柯西黎曼Cauchy-Riemann方程的证明

1 引言解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式．现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的．本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．2 基本概念与定理定义2．1[1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000()()limz z z Df z f z z z →∈--存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或0(z z df z dz=）．即000()()lim '()z z f z f z f z z z →-=-．有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数．定义2．2[1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析，并称()f z 是区域D 内的解析函数．如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ⊂，而()f z 在G 内解析．若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点．例1 试证明(Re f z z z =）在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 00()(0)R e limlimlim R e 00z z z f z f z z z z z→→→-===-故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =．设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限000()()R e R e limlimz z z z f z f z z z z z z z z z →→--=--0000000()()lim()()x x y y x iy x x iy x x x i y y →→+-+=-+-002200000()lim()()x x y y x x i xy x y x x i y y →→-++=-+-当z 沿平行于实轴的方向趋近0z 时，因0y y =，故 000()()l i mz z f z f z z z →--220000()limx x x x iy x x x x →-+-=-00lim [()]x x x x iy →=++002x iy =+当z 沿平行于虚轴方向趋近于0z 时，因0x x =，故 00000000()()()limlim()z z y y f z f z ix y y x z z i y y →→--==--因为0x ，0y 至少有一个不为零，于是0002x iy x +≠．故当00z ≠时，()f z 不可微．因而除00z =外，()f z 都不可微．在00z =处尽管函数()f z 可微，但不存在00z =的一个邻域，使()f z 在此邻域内每一点都可微，故()f z 在00z =点也不解析，从而()f z 在z 平面上任何点都不解析． #此例说明函数在一点可微，但在这一点不一定解析．有了可微性和解析性的定义之后，即得下述定理： 定理2．3[2]设函数(,)(,)f u x y iv x y =+定义与区域D ，000z x iy D =+∈，则()f z 在点0z 处可微的必要与充分条件是：(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，且满足Cauchy-Riemann 方程,u v v uxy x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （1）证： 必要性 设0(0)z z z D z +∆=∈∆≠，w u i v ∆=∆+∆．因()f z 在点0z 可微，则有00lim'()z w f z z∆→∆=∆．令0'()w f z zε∆-=∆．即得0'()w f z z z ε∆=∆+∆ （2） 当0z ∆→时，0ε→．令0'()f z a ib =+，z x i y ∆=∆+∆，12i εεε=+，则当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．于是由（2）式，12()()()()u i v a ib x i y i x i y εε∆+∆=+∆+∆++∆+∆12()a x b y i b x a y ηη=∆-∆++∆+∆+其中112x y ηεε=∆-∆，221x y ηεε=∆+∆．则比较实部与虚部，则 1u a x b y η∆=∆-∆+， 2v b x a y η∆=∆+∆+ （3）其中a 与b 与x ∆，y ∆无关．因112zηεε≤≤+∆，而当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．故当0z ρ∆==→时，10ηρ→，于是10()ηρ=．同理20()ηρ=．由（3）即知u ，v 在点00(,)x y 处可微，且在点00(,)x y 处有u a x∂=∂，u b y∂=-∂，v b x∂=∂，v a y∂=∂，于是,u v v uxyxy∂∂∂∂==-∂∂∂∂， 因此满足Cauchy-Riemann 方程．充分性 设(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，则在点00(,)x y 处有 1u u u x y x yη∂∂∆=∆+∆+∂∂．2v v v x y xyη∂∂∆=∆+∆+∂∂．其中10lim0ρηρ→=，20lim0ρηρ→=，z ρ==∆．因Cauchy-Riemann 方程（1）成立，如令u v a xy∂∂==∂∂，v u b xy∂∂=-=∂∂，则12()w u i v a x b y i b x a y ηη∆=∆+∆=∆-∆++∆+∆+12()()()a ib x i y i a ib z ηηη=+∆+∆++=+∆+．故 w a i b zzη∆=++∆∆．其中12i ηηη=+．因12120i zzηηηηηρρ+=≤+→∆∆（当0ρ→）， 故 0l i m0z z η∆→=∆．于是 00l i m'()z w a i b f z z∆→∆=+=∆．因此()f z 在点0z 可微． #３ 几种不同形式的Cauchy-Riemann 方程3．1 梯度形式定理3．1[3] 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，(,)u x y ，(,)v x y 的Cauchy-Riemann 方程等价于(),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩ （4）证：若实形式的C-R 条件成立，即,u v xy ∂∂=∂∂,u v yx ∂∂=-∂∂那么有(),gradu gradv =12,12u u v vu v u ve e e e xyxy x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂++=⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ ()0v u u vC R y y y y⎛⎫∂∂∂∂--+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭条件， 其中1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正向相同的单位矢量．gradu =,gradv == (),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩反之，若（4）式成立，则有22220,.u v u vx x y y u u v v x y x y ∂∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ （5） 设,u v u v p q xyyx∂∂∂∂=-=+∂∂∂∂那么，方程组（5）化为0,0.v v p q x y u v u v p q x y y x ∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪++-= ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎩（6）其中0,0.u v u v xyyx∂∂∂∂+≠-≠∂∂∂∂此方程组的系行列式为J =vx u v x y ∂⎛∂∂∂ + ∂∂⎝vy u v y x ∂⎫⎪∂⎪∂∂⎪-⎪∂∂⎭=v u v v u v x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂--+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=--+≠⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦事实上，若220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 由（5）式可知220v u v u u u x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故我们有222220,v u v u u u v v x y y x x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫--+-+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦220,u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+--= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭即22u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+=- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭． 