是有界格吗？有界格一定是有限格吗？
22. （2分）请判断图1和图2所表示的部分序集是否是格？
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23. （2分）设（L，≤）是一个半序格，哈斯图如图3所示，其对应的代数格为（L，
×，），请给出一个L的子集S，使得（S，≤）是（L，≤）的半序子格，但（S，
×，）不是（L，×，）的代数子格。
24. （2分）在如图3所示的格中，请分别指出元素b和c的余元素。
图1
图2
图3
a
b
c
d
e
f
g
三、（10分）证明：f(x)=3x5+x3+2x2+4x+1在有理域R0上不可约。
四、（10分）设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个
交换环。
五、（15分）构造一个16元有限域（要求给出构造的步骤，但无需写出该域的加法
和乘法表）。
六、（10分）设G={σ|σ(x)=ax+b, a≠0，a、b为实数，σ为实数上的映射}，运算·是
映射的乘法，证明：（G，·）是群。
七、（5分）设域F={a+b2| a，b有理数}，域E={a+b5| a，b是有理数}，其中
的运算都是数的加法和乘法。证明或者反驳，域F和域E是同构的。