这是一个矛盾的结论，所以方程组（6）只有零解．于是0,0,.uv q x y p u v yx ∂∂⎧=⎪=∂∂⎧⎪⎨⎨=∂∂⎩⎪=-⎪∂∂⎩即3.2 复形式若考虑二实变数,x y 的复值函数(),f x y ，引进复变数,,z x iy z x iy =+=-则()()11,22x z z y z z i =+=-． 于是()(),,.22z z z zw f z f x y f i ⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭这里形式地把(),f x y 考虑为z 与z 的函数，而把z 与z 视为独立的自变量，因此()f z 可以对自变量z 与z 求导数．定理3．2[4]()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程0f z∂=∂．证：1212f f x fy f f i z x z y z x y f f x f y f f i x y x y z z z⎧⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+=+⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎝⎭⎨⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎪=+=- ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎩（7）()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程u v xy∂∂∂∂=，.u v yx∂∂∂∂=-而'()u v u v xxyyf z ii∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-+，所以f(z)应满足偏微分方程.f f xyi∂∂∂∂= （8）将（7）和（8）比较，得0f z∂=∂．因此解析函数f （z)是以条件0f z∂=∂为其特征，即Cauchy-Riemann 方程的复形式可表示为0f z∂=∂．（7）式在作为极限定义时并没有什么方便之处，但我们仍然可以把它们作为对于z 及z 的形式导数．这里值得一提的是，实际上z 与z 并不是独立变量，因为他们是互相共轭的．也就是说，一个解析函数与z 无关，而是z 的独立函数．这也是我们把一个解析函数看作确实是一复数的函数，而不称之为两个实变数的复值函数的理由．3．3 极坐标形式 定理3． 3． 1[4]：()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是()cos sin z r i φφ=+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的极坐标形式，即11u vr r v u rr φφ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （9） 证：因为cos ,sin ,cos ,sin ,u R v R x r y r θθφφ====所以cos sin u R R rrrθθθ∂∂∂=-∂∂∂， （10）cos sin u R R θθθφφφ∂∂∂=-∂∂∂， （11）sin cos v R R rrrθθθ∂∂∂=+∂∂∂， （12）sin cos v R R θθθφφφ∂∂∂=+∂∂∂， （13）将(10)cos (12)sin (11)cos θθθ⨯+⨯+⨯得cos sin ,cos sin .u v R r r r u v R θθθθφφφ∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪+=∂∂∂⎪⎩将（9）式代入得1(cos sin ),(cos sin ).v u R r r v u R r r r θθφφθθφ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪--=⎪∂∂∂⎩（14）再把()()()()13cos 11sin ,12cos 10sin ,θθθθ⨯-⨯⨯-⨯得cos sin ,cos sin .vu r v u R rr rθθθφφφθθθ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪-=⎪∂∂∂⎩ （15） 比较（14）式与（15）式，得,.RrR r R r rR θφθφ∂∂∂∂∂∂∂∂⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （16）（16）就是我们所需要的Cauchy-Riemann 方程．定理3． 3． 2[5] 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程,.R R x y R R y x θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩证： 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的实形式,u v u vxy y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂． 而cos ,sin ,u R v R θθ==所以cos sin ,u R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R yyrθθθ∂∂∂=-∂∂∂cos sin ,u R R yyyθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂故cos sin sin cos ,R R R R x xy y θθθθθθ∂∂∂∂-=+∂∂∂∂ (17)cos sin sin cos .R R v R R yyx xθθθθθ∂∂∂∂-=--∂∂∂∂（18） 将（17），（18）两式分别乘以cos θ，sin θ或sin θ，cos θ-再相加，得,.R R x y R R yx θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （19）（19）式就是所需求的Cauchy-Riemann 方程．下面推导在条件之下的()f z 的导数表达式．因为(cos sin )(sin cos )11'()()(cos sin )(cos sin )uv R R i R i R Rx x x x x x f z if z R i R i R x x θθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-++∂∂∂∂∂∂∂∂===+++∂∂，所以1'()()()R f z f z i R x xθ∂∂=+∂∂． 若我们应用（19）式，则有1'()()()Rf z f z i y R y θ∂∂=-∂∂．参考文献：[1]刘声华，潘吉富，郑基允．复变函数[M]．长春：吉林教育出版社 1988．[2]钟玉泉．复变函数论(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1988．[3]L V 阿尔福斯．复分析[M]．上海：上海科学出版社，1984．[4]谭小江，伍胜健复变函数简明教程[M]．北京：北京大学出版社，2006．[5]Jerrld E Maislen． Basic complex analysis[M]．Freeman W H ahd Company， 1973致谢本论文是在湖州师范学院张孝惠老师精心指导下完成的．从最初的论文选题到论文初稿的修改乃至最后的定稿都倾注了这位老师的大量心血．整个毕业论文阶段的学习使我受益非浅，特此向张老师表示深深的敬意和诚挚的感谢！此外，还要感谢刘太顺教授，是他给我打下了坚实的复变函数基础，在理论上给予我很大的帮助；感谢同寝室一起学习的同学给予我的关心和支持，感谢湖州师范学院多年来对我的教育、培养．在此，我向各位给予我帮助支持的领导、老师、同学、亲人致以最真挚的谢意，谢谢大家！。